2 Energía en función de la inducción magnética - Arturo Lara

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17- 2 Energía en función de la inducción magnética
Como se hizo notar brevemente después de (18-12), la forma de esta ecuación resulta apropiada para interpretar la energía como asociada con las corrientes y localizada en ellas. Este punto de vista es consistente con la propiedad de acción a distancia de la ley de Ampere y su énfasis en los elementos de corrientes y sus orientaciones relativas. Sin embargo, el principal interés en este asunto es la descripción de los fenómenos en términos de los campos, por lo que es deseable ahora expresar la energía en función de ellos.
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Se puede utilizar (15-12) para expresar Jy = (AX B)/p©, ya que por el momento solamente se están considerando corrientes libres; en este caso (18-12) queda como
í¿”=2^/(VXB)'ArfT	(18-15)
Se puede ahora volver a expresar el integrando al utilizar (1-118), (16-7) y (1-17):
A-(VXB) = B-(VXA)-V-(AXB) = B2-V-(AXB)	(18-16)
Al sustituir esto en (18-15) y utilizar el teorema de la divergencia (1-59) para expresar una de las integrales de volumen resultantes como integral de superficie, se encuentra que
^=¿/rB2*-¿£(AXBMa
(18-17)
Pero la integral con que se empezó, (18-12), se debería tomar sobre todo el espacio, de tal forma que en (18-17) se debe considerar V como un volumen muy grande y S como su inmensa superficie de frontera. Así, a medida que V se hace infinito, S también se extenderá hasta el infinito. Supóngase que la distribución de corrientes está siempre contenida en un volumen finito. De esta manera, a medida que S se aleja mucho, la distribución total de corrientes parecerá estar contenida en un volumen muy pequeño a una distancia R. Si se recuerdan (16-12) y (14-7), se puede observar que, a medida que R^°° lo peor que puede ocurrir es que
1
A~~
AXB- —
R3
(18-18)
de modo que la magnitud del integrando disminuye a razón de R3. Sin embargo, como se podrá apreciar en el siguiente capítulo, esta estimación resulta demasiado pesimista pues, de hecho, a grandes distancias la distribución de corrientes parecerá una espira cerrada para la cual se encontrará que
1
R2
AXB	
R5
(18-19)
La supericie de integración está creciendo como/?2, por lo que, para unaR muy grande,
rf)(AXB) ¿a	-A2-—0
J	R5 R3
(18-20)
Así, cuando el volumen V en (18-17) se incrementa para incluir todo el espacio, la integral de superficie se anula, por (18-20), con lo que la expresión para la energía queda simplemente como
todo el espacio 4jU0
(18-21)
[ Nótese que aun cuando (18-18) fuera aplicable, la integral de superficie también se anularía, como ocurrió en el correspondiente caso eléctrico de (7-27)].
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El resultado (18-21) tiene la misma forma general que el resultado eléctrico (7-28), por lo que se le puede dar la misma clase de interpretación, es decir que la energía magnética se encuentra distribuida en forma continua a través del espacio con una densidad de energía, um, dada por
i>2
(18’22)
de manera que la energía magnética total puede expresarse como
U^= f umdT	(18-23)
J todo el espacio
Las unidades de um son joule (metro)3.
Como ya se vió después de (7-30), no es necesario interpretar la expresión (18-21) de esta manera, pero tal interpretación resulta natural y llega a ser de gran utilidad, además de ser consistente con todo lo que se hará más adelante.
Recuérdese también que (7-28) podía ser muy útilmente aplicada para el cálculo de la capacitancia. De manera similar, se puede usar (18-21) para el cálculo de la inductancia al combinarla con (18-9). Así, si se ha evaluado B por otros medios, se le puede utilizar para calcular la energía; se sabe también que Um es proporcional a I2, de manera que se puede encontrar L como L — 2UmII2. Como siempre, este método queda mejor ilustrado con ejemplos.
Ejemplo-,
Solenoide ideal infinitamente largo. Ya se utilizó este caso para ilustrar (18-13). Si se utilizan (15-26) y (15-25) en (18-22), se encuentra que la densidad de energía es um — 1 /2 Po n212 = const. en el interior del solenoide y um =0 en su exterior. Si se considera una longitud I del solenoide, con sección S, el volumen será SI, con lo que (18-23) queda como
= P-on2I2dr = | pQn2I2Sl
en completa concordancia con (18-14); así se obtiene la misma autoinductancia! — p^n2 SI que ya se ha encontrado dos veces antes.
Ejemplo
Cable coaxial. La figura 18-1 muestra el mismo sistema que se ilustró en la figura 6-12, es decir, dos conductores cilindricos coaxiales; el conductor interior tiene un radio a, mientras que el exterior tiene un radio interno b y uno externo c. Supóngase que los conductores tienen corrientes totales iguales y en direcciones opuestas, de magnitud I que están distribuidas uniformemente en sus secciones, y que existe vacío entre los dos conductores. Se toma el eje z en la dirección de la corriente del cilindro interior. Los valores de B requeridos pueden ser encontrados por medio de la forma integral de la ley de Ampere (15-1). Debido a la simetría de la situación, se puede reconocer que B deberá tener la forma B =
(p)<p, de tal forma que resulta apropiado tomar como trayectoria de integración un círculo de radio p. En estas circunstancias,la evaluación de (15 -1) resulta ser exactamente igual que la de (15-17), de modo que para cualquier valor de p se puede utilizar (15-18) y escribir
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(18-24)
quedando tan sólo pendiente la- evaluación de /enc Para una trayectoria dada. Resulta conveniente considerar separadamente cada una de las regiones marcadas en la figura como 1, 2, 3 y 4; ellas corresponden, respectivamente, al conductor interior, al espacio entre los conductores, al conductor exterior y a todo el espacio exterior al sistema. De esta manera se tendrá una mejor idea de cómo contribuye cada una de las regiones ala autoinductancia total del sistema.
1. (0 < p < a) Aquí, /enc/^= ( P2 / TO2 ) = p2 /a2 , y (18-24) conduce a
como en (15-20). Dado que B2 - B<p2 para este caso, la densidad de energía correspondiente que se encuentra por (18-22), es
El elemento de volumen es dr = pdpd^p dz, de acuerdo con (1-83), y al integrar sobre una longitud 1 del sistema se encuentra que la energía con esta parte es
(18-27)
Nótese que este resultado es finito porque el valor de se aproxima a cero a medida que p -> 0, en lugar de volverse infinito ahí.
Figura 18-1 Un cable coaxial conduciendo corrientes iguales en direcciones opuestas.
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2. (a^p^ b) Aquí/enc — I, por lo que, procediendo de la misma manera que arriba, se obtiene
	fí -
*2~ 2/ñp
	(18-28)
	“”2 S^p2
	(18-29)
	
	(18-30)
3. (b<p<c) Aquí /ene =/-/[7T(p2-62)/7r(c2-¿2)]=/(c2-p2)/(c2-¿2), y por lo tanto
?	í c2 \
<p3 2tt(<72 —¿>2)\P P)
(18-31)
_	¡J^I2 c4 ~ 2.L 2
	—	— — - 2c2 + p2 8772(c2-62)2 \p2
(18-32)
l/"3=4¿ÉÍy[c4,n^)^<^-^2-^
(18-33)
4. (c < p) Aquí, /enc = / _ / = o. Por lo tanto, um4y Um4 son todas iguales
a cero.
Se puede así obtener la energía total sumando (18-27), (18-30) y (18-33), y cuando se combina esto con (18-9) se puede encontrar la autoinductancia total de una longitud l de este sistema, que resulta ser
(18-34)
cuya forma claramente indica la contribución de cada una de las regiones al total. En la mayoría de las situaciones prácticas, el término de en medio de (18-34) es la principal fuente de la inductancia.