3 Energía en función del campo eléctrico - Arturo Lara (1)

Vista previa del material en texto

7- 3 Energía en función del campo eléctrico
Como se puntualizó muy brevemente en el párrafo que siguió a (7-6), la expresión para la energía se presta a una interpretación según la cual la energía del sistema se encuentra directamente asociada con las cargas del sistema y sus posiciones. Este punto de vista es naturalmente consistente con la noción de acción a distancia de la ley de Coulomb y su énfasis sobre las cargas y sus posiciones relativas. Por otro lado, si el interés primario se centra en la descripción de los fenómenos en función de los campos, es natural que se quiera hacer lo mismo con la energía. Resulta apropiado utilizar (17-10) como punto de partida.
Se puede escribir p = Eo v.E, por (4-10), de manera que (7-10) puede también escribirse como
(7-22)
El integrando puede modificarse por medio de (1-117), (5-3) y (1-17):
V • E) = - E • (V<¿>) + V • (</>E) = E2 + V • (<£E)	(7-23)
Al sustituir esto en (7-22) se obtiene
(<¡¡E)ar	(7-24)
y usando el teorema de la divergencia (1-59) para escribir la segunda integral como una integral de superficie, el resultado final es
U,- f E2Or+ (£(<j>E)-<fa	(7-25)
En este punto resulta conveniente hacer una pausa y considerar el hecho de que la integral inicial en (7-10) debe tomarse sobre todo el espacio; para poder hacerlo, lo mejor es considerar V en (7-25) como un volumen extremadamente grande, de modo que 5 sea su superficie limitante, también extremadamente grande. Después puede hacerse que V tienda a infinito; así, la superficie S deberá también ser infinita. Supóngase que la distribución de cargas siempre queda confinada a un volumen finito, el cual puede ser, sin embargo, muy grande. Puede así elegirse a V lo suficientemente grande para que pueda englobar a todas las cargas. A medida que V crece, 5 se aleja tanto que la distribución de carga parecerá estar confinada a un volumen muy pequeño, de modo que desde cualquier punto de 51a carga total parecerá una carga puntual a una distancia R Entonces, en lo que toca a la integral de (7-25), a medida que R °°, de acuerdo con (5-12) y (5-13) se puede observar que
(7‘26)
de forma que la magnitud del integrando disminuye segúnR3. La superficie de integración aumenta, pero será proporcinal a R2; por lo tanto, para una R muy grande,
(7-27)
136
Energía electrostática
de manera que cuando V en (7-25) crece lo suficiente para incluir a todo el espacio, la integral de superficie se anula, y la expresión de la energía queda como
U=d	%E2dr	(7-28)
J todo el espacio 2
donde E2 = E. E. Por lo tanto, se ha logrado expresar la energía completamente en función del campo eléctrico. [Aunque las cargas no aparezcan en forma explícita en (7-28), no han desaparecido, desde luego, debido a que son las fuentes mismas del campo eléctrico.]
La forma de (7-28) como integral de volumen, en la que regiones donde E =# 0 contribuyen a la integral mientras que aquéllas para las que E = 0 no contribuyen, se presta a una interpretación muy sencilla y natural: la energía electrostática está distribuida en forma continua a través del espacio con una densidad de energía, ue, dada por
», = !<oE'	(7-29)
de manera que la energía total puede escribirse
tí, = J uedr	(7-30)
todo el espació
Las unidades de ue son joule/ metro3.
Resulta evidente que esta imterpretación es posible pero no necesaria, así como (7-29) no es la única posibilidad. Por ejemplo, se podría sumar a ue cualquier cantidad x cuya integral dé volumen sobre todo el espacio sea igual a cero, sin estar en desacuerdo con (7-28). Sin embargo, (7-29) es sencilla, posible y muy atractiva desde el punto de vista de expresar las cosas en función de campo. El punto de vista aceptado es tomar a (7-29) como correcta; se podrá justificar esta interpretación en mayor detalle más adelante y, de hecho, (7-29) resultará útil y exacta aún en campos que varían con el tiempo.
La energía calculada a partir de (7-28) deberá estar, desde luego, en concordancia con la obtenida por (7-6) o sus variantes. A continuación se verifica que así sucede en un caso particular para el que ya se han encontrado anteriormente E y Ue.
Ejemplo
Esfera conductora aislada. En (6-5) se encontró ya la solución para este caso en función del potencial 0. Así, el campo eléctrico producido por este sitema es
E=-3?r
47T€orZ
(''>«)
(r <u)
(7-31)
E = 0
de manera que no existe energía contenida dentro del volumen de la esfera, de acuerdo con (7-29); la región de integración de (7-30) se reduce a todo el espacio fuera de la esfera. Al utilizar (7-31) en (7-29), la densidad de energía ue resulta ser
ue—Q	(r<a)
Fuerzas electrostáticas sobre conductores
137
y en esta manera, por medio de (1-99), (7-30) queda como
Ue =
Q2
32tt2€O
[2ir r°° 1
'o Jo Ja 7
■r2 senddrdOd<p =
Q2
(7-33)
lo que está en completa concordancia con (7-20).
Una aplicación muy útil de (7-28) es la de calcular la capacitancia. Si se ha encontrado E por otros métodos, se puede entonces evaluar (7-28). Se cabe que en tal caso Ue será proporcional a Q2 ó 02 ó (A0)2 , dependiendo de la cantidad dada, de modo que cuando Ue se encuentra de esta manera, puede usarse inmediatamente en (7-19) o en (7-21) para evaluar C. Esto resulta un procedimiento mucho más conveniente que el uso de (6-38).
Ejemplo
Capacitor de placas paralelas. Este sistema se ilustra en la figura 6-9; se encontró que el campo tenía una magnitud constante E = a/E0 entre las placas, y cero en cualquier otro punto. Por lo tanto,
| C0E 2 =	y
2 0	2c0 2íqA2
(7-34)
y es constante en el volumen Ad entre las placas y cero en cualquier otra parte. Al sustituir esto en (7-30) se obtiene.
Ue = f ue dr = ue( volumen) = (	=
(7-35)
lo que lleva otra vez al valor de C dado en (6-41).