7 Materiales ferromagnéticos - Arturo Lara

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20- 7 Materiales ferromagnéticos
Hasta ahora sólo se han considerado en detalle materiales i.h.l , para los que es posible escribir B = ¿iH, siendo ¡i una constante característica del material. Aunque esta relación puede describir una gran cantidad de materiales, ocurre que unos cuantos materiales de gran importancia tecnológica acusan un comportamiento marcadamente diferente; en esta sección se estudian brevemente algunas de sus principales características.
A estos materiales generalmente se les denomina materiales ferromagnéticos porque sus prototipos son los metales fierro, cobalto y níquel. Sin embargo, existen también muchas aleaciones y materiales no metálicos que caen en esta categoría. Aunque las propiedades específicas varían de un material a otro y deben ser valuadas experimentalmente, las características generales de ellos son muy similares, por lo que aquí sólo se estudiará esta parte. Esencialmente no existe una relación simple entre B y H para estos casos.
Otra característica encontrada con mucha frecuencia es que las propiedades magnéticas dependen de la historia previa de la muestra específica de material de que se trate. Sin embargo, siempre es posible hacer que esa muestra en particular llegue a un estado de cierta regularidad de comportamiento. Por lo general, esto puede lograrse por la inversión consecutiva y repetida de campos aplicados con magnitudes decrecientes; se supone aquí que este procedimiento ha sido llevado a cabo. (La razón para esta prescripción particular resultará evidente más adelante.)
Lo que generalmente se desea hacer es aplicar un campo H externo, producido por corrientes libres externas, y después medir B en función de H. Para lograrlo, resulta evidente que la muestra de material debe ser de una forma tal que permita la medición de B y H, o que permita que éstos puedan ser calculados de manera conveniente pero libre de ambigüedades. En particular, es conveniente que se pueda conocer H únicamente a partir de las corrientes externas aplicadas. Si, por ejemplo, la muestra fuera un solenoide largo con núcleo de hierro, existirían discontinuidades en los extremos, por lo que habría que preocuparse del efecto producido por la componentes normales de M, es decir, de la densidad de superficie de “polos.” Pero como ya se vio en (20-42), éstos dependen del valor de M, que está conectado con la relación entre B y H por medio de B =/i0(H +M). Dado que esto complicaría enormemente el problema, sería de desearse entonces contar con una muestra sin extremos, lo que hace pensar de inmediato en un anillo o toroide. Si el toroide se ha apretado muchc al embobinarse sobre el material, puede suponerse, con buen grado de aproximación, que H queda confinada completamente al interior, como se vio en el último ejemplo de la sección 15-2, pudiéndose calcular a partir de la corriente Ubre I en las A vueltas del tiroide. A este artefacto se le denomina anillo de Rowland.
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H puede encontrarse por medio de la forma integral de la ley de Ampere dada en (20-32). En esencia, el cálculo viene a ser idéntico al que llevó a (15-28) y que se ilustró en la figura 15-12. Para una trayectoria de radio p, ds = pdyxp y (20-32) queda
C^H-ds = f H/p)pd<f> = 2VpHv(p) = lfmc = NI	(20-93)
de manera que
(20-94)
Sea a el radio de la sección circular del anillo y b el radio central del tiroide, supóngase que b > a. En este caso,/fy?(p) será aproximadamente constante e igual a
A7
2tt/>
(20-95)
Así, tanto M como B serán también aproximadamente constantes en toda la sección de áreas S = tt a2, por lo que el flujo a través de S será
(20-96)
La medición puede hacerse de la siguiente manera: la cantidad externa sujeta a control, I, se modifica por una cantidad muy pequeña y, según (20-95), el campo magnético variará en AH=N ¿sl/2irb, pudiendo calculársele a partir de las propiedades conocidas del toroide. Existirán cambios correspondientes en la inducción, AS, y en el flujo, Ad>= SAB. La última cantidad puede medirse enrollando otra bobina sobre el toroide y midiendo la carga total, AQc, que pasa a través de ella como resultado de la corriente inducida. Si Rc es la resistencia de este circuito, de (12-2) y (17-3) se obtiene la magnitud de AQC como
^Qc 4inadecuada
l^indl^ __ 1 f	A0
Rc RCJ dt Rc
que concuerda con el resultado del ejercicio 17-6 y conduce a AB=RCAQC¡S, haciendo así posible calcular AB. De esta manera, se puede ya obtener la curva que se describe la inducción B en función de H como resultado de una serie de pequeñas variaciones.
Cuando se lleva a cabo el procedimiento de esta índole con un H monotónicamente creciente, el resultado viene a ser una curva de B contra H de apariencia parecida a la que se muestra en la figura 20-19. A una curva como ésta se le denomina curva de magnetización; el nombre se suele dar también a una curva de M contra H, que contiene sustancialmente las misma información. Se puede observar que la relación mostrada no tiene nada de lineal. De hecho, a medida que ,M alcanzará un valor constante Ms denominado magnetización de saturación, ya que los dipolos se habrán alineado completamente. Para ese caso se tiene la relación B =	+ M) -> p0H + p0Ms =	+ const. y la curva B-H
se vuelve lineal con una pendiente constante pQ. Para muchos materiales los valores áeH que se requieren para llegar a este punto son imprácticamente grandes.
Aunque cuando (20-53) se definió ¡j. =B[H se estaban considerando únicamente sistemas lineales, se nuede estirar la aplicabilidad de la definición a este caso si se continúa
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utilizando esta misma ecuación. Cuando se evalúa ¡a a partir de una curva como la de la figura 20-19, el resultado viene a ser como el mostrado en la figura 20-20. El máximo suele ser de magnitud igual a varios miles, aunque puede variar fuertemente de un material a otro; la relación p/pQ se aproxima también al valor límite de la unidad a medida que H se vuelve muy grande. Por lo tanto, si se define p de esta manera, resulta estar muy lejos de ser constante pero aún así es muy útil y conveniente para describir un material dado. (Puede notarse aquí que muchos de los materiales ferromagnéticos son cristalinos, y se encuentra que las curvas de magnetización son, por lo general, diferentes según las diversas direcciones en que se aplique H.)
Supóngase ahora que, en lugar de hacer que H aumente indefinidamente como se hizo en el caso de la figura 20-19, se llega únicamente hasta el valor máximo (y su correspondiente B^) que se muestra en la figura 20-21, y después se hace disminuir. Lo que normalmente se encuentra es que, como se indica por la dirección de la flechas, la curva no recorre el mismo camino en reversa, y que B no decrece tan rápidamente como aumentó a la ida. A este comportamiento general se le denomina histéresis (del griego “llegar tarde” o “quedar corto”). Por lo tanto, puede observarse que la relación entre B y H no solamente no es lineal, sino que tampoco es univaluada. Si se sigue disminuyendo H hasta que 77 = 0, se encuentra que B 0, como se indica. A este valor Br que queda se le llama inducción remanente, remanencia o retentividad. De hecho, para poder reducir# a cero se hace necesario aplicar el campo H en dirección contraria, de modo que B = 0 cuando H=- Hc. A este valor Hc se le suele llamar fuerza coercitiva o coercitividad. Si se continúa este procedimiento decreciente de H hasta el punto -	y después se cambia la dirección del
campo para hacerlo aumentar de nuevo hasta + , la curva B contra H resulta ser una curva cerrada conocida como la curva o ciclo de histéresis.
Figura 20-20 Permeabilidad relativa contra H
para un material ferromagnético.
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Si se hubiera seguido hasta el valor H2 > antes de comenzar a disminuirlo, se hubiera obtenido una curva de histéresis diferente, como se muestra en la figura 20-22, con inducción remanente y fuerza coercitiva diferente; algo similar ocurriría para un valor máximo H3. En otras palabras, todo el espacio B-H puedellenarse con curvas de histéresis y un valor numérico dado de p, no tendrá sentido a menos que se especifiquen más las condiciones correspondientes. Puede observarse que las puntas de estas curvas de histéresis trazan la curva de magnetización monotónica de la figura 20-19; se puede ver también por qué era necesario prescribir campos alternos de magnitud gradualmente decreciente para hacer que la muestra llegara a un estado inicial para el cual 5 = 0 cuando 27 = 0. Por último, se puede también observar que si estando a un valor dado como H4 se realiza un pequeño ciclo en H iniciándolo ahí, se podrá trazar una pequeña curva de histéresis como la que se ilustra en la figura.
En sistemas en los que existe histéresis hay también una conversión irresistible de energía en calor cuando el sistema es llevado a lo largo de un ciclo completo. En este caso, debe corresponder a una conversión de energía magnética en calor; este calor es adicional al calor producido por la existencia de una conductividad, según se describió ea(12-35). Como se hizo notar al principio de la sección anterior, todos los resultados obtenidos hasta aquí en relación con la energía están basados en la suposición de que se trataba de sistemas lineales; dado que es obvio que ése no es el caso aquí, es necesario volver a comenzar para poder demostrar este efecto. La ecuación (18-1) que da el trabajo requerido de una fuente externa para producir un pequeño cambio en el flujo sigue siendo correcta, ya que se basó únicamente en una aplicación general de la ley de Faraday. Si se expresan los cambios en la energía magnética y en el flujo como &Um y 5<í>, por conveniencia, de (18-2) y (16-23) se obtiene que
8Um = S = S $ SAj-dSj	(20-97)
J	J Jcj
siendo 5 A, el cambio correspondiente del potencial vectorial en la parte j del sistema. Se puede ahora volver a expresar la suma en función de la densidad de corriente siguiendo
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Figura 20-22 Diversas curvas de histéresis posibles. PM indica el estado general de un imán permanente.
exactamente el mismo procedimiento que se utilizó para ir de (18-10) a (18-11), obteniéndose
8Um — í Jr5AtZr= f (VxH)-5A¿t
JV	Jy
(20-98)
por medio de (20-29). Pero A X A = B, según (16-7), de modo que AX (A + 5 A) = B + 5 B y, por lo tanto, según (1-119), VX8A = 8B. Si se transforma ahora el integrando de (20-98) por medio de (20-76) y de este último resultado, y se procede después de la misma manera en que se hizo para ir de (20-75) a (20-77), se obtiene
(20-99)
como un resultado completamente general para el incremento de la energía en función de los vectores de campo. Puede observarse que para un sistema lineal, en el que B = /zH, siendo /z constante, se tiene 5 B = /z8H, de modo que el integrando viene a ser H*6B = /zH* 5H=5(|;zH2) =5(|H*B). Esto es equivalente a (20-80) y resultará (20-77) cuando se suman
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todos los incrementos 8Um para obtener la energía total. Sin embargo^ en el caso más general no puede realizarse esta suma hasta conocer la relación entre B y H. Si no resulta posible escribir esta relación en una forma matemática relativamente simple, pero se logra obtener gráficamente por medio de una curva de magnetización, quizá únicamente se puedan sumar estos 8Um por medio de métodos numéricos.
Si Swm es la energía requerida de una fuente externa por unidad de volumen de material, se puede expresar el integrando de(20-99) como 8wmdr, con lo que se tiene que
=	(20-100)
Esto viene a ser igual al área sombreada de la figura 20-23, ya que únicamente se están manejando materiales isotrópicos, en los que B y H son paralelos. Si ahora se imagina un ciclo completo del sistema a lo largo de la curva de histéresis, el trabajo realizado por unidad de volumen será la suma de términos como (20-100):
wm = (f) H-8B = (f) H8B	(20-101)
J ciclo	J ciclo
Esto es numéricamente igual al área encerrada por la curva de histéresis, de manera que wm es positiva y diferente de cero. Dado que los estados inicial y final del sistema son los mismos, la energía magnética, que es función únicamente del estado, no habrá cambiado y, por lo tanto, el trabajo por unidad de volumen dado en (20-101) debe representar una conversión irreversible de trabajo en calor. Este resultado puede también escribirse de una forma tal que únicamente incluya el material. Dado que según (20-28) B siempre es igual a ju0(H + M), se tiene que
8wm = H 5B =	+ /¿oH-SM	(20-102)
Figura 20-23 Interpretación de HbB como una superficie.
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Cuando se sustituye esto en (20-101), el primer término dará cero, como ya se vio, por ejemplo, después de (13-4), de modo que por último
wm = (¿ /AqH-ÓM	(20-103)
■'ciclo
El último término de (20-102), /ZoH*6M, representa el trabajo proporcionado a una unidad de volumen del material y es el punto de partida para la descripción de los sistemas magnéticos en la termodinámica.