4 Fuerzas electrostáticas sobre conductores - Arturo Lara (1)

Vista previa del material en texto

7- 4 Fuerzas electrostáticas sobre conductores
En general, dos conductores cargados ejercerán fuerzas el uno sobre el otro y, en principio, estas fuerzas pueden calcularse por medio de la ley de Coulomb. A menudo resulta deseable evaluar estas fuerzas de otra manera. Una situación similar suele encontrarse en mecánica, cuando resulta conveniente calcular las componentes de una fuerza como razones espaciales de cambio de la energía potencial. Además, las consideraciones energéticas proporcionan otro punto de vista y pueden, por tanto, auxiliar en su comprensión total.
Se desea desarrollar un método similar para las fuerzas electrostáticas; sin embargo, esta sección se limitará a los conductores. Más aún, no se hará una generalización completa, sino que se considerará el campo particular del capacitor de placas paralelas. Esto será suficiente para ilustrar todas las características generales del problema, con base en un sistema simple y de fácil visualización. Sin embargo, como se verá lo obtenido se podrá enunciar de tal manera que sea aplicable en forma general.
En la figura 7-1 se muestra un capacitor de placas paralelas de capacitancia C. Por medio del interruptor S, las terminales T y T' pueden conectarse a una batería, B, que producirá una diferencia de potencial A0 entre las placas, cargando de esta manera el capacitor al valor Q = C & Debido a sus cargas opuestas las placas se atraerán entre sí,
138
Energía electrostática
Figura 7-1 Fuerzas sobre una placa de un capacitor de placas paralelas.
de modo que existirá una fuerza electrostática, Fe, sobre la palca positiva en la dirección señalada. Para poder mantener el sistema en equilibrio, /> debe balancearse por medio de una fuerza mecánica, Fm, igual y opuesta. El propósito es encontrar estas fuerzas a partir de consideraciones energéticas.
Sea x la separación entre las placas. Imagínese ahora que esta separación cambie muy lentamente en una cantidad dx. En estas condiciones, el trabajo realizado por la fuerza mecánica sobre el sistema estará dado por Fmdx y, ya que éste será trabajo reversible, como se vio en la sección 5-4, será igual al cambio en la energía total dUt de todo el sistema, es decir, dUt = Fnfdx. Pero dado que la aceleración es siempre cero, la placa del capacitor permanecerá en equilibrio, o diferirá del equilibrio sólo infinitesimalmente, de manera que se seguirá teniendo /> = Fm ; entonces
dU,
dx
(7-36)
Se ha escrito Ut porque el capacitor no es todo el sistema en sí mismo; en general, la batería debe incluirse porque su energía también puede cambiar como resultado del trabajo realizado por Fm, dependiendo de si el interruptor S se encuentra abierto o cerrado. En otras palabras, el capacitor no es necesariamente un sistema aislado. En este sentido, el problema es muy similar al que se encuentra muy a menudo en termodinámica, en la que un sistema termodinámico determinado se encuentra en contacto con fuentes de calor o trabajo. En este caso el problema es tratar de enunciar el criterio termodinámico del equilibrio, que se refiere a sistemas aislados, en términos de una función que es característica únicamente del sistema no aislado, es decir, en términos de la función característica solamente parte de todo el sistema, pero de aquella parte que interesa directamente. En el caso presente, se desea escribir (7-36) en función del capacitor únicamente, si esto es posible. Existen dos posibilidades a considerar.
1. Carga constante. Supóngase aquí que el interruptor S estaba cerrado hasta que C. se cargó y después se abrió y se mantuvo abierto. Esto hace que la batería B se encuentre efectivamente separada del sistema total, ya que no áe efectará por el desplazamiento dx;
Fuerzas electrostáticas sobre conductores
139
en otras palabras, el capacitor se encuentra aislado. En este caso, dUt =dUe, donde Ue es la energía del capacitor, por lo que (7-36) queda
Ee = -()	(Q = const.)	(7-37)
\ dx )q
De acuerdo con (7-21), Ue = Q2I2c, pero dado que Ces una función de la separación de las placas, C =C(x), y, por lo tanto,
n2
dü = — dC
e 2C2
lo que hace que (7-37) quede como
F_ Q2 dC
e 2C2 dx
(7-38)
(7-39)
[En este proceso la diferencia de potencial entre las placas debe cambiar para quefí=CA 0 permanezca constante. Dado que esto lleva a dQ = 0 = (dC) (A 0) + Cd (A 0), se encuentra que
rf(A») _ dC
= C
(7-40)
lo que indica que el cambio fraccional en la diferencia de potenciales es igual y opuesto al de la capacitancia; de hecho, dado que C disminuye amedida que* aumenta, según se aprecia por (6-41) (remplazando d con x ), A0 aumentará a medida que x aumenta. La razón para esto es que si Q = const., a también será constante, así como E = a/G0; entonces, si la mis- maE se aplica sobre una separación mayor, 00 = / + Eds = Ex también será mayor.] Antes de ver (7-39) en mayor detalle, considérese la siguiente posibilidad.
2. Diferencia de potencial constante. Esto ocurre cuando se mantiene el interruptor S cerrado, de manera que A0 = const. La batería es ahora parte del sistema completo y el* capacitor ya no está aislado. En este caso, el cambio total de energía será la suma del cambio de energía en el capacitor, dUe, y del cambio de la batería, dUg, así que
dUt = dUe + dUB	(7-41)
Aquí resulta conveniente escribir Ue en forma Ue - 7“C(A0)2, que también está dada por (7-21). Entonces se tiene
dU,-í(dC)(^)2
(7-42)
[Si dx es positivo, dC será negativo como ya se vio arriba, de modo que la energía del capacitor Ue disminuirá bajo estas condiciones, en contraste con su aumento en el caso de carga constante descrito en (7-38).]
Ya que 2 = C A0, la carga del capacitor cambiará y este Cambio está dada por
¿/Q-(¿/C)(A</>)
(7-43)
A medida que estas cargas pasan lentamente a través de la diferencia de potencial de la batería, se realiza un trabajo sobre ellas y la energía de la batería cambia. Ya se encontró en
140
Energía electrostática
(5-46) que este trabajo es igual a la carga multiplicada por la diferencia de potencial, y dado que cualquier trabajo realizado por la batería representa una disminución de su energía, se obtiene
dU„ = -dW= -(dQ)(A<¡>) = -(dC)(^f=-2dUe	(7-44)
usando (7-43) y (7-42). Así, el cambio de energía en la batería siempre es de signo opuesto
al del cambio en el capacitor y de doble magnitud. [Si dx es positivo, se observa arriba que
dUe será negativo, y en esta forma dUB será positivo, tal como está dado por (7-44); es de-
cir, la energía de la batería aumentará. La razón es que dQ también será negativo debido a
(7-43), ya que dC es negativo; a-medida que estas cargas regresan a través de la batería, le
regresarán el trabajo reversible que ésta originalmente ejerció sobre ellas durante el proceso
original de carga.]
Cuando se sutituye (7-44) en (7-41), se encuentra que dUt = ~dUe, de modo que en
este caso (7-36) queda como
\ dx / A<¿>
que, al combinarse con (7-42) y (6-28), da
F	_ Q2 dC
(A<p = const.)
(7-45)
(7-46)
lo cual es, como cabría esperarse, exactamente lo mismo que (7-39).
Resulta conveniente recalcar una vez más que la ecuación básica para el cálculo de la fuerza es (7-36) y que la discrepancia aparente de signos entre (7-37) y (7-45) surge del hecho de que estas expresiones se refieren a procesos diferentes. En el caso de (7-37), el capacitor fue un sistema aislado y sufrió el único cambio de energía. En el caso de (7-45), el capacitor ya no estaba aislado pero, aun así, fue posible expresar la fuerza únicamente en función de la energía del capacitor. Esto presenta una analogía muy fuerte con la situación termodinámica'en la que se puede ir de la caracterización del equilibrio de un sistema de interés, por medio de su energía interna, al uso de su función de Helmholtz o de Gibbs para los casos en los que está en contacto con fuentes de calor o de trabajo. Esto puede hacerse utilizando únicamente las propiedades generalizadas de estas fuentes como sistemas muy grandes no caracterizados. Nótese que aquí no se necesitó conocer ninguna de las funciones internas de la batería en detalle; fue suficiente saber que era unmecanismo de alguna manera capaz de realizar trabajo reversible sobre las cargas.
De hecho, cuando se revisa la argumentación que condujo a (7-39) y (7-46), se puede observar que, a excepción de las indicaciones ilustrativas que se hicieron entre paréntesis, realmente no se utilizó ningún resultado detallado que requiriera en forma específica que el sistema consistiese en un capacitor de placas paralelas, aparte de que el desplazamiento se consideró paralelo a la fuerza mecánica para que el elemento de trabajo así pudiera escribirse como el producto simple Fmdx. Pero ahora, sin embargo, se hace necesario revisar estos detalles.
Si x es la separación entre las placas, C = G0 Ajx, de acuerdo con (6-41). Entonces, dC/dx - —Gq A/x2 = —C/x, por lo que (7-39) queda como
f = -QL = ^F
e 2Cx x
(7-47)
al usar (7-21) Esto demuestra que Fe es negativa, de acuerdo con el hecho de que las placas con cargas opuestas en la figura 7-1 se atraen entre sí. Ya se encontró en (7-35) que Ue
Fuerzas electrostáticas sobre conductores
141
Figura 7-2 Fuerza por unidad de área sobre la superficie de un conductor
puede escribirse como el producto de la densidad de energía ue y el volumen Ax entre las placas, de manera que Ue =ueAx; sustituyendo esto en (7-47) se obtiene que
F = - te, A
(7-48)
Dado que la fuerza total es proporcional al área, resulta conveniente introducir la fuerza por unidad de área,.4, definiéndola como la magnitud de dicha relación; así se tiene
A
(7-49)
De la figura 7-1 se observa que la dirección de esta fuerza es hacia afuera de la superficie conductora, de manera que puede escribirse la fuerza por unidad de área como
fe=/eñ=ucñ
(7-50)
donde ñ es la normal exterior de la superficie conductora, como se indica en la figura 7-2. De esta manera se ha encontrado que existe una tensión o fuerza hacia afuera por unidad de área sobre la superficie conductora, que es numéricamente igual al valor de la densidad de energía en la superficie.
Aunque este resultado se obtuvo al considerar el caso específico de un capacitor de placas paralelas, se puede demostrar ahora que posee validez general. Considérese una porción de la superficie conductora que se muestra en la figura 7-3. Dentro del conductor,donde E es igual a cero, la densidad de energía ue es también cero. Imagínese ahora que una porción pequeña de la superficie conductora, de área ha, recibe un pequeño desplazamiento (\x perpendicular a la superficie. El volumen de la región donde ue = 0 ha sido aumentado por A a t\x, de tal forma que
Figura 7-3 Cálculo de la fuerza sobre la superficie de un conductor. Un elemento de superficie sufre un desplazamiento imaginario Ax.
142
Energía electrostática
la energía total habrá cambiado por la cantidad A Ue, donde
A Ue = - weAaAx
(7-51)
la que es negativa si Ax es positiva. Este cambio de energía corresponde a una fuerza, A Fe> sobre este elemento de superficie dada por AFe = —AUeIAx = ueAa. Dado que AFe es proporcional al área Aa, se puede definir otra vez una fuerza por unidad de área, fe - AFe ¡A a, que otra vez resulta ser igual a ue, en concordancia con (7-49). Para determinar su dirección, recuérdese que los estados de equilibrio estable de la mecánica, para sistemas generales, corresponden a configuraciones que dan un valor mínimo de la energía potencial, es decir, la tendencia natural de los sistemas es “tratar” de disminuir su energía potencial. Como ya se vio antes, un desplazamiento positivo Ax hará que la energía Ue disminuya; dado que esto es lo que el sistema “quiere” hacer, dicha condición determinará que la dirección de la fuerza resulte hacia afuera del conductor. En otras palabras, se vuelve a llegar a (7-50), que da la fuerza electrostática por unidad de área siempre como una tensión, es decir, en la dirección de la normal exterior ft. Si las fuerzas cohesivas internas del material conductor no son lo suficientemente grandes para contrarrestar esta fuerza electrostática, el conductor se deformará. Esta deformacióncontinuaráhastaquelas fuerzas elásticas que se producen sean lo suficientemente grandes para mantener a las superficies en una nueva posición de equilibrio.
Al combinar (7-49) con (7-29) y (6-4), se puede expresar fe de otra manera como
2
fe = uv = ^()E2= ~ =
¿€0
(7-52)
donde E y o deben evaluarse en el punto particular de la superficie que se esté considerando.
Multiplicando (7-50) por da se obtiene la fuerza sobre dicho elemento como/ec?a = fétida = fede, de manera que la fuerza total sobre toda la superficie S de un conductor queda dada por
F. wul- ff.dt-^fM»	(7-53)
expresión que puede usarse una vez que se haya determinado la densidad superficial de carga en función de la posición.
Advertencias: (1) no se comenta el error común de pensar que la fuerza por unidad de área es simplemente a E en lugar de | oE, como se expresa correctamente en (7-52); (2) no se olvide que (7-53) es una ecuación vectorial. [Por ejemplo: ¿cuál es la fuerza total sobre la esfera conductora cuyo campo eléctrico está dado por (7-31)?]