Ley de Ampere - Arturo Lara (1)

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Ley de Ampere
Es interesante observar que el tema general que hoy se conoce como magnetismo se inició también con la observación de que ciertos materiales naturales podían atraer otros materiales. Se supone que el nombre proviene de una cierta asociación de estos objetos con la antigua ciudad de Magnesia en el Asia Menor, ya que podían encontrarse en sus cercanías. Por muchos siglos se pensó que este tema era independiente de la electricidad. Sin embargo, durante ese tiempo la gente sí aprendió acerca de las propiedades magnéticas de la Tierra y se inventó la brújula. El primer indicio de una posible conexión entre la electricidad y el magnetismo ocurrió en 1819, cuando Oersted descubrió por accidente que una corriente eléctrica podía ejercer ciertas fuerzas sobre vmzbrüjula magnética. Ampere supo de la observación de Oersted y rápidamente encontró que una corriente eléctrica también ejerce fuerzas sobre otra corriente eléctrica. Inició un estudio sistemático de estas fuerzas y por medio de una serie de ingeniosos y elegantes experimentos durante el período de 1820 a 1825 pudo deducir la forma de la ley básica de la fuerza entre corrientes eléctricas. Unos 50 años después, Maxwell describió el trabajo de Ampere como “uno de los logros más brillantes de la ciencia.”
Estas fuerzas entre corrientes estacionarias constituyen nuestro punto de partida, quedando para un capítulo posterior la descripción de los materiales magnéticos y el efecto de los materiales magnéticos y el efecto de materia en general. Dado que están implicadas las cargas no se encuentran en reposo sino en movimiento. Sin embargo, como ya se vio en el capítulo anterior, las cargas se mueven a velocidad promedio constante en las corrientes estacionarias. Bajo estas circunstancias, las fuerzas implicadas también serán constantes con respecto al tiempo; es ésta la justificacción para llamar a este tema magnetostática.
12- 1 F uerza entre dos circo ¡tos completos
Al introducir la ley de Coulomb en la sección 2-2 se manejaron cargas puntuales individuales. Por analogía, sería, de esperarse que aquí también se consideraran “pequeños pedazos” de corrientes para estudiar las fuerzas entre ellos. Lo más natural sería tomar un elemento de corrientes según (12-10), ya que representa tanto la mgnitud de la corriente como su dirección local. Sin embargo, a nivel de laboratorio es necesario manejar circuitos completamente cerrados de corriente constante, por lo que es necesario tomar la fuerza total entre
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Figura 13-1 Relaciones entre los circuitos utilizados para enunciar la ley de Ampere.
dos circuitos completos como la ley experimental fundamental. Una vez logrado esto, se podrá, en la medida de lo posible, deducir una fórmula que describa la fuerza entre los elementos de corriente hipotéticos.
Considérense dos circuitos completos ideales, C y C', que conducen corrientes constantes filamentales, I e I', respectivamente. La figura 13-1 ilustra esta situación. Lo que se desea obtener es la fuerza total que C ejerce sobre C, denotada Fc> -> C. Los circuitos son ideales porque el diagrama no considera las baterías. Supóngase que las baterías necesarias se encuentran situadas en alguna posición lejana y que los cables conductores que las unen a los circuitos se encuentran perfectamente entrelazados, ya que de acuerdo con uno de los primeros experimentos de Ampere, dos corrientes contrarias que se encuentran muy cerca entre sí no producen ningún efe cto sobre otra corriente. A pesar de lo que se expuso un poco más arriba, el resultado de la fuerza total se expresa en función de los elementos de corriente I ds y l'ds que se muestran; su localización con respecto a un origen arbitrario está dada por sus vectores de posición r y r. y su vector de posición relativa se define, como siempre, como R = r - r', es decir, que se dibuja desde el “punto fuente” al “punto de campo”. (Puede ser de utilidad comparar la figura 13-1 con la figura 13-1 con la figura 2-2.) Se supone que existe vacío en toda la región no ocupada por la corrientes.
La ley experimental básica que da la fuerza total que C’ ejerce sobre C puede escribirse como
<13-1,
y recibe el nombre de ley ae Ampere. Nótese que su forma incluye una doble integral de línea, cada una de las cuales se toma sobre el circuito correspondiente. Desde luego, pare
Fuerza entre dos circuitos completos
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ce incríble que una fórmula de la generalidad implicadapor(13-l)pueda haberse deducido de unos cuantos experimentos con circuitos de forma simple, según los realizó Ampere. La ecuación 13-1 representa evidentemente, una generalización de resultados que se han encontrado para una gran variedad de casos particulares.
El factor p0/4tt que aparece en (13-1) es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende del sistema de unidades que se esté empleando; se puede observar que las dimensiones de qp son de fuerza/(corriente)2. En el SI que se utiliza aquí (unidades MKSA), Po se define precisamente como
p0 = 4tt x 10_ 7 newton / (ampere)2
= 4% X 10_7henry/metro	(13-2)
A esta constante q0 se le denomina la permeabilidad del espacio libre y generalmente se le expresa en la segunda de las formas; al comparar ambas formas se observa que 1 henry = 1 joule/ (ampere)2. Dado que el newton y el metro ya se han determinado por otras definiciones independientes, se puede observar que esta definición de q0 viene a fijar la unidad de corriente, que es lo único que no está definido en (13-1). Así, (13-2) es esencialmente la definición del ampere y, por lo tanto, del coulomb.
Si existen diferentes circuitos que puedan interactuar con C, la fuerza ejercida por cada uno de ellos estará dada por expresiones similares a (13-1), siendo la fuerza total sobre C, la suma vectorial de ellas;
Fr = F r = r	(13-3)
C total sobrec
C
Aunque es posible generalizar (13-1) y (13-3) para incluir corrientes distribuidas, con la ayuda de (13-10), resulta conveniente por ahora restringir el asunto a corrientes filamentales excusivamente.
El integrando de (13-1) es bastante más complicado desde el punto de vista direccional que en el caso de la ley de Coulomb expresada, por ejemplo, por (2-15), ya que el integrando depende de la orientación relativa de las tres cantidades ids,fds y R. Nótese también que las cantidades relativas a los dos circuitos aparecen en el integrando en forma no simétrica. Este hecho puede ser preocupante, y cabe la duda de que si se intercambian los papeles de C y C' la fuerza que C ejerce sobre C' podría no ser igual y opuesta a la que C ejerce sobre C, como sería de esperarse de acuerdo con la tercera ley de Newton aplicada a estos circuitos completos macroscópicos. Sin embargo, se puede ver que esta falta de simetría es sólo aparente, para lo cual basta expresar el mismo resultado de otra manera. Usando (1-30, (1-143) y (1-38) se encuentra que
IdsX(/'ds'XR) _ ¡¡'¿¿(ds R \ _ //zR(¿/s-¿/sz)
A2	\ S R2) R2
= — zz'í/s'Frfs-v(-L)l —
, , , í 1 \ H'R(ds-ds'}
= - II ds dc\ ~¡y	
C\R) R2
donde se ha escrito dc(f¡R} para indicar el cambio diferencial en (1/7?) que resulta de un desplazamiento a lo largo deC. Al sustituir (13-4) en(13-l), se encuentra que la fuerza total puede también expresarse como
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Fc,_
■'■í ".(>)-
<í<í
477 JcJc R2
(13-5)
donde, para el primer término, primero se integra sobre C y después sobre C’. La integral sobre C tiene la forma de una integral sobre una trayectoria cerrada del diferencial de un escalar y, dado que los puntos inicial y final coinciden, se tiene
r , / 1 \	/ 1 \	/ 1 \	/ 1 \	/ 1 \	n
Tcdc[ R )	\ R	\ R /,	( R h	\ R h	°
por lo que el primer término de (13-5) desaparece, quedando
como otra expresión que dalamzsmzz fuerza total. De hecho, se puede considerar que (13-6) es otra versión de la ley de Ampare en el vacío. En esta forma los circuitos parecen tener mayor simetría, a excepción de R, que tiene un sentido definido. Si se utilizara (13-6) para calcular la fuerza que C ejerce sobre C’ se tendría
(13-7)
siendo R’ = r — r. Dado que R’ = | r’ — r|= r, se tiene que ÍV = ~ R; de (1-16) se desprende también que ¿/s • ds = ds • ds\ Así, al comparar (13-6) y (13-7) se observa que
Fc^c'—
(13-8)
como era de esperarse para las fuerzas totales.
Este cálculo demuestra que existe una gran ambigüedad en la expresión para la fuerza total sobre un circuito completo que, después de todo, es lo único que puede medirse en un laboratorio. De hecho, se podrían escribir infinitas “versiones ” de la ley de Ampere simplemente añadiendo al integrando de (13-1) cualquier función que se anule al integrar sobre un circuito completo. Sin embargo, la experimentación ha demostrado que no se gana nada con ello, que la fórmula dada en (13-1) resulta ser la más útil y que existen muchas razones para preferirla, según se verá más adelante.
Aquí se ha supuesto una situación estática, es decir, que los circuitos se encuentran en reposo en posiciones fijas. Esto significa que para que C pueda estar en equilibrio se requiere de una fuerza mecánica adicional, Fc m , de modo que la fuerza resultante sea igual a cero; en otras palabras, se debe tener
Fc-c + Fc.« = O	(13-9)
Lo mismo se aplica para C’.
Como ya se ha dicho antes, la ley de Ampere (13-1) es una generalización de los resultados de muchos casos especiales. Como siempre,para poder utilizar esta ley se hace necesario evaluarla para casos especiales y obtener resultados que puedan ser verificados de manera relativamente fácil en un laboratorio. Como ilustración de la utilidad de (13-1), se le aplicará a un caso particular muy sencillo e importante.