12 Elemento vectorial de una superficie - Arturo Lara (1)

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1- 12 Elemento vectorial de una superficie
Antes de estudiar .integrales similares a las anteriores pero que representan sumas sobre áreas dadas, resulta de gran utilidad estudiar en detalle la representación vectorial de una superficie. En la figura 1-23 se muestra un elemento infinitesimal de una superficie, da, que tiene una orientación particular con respecto a los ejes coordenados. También se puede observar que es posible asociar una dirección a esta área, es decir, el vector unitario ñ que es normal a la superficie. Por tanto, es posible asociar un vector da a este elemento de superficie y escribirlo como
da=dañ
(1-52)
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Figura 1-23. El vector normal de un elemento de superficie.
Figura 1-24. Definición de la dirección del vector normal.
de acuerdo con la forma general de (1-4). Sin embargo, queda alguna ambigüedad en esta definición, ya que se pudo haber elegido a ft en la dirección opuesta y sería también perpendicular al elemento de superficie da. Por ello se requiere completar (1-52) con alguna convención para definir el criterio a seguir; existen dos casos a considerar.
Primero, da puede ser parte de una superficie abierta, es decir, limitada por una curva cerrada, C; una página de este libro es un ejemplo de una superficie abierta. En este caso, el primer paso es escoger un sentido para la trayectoria de la curva que la limita; una vez hecho esto, dóblense los dedos de la mano derecha en el sentido asignado a esta trayectoria y, por convención, la dirección del pulgar será la dirección de ft. Esta regla de la mano derecha se ilustra en la figura 1-24; nótese que la dirección de ñ quedaría invertida si el sentido de la trayectoria C, fuera el opuesto.
Segundo, da podría ser parte de una superficie cerrada. En este caso no existe una curva limitante C, sino que la superficie divide un volumen en dos partes: la interior y la exterior. La superficie de una pelota es un buen ejemplo de este tipo de superficies. En estos casos, la dirección de ft se elige de manera tal que siempre apunta de adentro hacia afuera. La figura 1-25 muestra las direcciones de la normal exterior para varios puntos de una de estas superficies.
Cuando se combina (1-52) con una expresión paraft de la forma (1-8), se puede escribir da en forma de componentes:
da = daxx + dayy + dazz	(1 -53)
donde
dax — lxda day = lyda daz = lzda	(1-54)
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Vectores
siendo y las componentes de ft, es decir, sus cosenos directores. Después de usar integrales múltiples con frecuencia, resulta obvio que el término dxdy puede representar un elemento de superficie en el plano xy, y ello sugiere que debe haber alguna relación entre esta expresión y las componentes de da. Para poder encontrar esta relación considérese la figura 1-26, que ilustra un elemento de superficie rectangular, da, cuyos lados son b y c, de manera que da = be. El plano de la superficie es paralelo al eje y por lo que ñ es paralelo al plano xz y forma un ángulo y con el eje z; la figura 1-27 muestra una vista de perfil mirando hacia el origen a lo largo del eje y. En las figuras también se aprecian las proyecciones de la superficie sobre los planos xy y yz; estas proyecciones dan rectángulos cuyas áreas son dxdy y dydz respectivamente; resulta evidente también, mirando la figura, que dy = c. La proyección de da sobre el plano xz es la recta marcada como b en la figura 1-27. Los otros dos ángulos directores de ñ se pueden obtener si se comparan estas dos figuras con la figura 1-8, y así se ve que a = 90° — y y que ¡3 = 90°, de tal manera que los cosenos directores son Zx = sen y, ly = 0 y lz - eos y. Al sustituir estos valores en (1-54), y de acuerdo con la figura 1-27. se encuentra que daz = da eos y = (b eos 7) o - dxdy, que es justamente la proyección del área da sobre el plano xy, es decir, la proyección perpen-
Figura 126 Determinación de las componentes de un elemento de superficie vectorial.
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Figura 1-27. Vista de perfil de la situación de la figura 1-26.
dicular al eje coordenado correspondiente. De manera similar se encuentra que dax = dydz mientras que da = 0 para este caso particular.
Supóngase ahora que nz fuera negativo, de manera que 7>90°, mientras que todo lo demás quedara igual; este caso queda ilustrado en la figura 1-28. Al compararla con la figura 1-26, se observa que las proyecciones sobre los planos xy y yz seguirán siendo los
Figura 1-28. Un elemento de superficie con componente z negativa.
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Vectores
rectángulos de áreas dxdy y dydz respectivamente; sin embargo, ahora el coseno de y es negativo, por lo que daz = da eos y = dxdy. Por otra parte, dado que a = y -90°, el coseno a será positivo y dax ~ dydz, igual que antes, day sigue siendo cero.
Estas consideraciones pueden generalizarse para el caso en que n forme ángulos arbitrarios con todos los ejes. La magnitud de una componente dada de <7a en la dirección de un eje dado será igual a su proyección sobre el plano coordenado perpendicular al eje, y estará dada en coordenadas rectangulares, por el producto de las diferenciales correspondientes. Puesto que siempre se consideran estas diferenciales como positivas tal como se escriben, la componente correcta se obtiene multiplicando el producto por un signo ya sea positivo o negativo, dependiendo del signo de la componente correspondiente de ft. De esta manera se encuentra una representación de las componentes rectangulares de un elemento de superficie, y se puede escribir
dax — ± dydz daY = ± dzdx daz = ± dxdy	(1-55)
donde se usa el signo positivo para una componente si el ángulo director de ft con respecto al eje correspondiente es menor de 90° y el signo menos cuando el ángulo director es mayor de 90°.