15 Teorema de Stokes - Arturo Lara (1)

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1- 15 Teorema de Stokes;
Considérese una superficie, S, limitada por una curva, C. El teorema de Stokes dice que
^A-rfs = £(VXA)da	(1-67)
y relaciona así la integral de línea de un vector sobre una curva cerrada con la integral de superficie de su rotacional sobre la superficie encerrada. Dado quedes una superficie abierta, la dirección de <7 a en (1-67) queda determinada por el sentido que se haya elegido para la trayectoria C de acuerdo con (1-52) y la regla de la mano derecha que se ilustra en la figura 1-24; es esencial que esta convención de signos se utilice para todas las aplicaciones de (1-67).
Es interesante notar que (1-67) no requiere que 5 tenga una forma particular, siempre que esté delimitada por C; por eso hay tantas posibilidades para escoger la superficie. En general, los valores del integrando (V X A) • da serán diferentes para los puntos de todas estas superficies, pero (1-67) indica que la suma de todos estos términos siempre será la misma, dado que la integral de línea depende solamente de los valores de A a lo largo del perímetro común. Este punto se ilustra de una manera esquemática en la figura 1 -33. Supóngase, por simplicidad, que C es una curva cerrada que descansa sobre un plano, como por ejemplo, una circunferencia. S podría tomarse como la superficie plana encerrada por la circunferencia; vistas de perfil, Cy S aparecen como la recta que se indica. Las líneas punteadas representan otras posibles superficies, S', S" y así sucesivamente, todas las cuales tienen como frontera a C, y la integral de (V X A) • da sobre cualquiera de éstas es la misma en todos los casos.
Este teorema se demuestra por evaluación directa de la integral de superficie, utilizando las expresiones previas en coordenadas rectangulares. De (1-20) y (1-43) se obtiene que
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Vectores
Figura 1-33. Superficies con la misma curva limitante.
donde se han agrupado los términos por componentes de A. Considérese la primera integral y desígnesele con Ix. Se evalúa integrando primero sobre una franja de anchura dx, la cual es paralela al plano yz y se encuentra a una distancia x del mismo. Al integrar sobre *, se suman las contribuciones de todas las franjas similares en las que se puede dividir a S. Para empezar, debe suponerse que S es lo suficientemente simple para que se pueda elegir una orientación de los ejes de tal manera que y z aumenten según se va del principio al final de la franja. Esta situación queda ilustrada en la figura 1 -34,1a cual también indica las proyecciones de la franja sobre los planos xz y xy como una ayuda para entender mejor la orientación de la superficie. P i y P2 son los puntos inicial y final, respectivamente, de la integración; es decir, son los puntos de intersección de la franja con la curva limitante C, y sus coordenadas deben, por tanto, satisfacer la ecuación que describe a C. El elemento de superficie da se encuentra en un punto intermedio de la integración; se puede observar que los ángulos directores de da tienen valores tales que a y y son menores de 90°, mientras que j3 > 90° . (Si se sostiene un lápiz,perpendicular sobre un pedazo de cartón orientado en la misma dirección de la franja sombreada, este punto quedará suficientemente claro). Así, de acuerdo con (1-55), day = -dxdz y daz = dxdy, y se puede escribir
•'franjas •'/>, \	)
(1-69)
En el término que está entre paréntesis, dy y dz no son independientes, dado que y y z están relacionadas por la ecuación de 5 y el valor tomado para*. Ya que este integrando se evalúa para una franja en la que x = const., por lo que dx = 0, se le puede sumar (dAx/ dx)dx = 0 para proporcionarle una forma más fácil de reconocer:
dAxl	dAx x
— dx + -t;— dy + -7T— dz = dA
d*	dy dz
Por esto, (1-69) queda
/,= -[ dxíF2dAx=-( [Ax(P2)-Ax(P,)]dx	(1-70)
•'franjas "'/’i	franjas
Si en la figura 1-34 se consideran los desplazamientos dSi y ds2 a lo largo de C en los puntos límite correspondientes, se observa que, en P^, dsi tiene una componente x positiva
Teorema de Stokes
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por lo que se puede escribir queJslx =dx, mientras que, en P2, ds2 tiene una componente ,v negativa, lo cual hace que ds2x = —dx. En consecuencia, el integrando de (1-70) puede escribirse como
~	ds2x) + Áx(Pi)(dslx) = Ax2ds2x + Axidslx (1-71)
que es justamente la contribución total a la integral de línea de Axdsx que proviene de los desplazamientos ds2 y <7s, recortados sobre la curva C por la franja.Así, cuando se lleva a cabo la integración final sobre a- en (1-70), es decir, la suma de las contribuciones de todas las franjas, la contribución de cada franja esdx¿7sx por la parte de curva que le corresponde; el resultado final será la integral de línea de Axdsx sobre toda la curva C. En otras palabras, se ha encontrado que
(1-72)
De manera similar, las dos íiltimas integrales de (1-68) tienen, respectivamente, los valores
y (j)Azdsz
Al sustituir estos valores, junto con (1 -62), se encuentra en (1 -68):
Figura 1-34. Superficie utilizada para demostrar el teorema de Stokes.
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Vectores
Figura 1-35. Una superficie limitada por dos curvas.
que es exactamente (1-67), con lo que queda demostrado el teorema.
El teorema puede aplicarse igualmente a una superficie limitada por más de una curva, por medio de un método similar al que se utilizó para el teorema de la divergencia. La figura 1-35 muestra un ejemplo de tal situación. Nótese que el sentido de recorrido de la curva interior se ha escogido de manera tal que la superficie de interés queda a la izquierda a medida que se recorre la trayectoria, y se puede observar que esto es equivalente a la regla de la mano derecha que se ilustra en la figura 1-24. S se divide en varias superficies, cada una encerrada por una sola curva, al introducir cuantos pares de líneas coincidentes se necesiten; dos de tales pares se muestran en la figura con línea punteada. Una vez hecho lo anterior, se aplica el teorema de Stokes a cada una de estas superficies, sumando después los resultados. Se cancelan las contribuciones a las integrales de línea por parte de cada par de rectas coincidentes que se hayan introducido, ya que se recorren en sentido contrario para cada una de las superficies, quedando como resultado final (1-67). Un procedimiento similar podría también resolver cualquier duda que se tuviera en cuanto a la suposición de que la superficie de la figura 1-34 fuera “lo suficientemente plana” para poder orientar los ejes de manera tal que y y z aumentaran a medida que se integraba la franja. Si la superficie es muy intrincada, puede dividirse en pequeñas porciones lo suficientemente planas para elegir, si fuera necesario, una orientación de los ejes diferentes para cada porción, de manera que quedara satisfecho el requerimiento de la figura 1-34; un ejemplo de tal tipo de división se da en la figura 1-36. Cuando se aplica el teorema a cada porción y se suman los resultados, las contribuciones de las rectas divisorias se cancelan mutuamente, por lo que se vuelven a obtener (1-67).
Figura 1-36. División de una superficie para la demostración general del teorema de Stokes.
Coordenadas cilindricas
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Considérese un punto, P, en el centro de una pequeña superficie A¿zft. Cuando se aplica (1-67) a este caso,(V X A)* ft será casi constante sobre esta superficie, de manera que, tal como se hizo en la sección previa, se puede escribir
<(V XA)-ñ>P=
donde el miembro izquierdo, en la cercanía de P es el valor promedio de la componente de V X A en la dirección de ft, de acuerdo con (1-21). Si ahora se supone que A a -* 0, el valor promedio cerca de P se convierte en el valor en P, o sea,
(VXA)-ñ= lim -^—(f)A-ds	(1-73)
Aa—>0 Aa Jc
lo cual da la componente de V X A en una dirección dada, en función de la integral de línea de A en torno a una pequeña superficie normal a esta dirección. De esta manera se puede decir que (1-73) es una definición general de la componente del rotacional en una dirección dada. Si se obtiene esto para tres direcciones mutuamente perpendiculares, (tales como x, y, 2), se obtendrán las componentes de V X A en cadauna de estas direcciones y, por lo tanto, se obtiene el vector V X A. Cuando se realiza este procedimiento para las coordenadas rectangulares, el resultado es, desde luego, (1-43).