14 Teorema de la divergencia - Arturo Lara

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1- 14 Teorema de la divergencia
Considérese un volumen, V, encerrado por una superficie, S. El teorema de la divergencia de Gauss dice que
[)A-da=
(1-59)
Las integrales se evalúan sobre toda la superficie S y para todo el volumen V, cuyo elemento de volumen es dz . Por simple conveniencia se ha vuelto a escribir la integral de volumen con un solo signo de integración, aunque en realidad se trata de una integral triple. Dado que S es una superficie cerrada, la normal unitaria ñ que se usa para da es la normal exterior, según la convención de la sección 1-12 y como se muestra en la figura 1-25.
Este teorema relaciona la integral de superficie de un vector con la integral de volumen de su divergencia. La integral de superficie depende solamente de los valores de A en la superficie, mientras que la integral de volumen requiere del conocimiento de V • A (pero no de A mismo) en todo el volumen.
La demostración de este teorema se da por evaluación directa. En coordenadas rectangulares el elemento de volumen es
dz — dxdydz	(1-60)
y, de acuerdo con (1-42), se puede escribir la integral de volumen como una suma:
r	r dA	r dA
V-Adr^ J -^-dxdydzA- j -^-dxdydz + j -^-dxdydz (1-61)
Considérese la primera integral. El primer paso será evaluar la integral sobrex, manteniendo constantes a y y a z con valores yo y z(>, respectivamente. De esta manera, se suman las contribuciones de una varilla cuya sección es dydz. La figura 1-31 muestra esta varilla, indicando también su proyección sobre el plano yz. La varilla intersecta la superficie 5 en los pumos Px y P2, definiendo así los elementos de superficie da! y da2 de S, cuyas direcciones son las que se muestran. (Para mayor claridad, el resto de V y de S no se muestran en la
Teorema de la divergencia
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Figura 1-31. Volumen utilizado para demostrar el teorema de la divergencia.
figura.) Las coordenadas de los puntos Px y P2 son (xj, x0, z0) y (x2, Jo, zQ) respectivamente, donde xt y x2 son los valores que satisfacen la ecuación de la superficie S; así, Xj y x2 son los límites de integración parax. Así, en este paso, dXx/3x es función solamente dex, dado que y y z se mantienen constantes, de manera que (dAx/dx)dx = dAx.
Por lo tanto, la primera integral de (1-61) es
í*x2 O A	/* /*
J ~ñxdx=J J [A^x2’yo’zo)~Ax(xuyQ’zo)]^^ 0-62)
En el integrando de este resultado, el término que está entre corchetes es la diferencia entre los valores de Ax calculados en los puntos Pr y P2, por lo que lo podemos escribir como AX(P2) ~ A(A )• De acuerdo con (1-55) y la figura 1-31, se ve que da2x = dydz mientras que dalx = - dydz, debido a que los ángulos entre estas superficies y el eje x son menor y mayor de 90°, respectivamente. El integrando de (1-62) puede escribirse como
Ax(P2)da2x - AX(PX)( - daXx) = Ax2da2xA AxXdaXx	(1-63)
que es igual a la contribución total de la integral de superficie de Axdax proveniente de los elementos de superficie da2 y dax formados por la intersección de la varilla con la superficie S. Así, cuando se evalúa la integral sobre .y y sobre z en (1-62), se están sumando las contribuciones de todas las varillas de este tipo; la contribución de cada varilla será^4xJ¿zx por la parte que le corresponde del área total, de manera que el resultado final será la integral de superficie &QAxdax sobre toda la superficie S. En otras palabras, se ha encontrado que:
f ^Ay	-£
j ~^fodx(fydz = <j)Axdax	(1-64)
De manera similar, las dos últimas integrales (1-61) resultan ser
respectivamente, de tal manera que si se suman éstas a (1-64), se sustituye en (1-61) y se usa (1-20), se obtiene
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Vectores
y V • Adr = $(AX dax 4- Ay day 4- Az daz) = (j)A-da
que es exactamente (1-59), con lo que queda demostrado el teorema.
La demostración se hizo para un volumen limitado por una sola superficie, pero se podría fácilmente extender esta demostración a una región limitada por varias superficies, por ejemplo, una esfera hueca. La figura 1-32 muestra un volumen, V, limitado por dos superficies, Si y S2; se muestran también dos normales exteriores características referidas al volumen y marcadas como ñ y ft'. Supóngase ahora que un plano intersecta el volumen dividiéndolo en dos volúmenes, V2 y ; las líneas punteadas AB y CD muestran la traza de este plano. Ahora el volumen V2 queda encerrado por una sola superficie formada por las porciones de S2 y de ó) a la izquierda del plano, más las superficies planas de intersección indicadas por AB y CD; la normal exterior de esta nueva porción de la superficie limitante se ha marcado como ft2. Para V\ se aplican consideraciones similares; la normal correspondiente a este volumen es ñj. Al aplicar (1-59) a cada uno de estos volúmenes y después sumar los resultados, queda
I V-Adr= I A-da + I A-da+ A-ñ2da + I A-ñ¡da 4j/,-i-r2	J s2 jabcd	jabcd
En las últimas dos integrales las normales son opuestas, por lo que para cada punto deABCD, ñ2 - —ñj, mientras que los valores de A y da son los mismos; así, estas integrales se cancelan mutuamente, quedando
f V • Adr= f A-da
7 ^+^2	Jsx + s2
que es lo mismo que (1-59) porque el volumen total es V\ 4- V2 y la superficie limitante es 04 4- S2.
Es obvio que esta demostración puede generalizarse a un número cualquiera de superficies introduciendo limitantes, cuantos planos de intersección iguales a ABCD como sean necesarios.
Al aplicar el teorema de la divergencia a una situación específica sencilla, se obtiene un resultado muy útil e ilustrativo. Considérese un punto, P, en el centro de un pequeño volumen, AK Si AL es suficientemente pequeño, V • A será casi constante para todo el volumen, de manera que es fácil observar que la integral de volumen de (1-59) puede escribirse
figura 1 32. Un volumen limitado por dos superficies.
Teorema de Stokes
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í V • Adr = (y • A>PAK •W
donde <V * A>P es el valor promedio de V ’A en la vecindad de P. Sustituyendo en (1-59) y dividiendo entre AK, se obtiene
<V-A>P=^^A-da	(1-65)
Si ahora se hace que A 7 -> 0, mientra que P se mantiene en el centro, el valor promedio de V en la vecindad de P llega a ser el valor de V • A en P\ si esto se escribe simplemente como V’A, se tiene
V*A = lím -XÓA^a	(1-66)
a r->o A V Js
Esta expresión para V ‘A tiene una forma que es independiente de cualquier sistema coordenado particular, en contraste con (1-42), y por ello puede tomarse como la definición general de la divergencia de un vector en el mismo sentido que (1-38) es la definición general del gradiente. El resultado (1-66) también permite comprender mejor el significado de la divergencia, ya que se le puede interpretar como una medida del flujo (hacia afuera) del vector a través de una superficie pequeña que contiene al punto en cuestión.
Es posible partir de la definición (1-66) y, al evaluar el flujo de A a través de la superficie que encierra un volumen Ax Ay Az, encontrar la expresión en coordenadas rectangulares para VA; el resultado es, desde luego, (1-42)