Campos en regiones - Arturo Lara

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Campos en regiones
confinadas
En los dos capítulos anteriores se estudiaron soluciones dependientes del tiempo para las ecuaciones de Maxwell, en la forma de ondas planas de extensión infinita, por lo que necesariamente existen en regiones sin límites. En casos un poco más realistas, es de esperarse que existan fronteras (paredes) de algún tipo alrededor de una región en laque se desea estudiar los campos. Resulta bastante claro que para tales situaciones las soluciones no podrán, por lo general, ser ondas planas con valores específicos de los campos sobre un plano infinito, pues deberán satisfacer condiciones de frontera en los límites de la región, además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell.
Tan pronto se empiezan a considerar regiones confinadas o limitadas, resulta evidente que existe una infinidad de posibilidades, tanto en lo que toca a la configuración de la región como en cuanto a los materiales de que están constituidas las fronteras de la misma. Por lo tanto, resulta lógico restringir este estudio a unos cuantos casos típicos. Se hace la suposición de que todas las superficies limitantes son superfices de conductores perfectos, con el fin de simplificar considerablemente las condiciones de frontera. (Esta suposición es análoga a la que se utiliza en mecánica para estudiar cuerdas y membranas vibrantes, donde se supone que las regiones limitantes son perfectamente rígidas.) Los primeros problemas que se estudian son los relativos a la posible transferencia de energía electromagnética a lo largo de una guia de ondas, es decir, un tubo de extremos abiertos. (De la experiencia diaria ya se sabe que esto es posible por el simple hecho de que se puede ver a través de tubos largos y rectos.) También se considera una cavidad resonante, es decir, una caja de una configuración dada cuyas paredes son perfectamente conductoras.
26-1 Condiciones de frontera en la superficie de un conductor perfecto
Con el término conductor perfecto se designa aquí al que posee o-> o más específicamente, cualquiera que cumpla la relación Q = eco / o -> 0. En el párrafo que siguió a (24-78) ya se viu que Q « 1 para los metales comunes aún a muy altas frecuencias, de modo que Q = 0 sería una muy buena primera aproximación para las fronteras metálicas. Puesto que aquí sólo se considerarán campos que varían con el tiempo en forma armónica, es decir, que son proporcionales ae'ia> de la forma de la superposición general dada en (24-18) se desprende que es posible estudiar los campos en el conductor si se estudia el comportamiento de sus ondas planas componentes. En la sección 26-6 se cubrió el caso en que el
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campo incide normalmente sobre el conductor. Al final de esa sección se puntualizó que en el límite de conductividad infinita la onda en el conductor viaja en dirección normal a la superficie, sin importar el ángulo de incidencia. Si se combinan estos resultados con (24-61), (24-54) y (24-84) se puede ver que una de las componentes de la superposición del campo eléctrico en el conductor tendrá la forma general
ET = E0Te-f/M“?-“z + {>)	(26-1)
donde f es la distancia recorrida en el conductor y 6 es la profundidad pelicular o profundidad de penetración. El índice r indica que Et es paralelo a la superficie del conductor, puesto que es transversal a la dirección de propagación ft en la figura 25-3. Así, en la superficie, Et es una componente tangencial. En (24-78) se encontró que 5 = (2//ia<u)^2 para un buen conductor, de modo que 3	0 a medida que o -+ °°. Por lo tanto, de (26-1)
se desprende que Er 0 a medida que o -> 00 para cualquier valor de £ ¥= 0, es decir que el campo eléctrico es igual a cero en cualquier punto en un conductor perfecto. Dado que las componentes tangenciales de E son siempre continuas, según (21-26), se ve que Etong =0 justamente fuera de la superficie. En otras palabras, E no tiene componentes tangenciales en la superficie de un conductor perfecto, por lo que E debe ser normal a dicha superficie.
El valor de B dentro del conductor está dado por (24-92) como B = (k¡u>) k XEt , de modo que también B será transversal y ~ e , puesto que aquí k — ft. En consecuencia, la componente transversal de B en el interior también se anulará a medida que a -> 00 . Como B no tiene una componente normal, la continuidad de las componentes normales según está dada en (32-37) indica que Bnorm ~ 0 justo fuera del conductor. Así, en la superficie y en el exterior de un conductor perfecto B no posee componentes normales, es decir, que debe ser tangencial a la superficie. De manera similar, todas las componentes de D y de H en el interior del conductor deberán ser ~ e T/5 y desaparecerán a medida que o -> 00 .
Dado que estas conclusiones son válidas para cada una de las componentes de las superposición de (24-18), se puede ver que todos los vectores de campo serán iguales a cero en el interior del conductor perfecto. Esto permite simplificar las condiciones de frontera dadas en (21-25) a (21-28). Si se supone que el conductor es el medio 1 y que la región adyacente a éste es el medio 2, Dx, Ex, Bx y Hx son todos iguales a cero y, si se omite el índice 2, las condiciones de frontera se pueden expresar como
ñ-D = cy ñXE = 0 ñB = 0 ñXH = Ky	(26-2)
donde ñ es el vector normal unitario que apunta hacia afuera de la superficie del conductor (dado que la convención adoptada requiere que la normal apunte del medio 1 al 2). Para repetirlo una vez más: en la superficie de un conductor perfecto E es normal a dicha superficie y B es tangencial a ella. De otra manera, E no tiene componente tangencial y B no tiene componente normal. Es posible que exista una densidad superficial de corriente Kf finita aún cuando Et ~ 0, porque la conductividad es infinita. De hecho, son precisamente estas corrientes superficiales las que impiden que Htang sea igual a cero en la superficie, aun cuando sí sea nula en el interior. De manera similar, la densidad superficial de carga o f surge porque Dnorm puede ser diferente de cero en la superficie aunque en el interior del conductor sí sea igual a cero.
26-2 Características de propagación de las guías de ondas
La figura 26-1 muestra una guía de ondas que se extiende indefinidamente en la dirección z, siendo de sección arbitraria, constante y sobre el plano xy. Se hace la suposición
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de que las paredes limitantes son conductores perfectos y que el interior se encuentra lleno de un medio i.h.l. no conductor, descrito por y e. Si'P es cualquier componente de E o de B, de (24-7) y (24-12) se sabe que satisface la ecuación
<26-3)
v dt
donde v2 = 1 /Se y v sería la velocidad de una onda plana en el medio. Se trata de encontrar una solución de (26-3) en la forma de una onda que viaje en la dirección z, es decir, a lo largo del eje de la guía; se hace la suposición de que 'P posee la forma
$(x,y,z,t) = \[/Q(x,y)e‘(kgZ~wr>	(26-4)
Nótese que ésta no es una onda plana porque la amplitud 'Po no es constante, sino que varía en toda la sección. La cantidad kg es la constante de propagación de la guía y puede escribirse como
ks = ^-	(26-5)
g
donde X g es la longitud de onda de la guía, es decir, el período especial alo largo de la guía.
Si se sustituye (26-4) en (26-3) y se cancela el exponente común, se encuentra que la amplitud satisface la ecuación
d2^0	3'2^o ,	, 2 , n
VT + TT + kc^o = 0	(26-6)
dx	dy
donde
V = k02 -	kg2	(26-7)
ko=Z =	T-	(26-8)
r Ao
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De (24-17) y (24-27) se observa que si 'Po fuera una onda plana de frecuencua circular w, entonces kg y Xo serían la constante de propagación y la longitud de onda, respectivamente; es por ello que muy a menudo a X 0 se le suele llamar la longitud de onda del espacio libre cuando existe un vacío dentro de la guía. A veces resulta útil escribir k en la forma
(26-9)
de modo que (26-7) se exprese también como
J_ = J	1_
V V \2
(26-10)
No es suficiente resolver (26-6) porque la o las correspondientes componentes deben también satisfacer(26-2). Por lo general, no resulta posible satisfacer simultáneamente estas condiciones de frontera para cualquier valor de kc, sino para valores específicos de kc y sus correspondientes valores definidos de . Así, antes de considerar un problema específico se puede prever que se encontrarán solamente ciertos valores de kc permitidos, o de otra manera, los eigenvalores del sistema. ¿Cuál es el significado físico de estos valores permitidos que seguramente se han de encontrar?
Supóngase que se considera un modo definido de la guía, es decir, un valor particular de kc. Si se asume también una frecuencia dada co, kg estará entonces dada por (27-7) como k 2 = k02 -k2. Existen dos posibilidades de interés. Si kQ > kc, de modo que Xo > X„ según (26-10), entonces kg2 > 0 y k será real, existiendo propaga- ción a lo largo de la guía. Por otro lado, si kQ > kc, y por ello X 0 > entonces kg > 0 kg será imaginario puro, pudiéndose expresar como kg - i ]fcg ] . Al sustituir esto en (2^4) se encuentra que 'P tendrá la forma 4^ = 'Po e- ]kg ]z e -ia>r, qUe no es una onda sino una “perturbación” que oscila armónicamente y cuya amplitud decrece monótonamente a medida que viaja a lo largo de la guía en el sentido creciente de z. Por lo tanto, se ha encontrado que habrá propagación de ondas en una guía de ondas solamente si k0 > kc, o sea, Xo < Xc- Por esta razón, a Xc se le da el nombre de longitud de onda de corte para este modo particular.
Este resultado también se puede enunciar en función de vma frecuencia de corte, u>c, definida por
(26-11)
de modo que (26-7) puede expresarse también como
V=A(«>2-«?)	(26-12)
v2
Así, la propagación de ondas es posible sólo cuando co >coc, es decir, si la frecuencia aplicada es más alta que la frecuencia de corte. Por lo tanto, una guía de ondas también actúa como un filtro de paso alto, tal como ocurrió con el plasma tras (24-139). De hecho, al comparar (26-12) con (24-137) se puede observar que la relación de dispersión para una guía de ondas es de forma idéntica a la de un plasma, correspondiendo la frecuencia de corte para un modo específico a la frecuencia del plasma cop.