Cavidades resonantes - Arturo Lara (1)

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Cavidades resonantes
Supóngase que se toma una porción de longitud L de la guía de ondas de la figura
25- 1 y se tapan los extremos con conductores perfectos. Se obtendría así un volumen totalmente encerrado por paredes perfectamente conductoras. Ya no es posible suponer que habrá campos en forma de ondas viajeras porque se han introducido nuevas condiciones de frontera y, cuando menos, existirán reflexiones en las nuevas paredes, provocadas a su vez por la necesidad de satisfacer las nuevas condiciones de frontera. Si se recuerdan los resultados en los ejercicios 25-10 y 24-3, sería lógico esperar que los campos tengan la forma de ondas estacionarias que correspondan a valores característicos y específicos de las frecuencias de oscilación. Se pueden entonces considerar los campos resultantes como la superposición de estos modos normales. (Esto resulta ser muy parecido al caso mecánico de una cuerda que vibra. La introducción de soportes perfectamente rígidos en sus extremos y la necesidad de una longitud específica de la cuerda hace que los modos normales tomen la forma de ondas estacionarias, que resultan de la superposición de ondas viajeras incidentes y reflejadas. Un desplazamiento arbitrario de la cuerda se puede calcular como la superposición adecuada de estas ondas estacionarias.)
A los sistemas de este tipo se les conoce como cavidades resonantes o resonadores de cavidad. Es evidente que los puede haber de una gran variedad de formas y dimensiones, pero los principios generales que se deben utilizar para encontrar los campos son exactamente los mismos, aunque resulta mucho más fácil ilustrarlos por medio de un ejemplo específico.
Considérese una región cerrada por medio de paredes rectangulares perfectamente conductoras de lados a, b y c, con el origen en uno de sus vértices, tal como se muestra en la figura 26-6. La cavidad se encuentra llena de un material i.h.l. no conductor, descrito por H y e. Cada componente de campo satisface todavía la ecuación de onda (26-3), pero no puede tomarse aquí una solución de la forma (26-4). Sin embargo, por el tratamiento que condujo a (24-1), resulta evidente que se puede separar lavariaciónrespectoaltiempoen la forma e_íwí. Por lo tanto, en lugar de (26-4) se debe suponer que W puede expresarse como
i//(r, /) = xp0(r)e	(26-78)
que, al ser sustituida en (26-3) conduce a la ecuación que debe satisfacer:
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Campos en regiones confinadas
(26-79)
donde k^2 = (co/v)2 otra vez. (En realidad este resultado es válido para cualquier clase de sistema corrdenado que se utilice, y se le suele llamar la ecuación de onda sin el tiempo.)
Se puede resolver (26-79) en coordenadas rectangulares por el método de separación de variables. Si se escribe 'Po = X(x)Y(y)Z(z) y se procede de la misma manera en que se llegó de (26-6) a (26-33), se encuentra que
xpQ(r) = (C}sen kxx + C2cosk4x)(C3senk2y + C4cosk2y)
X ( C5 sen k3z + C6 cos k3z)	(26-80)
donde
Zcf + &2 + ^3=	(26-81)
y donde las C son constantes. Esto se puede comprobar por sustitución directa de (26-80) en (26-79). Si se combina esta forma con (26-78)
Ex = (Clsenkíx± C2cosá1x)(C3sen&2j> + C4cos/c2-y)
X ( C5 sen k3z 4- C6 cos k3z)e ,ut
(26-82)
Se tiene ahora que E será una componente tangencial y debe por lo tanto desaparecer en las caras y~0yby z=yc. Esto requiere que C4 = Cf, - 0 y que7
*2=-y	(26-83)
dondenyp son enteros. Por lo tanto, en este punto se tiene
Ex = (C/senA:¡.x + C2' cosklx)senk2y senk3ze~iwt	(26-84)
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donde Ci - Cx C3 C$ y C2 - C2 C3 C5. De manera similar, se encuentra que,
	=sen£1x(C3'sen£2j'+ C4'cosk2y)senk3ze iult
	(26-85)
	Ez = SQnkxxsenk2y(C5' senk3z + C6' eos k3z)e~,ul
	(26-86)
y que
	, mit k\ a
	(26-87)
Al sustituir (26-83) y (26-87) en (26-81) y utilizando (26-8), se encuentra que las posibles frecuencias de oscilación en esta cavidad están dadas por
	\ v /	a )	\ b)	\ c )
	(26-88)
Nótese que si cualesquiera de los enteros m, n ó p son iguales a cero, todas las componentes de E serán también iguales a cero, así como también todas las componentes de H.
El campo eléctrico debe todavía satisfacer las ecuaciones de Maxwell y, en particular, se debe tener que A * E = 0,. Cuando en ésta se sustituyen (26-84) a (26-86), se obtiene
— (£ 1C2' +	+ k3 C6') sen k ¡x sen k2 y sen k3z
+ [(kxCx'coskxxsenk2y senk3z) + (k2C3'senkxxcosk2ysenk3z)
	+ (k3C3^nkxx^rík2y CQsk3z)^ =0
	(26-89)
Un poco de análisis llevará a la conclusión de que no es posible que esta expresión sea siempre igual a cero para todos los valores de x, y y z (que pueden tomarse independientemente) a menos que Cx ' - C3 ' = C5 ' - 0 y que kx C2 ’ + A 2 C 4 ' + A 3 C6 7 = 0. Si se toma ahora C2 ' = Ex, C4 = E2 y C6 ' = E3, se encuentra que la última condición se puede expresar como
	kxEx + k2E2 + k3E3 = 0
	(26-90;
mientras que las expresiones para las componentes de campo quedan finalmente como
	Ex = Excoskxxsenk2y sen k3ze ~
	(26-91)
	Ey = E2senkxxcosk2ysenk3ze~¡íút
	(26-92)
	Ez = E3senkxx senk2ycosk3ze~lut
	(26-93)
de manera que Ex, E2 y E3 son los valores máximos de las componentes respectivas.
Si se define un vector k con las componentes kit k2 y k3 y un vector Eo con las componentesEx, E2, E3,se puede expresar (26-90) como
	k-Eo = O
	(26-94)
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Campos en regiones confinadas
que es muy parecida al resultado que se obtuvo para una onda plana en (26-91). Así, para un modo dado, E q debe ser perpendicular el vector k =(wtt/íz)x+ (n ir/b)y + (p tt/c)z.
El campo magnético se puede calcular de A X E = -p(dH/dt)= icopH. Por ejemplo, se obtiene
=	= (k2E3 — k3E2)senk1xcosk2ycosk3ze llút (26-95)
Dado que k2 E3 - k3 E2 es la componente de k X Eo, resulta deseable definir un vector Ho como
H0=2¿kXE0	(26-96)
pues, si se designan sus componentes rectangulares por Hlt H2 y H3, se puede expresar (26-95) como
Hx = — iHi sen^xcosA^x cos k3ze~,ut	(26-97)
Nótese otra vez la similitud entre (26-96) y el resultado para onda plana dado por la primera expresión de (24-93). Así, se puede asociar un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares k, Eo y Ho con cada modo de onda estacionaria en la cavidad.
De manera similar, se encuentra que las otras dos componenetes de H son
Hy = — iH2cos kyXsen^y cos k3ze~lui	(26-98)
Hz = — iH3coskxxcosk2y senk3ze~,ut	(26-99)
Se observa que Hx = 0 en x = 0 y x = a, es decir, en las paredes en las que es componente normal; igualmente, Hy y Hz desaparecen respectivamente en .y = 0 y b y z = 0 y c. Por lo tanto, las condiciones de frontera para H se han satisfecho automáticamente una vez satisfechas las condiciones de frontera para E. Además, es fácil comprobar que las dos ecuaciones de Maxwell restantes que no se han usado todavía quedan también satisfechas, es decir A ' H= 0 y que A X H =e (dE/dí). [Para ello se necesita usar k ' Ho = 0, (26- 96), (26-94) y (26-81), la última de las cuales se puede también escribir como k • k = kfl2 = co2/v2 = co2/ie.]
Cada componente de E varía como e 'ia3t, mientras que las componentes de H son proporcionales a -ie~iwt =	+ í1/2)^]. por lo tanto, los campos eléctrico y magné
tico no están en fase en estas ondas estacionarias, sino que H va 90° por delante de E.
Un k dado corresponde a un modo dado, es decir, a un conjunto dado de enteros m, n, y p, de acuerdo con (26-83) y (26-87). De (26-94) se concluye que el vector Eo debe escogerse perpendicular a k. Sin embargo, existen dos direcciones mutuamente perpendiculares e independientes en la que se puede tomar Eo de manera que sea perpendicular a k. Por lo tanto, para cada valor de k hay dos posibles direcciones independientes de polarización de Eq , de modo que debe haber dos modos para cada frecuencia permitida por (26-88). A esta propiedad se le conoce como degeneración y es una característica fundamental e importante de las ondas electromagnéticas estacionarias. Si a, b y c son todas diferentes, entonces las diversas frecuencias dadas por (26-88) serán por lo general diferentes. Sin embargo, si existen relaciones simples entre las dimensiones es posible que
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eleccionesdiferentes de los enteros den la misma frecuencia, de modo que también existirá degeneración, pero como resultado de algo diferente. Como ejemplo extremo, considérese un cubo para el que a = b = c, de modo que (26-88) se reduce a
\ v )	\ a / v	7
(26-100)
Así todas las combinaciones posibles de los enteros que den el mismo valor m2 + n2 + p2 tendrán la misma frecuencia, por lo que los modos serán degenerados.