EJERCICIOS DE CÍRCULO DE MOHR - Axel

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EJERCICIOS DE CÍRCULO DE MOHR 
1 El estado de esfuerzos en dos dimensiones mostrado en la figura 1 determine, a) los 
esfuerzos, direcciones principales y posibles planos de falla, b) es estado de esfuerzos a un 
ángulo 𝛾 = 40° en dirección contraria a las manecillas del reloj. 
𝜎 = [ 40 10√3
10√3 20
] 𝑀𝑃𝑎 
 
Figura 1 
a) Calculo del centro 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
=
40+20
2
= 30 𝑀𝑃𝑎 
centro (30, 0) 
Cálculo del radio 𝑅 = √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ (𝜏𝑥𝑦)
2
= √(
40−20
2
)
2
+ (10√3)
2
= √100 + 300 =
√400 = 20 𝑀𝑃𝑎 𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 
Cálculo de los esfuerzos principales 𝜎1 𝑦 𝜎2 
𝜎𝑝𝑟𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚±𝑅 
𝜎𝑝𝑟𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 = 30 𝑀𝑃𝑎 ± 20 𝑀𝑃𝑎 
𝜎1 = 30 𝑀𝑃𝑎 + 20 𝑀𝑃𝑎 = 50 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 = 30 𝑀𝑃𝑎 − 20 𝑀𝑃𝑎 = 10 𝑀𝑃𝑎 
𝜎1 > 𝜎2 
Cálculo del ángulo  
𝜃 =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 (
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
) = 𝜃 =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 (
2(10√3)
40 − 20
) = 30° 
2𝜃 = 60° 
2𝜃 + 2𝛽 = 90° 
2𝛽 = 90° − 2𝜃 = 90° − 60° = 30 
𝛽 = 15° 
 
El esfuerzo del cortante máximo es igual al radio 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 = 20 𝑀𝑃𝑎 
Y el ángulo  es: 
𝛽 = −15° 
 
 
Los esfuerzos principales y cortante máximo se representan en la siguiente figura. 
 
b) El ángulo 2 se representa gráficamente 
2∅ = 2𝛾 − 2𝜃 = 2(40°) − 2(30°) = 20° 
Los esfuerzos en los planos 𝑥 𝑦 �́� ́ determine: 
�́�𝑥 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(2∅) = 30𝑀𝑃𝑎 + 20𝑐𝑜𝑠(20°)𝑀𝑃𝑎 = 48.794 𝑀𝑃𝑎 
�́�𝑦 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(2∅) = 30𝑀𝑃𝑎 − 20𝑐𝑜𝑠(20°)𝑀𝑃𝑎 = 11.206 𝑀𝑃𝑎 
�́�𝑥𝑦 = −𝑅𝑠𝑒𝑛(2∅) = −20𝑠𝑒𝑛(20°)𝑀𝑃𝑎 = −6.84 𝑀𝑃𝑎 
 
2. El estado de esfuerzos en dos dimensiones mostrado en la matriz siguiente g2determine, 
a) los esfuerzos, direcciones principales y posibles planos de falla. 
𝜎 = [
40 −30
−30 −20
] 𝑀𝑃𝑎 
a) Calculo del centro 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
=
40−20
2
= 10 𝑀𝑃𝑎 
centro (10, 0) 
Cálculo del radio 𝑅 = √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ (𝜏𝑥𝑦)
2
= √(
40−(−20)
2
)
2
+ (−30)2 = √900 + 900 =
√1800 = 42.42 𝑀𝑃𝑎 𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 
Cálculo de los esfuerzos principales 𝜎1 𝑦 𝜎2 
𝜎𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 ± 𝑅 
𝜎𝑝𝑟𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 = 10 𝑀𝑃𝑎 ± 42.42 𝑀𝑃𝑎 
𝜎1 = 10 𝑀𝑃𝑎 + 42.42 𝑀𝑃𝑎 = 52.42 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 = 10 𝑀𝑃𝑎 − 42.42 𝑀𝑃𝑎 = −32.42 𝑀𝑃𝑎 
𝜎1 > 𝜎2 
Cálculo del ángulo  
𝜃 =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 (
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
) = 𝜃 =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 (
2(−30)
40 − (−20)
) =
1
2
𝑡𝑎𝑛−1 (
(−60)
60
) = −22.5° 
2𝜃 = −45° 
2𝜃 − 2𝛽 = 90° 
2𝛽 = 90° + 2𝜃 = 90° − 45° = −45° 
𝛽 = −22.5° 
El esfuerzo del cortante máximo es igual al radio 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 = 42.42 𝑀𝑃𝑎 
 
Los esfuerzos principales y cortante máximo se representan en la siguiente figura. 
Planos de posibles fallas 
 
 
3. Un recipiente de gas propano que se muestra en la siguiente figura, determine el 
esfuerzo máximo en el punto A. 
 
Figura 
Datos 
𝑟
𝑡⁄ = 16 > 10 
𝜎1 =
𝑃𝑟
𝑡
=
2 𝑀𝑃𝑎(100 𝑚𝑚)
6.25 𝑚𝑚
= 32 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 =
𝑃𝑟
2𝑡
=
2 𝑀𝑃𝑎(100 𝑚𝑚)
2(6.25 𝑚𝑚)
= 16 𝑀𝑃𝑎 
𝜎1 > 𝜎2 
𝜎𝑝𝑟𝑜 =
𝜎1 + 𝜎2
2
=
32 + 16
2
= 24 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 =
𝜎1 − 𝜎2
2
=
32 − 16
2
=
16
2
= 8 𝑀𝑃𝑎 
 
 
𝜎1 > 𝜎2 > 𝜎3 
32 𝑀𝑝𝑎 > 16 𝑀𝑃𝑎 > 0 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1 − 𝜎3
2
=
32 − 0
2
= 16 𝑀𝑃𝑎 
𝑅1 =
𝜎2 − 𝜎3
2
=
16 − 0
2
= 8 𝑀𝑃𝑎 
𝑅2 =
𝜎1 − 𝜎3
2
=
32 − 0
2
= 16 𝑀𝑃𝑎 
𝑅3 =
𝜎1 − 𝜎2
2
=
32 − 16
2
= 8 𝑀𝑃𝑎 
𝐶1 =
𝜎2 + 𝜎3
2
=
16 + 0
2
= 8 𝑀𝑃𝑎 
𝐶2 =
𝜎1 + 𝜎3
2
=
32 + 0
2
= 16 𝑀𝑃𝑎 
𝐶3 =
𝜎1 + 𝜎2
2
=
32 + 16
2
= 24 𝑀𝑃𝑎 
 
4. Resolver el siguiente estado de esfuerzos 3D que se muestra en la figura. 
 
𝜎1, 𝜎2 =
𝜎𝑎 + 𝜎𝑏
2
± √(
𝜎𝑎 − 𝜎𝑏
2
)
2
+ 𝜏𝑎𝑏
2 
Cara XY 
𝜎1, 𝜎2 =
10 − 20
2
± √(
10 − (−20)
2
)
2
+ 02 = 10, −20 𝐾𝑝𝑠𝑖 
Cara YZ 
𝜎1, 𝜎2 =
15 − 20
2
± √(
15 − (−20)
2
)
2
+ 02 = 15, − 20 𝐾𝑝𝑠𝑖 
Cara ZX 
𝜎1, 𝜎2 =
15 + 10
2
± √(
15 − 10
2
)
2
+ 52 = 18, 7 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝜎1 = 18 𝐾𝑝𝑠𝑖, 𝜎2 = 15 𝐾𝑝𝑠𝑖 , 𝜎3 = 10 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝜎1 > 𝜎2 > 𝜎3 
18 𝐾𝑝𝑠𝑖 > 15 𝐾𝑝𝑠𝑖 > 10 𝐾𝑝𝑠𝑖 
Esfuerzo cortante máximo. 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1 − 𝜎3
2
=
18 − (10)
2
= 4 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝑅1 =
𝜎2 − 𝜎3
2
=
15 − 10
2
= 2.5 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝑅2 =
𝜎1 − 𝜎3
2
=
32
18 − 10
2
= 4 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝑅3 =
𝜎1 − 𝜎2
2
=
18 − 15
2
= 1.5 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝐶1 =
𝜎2 + 𝜎3
2
=
15 + 10
2
= 12.5 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝐶2 =
𝜎1 + 𝜎3
2
=
18 + 10
2
= 14 𝐾𝑝𝑠𝑖 
𝐶3 =
𝜎1 + 𝜎2
2
=
18 + 15
2
= 16.5 𝐾𝑝𝑠𝑖