MPES_U1_contenido - Gabriel Solís

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Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
Licenciatura en matemáticas 
 
Procesos estocásticos 
 
 
Unidad 1. Introducción a los procesos 
estocásticos 
 
 
5° Semestre 
 
 
Clave: 
050930728 
 
 
 
 
 
Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 2 
INDICE 
Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos...............................................................3 
Presentación de la unidad ............................................................................................................... 3 
Propósitos de la unidad .................................................................................................................... 3 
Competencia específica ................................................................................................................... 3 
1.1 Descripción de un proceso estocástico .................................................................................3 
1.1.1 Definición de un proceso estocástico .............................................................................. 3 
1.1.2 Diversos Ejemplos ................................................................................................................... 4 
1.2 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo al parámetro temporal y 
el espacio de estados ....................................................................................................................... 11 
1.2.1 Procesos discretos a tiempo discreto ........................................................................... 12 
1.2.2 Procesos discretos a tiempo continuo .................................................................. 13 
1.2.3 Procesos continuos a tiempo discreto .................................................................. 13 
1.2.4 Procesos continuos a tiempo continuo................................................................. 14 
1.3 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo a las características 
probabilísticas de las variables aleatorias ............................................................................... 14 
1.3.1 Procesos con incrementos independientes ............................................................ 15 
1.3.2 Procesos de Markov ....................................................................................................... 16 
1.3.3 Procesos estacionarios u homogéneos en el tiempo ..................................... 17 
Cierre de la unidad ............................................................................................................................ 18 
Para saber más .................................................................................................................................... 18 
Referencias Bibliográficas .............................................................................................................. 18 
 
 
 
 
 
Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 3 
Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos 
 
Presentación de la unidad 
 
En esta unidad abordaremos la descripción de un proceso estocástico y la 
identificación de sus elementos a través de la información teórica básica y de la 
presentación de ejemplos. 
 
El conocimiento anterior nos permitirá analizar dos formas de clasificar a los 
procesos estocásticos: la primera de acuerdo a cómo son sus elementos y la segunda 
de acuerdo a algunas características probabilísticas de las variables aleatorias que lo 
componen. 
 
Propósitos de la unidad 
 
Al finalizar el estudio de esta unidad: 
 Identificarás el espacio de estados y el conjunto donde varía el parámetro 
temporal de un proceso estocástico 
 Utilizarás la clasificación en proceso discretos o continuos a tiempo discreto o 
continuo para reconocer situaciones en las que se pueden aplicar 
 Identificarás las propiedades que deben tener las variables aleatorias que forman 
un proceso estocástico para determinar si es de incrementos independientes, de 
Markov y estacionario. 
 
Competencia específica 
 
Clasificar procesos estocásticos mediante la identificación de sus principales 
características para determinar en qué situaciones puede ser usado cada uno de 
ellos. 
 
1.1 Descripción de un proceso estocástico 
 
 1.1.1. Definición de un proceso estocástico 
 
Un proceso estocástico es una colección infinita de variables aleatorias  t t TX  , todas 
ellas definidas sobre el mismo espacio de probabilidad (Ω, A, P), donde Ω es un 
espacio muestral, A es una -álgebra de subconjuntos de Ω, y P es una medida de 
probabilidad. 
 
 
 
Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos 
 
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Estas colecciones son modelos adecuados para estudiar un sistema que evoluciona 
aleatoriamente en el tiempo o en el espacio y en este contexto, el valor de la variable 
aleatoria 
tX se interpreta como el estado en que se encuentra el sistema al tiempo t. 
 
El conjunto de valores que toman las variables que integran un proceso estocástico 
se conoce como espacio de estados y lo representaremos por S. Este conjunto puede 
ser finito o numerable (cuando las variables aleatorias son discretas) o infinito no-
numerable (cuando son continuas). 
 
El parámetro temporal t de las variables aleatorias, está en un conjunto T que 
también puede ser numerable o infinito no numerable. Si es numerable, el proceso 
es una sucesión de variables aleatorias que denotaremos por  nX , útil para modelar 
una situación que se observa cada cierto periodo de tiempo. Si se trata de un 
conjunto infinito no-numerable, como un intervalo [a, b] o todos los reales positivos, 
el proceso se denotará por   X t y servirá para modelar situaciones que pueden 
observase en cualquier instante de tiempo de ese conjunto. 
 
La evolución del sistema se describe a través de una ley de probabilidad que brinda 
información acerca de la probabilidad de que dicho sistema se encuentre en un 
estado o en un conjunto de estados al tiempo tk, cuando se conocen los estados en 
los que se ha encontrado en una colección de tiempos anteriores t0, t1,…tk-1, con 
0 1 1... k kt t t t    . A esta probabilidad la llamamos, probabilidad de transición. 
 
Estas ideas quedarán más claras después de revisar los siguientes ejemplos. 
 
 
1.1.2. Diversos Ejemplos 
 
Ejemplo 1: Un problema de probabilidad. 
 
Un juego entre dos jugadores consiste en que cada uno elige uno de los resultados 
que se puede obtener al lanzar dos monedas. Se lanza una moneda sucesivamente 
hasta que aparezca la pareja seleccionada por alguno de los jugadores. Gana el 
jugador cuya pareja ocurra primero. 
 
Por ejemplo, supóngase que el jugador 1 selecciona la pareja AA y el jugador 2 
selecciona SA, donde estamos identificando A con el resultado sol y S con cruz. Si los 
lanzamientos sucesivos de la moneda dan como resultado ASSSA, en el quinto 
lanzamiento gana el jugador 2 y el juego termina. 
 
 
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Se desea responder las siguientes preguntas: ¿Qué probabilidad de ganar tiene cada 
jugador? ¿La probabilidad de ganar depende de la pareja que haya elegido cada 
jugador o da lo mismo porque las 4 parejas {AA, AS, SS, SA} son igualmente 
probables? 
 
Antes de considerar la elección de los jugadores, veamos la evolución quepuede 
tener la pareja final en lanzamientos sucesivos de una moneda. Tras el lanzamiento 
de las primeras dos monedas, se obtendrá una de las cuatro parejas posibles y ésta 
será identificada con el primer estado del sistema. Al hacer un nuevo lanzamiento, se 
tendrá una terna de resultados. La pareja final de esa terna será identificada con el 
segundo estado del sistema y así sucesivamente. 
 
Si la primera pareja es por ejemplo AS, al hacer otro lanzamiento se puede llegar a la 
terna ASA, o bien, a la terna ASS donde las parejas finales son SA y SS. De manera que 
se puede pasar de AS a SA, o bien, de AS a SS, ambas transiciones con probabilidad 
1/2. 
 
Se observa el estado del sistema después de cada lanzamiento, por lo que el 
parámetro temporal está en el conjunto T = {1, 2, 3,…}. El estado en que se encuentra el 
sistema en cada uno de esos tiempos de observación, es una de las parejas S = {AA, 
AS, SS, SA}. De esta manera, el proceso estocástico que modela el sistema anterior es 
una sucesión de variables aleatorias  nX , donde cada nX representa la pareja final 
tras el n-ésimo lanzamiento. 
 
La siguiente gráfica dirigida (o digráfica) representa la dinámica de este proceso. 
 
 
 
Cada flecha indica una de las transiciones posibles y el número a su lado es la 
probabilidad de que ocurra esa transición. Obsérvese que las probabilidades de pasar 
 
 
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a otro estado son iguales cada vez que el sistema se encuentra en una de las parejas 
AA, AS, SS o SA, sin importar lo que haya ocurrido antes de llegar a esa pareja. No es 
relevante entonces si la historia de resultados obtenidos en lanzamientos sucesivos 
es AAAAAAAAS, o bien, SASSAS, ya que, en ambos casos, al hacer un lanzamiento 
adicional, se puede pasar a la pareja final SA o a SS, y ambas transiciones ocurren con 
probabilidad ½. Por tanto, podemos escribir las probabilidades de transición de la 
siguiente manera: 
 
   
   
1 1
1 1
1
2
0
k k k k
k k k k
P X SA X AS P X SS X AS
P X AS X AS P X SA X AA
 
 
     
     
 
 
Toda la información relativa a las probabilidades de transición en un paso se puede 
representar en una matriz como la siguiente: 
 
AA AS SS SA 
1/ 2 1/ 2 0 0
0 0 1/ 2 1/ 2
0 0 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 0 0
AA
AS
P
SS
SA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El término i-j de esta matriz representa la probabilidad de pasar del estado i al estado 
j. 
 
Ahora consideremos la elección de cada jugador. Supongamos que el jugador 1 elige 
AA y el jugador 2 elige SA. Como el juego termina en cuanto sale la pareja elegida por 
alguno de los jugadores, y el modelo consiste en una colección infinita de variables 
aleatorias, supondremos que si 
nX cae en cualquiera de los estados AA o SA, todas 
las variables que le siguen toman el mismo valor, es decir, al llegar a estos estados, el 
sistema ya no sale de ahí. En casos como éste se dice que los estados AA y SA son 
absorbentes. 
 
 
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En este caso se rompe la conexión entre todos los estados y queda aislado un vértice. 
Si la pareja inicial es AA, gana el jugador 1. Pero si el estado inicial es cualquiera de las 
otras 3 parejas, es seguro que en algún momento ganará el jugador 2 pues las 
probabilidades de transición hacia SA son positivas. Por lo tanto, en este caso el 
jugador 1 tiene probabilidad ¼ de ganar mientras que 2 tiene probabilidad ¾ de 
ganar, así que sus probabilidades de ganar no son iguales. 
 
Veamos qué sucede si la elección de los jugadores cambia. Considérese ahora que el 
jugador 1 elige AS y el jugador 2 elige SA. En este caso la gráfica queda así: 
 
 
Se observa que si la pareja inicial es AA o AS, gana el jugador 1; y si es SS o SA, gana el 
jugador 2. Por ello, en este caso, la probabilidad de ganar de cada jugador es ½. 
Entonces, las probabilidades de ganar sí dependen de la pareja que elija cada 
jugador y no siempre son iguales para ambos jugadores, aun cuando son 
equiprobables las cuatro parejas que se pueden obtener en cada paso. 
 
 nX es un ejemplo de un proceso a tiempo discreto con espacio de estados discreto. 
Abordar este problema de probabilidad a través de un proceso estocástico hace 
mucho más sencillo el análisis que nos propusimos. 
 
En el proceso construido aquí, para determinar la probabilidad de transitar a un 
 
 
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estado en el futuro solo importa el estado en que se encuentra el sistema en el 
momento de observación y no lo que haya ocurrido antes, es decir, la historia previa 
no influye en la probabilidad de transición. Este tipo de procesos se conocen como 
Cadenas de Markov y serán estudiados en la Unidad 2. 
 
Ejemplo 2: El Proceso Poisson. Empecemos considerando una sucesión  nT de 
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que indican el 
tiempo que transcurre entre la ocurrencia de eventos sucesivos. Por ejemplo, puede 
tratarse del tiempo entre la llegada de dos clientes a una fila de un banco, o el 
tiempo entre la llegada de dos señales de un satélite, o bien el tiempo entre la 
ocurrencia de dos accidentes en un crucero vial. También pueden representar el 
espacio entre dos eventos, por ejemplo, la longitud entre la presencia de dos 
defectos en un rollo de tela. 
 
Para fijar ideas, supongamos que los primeros 5 valores asumidos por estas variables 
son: 0.25, 1.36, 0.45, 0.6, 1.2. 
 
Entonces, el primer evento ocurre en el tiempo 0.25, el segundo en el tiempo 0.25 + 
1.36 = 1.61, el tercero al tiempo 1.61 + 0.45 = 2.06, y así sucesivamente. 
 
El instante en que se presenta la n-ésima ocurrencia está dado por: 
1
n
n j
j
W T


 
 
Ahora estamos en condiciones de definir el proceso que nos interesa. Sea  N t el 
número de eventos ocurridos desde el inicio de la observación hasta el tiempo t. En 
el ejemplo que estamos analizando   0N t  para toda t ∈ [0, 0.25),   1N t  para toda 
t ∈ [0.25, 1.61) y así sucesivamente. 
 
La variable aleatoria  N t se puede analizar para cada instante de tiempo t y es 
una función escalonada con saltos de tamaño 1 en el momento en que ocurre el 
evento que estamos observando. 
 
 
 
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Podemos definir las variables N(t) de la siguiente manera: 
       0,
1
0 0 ,jt
j
N y N t I W


  
donde 
   
 
 0,
1 0,
0 0,
j
jt
j
si W t
I W
si W t
 
 
 
 
Es decir, se suma una unidad por cada jW que se encuentre en el intervalo de 
observación [0, t]. También se puede definir de la siguiente manera: 
 
     0 0 max nN y N t n W t    
 
El proceso   N t es una colección infinita no-numerable de variables aleatorias que 
toman valores en el espacio de estados {0, 1, 2, 3,…}. 
 
El proceso   N t se conoce como proceso Poisson porque se puede demostrar que 
las variables  N t tienen distribución Poisson con parámetro λt. Es decir, el número 
medio de eventos ocurridos en el intervalo [0, t] es, a la larga, λt y el número medio de 
eventos ocurridos en [0,1] es λ. Este tipo de procesos serán estudiados en la Unidad 3. 
 
Ejemplo 3: El movimiento Browniano. En 1827, el botánico Robert Brownobservó 
que un grano de polen microscópico suspendido en agua se mueve constantemente 
en una trayectoria aleatoria zigzagueante. Siguiendo los reportes de su 
descubrimiento, otros científicos verificaron que se presentaba el mismo tipo de 
 
 
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movimiento cada vez que a una partícula muy pequeña se le dejaba libremente 
suspendida en algún medio fluido. 
 
 
 
En 1905, Einstein afirmó que este movimiento se originaba en los continuos choques 
del grano de polen con las moléculas del agua que lo rodeaba, con impactos 
moleculares sucesivos que venían de diferentes direcciones y que contribuían a 
diferentes impulsos sobre la partícula. 
 
Fue hasta 1923, un siglo después del descubrimiento de Brown, que se logró 
construir un buen modelo matemático de este movimiento, cuando Norbert Wiener 
presentó la fundamentación matemática moderna del proceso estocástico que 
ahora llamamos movimiento Browniano o proceso de Wiener. 
 
Ahora se sabe que varios años antes de Einstein, en 1900 en Paris, Louis Bachelier 
propuso lo que ahora podríamos llamar un modelo de movimiento Browniano para 
el movimiento de precios en el mercado de bonos franceses. 
 
Visto en una dimensión, digamos proyectando sobre el eje X, se observa que la 
partícula se mueve avanzando y retrocediendo en forma azarosa. Sea W(t) la variable 
aleatoria que indica la posición de la partícula en el eje X al tiempo t. Como t varía 
sobre todos los reales positivos, tenemos una colección infinita no numerable de 
variables aleatorias   
0t
W t

. El espacio de estados es porque la partícula puede 
moverse sin restricciones hacia atrás y hacia adelante. Si el estado inicial es W(0) = x, 
se puede demostrar que 
 
  2 /21
2
b
y
a
W t x
P a b e dy
t 

 
   
 

 
 
Es decir, W(t) se distribuye como normal con parámetros μ = x y σ² = t. 
 
El fenómeno es como una bocanada de humo en el aire, que al expandirse varía su 
concentración de manera suave (como la suavidad de una distribución normal), y 
está formada por un conjunto muy grande de partículas que tienen trayectorias 
 
 
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zigzagueantes y crispadas. Esto ejemplifica dos aspectos del mismo fenómeno 
llamado difusión: trayectorias erráticas a nivel microscópico que dan lugar a un 
comportamiento suave de la densidad del conjunto total de partículas. 
 
1.2 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo al 
parámetro temporal y el espacio de estados 
 
Como hemos visto en los ejemplos anteriores, los elementos distintivos de un 
proceso estocástico son: el espacio de estados S y el parámetro temporal que se 
mueve en el conjunto T. El espacio de estados está formado por los valores que 
pueden tomar las variables aleatorias y T indica los posibles momentos de 
observación del sistema. 
 
Los procesos estocásticos se pueden clasificar de acuerdo a cómo son los conjuntos 
S y T, como veremos un poco más adelante. 
 
Antes de ello conviene recordar que las variables aleatorias son funciones de un 
espacio muestral  al conjunto de números reales, así que en realidad en las 
variables aleatorias que forman un proceso estocástico están involucrados dos 
parámetros: el tiempo de observación y el elemento del espacio muestral. Para 
aclarar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo 4. Se hacen lanzamientos sucesivos de una moneda regular. Considérese 
un proceso estocástico  nX en el que cada Xn representa el número de caras 
obtenidas en los primeros n lanzamientos. Entonces, X1 toma valores en {0, 1}, X2 
toma valores en {0, 1, 2}, X3 toma valores en {0,1, 2, 3}, y en general, Xn toma valores en 
{0,1,2,…,n}. 
 
Si fijamos el tiempo de observación n, tenemos una de las variables aleatorias que 
forman el proceso y podemos calcular la probabilidad de que tome uno de los 
valores posibles. Si en lugar de fijar un momento, observamos los valores que van 
tomando las distintas variables para una sucesión de lanzamientos, obtenemos una 
trayectoria muestral. Por ejemplo, sea 
 
 = AAASSASSSASASS… 
 
donde A representa cara y S representa cruz. Los valores que toman las primeras 
variables aleatorias del proceso para este elemento de , son: 
 
X1 = 1 X2 = 2 X3 = 3 X4 = 3 
 
 
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X5 = 3 X6 = 4 X7 = 4 X8 = 4 
 
Esta trayectoria muestral puede representarse mediante una poligonal en el plano, 
de la siguiente forma: 
 
 
 
1.2.1. Procesos discretos a tiempo discreto 
 
Se dice que un proceso es discreto a tiempo discreto cuando el espacio de estados S 
es numerables y el espacio del parámetro temporal T es numerable, es decir, se trata 
de una sucesión de variables aleatorias  n nX  que toman valores en un conjunto S 
de la forma S = {0, 1, 2, 3,…}. 
 
El que T sea numerable obliga a que la evolución del sistema se observe en tiempos 
definidos de antemano, que pueden describirse mediante un periodo uniforme de 
tiempo (cada hora, cada día, cada semana, cada mes) o pueden estar en función de 
la realización de una acción (después de cada partida de un juego, después de cada 
lanzamiento de una moneda). 
 
El hecho de que S sea numerable obliga a que la característica que se observe en el 
sistema sea algo que se pueda contar, por ejemplo, el número de personas que 
llegan a un servicio de urgencias médicas durante una noche, o la cantidad de 
llamadas que entran a un conmutador a lo largo de un día, etcétera. El proceso 
construido para estudiar el problema de probabilidad en la sección anterior, es un 
ejemplo de este tipo. 
 
En estos procesos, la probabilidad de transición en un paso es la probabilidad de 
 
 
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pasar a un valor de la variable aleatoria 
nX conociendo los valores que han tomado 
todas las variables anteriores, es decir: 
 
 0 0 1 1 1 1, ,..., .n n n nP X x X x X x X x     
 
 
1.2.2 Procesos discretos a tiempo continuo 
 
Se dice que un proceso es discreto a tiempo continuo si su espacio de estados S es 
numerable y el parámetro temporal está en un conjunto T infinito no numerable, es 
decir, se trata de una colección de variables de la forma   
0t
X t

 con un espacio de 
estados discreto S = {0, 1, 2, 3,…}. 
En general, T es de la forma [0,∞) y esto significa que el estado del sistema puede 
observarse en cualquier instante de tiempo. También puede acotarse el lapso de 
observación haciendo T = [t1, t2]. 
 
Como en la clase de procesos anterior, el hecho de que S sea numerable obliga a que 
se observe una característica que se pueda contar. El proceso Poisson es un ejemplo 
de este tipo pues se observa la cantidad de llegadas en cualquier instante de tiempo. 
En este tipo de procesos, como es imposible considerar toda la historia anterior a un 
tiempo t, se selecciona una colección finita de tiempos 
0 1 ... kt t t   y se considera la 
historia en esos tiempos, así que la probabilidad de transición es: 
 
        0 0 1 1 1 1, ,..., .k k k kP X t x X t x X t x X t x     
 
 
1.2.3 Procesos continuos a tiempo discreto 
 
Un proceso es continuo a tiempo discreto cuando el espacio de estados S es infinito 
no numerable y el conjunto T es numerable, es decir,es una sucesión de variables 
aleatorias  n nX  que toma valores en un espacio de estados de la forma  , ,S a b o 
,S  o bien S  . 
 
En este caso, la observación se hace en tiempos definidos de antemano y la 
característica es algo que no se puede contar pero se puede medir, por ejemplo, al 
observar cada 12 horas la cantidad de gases tóxicos que emite una fábrica, se 
construye un proceso de este tipo. 
 
 
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La probabilidad de transición en un paso consiste en la probabilidad de que Xn tome 
valores en un conjunto de Borel A, dado que las n-1 variables anteriores han tomado 
ciertos valores, es decir: 
 0 0 1 1 1 1, ,..., .n n nP X A X x X x X x     
 
 
1.2.4 Procesos continuos a tiempo continuo 
 
Un proceso es continuo a tiempo continuo si su espacio de estados S es infinito no-
numerable y el espacio del parámetro temporal T también es infinito no-numerable, 
es decir, es una colección de variables aleatorias   
0t
X t

 con un espacio de estados 
de la forma  , ,S a b S  o bien nS  . 
En estos procesos, la característica que se observa en el sistema, es algo que se 
puede medir, y la observación se puede hacer en cualquier instante de tiempo. El 
movimiento Browniano es un proceso de este tipo. 
La probabilidad de transición en un proceso de este estilo, se calcula eligiendo una 
colección finita de tiempos 
0 1 ... kt t t   para calcular la probabilidad condicional 
dada por: 
         0 0 1 1 1 1, ,...,k k kP X t A X t x X t x X t x     Para algún conjunto de Borel A . 
 
1.3 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo a las 
características probabilísticas de las variables aleatorias 
 
 
Algunos de los tipos clásicos de procesos estocásticos, están determinados por 
diferentes relaciones de dependencia entre las variables X(t) que los forman. 
 Para ejemplificar cada una de las características a las que nos referiremos en la 
siguiente clasificación, se usará la siguiente situación: 
 
Ejemplo 5. Sea Xn el número de caras obtenidas tras el n-ésimo lanzamiento de una 
moneda bien balanceada. El valor que puede tomar esta variable está en el conjunto 
{0, 1, 2, …, n}, así que el espacio de estados del proceso { Xn } es S = {0, 1, 2, 3, …}. Se trata 
de un proceso discreto a tiempo discreto. 
 
Para analizar este proceso se puede considerar otra sucesión de variables aleatorias 
 
 
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{Yn } , en la que cada variable Yn toma el valor 1 si en el n-ésimo lanzamiento sale cara 
y toma el valor 0 si cae en cruz. Es claro que estas variables son independientes e 
idénticamente distribuidas, y su distribución de probabilidad común es 
 
   
1
1 0
2
n nP Y P Y    . 
De esta manera, se tiene que cada variable del proceso original toma la forma: 
1 2 ...n nX Y Y Y    
Recursivamente, escribimos la relación anterior como: 
1n n nX X Y  
 
 
1.3.1 Procesos con incrementos independientes 
 
En un proceso a tiempo continuo   X t , para 1m mt t  , la diferencia    1m mX t X t  
indica cuánto se ha incrementado la característica que se observa en el intervalo de 
tiempo  1,m mt t . En un proceso a tiempo discreto  nX , ese incremento se representa 
por 
1n nX X  . 
Si los incrementos 
             0 1 0 2 1 1, , ,..., k kX t X t X t X t X t X t X t    
 
son independientes para cualquier colección finita de tiempos 
0 1 2... kt t t t   , 
decimos que   X t es un proceso de incrementos independientes. 
Si se trata de un proceso a tiempo discreto  nX , diremos que es un proceso con 
incrementos independientes si para cada entero positivo n se tiene que 
 
0 1 0 2 1 1, , ,..., n nX X X X X X X    
 
son variables aleatorias independientes. 
 
Esto significa que lo que haya ocurrido en intervalos ajenos al que se observa en un 
momento dado, no afecta la probabilidad de los eventos relacionados con el proceso 
en ese intervalo. 
En el ejemplo 5, se tiene que el incremento del número de caras tras el n-ésimo 
lanzamiento, es: 
1n n nX X Y  , 
 
 
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Variable que toma el valor 0 o 1 de acuerdo a cuál haya sido el resultado obtenido en 
la última moneda. Así que las variables aleatorias 
1 1 2 1, , ..., n nX X X X X   
 
Coinciden con las variables 
1 2, ,..., nY Y Y que son independientes. Por tanto, el proceso 
estocástico de este ejemplo, es un proceso con incrementos independientes. 
 
 
1.3.2 Procesos de Markov 
 
Se trata de procesos desmemoriados en el sentido de que dado un valor de la 
variable  X t , el valor de cualquier variable  X t s , para s > 0, no depende de los 
valores que hayan tomado las variables anteriores a  X t . Es decir, si se conoce el 
estado presente, el comportamiento futuro del proceso no depende cuál fue la 
historia anterior. 
 
Para un proceso a tiempo continuo   X t , la propiedad de Markov establece que la 
probabilidad de transición a un estado al tiempo tn, no depende de la historia de 
estados que hayan sido visitados en tiempos t0 < t1 < …< tn-1, sino exclusivamente del 
estado en que el sistema se encontraba al tiempo tn-1, es decir, 
 
             0 0 1 1 1 1 1 1, ,...,n n n n n n n nP X t x X t x X t x X t x P X t x X t x          
 
Un proceso de Markov en el cual las X(t) son variables aleatorias continuas, se conoce 
como proceso de difusión. 
 
En un proceso a tiempo discreto  nX , escribimos la propiedad de Markov de la 
siguiente forma: 
   0 0 1 1 1 1 1 1, ,...,n n n n n n n nP X x X x X x X x P X x X x          
 
Es natural pensar que el proceso del ejemplo 5 es de Markov porque para calcular la 
probabilidad de que después del n-ésimo lanzamiento se tenga un cierto número de 
caras, sólo se necesita saber cuántas caras se habían acumulado hasta el 
lanzamiento n – 1., sin importar cómo se llegó a ese número de caras. 
 
Para verificar que el proceso de este ejemplo es de Markov, recuérdese que 
 
 
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1n n nX X Y  . Por tanto, 
 
 
 
 
 
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2
1
1 1
1
, ,...,
, ,...,
, ,...,
´
n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n
n n n
n n n n
n n n
P X x X x X x X x
P X X x x X x X X x x X X x x
P Y x x Y x Y x x Y x x
P Y x x por la independencia de las Y s
P X X x x
P X x X
 
     
   

 

   
          
       
  
   
  1 .nx 
 
 
 
1.3.3 Procesos estacionarios u homogéneos en el tiempo 
 
Un proceso estocástico a tiempo continuo   X t es estrictamente estacionario, si la 
distribución conjunta de las variables      1 2, ,..., kX t h X t h X t h   es igual a la 
distribución conjunta de las variables      1 2, ,..., kX t X t X t para todo h > 0 y para 
cualquier colección finita de tiempos 
1 2, ,..., kt t t . 
 
En particular, se dice que el proceso tiene incrementos estacionarios si para s < t y h > 
0, las variables    X t X s y    X t h X s h   tienen la misma distribución de 
probabilidad, es decir, el incremento dependesólo de la longitud del intervalo de 
tiempo t – s. 
En un proceso a tiempo discreto  nX , las condiciones anteriores se escriben de la 
siguiente forma: 
 
a) Se trata de un proceso estrictamente estacionario si la densidad conjunta de 
1 2, ,..., nX X X es igual a la densidad conjunta de 1 2, ,...,m m m nX X X   para n y m 
enteros positivos. 
b) Se trata de un proceso con incrementos estacionarios si las variables 
1n nX X  
y 
1n m n mX X   tienen la misma distribución. 
 
Volviendo al ejemplo 5, es claro que el proceso que indica la cantidad de caras 
obtenidas después de cada lanzamiento sucesivo, es un proceso con incrementos 
estacionarios, porque
1n n nX X Y  y 1 ,n m n m n mX X Y     y las Y´s son variables 
aleatorias idénticamente distribuidas. 
 
 
 
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Cierre de la unidad 
 
En esta unidad conociste los elementos de un proceso estocástico, conocimiento 
que reforzaste mediante algunos ejemplos, y estudiaste dos tipos de clasificaciones 
de los procesos estocásticos: de acuerdo a su espacio de estados y su parámetro 
temporal, y de acuerdo a las características numéricas de las variables aleatorias que 
lo componen. 
Lo anterior te permitió identificar el tipo de proceso que puedes utilizar al modelar 
cierto tipo de situaciones. 
 
Ahora estás en condiciones de abordar con mucha más profundidad algunos de los 
procesos más usados: las cadenas de Markov y el proceso Poisson, mismo que 
estudiarás en las unidades 2 y 3. 
 
 
Para saber más 
 
Otro material que te puede ser útil para profundizar tus conocimientos sobre 
procesos estocásticos, es el que se encuentra en 
http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema2pe.pdf 
 
El video de la siguiente liga, no tiene buena calidad de imagen, pero el contenido te 
puede ser útil para saber más sobre procesos estocásticos: 
http://www.youtube.com/watch?v=O7X6OqF8dPQ 
 
 
 
Referencias Bibliográficas 
 
 Brzezniak Z. y Zastawniak T. (2002). Basic Stochastic Processes. A Course through 
Excercises. Springer undergraduated Mathematic series, London. 
 Karlin S. y Taylor H.M. (1981). A first course in Stochastic Processes, 2aedición. 
Academic Press, New York. 
 Lawler G.F. (1995). Introduction to stochastic processes. Chapman and Hall, New 
York. 
 Ross S.M. (1996). Stochastic Processes. J. Wiley, NewYork. 
http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema2pe.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=O7X6OqF8dPQ