Notas 02 Sistemas de Referencia - Axel Sánchez Nazario

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SISTEMAS DE REFERENCIA 
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Una referencia es un elemento arbitrario, considerado fijo, y que sirve para hacer una comparación. 
 
 
En consecuencia, cualquier cosa, persona, objeto, lugar u otro elemento puede utilizarse como referencia, 
debido a que es completamente arbitrario, es decir, cada persona puede elegir la referencia que prefiera. 
 
 
Cuando decimos “estoy cerca de mi casa”, ya utilizamos una referencia y permite que quienes conocen la 
ubicación de la casa, se den una idea de la posición de quien habla. 
 
 
También podríamos decir “estudio en la UNAM”, lo cual ya habla de un marco de comparación más extenso 
que en el caso anterior, pues muchas más personas lo ubican. 
 
 
Un SISTEMA DE REFERENCIA utiliza de forma metódica una o varias referencias para hacer una 
comparación. 
 
 
Pero hay algo importante que no debemos pasar desapercibido, la referencia nos permite ubicar o comparar 
algo, pero ese algo existe aún sin la referencia, y por lo tanto tiene sus características intrínsecas asociadas. 
 
 
En otras palabras, los sistemas de referencias no cambian las cosas pero sí determinan la forma en la que los 
observamos. 
 
 
Y de aquí se desprende otra reflexión: la posición del observador también marca diferencia en la apreciación 
de algo. Aun cuando dos observadores distintos contemplen el mismo objeto, su punto de vista podría provocar 
un efecto diferente en cada uno. 
 
 
¿De qué depende que un sistema de referencia se vuelva de uso extensivo o que entre en desuso? 
 
 
Existen muchos factores, tan arbitrarios como el que dio origen al sistema en primer lugar. Sin embargo, la 
misma sociedad y las diferentes civilizaciones han hecho extensivos tal o cual sistema. 
 
 
En la sociedad matemática, las conveniencias en el manejo de ecuaciones aplicadas a la resolución de 
problemas, han determinado los sistemas que más facilitan su labor. 
 
 
Al elegir un sistema de referencia debemos establecer claramente cuantas características van a intervenir en 
nuestro trabajo, lo que nos determinará el número de referencias por utilizar. 
 
 
 
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Atendiendo al número de referencias, podemos decir que cada una de ellas nos dará una dimensión del objeto 
a comparar, por eso hablaremos de sistemas de una dimensión, dos dimensiones, tres dimensiones, etc. 
 
 
A mayor número de dimensiones, tendremos mayor alcance con nuestro sistema de referencia. 
 
 
Por ejemplo, la escala de temperatura es una recta, y en ella colocamos un punto fijo desde el cual comparamos 
o medimos cualquier otra temperatura. 
 
 
Ese primer punto elegido, así como el seccionamiento de la recta darán diferentes unidades y diferentes 
sistemas. 
 
 
Hablando de temperatura podríamos tener escala Celsius, escala Fahrenheit, escala Kelvin o escala Rankin 
 
 
En matemáticas, el eje numérico o recta numérica es nuestra primera referencia. 
 
 
 
 
 
Se trata de un eje horizontal, que crece de izquierda a derecha. En el centro del eje se coloca nuestra referencia 
base, a la cual llamamos cero o también origen. Desde ahí hacia la derecha se encuentran los números positivos 
y hacia la izquierda los números negativos. 
 
 
Si quiero ubicar cualquier otro valor, sólo debo colocarlo en el eje numérico y comparar que tan lejos se 
encuentra del cero y hacia cual lado de éste. 
 
 
 
 
 
Con este marco de referencia, no sólo sabemos la posición de cada punto, sino también la relación entre ambos 
puntos. Este hecho permite ir construyendo toda una serie de principios, teoremas y operaciones, que darán 
origen a teorías cada vez más extensas. 
 
 
La posición horizontal del eje es arbitraria, y podemos colocarlo vertical o en diagonal, lo que permite medir 
distancias en muchas direcciones a partir del origen. 
 
 
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SISTEMAS DE REFERENCIA EN DOS DIMENSIONES 
 
 
Cuando hablamos de dos dimensiones, tenemos dos características por definir para hacer nuestros 
comparativos. En cualquiera de ellos habrá un punto base al que llamaremos origen o cero. 
 
 
En matemáticas y ciencias, los sistemas más extendidos en dos dimensiones son: 
 
 
Sistema Cartesiano Sistema Polar 
 
 
Ambos sistemas necesitan de dos mediciones para ubicar al punto P, pero las realizan de forma diferente. 
 
 
SISTEMA CARTESIANO: está construido con dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en el origen del 
sistema. Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas, mientras que al eje vertical se le llama eje de las 
ordenadas. 
 
 
A partir del origen, se mide la distancia sobre el eje horizontal hasta la proyección ortogonal del punto P sobre 
el eje de las abscisas. Esta distancia se designa con la letra x. Si se mide hacia la derecha del origen es positiva 
y si se mide hacia la izquierda del origen se considera negativa. 
 
 
A partir del origen, se mide la distancia sobre el eje vertical hasta la proyección ortogonal del punto P sobre el 
eje de las ordenadas. Esta distancia se designa con la letra y. Si se mide hacia arriba del origen es positiva y si 
se mide hacia abajo del origen se considera negativa. 
 
 
La combinación en orden de estas dos distancias, nos dará las coordenadas cartesianas del punto: 𝑃(𝑥 , 𝑦) 
 
 
Es importante mencionar que es un sistema uno a uno, es decir, para cada punto en el plano, sólo existe una 
pareja ordenada de valores que lo identifica. 
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SISTEMA POLAR: está construido sobre un eje horizontal llamado Eje Polar. En él se ubica el origen del 
sistema al cual se le llama Polo. 
 
 
A partir del Polo se mide la distancia en línea recta hacia el punto P, a la cual se le llama radio (𝑟). Todo radio 
que avance hacia donde mira un observador se considera positiva, mientras que si retrocede desde esa 
perspectiva, el radio se considera negativo. 
 
 
A partir del eje polar, y tomando como vértice el Polo, se mide el ángulo que forma el eje polar con el radio 
para llegar al punto P. Si el giro se hace contra el sentido de giro de las manecillas del reloj, el ángulo se 
considera positivo. Si el giro se hace a favor del sentido de giro de las manecillas del reloj, el ángulo se 
considera negativo. 
 
 
La combinación en orden de estas dos mediciones, nos dará las coordenadas polares del punto: 𝑃(𝑟 , 𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
Sin embargo, las imágenes anteriores nos muestran como en el sistema polar un mismo punto puede tener más 
de una pareja ordenada de valores que lo identifique. 
 
 
Por eso decimos que el sistema polar es un sistema de muchos a uno. 
 
 
En algunas situaciones, esto será una desventaja del sistema polar. 
 
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En cualquiera de los dos sistemas, el punto P es el mismo pero los valores que lo identifican serán diferentes. 
 
 
Cuando construyamos relaciones entre puntos, curvas y sus ecuaciones, lucirán diferentes de acuerdo con el 
sistema empleado. 
 
 
El sistema cartesiano es muy útil trabajando en el escritorio, con ecuaciones y operaciones, pero se complica 
su aplicación en la vida cotidiana por la construcción de los ejes perpendiculares. 
 
 
En cambio, el sistema polar es muy útil en la vida cotidiana, puesto que es muy sencillo elegir un objeto como 
polo, alinearnos con otro objeto fijo para tener el eje polar, y entonces medir un ángulo y avanzar una distancia 
o radio. 
 
 
Sin embargo, su construcción circular aumenta con frecuencia los trabajos de operaciones en gabinete. 
 
 
Entonces, al estar trabajando en un sistema de referencia, en ocasiones necesitamos movernos al otro sistema 
para simplificar los cálculos, y después volver al sistema original. Esto dio origen a las ecuaciones de 
transformación. 
 
 
Esto es muy sencillo. Basta con superponer un sistema en el otro y aplicar un poco de trigonometría apoyados 
con el triángulo rectángulo que se forma entrelas referencias. 
 
 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
 
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
 
 
 
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 
 
 
Es importante remarcar que el sistema de referencia no cambia al objeto referido, pero si modifica la ecuación 
con la cual se le identifica. 
 
 
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Por ejemplo, la recta que se muestra en las siguientes figuras es la misma, pero tiene ecuación diferente de 
acuerdo con el sistema seleccionado. 
 
Sistema cartesiano 
 
 
 
 
 
√2 𝑥 + √2 𝑦 − 6 = 0 
Sistema polar 
 
 
 
 
𝑟 =
3
cos ( 𝜃 −
𝜋
4 )
 
 
 
En el bachillerato, el uso del sistema cartesiano en dos dimensiones fue el eje rector de todas las ecuaciones 
vistas, tales como recta, circunferencia, cónicas, etc. 
 
 
Entonces, es de esperar que todas esas ecuaciones también se puedan manejar con el sistema polar. 
 
 
Si lo pensamos, nos tomó varios cursos conocer y aprender las ecuaciones cartesianas. Conocerlas y 
aprenderlas en el sistema polar, también llevará tiempo y será material para otro curso. 
 
 
Aquí nos estamos abocando a los sistemas de referencia únicamente. 
 
 
Ahora pensemos en tres dimensiones. 
 
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SISTEMAS DE REFERENCIA EN TRES DIMENSIONES 
 
 
Cuando llevamos la referencia a tres dimensiones, debemos conservar la que traemos en dos dimensiones y 
añadir la tercera. 
 
 
Esto nos lleva a la posibilidad de iniciar desde el sistema cartesiano, que es rectangular, o desde el sistema 
polar, que es circular. 
 
 
Y la tercera referencia podrá ser rectangular o circular. Esto nos lleva a los siguientes tres sistemas de referencia 
en tres dimensiones: 
 
 
Sistema cartesiano Sistema cilíndrico Sistema esférico 
 
 
Como de costumbre, cada uno tiene sus ventajas y desventajas. Habrá que analizarlos por separado. 
 
 
SISTEMA CARTESIANO EN TRES DIMENSIONES: Si el plano cartesiano XY lo colocamos sobre el nivel 
del suelo, la tercera dimensión para trabajar en forma rectangular, será la altura seleccionada desde un punto 
del plano. 
 
Recordemos que por definición, una altura siempre es perpendicular a la base seleccionada, en nuestro caso, 
el plano XY 
 
 
Toda medición hacia arriba del plano XY (en color 
azul en nuestra imagen) se considera positiva, 
mientras que si la medimos hacia abajo, será 
negativa. 
 
 
Entonces, un punto cualquiera en el espacio tendrá 
una terna ordenada de valores única que lo identifica. 
 
 
𝑃(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) 
 
Muchas personas tienen dificultad con la apreciación de las imágenes en tres dimensiones, porque se trazan 
sobre un papel o una pizarra, que físicamente sólo cuenta con dos dimensiones. 
 
 
Estas representaciones se conocen como proyección isométrica y nunca muestran al objeto como realmente es. 
 
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Por supuesto que si el observador se coloca en una posición completamente por arriba del plano XY y mira 
perpendicularmente hacia abajo, apreciaría una imagen como la siguiente: 
 
 
Se conoce como vista superior. 
 
 
En ella apreciamos el conocido plano cartesiano XY, 
así como el punto P, que parece estar contenido en el 
plano XY, aunque sabemos que se encuentra a una 
altura z 
 
 
Lo anterior ocurre porque en una vista superior, tanto 
el eje Z como cualquier medición paralela con él se 
ven como puntos. 
 
 
Si ponemos atención, el eje Z parece un punto en 
color azul en el origen cartesiano. 
 
También tendríamos dos vistas laterales, y en cada una de ellas, un eje se encuentra perpendicular a nuestra 
vista, por lo que parece un punto. El plano XY no se aprecia por estar horizontal a nuestra vista. 
 
Vista de frente al plano XZ 
 
 
Vista de frente al plano YZ 
 
 
 
Con algo de tiempo y práctica, se pueden extender las ideas, conceptos y ecuaciones vistos en dos dimensiones 
a nuestro espacio cartesiano de tres dimensiones. 
 
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SISTEMA CÍLINDRICO: Ahora vamos a colocar el plano polar sobre el nivel del suelo y la tercera dimensión 
será la altura seleccionada desde un punto del plano. 
 
Recordemos que por definición, una altura siempre es perpendicular a la base seleccionada, en nuestro caso, 
el plano polar 
 
 
Toda medición hacia arriba del plano polar (en color 
azul en nuestra imagen) se considera positiva, 
mientras que si la medimos hacia abajo, será 
negativa. 
 
 
Entonces, un punto cualquiera en el espacio tendrá 
una terna ordenada de valores que lo identifica. 
 
 
𝑃(𝑟 , 𝜃 , 𝑧) 
 
Como partimos de las coordenadas polares, habrá muchas posibles combinaciones de valores para r y θ, lo que 
nos llevará a muchas posibles combinaciones para las coordenadas cilíndricas. 
 
 
Sin embargo, para hacerlo más práctico, se acostumbra restringir los valores de las dimensiones así 
 
𝑟 ≥ 0 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑧 ∈ ℝ 
 
 
Con estos lineamientos estamos considerando 
siempre avanzar hacia adelante al medir el radio, y al 
girar horizontalmente hacerlo contra las manecillas 
del reloj máximo una sola vuelta a la circunferencia. 
 
 
Una grúa pluma es un claro ejemplo del uso de este 
sistema de referencia, en el cual la base de la grúa 
funciona como polo. 
 
Para hacer las transformaciones entre el sistema cartesiano y el cilíndrico, basta con apoyarnos en las conocidas 
ecuaciones entre el sistema cartesiano y el sistema polar, puesto que la variable z es la misma referencia en 
ambos sistemas. 
 
𝑟 = √ 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 
𝑦
𝑥
 ) 𝑧 = 𝑧 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 = 𝑧 
 
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SISTEMA ESFÉRICO: Este sistema utiliza la mínima distancia entre el polo y el punto. Esta será la primera 
dimensión a la cual se le llama radio 𝜌 (letra griega Ro), para diferenciarla del radio polar r. 
 
 
Para definir la dirección en la cual se mide este radio, empezamos midiendo un giro horizontal, identificado 
con la letra 𝜃, que corresponde con el giro sobre el plano polar. Con esto, se forma un plano vertical que en la 
imagen luce en color verde. 
 
 
Contenido en este plano polar, medimos un ángulo de caída 𝜑 (letra griega Fi), desde la vertical sobre el polo. 
Esta medición siempre será de arriba hacia abajo. 
 
 
Al terminar de hacer ambos giros, se define una única dirección sobre la cual medimos el radio 𝜌. 
 
 
 
Entonces, un punto cualquiera en el espacio tendrá 
una terna ordenada de valores que lo identifica. 
 
 
𝑃(𝜌 , 𝜃 , 𝜑) 
 
 
Con las siguientes consideraciones 
 
𝜌 ≥ 0 
 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 
 
 
Una escalera de carro de bomberos es un ejemplo del 
uso de coordenadas esféricas. 
 
El polo se encuentra en la base de la escalera. 
 
Mediante un sistema hidráulico puede girar 
horizontalmente para alinearse hacia donde debe 
trabajar. 
 
Otro sistema hidráulico eleva con diferentes ángulos 
la inclinación de la escalera. 
 
Finalmente, otro sistema hidráulico despliega la 
escalera a diferentes distancias. 
 
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Para las ecuaciones de transformación, basta con superponer los sistemas de forma conveniente 
 
 
Del triángulo rectángulo que forman 𝜌 , 𝑟 , 𝜑 , 𝑧 
podemos establecer las siguientes equivalencias: 
 
 
 
cos 𝜑 =
𝑧
𝜌
 𝑠𝑒𝑛 𝜑 =
𝑟
𝜌
 𝑟2 + 𝑧2 = 𝜌2 
 
 
𝑧 = 𝜌 cos 𝜑 𝑟 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
 
 
 
Como 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 en el plano polar, entonces 
 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝜌2 
 
 
Y en la misma analogía 
 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos 𝜃 
 
 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
 
Con algo de tiempo y práctica, cada sistema puede ayudarnos en la construcción de diferentes ecuaciones de 
curvas y superficies, que son la base para trabajar las ideas y conceptos del cálculo diferencial, integral y 
vectorial.