1 Trigonometría - Axel Sánchez Nazario (1)

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TRIGONOMETRÍA
ELABORÓ: M . I FR ANCISCO BAR R ER A DEL R AYO
Definición
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se
encarga de estudiar las relaciones entre los ángulos y los
lados de los triángulos.
Significado etimológico:
TRI GONO METRÍA
(tres) (ángulo) (medida)
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Conceptos fundamentales
Un ángulo puede ser:
0° < $ < 90° → agudo
90° < $ < 180° → obtuso
$ = 90° → recto
Una de las unidades de medida para los ángulos es el grado, el
símbolo utilizado es ° , donde en una rotación completa hay 360° .
Dos ángulos positivos son:
§“complementarios” si suman 90°
§“suplementarios” si suman 180°
§“conjugados” si suman 360°
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Conceptos fundamentales
Otra unidad de medida para los ángulos es el radian. Éste se
define, al colocar su vértice en el centro de un círculo, la longitud
del arco subtendido en la circunferencia es igual al radio.
1 "#$ = 57.29°
r
rr
Grados Radianes
360° 2/ "#$
180° / "#$
90° /2 "#$
60° /3 "#$
45° /4 "#$
30° /6 "#$
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
!" = $" + &"
$
&
!ℎ()
*+,
-./
$
!$+,+* $01$!,-+,
!$+,+**).,/+*
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Funciones trigonométricas (ángulo agudo)
Considerando el triángulo rectángulo, se pueden obtener seis razones
usando las longitudes !, " y # de los lados y que sólo estarán en función
del ángulo $ y no de su tamaño:
!
#
"
#
!
"
"
!
#
"
#
!
Para cada valor de $ , las 6 razones están
determinadas de forma única y por lo tanto
son funciones de $.
!
"
#ℎ&'
()*
+,-
!
#!)*)( !./!#*+)*
#!)*)((',*-)(
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Funciones trigonométricas (ángulo agudo)
Estas razones o también llamadas funciones trigonométricas de un
ángulo agudo !, reciben un nombre particular para cada una de ellas y
son las siguiente:
sen ! = &'(. *+.ℎ-+ =
'
&
cos ! = &'(. '01.ℎ-+ =
2
&
tan ! = &'(. *+.&'( '01. =
'
2
c5& ! = ℎ-+&'(. *+. =
&
'
56& ! = ℎ-+&'(. '01. =
&
2
co( ! = &'(. '01.&'(. *+. =
2
'
'
2
&ℎ-+
*(6
785
'
&'(6(* '01'&67(6
&'(6(**+865(*
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Funciones trigonométricas (ángulo cualquiera)
Muchos problemas de aplicación requieren del uso de ángulos que no son
agudos. Por lo que es necesario extender las definiciones de las
funciones trigonométrica para cualquier ángulo. Esta generalización se
puede lograr mediante la posición estándar de un ángulo ! en un
sistema de coordenadas.
Sean ! y P(x,y) un ángulo y un punto cualesquiera.
sen ! = &ℎ
cos ! = *ℎ
tan ! = &*
c-. ! = ℎ&
-/. ! = ℎ*
co0 ! = *&
y^
>x
*
&
ℎ
ℎ = *1 + &1, ℎ ≥ 0
1º Cuadrante
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Funciones trigonométricas (ángulo cualquiera)
−"
#
ℎ #
ℎ
"
"
ℎ
−#
−"
−#
sen ( = #ℎ
cos ( = −"ℎ
tan ( = #−"
sen ( = −#ℎ
cos ( = −"ℎ
tan ( = −#−"
sen ( = #ℎ
cos ( = "ℎ
tan ( = #"
sen ( = −#ℎ
cos ( = "ℎ
tan ( = −#"
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Signos de las funciones trigonométricas
Función
Cuadrantes
I II III IV
Seno + + − −
Coseno + − − +
Tangente + − + −
Cotangente + − + −
Secante + − − +
Cosecante + + − −
sen& = (ℎ cos & =
,
ℎ tan & =
(
, c/0 & =
ℎ
(/10 & =
ℎ
,co2 & =
,
(
II I
III IV
ℎ
ℎ ℎ
ℎ
( (
-(-(
-, ,
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Ángulos
!"° $ %"° &'° "°, )"°, *+"° $ ,-"°
ℎ = 11 + 01 = 1
Valores de funciones trigonométricas
x
y
P2(0,1)
P3(-1,0)
P4(0,-1)
P1(1,0)
M.I Francisco Barrera Del Rayo
θ Funciones
rad ° sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ
0 0° 0 1 0 N/D 1 N/D
.
6 30°
1
2
3
2
1
3 3
2
3 2
.
4 45°
1
2
1
2 1 1 2 2
.
3 60°
3
2
1
2 3
1
3 2
2
3
.
2 90° 1 0 N/D 0 N/D 1
2.
3 120°
3
2 −
1
2 − 3 −
1
3 −2
2
3
. 180° 0 −1 0 N/D −1 N/D
Valores de funciones trigonométricas
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Identidades trigonométricas
Identidades pitagóricas
§ sen$ θ + cos$ θ = 1
Identidades recíprocas
§ sen θ = +,-, .
§ cos θ = +-/, .
§ tan θ = +,23 .
Identidades por cociente
§ tan θ = -/4 .,2- .
Identidades para la suma y resta de ángulos
§ sen (θ ± ∅) = sen θ cos ∅ ± cos θ sen ∅
§ cos (θ ± ∅) = cos θ cos ∅ ∓ sen θ sen ∅
Identidades para el doble de un ángulo
§ sen 2θ = 2 sen θ cosθ
§ cos 2θ = cos$ θ − sen$ θ = 2 cos$ θ − 1
Identidades de ángulos negativos
§ sen −θ = −sen θ
§ cos −θ = cos θ
§ tan −θ = −tan θ
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Ley de senos
§La ley de senos es aplicable directamente cuando se conocen dos lados
y el ángulo opuesto a uno de ellos, o cuando se conocen dos ángulos y
un lado.
1. !"#$ ∝ =
'
"#$ ( =
)
"#$ *
2. "#$ ∝! =
"#$ (
' =
"#$ *
)
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Ley de cosenos
§La ley de cosenos es aplicable directamente cuando se conocen dos
lados y el ángulo comprendido entre ellos, o cuando se conocen los tres
lados.
1. !" = $" + &" − 2$& &)* +
2. $" = !" + &" − 2!& &)* ,
3. &" = !" + $" − 2!$ &)* -
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Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una ecuación donde se
involucran funciones trigonométricas.
Con mucha frecuencia una ecuación trigonométrica se
resuelve aplicando técnicas semejantes a las usadas para
ecuaciones algebraicas, esto es, despejando, factorizando,
resolución de polinomios, etc. En ocasiones se requiere
utilizar las identidades trigonométricas.
NOTA: Las soluciones generalmente se dan en radianes.
M.I Francisco Barrera Del Rayo