2 Algunas aplicaciones de la forma integral - Arturo Lara (1)

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14- 2 Algunas aplicaciones de la forma integral
Muy semejante como se hizo con la ley de Gauss en la sección 4-2, si el problema tiene la suficiente simetría es posible utilizar (15-1) para calcular campos B. El principal problema viene a ser la correcta elección de la trayectoria de integración. Lo que se debe buscar son curvas en las que B tenga una magnitud constante y curvas en las que B sea paralela o perpendicular a la trayectoria, tanto por facilidad en la integración como para evitar posibles dificultades originadas por alguna dependencia desconocida de B con respecto a la posición.
Este proceso se ilustra por medio de unos cuantos ejemplos.
Algunas aplicaciones de la forma integral
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Ejemplo
Corriente recta infinitamente larga. Supóngase que la corriente! se encuentra distribuida
uniformemente sobre la sección circular de radio a de un cilindro infinitamente largo, co-
mo se muestra en la figura 15-7. Al revisar la dependencia general de la dirección del cam-
po B producido por una corriente como la que se muestra en la figura 14-2, y si se considera
la ‘‘simetría” general de este problema, se puede concluir que B está sobre el plano per-
pendicular a la dirección de I, que es tangente a todos los puntos del círculo de radio p
que se muestra con línea punteada y que su magnitud únicamente puede depender de
p, debiendo ser independiente tanto de z como de <p. En otras palabras , B tiene la forma
general B = B<p (p) !p. Estas consideraciones son igualmente válidas tanto si se toma un
punto de campo dentro del cilindro como fuera de él, siendo éste el caso que se muestra
en la figura. Así, para cualquier valor de p, tómese como trayectoria de integración una
circunferencia de radio p y recórrase en el mismo sentido asumido para B. De
ñera se tiene que ds ~ pd<p y>, de acuerdo con (1-82), por lo que (15-1) queda
(£ B • ds =	’ P d(W = 27rPB<p = Vene
esta ma-
(15-17)
ya que tanto p como B<p (p) son constantes sobre la circunferencia. Por lo tanto,
n z \ Mü^enc
(15-18)
1. Fuera del cilindro. Aquí p A a y resulta claro que C encierra la comente total I, por lo que íenc -I y (15-18) queda
(15-19)
p z x V
2ttp
Figura 15-7 Porción de una corriente recta muy larga.
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Forma integral de la ley de Ampere
Figura 15-8 B<p producida por una corriente recta infinitamente larga, en función de la distancia p al eje de la corriente.
Al comparar este resultado con (14-17) y recordar que se eliminó la prima de la corriente fuente, se puede observar que la inducción en el exterior de una corriente recta infinitamente larga es la misma que si la corriente fuera filamental y corriera por el eje del cilindro.
2. Dentro del cilindro. Aquí p A a, por lo que C no encierra toda la corriente, sino sólo una fracción igual al área circular limitada por C dividida entre el área total de la sección del cilindro. De esta maneraI ¡I = 7t p2 ¡-na2, es decir I = I(p2/a2), con lo que (15-18) queda
(P<«)	(15-20)
277-tf
[Tanto (15-19) como (15-20) están en concordancia con los resultados obtenidos en el ejercicio 14-14, pero se lograron por un método mucho más sencillo aquí] .
Nótese también que ambas expresiones dan el mismo resultado B<p(a) = p.0I/2irti en la superficie del cilindro, de modo que es continua ahí. Ello concuerdacon (15-16)yaque B únicamente tiene componentes tangenciales en este caso y no existe corriente superficial K sobre el cilindro. La figura 15-8 ilustra la dependencia de B<p con respecto a p.
Ejemplo
Plano infinito de corriente uniforme. La figura 15-9 muestra una vista de perfil de un plano infinito de corriente en la que K sale de la página. Se supone que |K | = K = const.; una aproximación de este tipo de distribución de corrientes se podría lograr por medio de un conjunto de alambres paralelos dispuestos muy cerca unos de otros y todos conduciendo la misma corriente. Dado que no existe preferencia alguna para tener ángulos hacia arriba o hacia abajo de la horizontal, ni hacia afuera o hacia adentro de la página, se puede concluir que B es perpendicular a K, que es paralela al plano de comente, y que tiene direcciones opuestas en ambos lados de él, como se puede observar en la figura 14-2. Sin embargo, B puede todavía ser función de la distancia D perpendicular al plano. Por todo lo anterio, se elige para la integración la trayectoria rectangular que se ilustra con línea punteada; los dos lados horizontales tienen una longitud l y se encuentran a la misma distancia D del plano; dos lados verticales de longitud 2D los conectan entre sí. Sobre los lados horizontales B es paralela a ds, de modo que B ’ ds = B(D)ds y B(D) es constante. Sobre los verticales B resulta perpendicular a ds por la propia construcción de la trayectoria, de modo que B ‘ ds = 0, por lo que no hay contribuciones a la integral de parte de estos lados; esto resulta ser vantajoso ya que se desconoce la
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B	C
j ¡^(saliendo)	I
i	A
i	»i
i	i
I	 I
B
Figura 15-9 Trayectoria de integración para encontrar el campo B producido por un plano infinito de corriente uniforme.
A
<	—		—	K (saliendo)
	>	Figura 15-10 Geometría utilizada para verificar las
1	Bi	condiciones de frontera en B.
forma de B(D). Dado que |K | es corriente por unidad de longitud, se tiene que Ienc = Kl para esta trayectoria, con lo que (15-1) queda
(j)B -ds = 2Bl = nolenc = ¡iqKI
de modo que
B = ^K	(15-21)
lo que está en exacta concordancia con el resultado obtenido por integración directa en (14-26). Aquí se ha podido una vez más encontrar que la magnitud de B es independiente de la distancia al plano de corriente.
Este resultado también concuerda con la condición de frontera 915-16) ya que, por la figura 15-10, se puede observar que dicha condición se convierte en B2í - Blf = Bt - (-5t) = 2Bt = ¡j.o KXñ = p0 Kt, de modo que B = 1&2 /z0 K como antes.
Ejemplo
Solenoide ideal infinitamente largo. Supóngase que las vueltas del solenoide cilindrico están enrolladas tan apretadamente y que los alambres son tan delgados, que se puede despreciar el ángulo de inclinación de las vueltas. En este caso, de hecho se tiene una corriente plana de densidad superficial K circulando alrededor del cilindro, como se indica en la figura 15-11. Si hay n vueltas por unidad de longitud e I es la corriente en ellas, la corriente por unidad de longitud será ni, de manera que
K=nl	(15-22)
Si, además, se supone el solenoide infinitamente largo, se puede concluir que B será paralela al eje del cilindro y en el sentido ilustrado. En la figura, Bz- es la inducción dentro del solenoide, mientras que Bo es la inducción en su exterior; ambos valores deben ser independientes de z por ser el solenoide infinitamente largo, lo cual hace que un valor dado de z sea tan válido como cualquier otro. Se vuelve a elegir la trayectoria de integración rectangular C que se muestra con línea punteada; los lados verticales tienen una longitud t y el sentido de integración es paralelo a B¿ y antiparalelo a Bo. El lado vertical que se encuentra en el interior está a una distancia d del plano de corriente y el lado vertical ex-
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K(saliendo)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
K (entrando)
Figura 15-11 Trayectoria de integración para encontrar el campo B producido por un
solenoide ideal infinitamente largo.
terior se encuentra a una distancia D del mismo. La longitud de los lados horizontales es d + Z>; dado que ds es perpendicular a B en estos lados, B ’ ds = 0 y su contribución a la integral nula. AdemásZenc = Kl = n/l;por tanto, (15-1) queda
(p B -í/s = B¡1 — Bol = ilqKI = [íQnll
de manera que
B¡ — Bo — hqK = ikQtil	(15-23)
En este resultado se puede observar que la inducción es independiente tanto de d como de D; por lo tanto, (15-23) también está en concordancia con (15-16), siempre que se elija la región 1 fuera y la región 2 dentro del solenoide.
Ya que (15-23) es independiente de D, dicha ecuación deberá ser cierta también para el caso en que D -> 00. Pero en este caso, si se observa el solenoide desde un punto muyalejado, el efecto resultante es que las dos corrientes opuestas se ven superpuestas, pero el resultado experimental de Ampere indica que en tal caso el efecto que éstas pueden producir es despreciable. Por lo tanto, para D -*00, Bo =0 y en este caso (15-23) resulta
=	(15-24)
Si se vuelve a sustituir esto en (15-23), lo que es posible porque se supone que es cierta para cualquier D, se encuentra que
Bo = 0 (en todo lugar)	(15-25)
Es más, dado que los resultados (15-23) y (14-24) son también independientes de d, se puede concluir que
B; = /ioKz = /ion/z (en todo lugar)	(15-26)
En otras palabras, en el caso de un solenoide ideal infinitamente largo la inducción queda confinada enteramente a su interior y es uniforme en toda su sección; es también indepen
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diente de ¿z, el radio del cilindro. [ El resultado (15-24) concuerda con el obtenido antes en (14-24); sin embargo, en este último caso sólo se había obtenido el valor sobre el eje del solenoide y ahora se aprecia que es el mismo para todos los puntos de su interior].
Ejemplo
Bobina toroidal. Este es el caso de una corriente I en un conductor que se enrolla uniformemente, es decir, con ángulo de inclinación constante alrededor de un anillo (toroide), como se muestra en la figura 15-12, en la que se ilustran solamente unas cuantas vueltas. La sección del toroide puede ser circular o rectangular, por ejemplo. (Se puede pensar que esta configuración se logra tomando un solenoide de longitud finita y doblándolo en la forma de una dona, es decir, conectando sus extremos). No es posible que (15-1) dé toda la información acerca de B en este caso, por lo que aquí sólo se consideran trayectorias circulares de radio p centradas en el centro del anillo y que se encuentran sobre el plano que contiene al eje central del toroide. Para cualquier trayectoria circular tal, ds = pd(¿x¿> por lo que (15-1) queda
B • ypdq = Bv- 2ir p = p0Ienc
de manera que
(15-27)
. Mo^enc
<P 2ttp
Figura 15-12 Bobina toroidal y trayectorias de integración utilizadas para calcular la inducción que produce.
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ya que, por simetría es función exiusivamente de p y será constante en toda la trayectoria.
Para el caso de una trayectoria dentro del círculo definido por la frontera interior del toroide, como Ct, por ejemplo, /,nc - 0, por lo que B = 0. Para una trayectoria dentro del toroide, tal como C2> /enc - NI. siendo N el número total de vueltas, con lo que (15-27) da
R ~^N1
,f 2-rrp
(15-28)
Por último, para una trayectoria completamente exterior al toroide, tal como C3, resulta que /enc ILZVZ — 7VZ = 0, de acuerdo con la figura 15-5, ya que para cada corriente / hacia afuera de la página necesariamente existe otra igual hacia dentro de la página. Por lo tanto, B<¿> ¥= 0 únicamente en el interior del propio toroide.
Si las dimensiones de la sección del toroide son muy pequeñas en comparación con su radio central, entonces p — const. para todas las trayectorias C2, por lo que B<p será aproximadamente constante en toda su sección.
Estos cálculos no proporcionan información alguna acerca de B<p y de Bz; éstas deben encontrarse por cálculo directo a partir de la ley de Biot-Savart (14-2). No se realizarán dichos cálculos aquí, pero baste saber que resultan ser del orden de magnitud de B^>/N\ así, es posible hacerlas despreciables si se utiliza un gran número de vueltas, es decir, si el enrollado es muy apretado. Sin embargo,pueden hacerse varias observaciones considerando una trayectoria de integración como la que se muestra con el símbolo C4 en la figura 15- 13. Se trata de una trayectoria que encierra completamente al toroide en un plano perpendicular a su eje, es decir, en el plano <p = consta.; la traza de esta trayectoria también se muestra en la figural5-12. Se puede observar que para cualquier ángulo de inclinación finito del enrollado, que corresponde a un número finito, N, de vueltas, solamente una vuelta pasará a través del plano limitado por C4; de esta manera,/enc = /. El valor de ds, dado por (1-82) con dip = 0 es ds - dpp + dzi, con lo que (15-1) se convierte en
= Ó (Bpdp+ B¿dz) — p0I
Jc4
(15-29)
Dado que esto no es igual a cero, se puede concluir que B<p ó Bz o ambas deben ser diferentes de cero en por lo menos algunas porciones de C4. Además, el valor de esta integral es N veces más pequeño que el de B<p como se puede observar en (15-28), de modo que para dimensiones de trayectoria comparables, la magnitud de B<p y/o de Bz será aproximadamente del orden de B<p/N como se enunció arriba.
Figura 15-13 Trayectoria de integración en un plano perpendicular al eje del toroide.