2 Medios estacionarios - Arturo Lara (1)

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16- 2 Medios estacionarios
Si las diversas partes de la región de interés no se encuentran en movimiento, entonces la curva limitante C no variará su forma o tamaño en forma instantánea, de manera que $ sólo puede estar cambiando debido a que B varia con el tiempo, es decir, que B = B(r,t). Si entonces se utiliza (1-67), (17-8) se vuelve
&E-rfs= - ^¡fsBda=-fMda=fs{vx£)da
y, por lo tanto,
•da = 0
(17-9)
Pero dado que (17-8), y por ello (17-9) , es válida para cualquier trayectoria de integración arbitraria con su correspondiente superficie S, aun una infinitesimal, el integrando de (17-9) debe ser igual a cero en todo lugar, con lo que se tiene que
(17-10)
como un enunciado diferencial de la ley de Faraday para un medio estacionario. Con (17-10) se tiene al fin una relación entre la electricidad y el magnetismo, en función de los vectores de campo.
Es posible expresar (17-10) de otra manera más. Es todavía cierto que V • B = 0 y por ello B = V X A, como en (16-7). Sustituyendo esto en (17-10) se tiene V X E=-d (VX A) /d t = - V X (3 A/3Z) o sea,
/ 3A \
VXIE+-ÍP =0
\ dZ /
(17-H)
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Ley de inducción, de Faraday
Pero, de acuerdo con (1-48), se sabe que una cantidad cuyo rotacional es cero puede expresarse como el gradiente de un escalar, de modo que se puede concluir que E + (3 A.¡ót) =-V4>, o sea,
E=-V<¡>-^	(17-12)
lo que demuestra que, en general, E depende tanto del potencial escalar como del vectorial. En un caso estadístico, donde A.¡bt = o, (17-12) se reduce a E = — V0 con lo que se vuelve al campo eléctrico conservativo; sin embargo, es posible anticipar que por lo general 0 no siempre será exactamente el mismo potencial escalar de la electrostática.
Dado que ahora V X E puede ser diferente de cero, se hace necesario volver a investigar el comportamiento de las componentes tangenciales de E en una superficie de discontinuidad, ya que el resultado anterior (9-21) dependía de que VX =0.Sise sustituye (17-10) en (9-18), se obtiene
E7, — E. = lim < h
h^o I
A medida que la capa de transición se reduce a cero, es lógico esperar que 3 B/3 t siga siendo finita, de modo que a medida que h 0, 7z(3 B/3 í) -> 0; así, el miembro derecho de la ecuación de arriba será igual a cero, con lo que
e2,=e1z
(17-13)
que demuestra que las componentes tangenciales del campo eléctrico son todavía continuas, de acuerdo con la observación hecha entre paréntesis después de (9-22). En lo que sigue no aparece ninguna razón para alterar esta conclusión.
Ejemplo
Espira fija en una inducción alterna. Como ejemplo de un sistema estacionario que contiene un circuito real, considérese la espira rectangular de lados ay b que se muestra en la figura 17^4. Tómese el eje z sobre el plano de la espira y paralelo al lado a\ tómese el origen en el centro. El plano de la espira forma un ángulo <p con el plano yz, de manera que la normal fl al plano está sobre el plano xy y forma el mismo ángulo con el eje x. Supóngase también la presencia de una inducción B dirigida a lo largo del eje x y dada por B = Box eos (w t +a), es decir, que es espacialmente constante sobre toda la superficie de la espira pero oscila armónicamente, con el tiempo, con un ángulo de fase ce que depende de la elección del cero de t. Aquí, gj = 2 v es Infrecuencia circular (o angular) que se mide en (segundos) . o en radianes/segundo; por otro lado, v es la frecuencia normal, es decir, el número de oscilaciones por unidad de tiempo y se mide en hertz, siendo 1 hertz = 1 (segundo)-1. De acuerdo con (16-6), el flujo a través de la espira es
$= f Bñ(fo =
Js
B0cos<pcos(c¿t +a)j da= B^abeos<peos(ut + a)
(17-14)
siendo ab el área de la misma. La fem inducida está dada por (17-8) y es
£ind — (^)E-ds = <x¡BQab cos<psen(w/ + a)
(17-15)
Medios estacionarios
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Figura 17-4 Una espira rectangular fija en presencia de una inducción alterna.
que, como se puede observar, es proporcional a la frecuencia de oscilación y, dado que varía según sen (coi + o), está 90 ° fuera de fase con respecto a B, que varía según cos (cot + a). Por ejemplo, &¡n d es máxima cuando el flujo es cero pero tiene su máxima razón de cambio. Si la espira estuviera formada por un solo alambre enrollado N vueltas, cada una de las vueltas tendría la fem inducida dada por (17-15), de tal forma que la fem total de la bobina sería N veces mayor, ya que corresponde al trabajo total por unidad de carga calculado sobre todo el circuito, por lo que es aditivo. Así, estaría dada por N(júBoab cos sen (coi + °°).
Ejemplo
Considérese ahora una región cilindrica infinitamente larga, que contiene un campo B dado en coordenadas cilindricas por
í B0cos(coí + a)z
l 0
(p<«)
(p>a)
(17-16)
donde BQ — const. En otras palabras, Bes espacialmente en el tiempo; puede visualizarse mejor la situación si se considera que estuviera producida por un solenoide ideal infinito con corriente alterna circulando en sus vueltas. Al aplicar (17-10) se obtiene V X E = co Bo sen (cut + a) z. La simetría cilindrica de este problema, junto con la experiencia anterior, hacen esperar que E resulte sobre el plano xy y tenga la forma E = E q (p) S , es decir, que sea tangente a los círculos de radio p. De acuerdo con esto, se toma uno de esos círculos como trayectoria de integración, resultando que para cualquier p,
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I ey de inducción, de Faraday
Figura 17-5 El campo eléctrico inducido como función de la distancia al eje de un cilindro de radio a que contiene una inducción alterna.
(|) E-ds = (fí Ey<p- pdtptp = 2irpEy
— f (V XE)-¿Za = aJ?osen((üí + a) (daz	(17-17)
Js	J
con la ayuda de (167) y (1-53). La integral de superficie es igual a trp¿ si p > a, y tiene el valor constante tr ¿z2 si p >zz, debido
a (17-16). Al sustituir estos valores en (17-17) se obtiene
Ey = ^wBopsen (coi + a) (p<,a)	(17-18)
1	( a2 \
— )sen(atf + a) (p>a)	(17-19)
La figura 17-5 muestra el valor máximo de es decir, su amplitud, en función de p Como en el ejemplo anterior, E# está 90° fuera de fase con respecto a B, puesto que depnde de B y no de valor absoluto. Los campos eléctricos inducidos que se producen de esta manera general constituyen la base de operación del acelerador de partículas cargadas conocido como betatrón.