2 Ecuaciones de Maxwell en su forma general - Arturo Lara (1)

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-2 Ecuaciones de Maxwell en su forma general
Al fin se ha llegado a un conocimiento completo del electromagnetismo macroscópico, descriptivo pudiendo resumirse por medio de las ecuaciones (21-1) complementadas por (21-7):
Ecuaciones de Maxwell en su forma general
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	V'D = Py
	(21-19)
	VxE=-f
	(21-20)
	V-B = 0
	(21-21)
	Vxll = J,+ —
f dt
	(21-22)
A estas ecuaciones se les conoce como las ecuaciones de Maxwell y se supone que son
siempre válidas. [En realidad son ocho ecuaciones escalares, ya que tanto (21-20) como
(21-22) tienen tres componentes cada una de ellas].
Vale la pena repasar el contenido físico de estas ecuaciones. La ecuación 21-19
resume la ley de Coulomb de la fuerza entre cargas puntuales más los efectos eléctricos
de la materia, mientras que (21-20) representa la ley de Faraday de la inducción, que es
también compatible con la ley de Coulomb para campos estáticos. El tercer miembro del
grupo, (21-21), es una consecuencia de la ley de Ampere de la fuerza entre corrientes y
también refleja el hecho de que no se sabe que existan cargas magnéticas libres. Por
último, (21-22) incluye la ley de Ampere para la fuerza entre corrientes más los efectos
magnéticos de la materia, además de la conservación de la cargalibre;lo último se desprende
del hecho de que la ecuación de continuidad (21-2) puede derivarse de (21-22), (21-19) y
(1-49), por lo que ya no es necesario escribirla en forma separada.
Estas ecuaciones diferenciales fuente deben, desde luego, complementarse con las
definiciones (1040) y (20-28), que relacionan pares de vectores de campo con la descrip-
ción de la materia puesta en función de las densidades volumétricas correspondientes de
momentos dipolares:
D = €0E + P	(21-23)
D
H=	M	(21-24)
Mo
Aunque siempre es posible obtener las condiciones de frontera en una superficie de
discontinuidad a partir de las ecuaciones de Maxwell y de los resultados generales del
capítulo 9, resulta conveniente listarlas por separado. Están dadas por (10-42), (9-16) y
	(17-13), (16-4), (20-30) y (20-31):
	ñ-(D2-D1) = a/
	(21-25)
	ñX(E2 —E1) = 0 o	E2, = E1Z
	(21-26)
	ñ-(B2 —B]) = 0
	(21-27)
	ñX(H2-H1) = K/	o	H2/-H1Í = K/Xñ
	(21-28)
debiendo recordarse que ñ en estas ecuaciones siempre se dibuja de la región 1 a la 2. (Nótese aquí que muchos textos, en especial los de grados superiores, omiten el subíndice f que aquí se utiliza para denotar las cargas y las corrientes libres, quedando al lector recordar que es eso precisamente lo que se implica; por tanto, es muy común encontrar todas estas ecuaciones escritas en función de los símbolos p, J, o y K. Sin embargo, en este libro se seguirán usando esos subíndices por conveniencia).
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Ecuaciones de Maxwell
Todas esta ecuaciones describen el comportamiento de los vectores de campo. La conexión básica entre los campos y su efecto sobre partículas cargadas se describen por medio de la fuerza de Lorentz sobre una carga puntual q, según (14-32):
F=#(E + vXB)	(21-29)
siendo v la velocidad de la carga.
A menudo resulta conveniente expresar las ecuaciones de Maxwell en función de únicamente dos vectores lino eléctrico y uno magnético. Por ejemplo, si se utiliza (21-23) y (21-24) para eliminar D y H de (21-19), (21-29), (21-21) y (21-22), se obtienen las ecuaciones de Maxwell expresadas en función de E y de B:
V-E=—(py-V-P)	(21-30)
€0
VXE=-v	(21-31)
dt
VB=0	(21-32)
V XB = fJj,-!- V XM + t,® +	)	(21-33)
Dos de estas ecuaciones no cambiaron y las otras dos ya no son tan compactas, debido a que las propiedades de la materia aparecen ahora en forma explícita. Sin embargo, su forma resulta fácil de comprender. El término entre paréntesis de (21-30) es, obviamente, la densidad total de carga escrita como la suma de las densidades de carga libre y ligada como se vio en (10-38). De manera similar, el término entre paréntesis de (21-33) representa la densidad total de corriente, Jtot. Es claro que las dos primeras partes corresponden a la densidad de corriente libre y a la densidad de corriente de magnetización de (20-10). Los últimos dos términos juntos representan la densidad de corriente de desplazamiento que se ve ahora que tiene dos contribuciones: la primera, e0(8E/3í), se encuentra presente aún en ausencia de materia y es nombrada densidad de corriente de desplazamiento del vacio, y el último término, dP/dí, ya se manejó antes en (12-18) como la densidad de corriente de polarización asociada con el movimiento de las cargas ligadas. A menos que P y M representen polarización o magnetización permanentes, existe una dependencia adicional de E con respecto a B en estas ecuaciones, en el sentido de que todavía existe la posibilidad de que P — P (E) y que M = M (B), y hasta que no se conozcan estas relaciones funcionales, dichas ecuaciones serán de utilidad limitada.
Las condiciones de frontera también pueden expresarse completamente en función de E y de B resultando que las que sí cambian de fbrma son
ñ-(E2-E1) = L[ff/_ñ.(p2_pi)]	(21-34)
flX(B2-Bl)-ft)[K,+ftX(M2-M1)]	(21-35)
de acuerdo con los resultados anteriores (10-12) y (20-12).
De manera similar, también es posible expresar las ecuaciones básicas en función de los pares (E, H), (D, B) y (D, H) en caso de que se desee hacerlo, y los términos que resultan se pueden interpretar de la misma manera.
Ecuaciones de Maxwell para medios isotrópicos homogéneos lineales
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Las llamadas formas integrales de la ecuaciones de Maxwell se obtienen al combinar el teorema de la divergencia (1 -59) y el teorema de Stokes (1-67) con los miembros apropiados de (21-19), (21-20), (21-21) y (21-22), resultando lo siguiente:
(21-36)
(21-37)
(21-38)
(21-39)
Un poco de reflexión bastará para convencer a cualquiera que todos los resultados generales obtenidos en los capítulos anteriores pueden obtenerse a partir de las ecuaciones resumidas en esta sección, aunque a menudo se deba trabajar hacia atrás el procedimiento usado para obtenerlas originalmente.
Por último, se puede puntualizar que las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales lineales. En consecuencia, si se conocen dos o más campos electromagnéticos que sean soluciones de ellas, la suma de estos campos será también otra solución. Por lo general, a este hecho se le conoce como la propiedad de superposición del campo electromagnético o simplemente como el principio de superposición.