3 Campo eléctrico dentro de un dieléctrico - Arturo Lara (1)

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8- 3 Campo eléctrico dentro de un dieléctrico
Hasta ahora todos los resultados se han obtenido considerando el potencial, y el correspondiente campo eléctrico, en una punto de campo en el vacío, fuera del cuerpo dieléctrico. La razón fue que si no había problema en cuanto a la interpretación del campo eléctrico en el sentido de (3-14), ya que se puede colocar una carga de prueba en ese punto y medir la fuerza ejercida sobre ella sin ningún problema. Sin embargo, al estudiar la situación dentro del dieléctrico no es posible medir la fuerza sobre una carga de prueba sin, por ejemplo, barrenar el material para poder introducir dicha carga de prueba. Pero si esto se hiciera, sería fácil predecir una alteración en la situación preexistente por el solo hecho de haber retirado algunas cargas ligadas volumétricas e introducido algunas cargas superficiales nuevas, ya que esto crearía una nueva superficie limitante. Existen varias formas de contestar a la pregunta de qué se entiende por campo eléctrico dentro del dieléctrico.
Lo más sencillo, y probablemente lo mejor, es calcular el potencial y su campo eléctrico asociado dentro del dieléctrico en exactamente la misma manera como si se tratara de un punto fuera de él. En otras palabras, se dice que (10-6) o (10-9) pueden usarse para calcular 0 en cualquier punto, por definición. Ciertamente no hay nada malo en esto y es algo perfectamente razonable; es consistente con el remplazo conceptual del dieléctrico por un conjunto de distribuciones volumétricas y superficiales equivalentes de cada carga ligada, como se muestra en la figura 10-2. Se estudió este procedimiento anteriormente en la sección 3-4, y se puede volver a apuntar que la meta básica es desarrollar una descripción macroscópica del electromagnetismo que esté de acuerdo con la experimentación. Se volverá a tocar este punto más adelante.
Otra manera de resolver el problema es empezar con una imagen microscópica de la situación y tratar de determinar las ecuaciones macroscópicas como promedios adecuados. Este es un programa muy complicado de realizar con precisión para todo el electromagnetismo, por lo que deberá ser suficiente un breve bosquejo de qué es lo que ocurre en la electrostática. A esta escala, la mayor parte de la región interna consistirá en vacío, y el campo eléctrico estará determinado por todas las cargas nucleares y los electrones atómicos. Este campo eléctrico tendrá variaciones enormes a medida que se pasa de puntos cercanos a estas cargas a otros puntos que estén comparativamente lejos de ellas. Al mismo tiempo, variará muy rápidamente con respecto al tiempo, dado que las cargas que
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lo constituyen están en movimiento. Así pues, cuando se define el campo macroscópico, es deseable hacerlo como un promedio lo suficientemente grande tanto en el tiempo como en un volumen como para contener un buen número de moléculas, más no tan grande que no pueda ser considerado infinitesimal a escala de laboratorio. (Este problema es similar al de difinir densidades de carga promedio, como se vio en la sección 2-4; ahí se concluyó que si se toma una división demasiado reducida, p puede acusar fluctuaciones demasiado grandes.) Si es el campo microscópico, se desea que tenga las mismas propiedades básicas en el vacío que aquéllas expresadas por (4-10) y (5-4), es decir,
V-e=~ y VXe = 0	(10-14)
eo
donde pm es la densidad de carga definida a escala microscópica. El campo macroscópico E se define entonces como
E = <e>	(10-15)
donde < e > es un promedio en tiempo y espacio. Dado que los operadores diferenciales son constantes en lo que toca a este proceso de promedios, de (10-14) y (10-15) se obtiene:
Vx<e> = VxE = 0	(10-16)
V. <e> = V-E=l<pm>	(10-17)
€0
Ahora la misma pm puede esperarse que tenga grandes variaciones especiales y temporales, pero su promedio, debería reducirse a la densidad promedio de las cargas ligadas desplazadas ; es decir, < pm > = pb, de manera que
V-E=—	(10-18)
€o
Pero (10-16) Y (10-18) son equivalentes a simplemente utilizar (10-9) y (5-4) en primer lugar. Así, este procedimiento conduce a exactamente las mismas conclusiones que se alcanzaron en el párrafo anterior.
Este método de determinar E en el material, pasando de lo microscópico a lo macroscópico, es algo diferente de la cuestión de cómo ve realmente el campo eléctrico una molécula, lo cual, a final de cuentas, determinará el momento dipolar que se produzca. Este campo no necesariamente es igual al E macroscópico definido arriba, ya que la propia molécula contribuye al campo resultante. Este asunto se deja para el apéndice B; ahí se calculan las propiedades electromagnéticas de la materia como la respuesta resultante de sus átomos y moléculas constitutivas, pero no es necesario en este punto preocuparse por ello.
Aquí resulta de gran utilidad verificar que las definiciones de 0 y E que se acaban de adoptar estén en concordancia con los experimentos iniciales con dieléctricos realizados por Faraday. Esto se hace únicamente en forma cualitativa aquí, aunque más adelante, en la sección 10-7, se dará el estudio cuantitativo. Se consideran dos experimentos sencillos. Se carga un capacitor a una carga Q y se mide su diferencia de potencial, A0o, cuando hay vacío entre las placas. La capacidad será
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(10-19)
de acuerdo con (6-28). Ahora se llena la región entre las placas de este mismo capacitor con un dieléctrico “razonable” como cera o aceite, mientras se mantiene Q constante, y se vuelve a medir la diferencia de potencial A0. La capacidad es ahora
(10-20)
El resultado experimental es que A0 < A0O, Y Por 1° tanto,
OC0	(10-21)
¿Cómo se puede comprender que la diferencia de potencial haya disminuido? Supóngase, para ser específico, que se considera un capacitor de placas paralelas. Así se puede asumir que el campo eléctrico está dirigido de la placa cargada positivamente a la placa cargada negativamente como se muestra en la figura 6-9; al calcular A0O por medio de (6-38) se obtiene
A</>0 = í E0-Js=E0¿/
J +
(10-22)
donde Eo es el campo eléctrico en la presencia de vacío y d es la separación entre las placas. De manera similar, si E es el campo eléctrico cuando el dieléctrico se encuentra entre las placas, se obtiene
^=Ed	(10-23)
y, dado que A0<A0o, siendo d constante, se concluye que
E<Eq	(10-24)
De esta manera, el campo eléctrico ha disminuido en presencia de materia eléctrica. ¿Cómo pudo ocurrir esto? En la figura 10-6 se muestra un capacitor con un dieléctrico entre las placas. Las superficies del dieléctrico se muestran ligeramente separadas de las placas del capacitor, por claridad, pero se supone que en realidad toda la región se encuentra llena. Si el dieléctrico está uniformemente polarizado, de manera que P = const, entonces pb = 0, de acuerdo con (10-10). Así,
Q+ +	+	+	+	+	+	+	+
-Q ------	-	-	-
Figura 10-6. Cargas y campos en un capacitor de placas paralelas.
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Figura 10-7. Cavidad utilizada para medir E en un dieléctrico.
las únicas cargas ligadas serían las superficiales dadas por (10-8) con los signos como se indican. Estas cargas superficiales producirán un campo Eb en la dirección señalada; como la carga Q seguirá produciendo el campo EQ, el campo resultante E será
E=E0-Eb	(10-25)
de manera que E<EQ, en concordancia con (10-24) y los resultados experimentales. Por tanto, este método para evaluar el campo dentro del material por medio de la carga ligada equivalente concuerda, por lo menos en este caso, con la experimentación y con las ideas generales que se han enunciado con respecto a la relación entre el campo eléctrico y el potencial, expresadas en (6-38).
Aunque ya se mencionó brevemente la dificultad para medir el campo eléctrico en el dieléctrico por medio de una carga prueba, todavía cabe preguntarse si existe alguna manera de hacerlo—obviamente se tendría que perforar el material para introducir una carga. Es posible reproducir un esquema así por medio del uso apropiado de lascondiciones de frontera que debe satisfacer E; la más relevante es (9-21), que enuncia que Et es continuo. El rozamiento detrás de esto es como sigue: (1) de alguna manera se determina la dirección de E en el dieléctrico (como se verá en la sección 10-6), esto es muy fácil de lograr para una gran cantidad de dieléctricos; (2) se perfora un agujero largo y delgado en el material en dirección paralela a E, como se ilustra en la figura 10-7—esta cavidad tiene ahora un vacío en su interior (una cavidad de este tipo generalmente recibe el nombre de cavidad “tipo aguja”); (3) cualesquiera cargas superficiales ligadas que pudieran alterar los campos se encuentran en los extremos de la cavidad, ya que son los únicos lugares donde P posee una componente normal, y, dado que los extremos se encuentran muy alejados en relación al área tan pequeña, se pueden despreciar sus efectos; (4) dado que sólo se implican componentes tangenciales, entonces Ec = E, donde Ec es el campo en la cavidad; (5) ahora se introduce una carga de prueba, 8q, en la cavidad, y se mide la fuerza5 Fc sobre ella. Por (3-14),
„	«F,
EC = ^=E	(10-26)
y en esta forma es posible encontrar el campo en el dieléctrico a partir de mediciones realizadas en la cavidad. A este esquema se le conoce como la definición de campo basada en la cavidad.