3 E paralelo al plano de incidencia - Arturo Lara (1)

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24- 3 E paralelo al plano de incidencia
Se procede aquí de una manera muy similar a la de la sección anterior. Supóngase que todos los campos magnéticos se dirigen hacia adentro de la página; la figura 25-12 muestra la situación resultante. Según H = k X E/Z y k • E = 0, y tras un breve análisis de la figura, se puede observar que la análoga de (25-26) es
E=ZHxk y	(25-41)
de manera que
E i=-ZH(k ñ)= — £(k-ñ)	(25-42)
puesto que k Hz = 0 (son perpendiculares) y los valores de E y H se encuentran relacionados entre sí por el factor Z.
En consecuencia, la continuidad de las componentes tangenciales de E (es decir, Ej • t - E2 • t ) conduce a
Figura 25-12 E, es paralelo al plano de incidencia.
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Reflexión y refracción de ondas planas
ñ) + Er(kr-ñ) = (E¡ — £,.)(£,•• n) = Et(kt- ñ)	(25-43)
por medio de (25-11) y (25-4). Puesto que los H son siempre componentes tangenciales y paralelas, Hltang = H2tang conduce a
Hi + Hr = Ht^
Ei + Er _ Et
Zj Z2
(25-44)
Pueden ya resolverse las ecuaciones 25-43 y 2544 para obtener las relaciones Er/E¡ y Et/Ej. Al hacerlo, y después de utilizar bastante álgebra y trigonometría, se pueden obtener todos los siguientes resultados de la misma manera que en la sección anterior.
Las soluciones generales aplicables a todos los valores de nx/n2 y son:
Er\ _ Z1(k/‘ñ)-Z2(k/ft) _ ZiCOS^—Z2[l-(rt1/n2)2sen26i.],/2
'' ll Zi(kfñ) + Z2(k/íi) cos3¡ + Z2[ 1 — (nl/n2)2sen?0.j
\ =	2Z2(k,--ñ)		 2Z2cos0,
Ei /h Zi(kz-ñ) + Z2(k/ft) z1Cos0,. + Z2[ 1 -(«y^)2^,]172
(25-46)
Cuando 6t es un ángulo real (n1 <n2 ó nx > n2 y Q¡ < 0C), las relaciones se vuelven
Er\ _ Zi cos0¡ — Z2cosfft _ pijsen2¿¿ — sen 20,
E¡ ) |f Zj cos 0¡ + Z2 cos 9t ¡ij sen 29, + /x2scn 29t
(25-47)
Et \ _	2 Z2 cos 9t _	4g2 cos 9¡ sen 9t
~E¡]~ Zl cos0, +Z2cos0r ” ¿i1sen20i.-|-íi2sen20t
(25-48)
y, además, cuando nt = ¡i2, se obtienen las otras dos ecuaciones de Fresnel
í Er\ _ tan(#, — #,)
\ Et•/h	tan(0z + 0,)
/	\ _ 2cos^sen^
\ E{ / (|	sen(0. + eos (- 0t)
(25-49)
Las diversas expresiones para incidencia normal son
Er \	Z¿ j ’ 2Z2	/íj/í2	[i2n j
E¡ J ||	Zj + Z2	p.in2+p,2//j
y	(jx =	(25-50)
rt2+«l
-E'í/ll Zi + Z2 w2+n,2nx
y <25-5»
En estos últimos resultados se tiene una aparente contradicción de signos. Si se observan de nuevo las figuras 25-2 y 25-8 se observa que para incidencia normal, cuando y ñ están en la misma dirección, no existe un plano de incidencia definido, de modo que no se puede hacer distinción alguna en cuanto a si E es perpendicular o paralelo al plano de inci-
E paralelo al plano de incidencia
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Figura 25-13 Relación de los campos eléctricos reflejado e incidente según las ecuaciones de Fresnel para/?! -Ca
dencia, por lo que los resultados de ambos casos deben reducirse a los mismos. Si bien (25-51) concuerda con las expresiones correspondientes de (25-33), (25-37) y (2540), las diversas formas de (Er/Ei) difieren por un signo menos. Esto resulta de la elección inicial de signos en ambos casos. En la figura 25-9 se supuso que Er y Ez eran paralelos, por lo que se consideró a Er/Ei como un número positivo; pero para nx <n2 resultó ser en realidad negativo, como ya se vio arriba. Por otro lado, las direcciones opuestas de E,. y Ez- se tomaron en consideración desde un inicio en la figura 25-12, de manera que la relación Er/E¡ se consideró también positiva. En otras palabras, la diferencia de signos refleja una diferencia en el tratamiento a los dos, pero cada uno de los casos es consistente internamente y por lo tanto deben ser consistentes entre sí.
Las figuras 25-13 y 25-14 muestran gráficas de las relaciones según están dadas por las ecuaciones de Fresnel (25-49), para n} < n,2. Analizando la figura 25-14 primero, se observa que es similar a la figura 25-11 en cuanto a la falta de un cambio de fase enla onda
Figura 25-14 Relación de los campos eléctricos transmitido e incidente según las ecuaciones de Fresnel para/?! </?2.
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Reflexión y refracción de ondas planas
transmitida, desapareciéndose éste también en el caso de incidencia rasante. Puesto que esto mismo ocurrió en el caso anterior, se puede concluir que la radiación electromagnética siempre se refleja completamente en la superficie de un dieléctrico en el caso de incidencia rasante. (Se podría verificar esto ahora mismo si se observa tina fuente luminosa por reflexión contra una hoja de papel áspero y se va aumentando gradualmente el ángulo de incidencia hasta llegar a 90°.)
Adicionalmente, en la figura 25-13 se observa que no ocurrió aquí lo mismo que en el caso anterior, pues se presenta ahora un ángulo 0p para el que la onda reflejada es igual a cero. De (25-49) se desprende que la condición para esto es que el denominador de (Er/Ei) || sea infinito, es decir que 0p + 6tp = 90° , donde 0tp es el ángulo de refracción correspondiente. En ese caso la ley de refracción(25-18)sevueíven1 sen0p = n2 sen 0tp = n2 sen (90° ~0p) = n2 eos 0p, de modo que
n->
tanflp=^	(25-52)
un resultado que se conoce como la ley de Brewster. Al ángulo 0p se le da el nombre de ángulo de polarización por la siguiente razón. Considérese una onda incidente que no está polarizada, en el sentido de que su campo eléctrico posee componentes Eq y E|| ambas diferentes de cero. Si esta onda incide con el ángulo de polarización 0p, entonces sólo la componente Eq se reflejará, de modo que la onda reflejada sólo tendrá esa componente y por lo tanto se habrá polarizado. La polarización de la luz por reflexión fue descubierta experimentalmente por Malus, quien se encontraba observando la luz del sol reflejada en las ventanas del Palacio de Luxemburgo en París, resultando así una evidencia adicional de la naturaleza de onda electromagnética de la luz.
En la figura 25-13 se observa también que cuando 0Z > 0p, la relación (Er/E¡)\\ es negativa. Esto significa que la fase de la onda reflejada ha sido invertida repentinamente, es decir, que ha cambiado por 180° al pasar el ángulo de incidencia por el valor del ángulo de polarización.