7 Polarización - Arturo Lara

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24- 7 Polarización
Hasta ahora muchos de los resultados se han obtenido a partir de la forma supuesta (24-89), sin especificar mucho acerca de Eo y Bo, a excepción de que son constantes, que están relacionados entre sí por Bo = (Zr/co)k X Eo según (24-92) y que ambos descansan sobre el plano perpendicular a la dirección de propagación. El carácter de la onda depende de la naturaleza de las amplitudes en este plano; el estudio puede concentrarse sobre Eo puesto que Bo siempre puede encontrarse a partir de él.
Para simplificar un poco la discusión, supóngase que se han escogido unos ejes de modo que la dirección de propagación sea la dirección positiva de z; el plano transversal es, pues, el plano xy, pero no se hace suposición alguna con respecto a la orientación específica de los ejes x y y en relación con la amplitud; por ejemplo, no se ha tomado ninguno de ellos en la dirección de Eo. Puesto que Eo descansa sobre este plano, se le puede descomponer en sus componentes para expresar
Eo =	+ EOyy	(24-114)
Dado que tanto EOx y EOj, son por lo general números complejos, se les puede expresar en la forma (24-24) como
Et>x = E¡e®' E„y = E2e‘3>	(24-115)
dc manera que E, según (24-29), se convierte en
E = (E1e'd,x+ E2e,&2y)el(kz~u,)	(24-116)
Para simplificar, se toma k como real; ya se verá después que esto no afecta las conclusiones básicas. Si entonces se toman las partes reales de (24-116), se encuentra que las componentes del campo eléctrico son
Ex = Ex cos(kz -ut + tlj)
Ey = E2 cos(Az — + #2)
(24-117)
La descripción del campo eléctrico depende ahora de los valores relativos de las amplitudes (Ei, E2) y de las fases (#t, t?2).
Puesto que, según (24-117), — Ex ^Ex <Er y —E2, la punta del vector del campo
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Ondas planas
eléctrico deberá siempre caer dentro del rectángulo punteado de la figura 24-7; nótese que ahora se está utilizando E para representar el campo eléctrico físico y no la expresión compleja de (24-116). La dirección de propagación está dada por el eje z y es hacia afuera de la página.
Supóngase un observador en la posición específica. A medida que el tiempo transcurre, según (24-117) las componentes de E varían de modo que el propio E cambia también y la punta del vector E traza una trayectoria de algún tipo dentro del rectángulo punteado. Se puede encontrar esta trayectoria u “órbita” si se elimina (kz — de (24-117). Se encuentra que
E
=cos(Zcz — wZ)cosi?’l —sen (£z — c^sení)]
E
= cos(kz - vt) cosí>2 -sen(£z - w/) sen$2 E2
y por lo tanto,
E	E
—^sen^2—-Lsen^j = — cos(Zíz — <c/)sen(^] — #2) E\	E2
E	E,
-t(lcos^2—¿7-cosí), = --sen(^z — w/)sen(^l — # )
E i	E2
Elevando al cuadrado cada una de las expresiones y después sumando los miembros correspondientes, se obtiene
/ E \l E \	/ E \2
-2	/ cosí í», - #2) + / =sen>(#, -
\ ■C'l / \ ■C'2 /	\ -c'2 /
(24-118)
Esta ecuación de segundo grado es la ecuación de una elipse (puesto que tanto Ex como Ey permanecen finitos), por lo que se dice que el campo eléctrico esEipolarizado elípticamente. Por lo tanto, la trayectoria trazada por la punta de este campo podría ser como la que se
Figura 24-7 Las componentes de un campo eléctrico en el plano transversal a la dirección de propagación.
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Figura 24-8 Un campo eléctrico polarizado
elípticamente.
muestra en la figura 24-8. La inducción magnética B estará también polarizada elípticamente puesto que B es siempre perpendicular a E, resultando que su elipse estaría rotada 90° con respecto a la de E.
Los valores de los ejes principales de la elipse y su orientación con respecto a los ejes dependen claramente de las amplitudes Ex y E2 y áe la fase relativa de las dos componentes,ya que (24-118) depende sólo del valor absoluto de la diferencia de la fase - #2I- Resultará de gran ayuda considerar algunos casos especiales.
I. #,-02 = 0
En este caso, (24-118) se reduce a [(Ex¡El) - (Ey/E2)]2 = 0, o sea,
Ex Ey
El E2	(24-119)
Esta es la ecuación de la línea recta diagonal como la que se muestra en la figura 24-9. La punta de E recorre siempre esta línea y se dice que el campo se encuentra linealmente polarizado. Esto puede verse también de (24-117), ya que cuando = ú2 las dos componentes están en fase, es decir, alcanzan sus máximos y sus mínimos juntas, y se anulan juntas; una relación de este tipo produce la línea recta que se muestra en la figura.
II. |#-|— ^2| = 7T
Ahora (24-118) se reduce a [(Ex/Ef) + (Ey/E2)]2 = 0, o sea,
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Figura 24-10 Un campo eléctrico polarizado linealmen-
te cuya diferencia de fase entre las componentes x y y
es igual a tt.
Figura 24-11 Un campo eléctrico polarizado
elípticamente cuya diferencia de fase entre las
componentes x y y es de 1/2 tt.
En este caso, el campo también está polarizado linealmente, pero comoE’x y Ey siempre tienen signos contrarios la línea trazada por E es la otra diagonal, como se muestra en la figura 24-10.
III. — ^2\ = tt/2
Aquí (24-118) se vuelve
(24-121)
que es una elipse cuyos ejes mayor y menor se encuentran alineados con los ejes coordenados como se ilustra en la figura 24-11. Un caso especial de esto ocurre cuando Et = E2 - Eo, con lo que (24-121) se vuelve la ecuación del círculo Ex 2 + Ey 2 = Eo 2; se dice entonces que el campo está polarizado circularmente.
Como se acaba de ver, la forma de la elipse es independiente del signo de la diferencia de la fase - d2. Sin embargo, el sentido de trazo de la trayectoria sí depende del signo, y es justamente eso lo que se considera a continuación. Resulta conveniente introducir la diferencia de la fase A explícitamente haciendo
— #2 = A
y abreviando la fase asociada con Ex como
P = kz — w/ +
(24-122)
(24-123)
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de modo que (24-117) se convierta en
Ex = Ex cos P	Ey = E2 cos(P - A)	(24-124)
Para analizar estas expresiones es de gran utilidad referirse a la figura 24-12, en la que se ha graficado una porción de los términos cosenos en función de P. La línea llena es cos P, de modo que A = 0 para ella. La línea de rayas muestra cos(P — A) para A> 0, observándose que, como función deP, va detrás de la línea llena. La línea de puntos muestra cos (P — A) para A negativas, y se ve que está adelante de la curva A = 0 como función de P. Si ahora se considera (24-124) cofno una función de laP creciente, entonces cuando ti>0,Ey, sigue a Ex,es decir,alcanza su máximo después queEx, se vuelve cero después que Ex, y así sucesivamente. La figura 24-13 muestra este comportamiento, y dado que el eje z es perpendicular a ese plano y hacia afuera de la página, se observa que la elipse está siendo trazada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa en direcciónopuesta a la de la propagación (y por tanto, en el sentido de las manecillas del reloj si se le observa en la dirección de propagación, es decir, mirando hacia afuera de la página). Si A es negativa, entonces Ey va adelante de Ex y el sentido de rotación es el opuesto al anterior , como se ilustra en la figura 24-14.
Figura 24-12 cos (P-AJ para varios valores de A.
Figura 24-13 La elipse está trazada en un sentido contrario al de las manecillas del reloj, cuando se le observa desde la dirección opuesta a la de la propagación.
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Ondas planas
Figura 24-14 El sentido de rotación es el mismo del de las manecillas del reloj cuando se ve desde el lado opuesto a la dirección de propagación.
Figura 24-15 Una onda polarizada círcularmente de (a) helicidad positiva y (b) helicidad negativa.
Según se puede ver por (24-123), P varía tanto conz como con í, pero de diferentes maneras. Por lo tanto, resulta conveniente considerarlas por separado.
Supóngase que t tiene un valor definido; es decir, considérese lo que se podría observar en función de la posición z, muy a la manera de una fotografía de la onda. A medida que z aumenta, P aumenta, por lo que se pueden aplicar las figuras directamente. Así, si A> 0, al mirar en la dirección de propagación (hacia afuera de la página), se verá que el campo eléctrico gira en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que los hará al revés si A es negativa.La figura 24-15 muestra estas situaciones para una onda polarizada circularmente. Por medio de la regla estándar de la mano derecha para definir sentidos de rotación, se puede ver que (a) corresponde al sentido positivo de rotación y (b) al negativo; una onda como (a), correspondiente a A> 0, se describe como una onda de helicidad positiva, mientras que la correspondiente a una diferencia de la fase negativa tendría helicidad negetiva.
Por otro lado, si se considera un observador en una posición definida (z = const.), se verá que a medida que l aumenta P disminuye, de acuerdo con (24-123). Si se revisa la forma en que se trazaron las figuras 23-13 y 24-14 con la ayuda de la figura 24-12, se puede observar que si se sustituye “P creciente” por “P decreciente” en estas figuras, también se tendrá que invertir el sentido de rotación de las elipses. En este caso el observador, al mirar hacia la página, y por lo tanto en contra de la dirección de propagación, verá que E traza su elipse en el sentido de las manecillas del reloj para A positivas y en contra del
¿Son constantes los parámetros electromagnéticos de la materia?
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sentido de las manecillas del reloj para A< 0. (En otras palabras, el observador estará mirando hacia la fuente, que sería lo más razonable), A las polarizaciones en estos casos se les denomina derecha (positiva) e izquierda (negativa) respectivamente.
Así, desde cualquier punto de vista, la correlación ha resultado ser la misma; una diferencia de fase A positiva corresponde a un sentido de rotación positivo y una diferencia de la fase negativa a un sentido de rotación negativo.