3 Números complejos - Axel Sánchez Nazario (1)

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NÚMEROS COMPLEJOS
ELABORÓ: M . I FR ANCISCO BAR R ER A DEL R AYO
Números complejos (ℂ)
Los números complejos son una extensión de los números reales.
Considerando la ecuación $% − 2$ + 2 = 0 se tienen las siguientes raíces:
+$, = 1 + −1
$% = 1 − −1
En este sistema de números complejos al número −1 se le representa
con la letra . esto es: . = −1
Por lo que las soluciones se pueden representar como: /$, = 1 + .$% = 1 − .
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Forma binómica de los ℂ
ℂ = # # = $ + &' ; $, & ∈ ℝ ,-. ' = −1}
Se tiene que:
§ Si $ = 0 y & ≠ 0 ⇒ # = &' Número imaginario
§ Si & = 0 ⇒ # = $ Número Real
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Parte Real Parte Imaginaria
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Plano de Argand
El plano de Argand o complejo es una forma de visualizar y ordenar el
conjunto de los números complejos. El eje de abscisas recibe el nombre
de eje real y el eje de ordenadas el nombre de eje imaginario.
!
ℝ
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Igualdad, adición, sustracción en los ℂ
Definición de la igualdad 
(# + %&) = () + *&) ⟺ # = ) , % = *
Definición de la adición Definición de la sustracción
-. + -/ = # + ) + % + * & -. − -/ = # − ) + % − * &
Sean -. = # + %& , -/ = ) + *& ∈ ℂ
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Conjugado de un número complejo
Sea ! = # + %& un número complejo. El conjugado se representa como:
# + %& = # − %&
Propiedades del conjugado
1. !( + !) = *!( + *!)
2. !( + !) = *!( + *!)
3. (!() = !(
4. !( = !( ⟺ !( ∈ ℝ
5. (!( + !() ∈ ℝ
6. !( + !( ∈ ℝ
∀ !(, !) ∈ ℂ
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Multiplicación y división en los ℂ
Sean "# = % + '( ) "* = + + ,( ∈ ℂ
Definición de la multiplicación
"#"* = % + '( + + ,( = %+ − ', + %, + '+ (
Definición de la división
"#
"*
= "#"*
/ 0"*0"*
= % + '(+ + ,( /
+ − ,(
+ − ,( =
%+ + ', + '+ − %, (
+* + ,*
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Propiedades de la adición y la multiplicación en los ℂ
∀ #$, #&, #' ∈ ℂ
Propiedades Adición Multiplicación
Cerradura #$ + #& ∈ ℂ #$ * #& ∈ ℂ
Asociatividad #$ + #& + #' = #$ + #& + #' #$ * #& * #' = #$ * #& * #'
Conmutatividad #$ + #& = #& + #$ #$ * #& = #& * #$
Elemento idéntico ∃ 0 ∈ ℂ | #$ + 0 = #$ ∃ 1 ∈ ℂ | #$ * 1 = #$
Elementos inversos ∃ −#$ ∈ ℂ | #$+ (−#$) = 0 ∃ #$3$∈ ℂ | #$ * #$3$ = 1 con #$ ≠ 0
Distributividad #$ * #& + #' = #$ * #& + #$ * #'
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Forma polar o trigonométrica de los ℂ
Otra forma de representar a los números complejos es en su forma polar
o también conocida como forma trigonométrica:
"
ℝ$ %
& '
( = % + &+
(', $)
( = % + &+
Se sabe que % = ' cos θ y & = ' sen θ
Sustituyendo tenemos:
( = ' cos θ+ + ' sen θ
( = ' cos θ + + sen θ
( = ' cis θ
Forma binómica
Forma polar
Representación compacta
' = %6 + &6 $ = tan9: &%
0° ≤ $ < 360°
Módulo Argumento
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Igualdad, multiplicación y división en los ℂ
Sean "# = %# cis )# * "+ = %+ cis )+ ∈ ℂ
Definición de la Igualdad
"# = "+ ⟺ .
%# = %+ con %# * %+ ≠ 0
)# = )+ + 4 360° donde 4 ∈ ℤ
Definición de la multiplicación
(%# cis )#) %+ cis )+ = %#%+ cis ( )#+)+ )
Definición de la división
(%# cis )#)
%+ cis )+
= %#%+
cis ( )#−)+ )
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Definición del conjugado
" = % cis )
" = % cis −)
Potenciación y Radicación en los ℂ
Sean " = $ cis ( ∈ ℂ
Radicación
* " = * $ cis ( + ,(360°)3
, = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … , (3 − 1)
Potenciación
": = ($ cis (): = $: cis (3()
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Forma Exponencial o Euler de los ℂ
Euler demostró que: cos θ + & sen θ = *+,
Con lo cual - se puede escribir como:
Donde . se expresa en radianes
- = / (cos θ + & sen θ )
- = / *+,
*+,
Forma polar
Forma Euler
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Igualdad, multiplicación y división en los ℂ
Sean "# = %# &'() * "+ = %+ &',) ∈ ℂ
Definición de la Igualdad
"# = "+ ⟺ /
%# = %+ con %# * %+ ≠ 0
5# = 5+ + 7 29 donde 7 ∈ ℤ
Definición de la multiplicación
(%# &'()) %+ &',) = %#%+ &('(?',))
Definición de la división
(%# &'())
%+ &',)
= %#%+
&('(@',))
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Potenciación y Radicación en los ℂ
Sean " = $ %&' ∈ ℂ
Radicación
) " = ) $ %
* = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … , (3 − 1)
Potenciación
"6 = ($ %&')6 = $6 %6&'
7 + *(29)
3 :
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Ecuaciones con números complejos
Las ecuaciones con número complejos se resuelve aplicando
técnicas semejantes a las usadas para ecuaciones algebraicas,
esto es, despejando, factorizando, resolución de polinomios,
etc.
En ocasiones en estas ecuaciones tienen números complejos
expresados en sus diferentes formas, para resolver estas
ecuaciones es necesario realizar las transformaciones
correspondientes para pasar de una forma a otra.
M.I Francisco Barrera Del Rayo