Circuitos Trifásicos - Eugenio Gonzalez Bernal

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González Paco Memo
Sistemas electromecánicos
Circuitos Trifásicos	Noviembre de 2014	SEM
Breve investigación de los circuitos trifásicos, correspondiente al tema de Análisis de circuitos del curso de Sistemas Electromecánicos	UNAM - FI
Marco teórico:
El descubrimiento del campo magnético producido por las interacciones de corrientes de dos y tres fases en un motor fue uno de los más grandes logros de Tesla y fue la base para la creación de su motor de inducción y el sistema polifásico de generación y distribución de electricidad.
Gracias a esto, grandes cantidades de energía eléctrica pueden ser generadas y distribuidas eficientemente a lo largo de grandes distancias, desde las plantas generadoras hasta las poblaciones que alimentan. Actualmente se continúa utilizando la forma trifásica del sistema de Tesla para la transmisión de la electricidad, además la conversión de electricidad en energía mecánica es posible debido a versiones mejoradas de los motores trifásicos de Tesla.
Introducción
En ingeniería eléctrica un sistema trifásico es un sistema de producción, distribución y consumo de energía eléctrica formado por tres corrientes alternas monofásicas de igual frecuencia y amplitud que presentan una cierta diferencia de fase entre ellas, en torno a 120°, y están dadas en un orden determinado. Cada una de las corrientes monofásicas que forman el sistema se designa con el nombre de fase.
Noción de fase: Los generadores trifásicos constan de tres bobinas donde se inducen tres voltajes monofásicos desfasados entre sí 120º, como se mencionó antes. Este mismo razonamiento se puede hacer en los motores.
 Voltaje de las fases de un sistema trifásico equilibrado. Entre cada una de las fases hay un desfase de 120º
La principal aplicación para los circuitos trifásicos se encuentra en la distribución de la energía eléctrica por parte de la compañía de luz a la población. Tesla probó que la mejor manera de producir, transmitir y consumir energía eléctrica era usando circuitos trifásicos. Y algunas de las razones por las que la energía trifásica es superior a la monofásica son:
· La potencia en KVA (Kilovolt-amper) de un motor trifásico es aproximadamente 150% mayor que la de un motor monofásico.
· En un sistema trifásico balanceado los conductores necesitan ser el 75% del tamaño que necesitarían para un sistema monofásico con la misma potencia en VA por lo que esto ayuda a disminuir los costos.
· La potencia proporcionada por un sistema monofásico cae tres veces por ciclo. La potencia proporcionada por un sistema trifásico nunca cae a cero por lo que la potencia enviada a la carga es la misma.
· Si rotamos un campo magnético a través de una bobina entonces se produce un voltaje monofásico y se observaría una señal de voltaje. En cambio, si colocamos tres bobinas separadas por ángulos de 120° se estarán produciendo tres voltajes con una diferencia de fase de 120° cada uno.
La Generación y Distribución de electricidad, son un conjunto de instalaciones que se utilizan para transformar otros tipos de energía en electricidad y transportarla hasta los lugares donde se consume. Todos estos requieren una serie de equipos suplementarios para proteger los generadores, transformadores y las propias líneas de conducción. Suelen incluir dispositivos diseñados para regular la tensión que se proporciona a los usuarios y corregir el factor de potencia del sistema. Los generadores utilizados en centrales eléctricas son trifásicos, dado que la conexión a la red eléctrica debe ser trifásica (salvo para centrales de poca potencia). La trifásica se usa mucho en industrias, donde las máquinas funcionan con motores para esta tensión.
Un Transformador, es una máquina estática, constituida de dos circuitos inductivos llamados primario y secundario, los cuales no están conectados físicamente, sino acoplados magnéticamente, existen 3 tipos: elevador (El número de vueltas del secundario es mayor que el primario), reductor (El número de vueltas del secundario es menor que el primario), relación uno a uno o compensador (El número de vueltas es igual para el primario y secundario).
Un motor, es una máquina que convierte energía en movimiento o trabajo mecánico. La energía se suministra en forma de combustible químico, como gasóleo o gasolina, vapor de agua o electricidad, y el trabajo mecánico que proporciona suele ser el movimiento rotatorio de un árbol o eje. A una máquina que convierte la energía mecánica en eléctrica se le denomina generador, alternador o dinamo, y a una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica se le denomina motor. Dos principios físicos relacionados entre sí sirven de base al funcionamiento de los generadores y de los motores. El primero es el principio de la inducción descubierto por el científico e inventor británico Michael Faraday en 1831. 
Los motores eléctricos pueden ser de corriente eléctrica, de corriente alterna, y de corriente alterna y directa simultáneamente. A los motores de corriente alterna también se les conoce como motores de inducción o asíncronos. A los motores que operan con energía alterna y directa se les conoce como motores síncronos. Los motores de energía eléctrica alterna, trabajan con dos líneas de alimentación por lo que podemos decir que son que son monofásicos, cuando trabajan con tres líneas de alimentación se conocen como trifásicos.
Los cortacircuitos se utilizan para proteger todos los elementos de la instalación contra cortocircuitos y sobrecargas y para realizar las operaciones de conmutación ordinarias. Estos cortacircuitos son grandes interruptores que se activan de modo automático cuando ocurre un cortocircuito o cuando una circunstancia anómala produce una subida repentina de la corriente. En el momento en el que este dispositivo interrumpe la corriente se forma un arco eléctrico entre sus terminales.
Un Transformador, es una máquina estática, constituida de dos circuitos inductivos llamados primario y secundario, los cuales no están conectados físicamente, sino acoplados magnéticamente, existen 3 tipos: elevador (El número de vueltas del secundario es mayor que el primario), reductor (El número de vueltas del secundario es menor que el primario), relación uno a uno o compensador (El número de vueltas es igual para el primario y secundario).
Generador trifásico 
Están compuestos por:
• Una parte fija o estator, constituido por un paquete de chapas magnéticas que conforman un cilindro con una serie de ranuras longitudinales.
 Sobre cada par de ranuras opuestas se colocan los lados de una bobina, cuyos principios y fin tienen la siguiente designación:
 Bobina 1: u - x
 Bobina 2: v - y
 Bobina 3: w - z
 Las bobinas son constructivamente iguales, con el mismo número de espiras y con una distribución geométrica tal que sus ejes magnéticos forman un ángulo de 120 °. 
• Una parte móvil o rotor, que está ubicada dentro del estator y que consiste de un electroimán alimentado por corriente continua. El giro de dicho rotor se produce mediante una máquina impulsora (Motor diésel, turbina de vapor, de gas, hidráulica, eólica) que mantiene una velocidad angular constante. 
Conexión en estrella y triángulo (delta)
Las tres bobinas pueden ser unidas formando una conexión en estrella o en triángulo.
 Uniendo en un punto común los tres principios o finales de las bobinas, obtenemos una conexión estrella, llamando a este “centro de estrella” o “neutro” y lo designaremos con la letra “O”.
Cada uno de los arrollamientos se llama “fase del generador”.
 Podemos entonces representar un generador trifásico en estrella como la unión en un punto común de tres generadores monofásicos cuyas tensiones están desfasadas 120°, según se observa en la figura. Los principios de los arrollamientos se conectan a la línea de alimentación de las cargas.
Esquema: generadores monofásicos conectados en estrella. 
 En la conexión triángulo, los arrollamientos de fase se conectan en serie uniendo él principio de uno con el final del otro, tal como se muestra en la figura
El receptorpara este tipo de generador está compuesto por un sistema de tres cargas, que las representamos por sus impedancias equivalentes que son las fase del receptor, las cuales se pueden unir de forma tal de quedar conectadas en conexión estrella o triángulo. Identificaremos al punto común de las cargas conectadas en estrella con la letra “O´”. La forma de conexión del generador y del receptor son independientes, por lo que se puede utilizar cualquier variante.
 La unión entre el generador y el receptor se efectúa con conductores que llamaremos “Líneas”.
 Si el generador y el receptor están conectados en estrella, el conductor que une ambos centros de estrella se llama “neutro”. 
 En muchas ocasiones es bastante práctico para la resolución de problemas, especialmente en el caso de motores, hacer cálculos en una conexión o en otra. Veamos entonces cuál es la equivalencia entre ambas conexiones.
· Conversión de un triángulo en una estrella:
Para calcular a qué equivale cada carga del triángulo en la nueva estrella, debemos aplicar las expresiones:
 
· Conversión de una estrella en un triángulo: 
Las expresiones que debemos aplicar son: 
 Si tenemos cargas equilibradas, las impedancias son iguales, por lo que al realizar estas expresiones nos quedará otra mucho más sencilla:
	ZΔ=3.ZY 
Es decir, las impedancias en triángulo son igual a tres veces las de estrella.
La equivalencia estrella-triángulo se usa en el arranque de algunos motores (concretamente, los motores asíncronos trifásicos de rotor en cortocircuito).
Cuando un motor arranca, absorbe una intensidad muy grande de la red, lo que sobrecarga la red y disminuye la duración de los aparatos. Una forma de disminuir esta energía, es conectar el motor en estrella al arrancar y luego conmutar a la conexión en triángulo, una vez arrancado. Al conectar el motor en estrella, cada una de las fases está sometida a una tensión  veces menor que si estuviese en triángulo, con lo que la intensidad queda reducida a la tercera parte en estrella que en triángulo. Hay que tener en cuenta que el par motor también queda reducido a la tercera parte, por lo que es conveniente arrancar el motor en vacío.
Análisis de circuitos trifásicos
Es importante en este punto considerar toda la información explicada anteriormente, así como de conceptos fundamentales que se irán exponiendo y retomando, para el apoyo en resolución de problemas.
Un sistema trifásico de tensiones se dice que es equilibrado cuando sus corrientes son iguales y están desfasados simétricamente. 
Para que los tres voltajes de un sistema trifásico estén balanceados deberán tener amplitudes y frecuencias idénticas y estar fuera de fase entre sí exactamente 120°.
Importante: En un sistema trifásico balanceado la suma de los voltajes es igual a cero:
Va + Vb + Vc = 0
Cuando alguna de las condiciones anteriores no se cumple (corrientes diferentes o distintos desfases entre ellas), el sistema de tensiones es un desequilibrado o más comúnmente llamado un sistema desbalanceado. Recibe el nombre de sistema de cargas desequilibradas el conjunto de impedancias distintas que dan lugar a que por el receptor circulen corrientes de amplitudes diferentes o con diferencias de fase entre ellas distintas a 120°, aunque las tensiones del sistema o de la línea sean equilibradas o balanceadas.
Puede expresarse como:
Conexiones posibles entre el generador y las cargas.
Tanto la fuente como las cargas pueden estar conectadas en Y o en delta por lo que existen 4 configuraciones posibles:
Para poder resolver circuitos trifásicos basta con entender primero cómo resolver un circuito Y – Y ya que cualquier otra configuración se puede reducir a un circuito Y-Y utilizando transformaciones -Y.
Corrientes de línea
Las fórmulas para obtener las tres corrientes de línea son:
 
Donde
Circuito equivalente monofásico
Ya que los voltajes de las tres fases del circuito son iguales en amplitud pero desfasados en el tiempo y también las tres corrientes del circuito son iguales en amplitud pero desfasadas en el tiempo 120° en un circuito trifásico balanceado únicamente necesitamos obtener los datos de una sola fase (preferentemente la fase a que es la que comúnmente se toma como referencia) para así poder calcular los datos de las demás fases a partir de esta.
Como se explicó en el gráfico de partes de un circuito trifásico, la línea neutra no transporta ninguna corriente y tampoco tiene ningún voltaje por lo que se puede quitar del circuito Y-Y o se puede remplazar por un corto circuito.
Utilizando esta propiedad podemos obtener a partir de un circuito trifásico un circuito equivalente monofásico (una sola fase) que nos simplifica nuestro análisis. 
Potencias
Potencia por fase
Las técnicas para calcular la potencia por fase son:
Potencia total
La potencia total es 3 veces la potencia calculada para cada fase. 
Potencia instantánea
En un circuito trifásico equilibrado, la potencia instantánea total presenta una característica interesante: es constante.  Se puede demostrar que su valor es:
Las expresiones son las mismas para los cálculos de potencias, tanto para circuitos en delta como en estrella.
Relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase en un circuito en forma de delta
En las siguientes imágenes se muestra cuáles son las corrientes de línea y las corrientes de fase para una carga en forma de delta:
Es de mucha utilidad el poder obtener las corrientes de fase a partir de las corrientes de línea y viceversa en problemas que involucren cargas o fuentes en forma de delta. La razón es que cuando en un circuito trifásico tenemos una carga en forma de delta no podemos obtener un circuito monofásico equivalente ya que no hay línea neutra. Como un circuito monofásico es más fácil de resolver que uno trifásico lo mejor en este caso es transformar la delta utilizando transformaciones delta-Y a una Y, posteriormente ya que se tiene la carga y la fuente en forma de Y se puede obtener el circuito equivalente monofásico como se explicó anteriormente y así obtener la corriente de línea. Una vez que obtenemos esta corriente de línea es posible saber en base a esta cuánto vale la corriente en cada una de las ramas de la delta y por lo tanto se da respuesta al problema inicial.
Observando las figuras podemos notar lo siguiente:
- La corriente en cada brazo de la delta es la corriente de fase
- El voltaje en cada brazo de la delta es el voltaje de fase.
- El voltaje de fase es igual al voltaje de línea.
En un circuito trifásico con secuencia de fase positiva en donde  es la magnitud de la corriente de fase y la corriente de fase AB es la corriente de referencia, las fórmulas para obtener las corrientes de línea a partir de las corrientes de fase son:
Finalmente, debido a las características de los circuitos trifásicos, que poseen ventajas que los hace preferibles y utilizables globalmente; además de presentar beneficios económicos y funcionales como son: economía de sus líneas de transporte de energía (hilos más finos que en una línea monofásica equivalente) y de los transformadores utilizados, así como su elevado rendimiento de los receptores, especialmente motores, a los que la línea trifásica alimenta con potencia constante y no pulsada, como en el caso de la línea monofásica. 
Otras ventajas
1. Permite crear un campo magnético giratorio. 
2. La potencia eléctrica generada o transportada en régimen permanente es constante. 
3. Permite el empleo de la tensión fase-fase o de la tensión fase-neutro. 
4. La potencia transportada representa el triple de la transportada en monofásico. 
5. El uso de transformadores permite elevar la tensión para realizar el transporte a grandes distancias. 
 
VARIABLES DE ESTADO
Introducción
En la teoría de control clásica sólo se consideran importantes las señales de entrada y salida. El análisis y diseño de los sistemas de control se realiza utilizando la función de transferencia que es su característica importante, expresada en el dominio de las frecuencias complejas.Sin embargo, en ésta todas las condiciones iniciales del sistema se desprecian, y generalmente se limita a sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Pero resulta ser una forma valiosa para el análisis y diseño de sistemas en el dominio de la frecuencia y en los estudios de estabilidad.
La teoría de control moderna es un procedimiento en el dominio del tiempo para el análisis y diseño de sistemas complejos, debido a los cada vez más severos requisitos de comportamiento de los sistemas. Teniendo por lo tanto, sistemas de múltiples entradas y salidas que pueden ser lineales o no lineales, invariantes o variables en el tiempo, además para cuando se está interesado en la solución en el dominio temporal que depende de la historia del sistema. 
La descripción con el método de variables de estado en cuanto al sistema, se le considera como un todo. Por tanto se tomará en cuenta tanto las variables internas del sistema como las variables de entrada-salida. Existen varias razones por las que se considera útil esta descripción:
1. Para determinar el modelo, puede ser necesario examinar el comportamiento no sólo de la entrada y la salida, sino de todas las señales importantes del sistema.
1. Es necesaria una descripción más general del sistema para analizar diversas entradas y salidas.
1. Al estudiar sistemas complejos, se necesita una descripción compacta del sistema. Por lo que al hacer una representación matricial – vectorial, como en el caso de las variables de estado resulta independiente su complejidad.
Este método puede ser particularmente atractivo, porque proporciona la oportunidad de desarrollar y aplicar conocimientos e intuición física, pues es esencialmente transparente para el tipo de sistema que se modele (mecánico, eléctrico, de procesamiento químico, térmico, etc.).
Representación de sistemas en el espacio de estado
En el análisis y diseño de los sistemas dinámicos de control en el dominio del tiempo se utiliza el concepto de estado que es una descripción cuantitativa de la condición o estado, del sistema en un particular instante.
El estado de un sistema dinámico en cualquier momento t0 es el conjunto más pequeño de números suficiente para determinar el comportamiento o disposición del sistema para todo tiempo dados estos números y las entradas en el momento t0 , así como todas las entradas para todo tiempo . 
Por tanto estado es un concepto cuantitativo o matemático. Sin embargo, los fenómenos físicos son y pueden representarse como modelos matemáticos, por lo que estado es asimismo un concepto físico, que en otras palabras se enuncia. El estado de un sistema dinámico representa la cantidad mínima de información sobre el sistema en el momento t0 necesaria para determinar el comportamiento futuro con base en las entradas en t0 y las entradas futuras. En consecuencia, la forma de construir un modelo de un sistema, consiste en escribir las ecuaciones que describan el estado del modelo físico con respecto del tiempo, ya que resolviendo el modelo es posible obtener el comportamiento del mismo en cualquier instante.
Con base a la definición dada, es posible inferir que el estado de un sistema físico se puede definir por medio de un conjunto de variable cuyos valores, en cualquier instante representan el conjunto mínimo de números referenciados en la definición. Por lo que, las variables de estado es el conjunto de números o variables independientes que identifican al sistema, además de describir el movimiento que realiza. El número de variables de estado necesarias y suficientes para describir la dinámica del sistema es igual o menor que el número de elementos capacitivos e inductivos (elementos que guardan energía). Este número a su vez es igual al orden del sistema.
Las variables de estado deben formularse de tal modo que si uno conoce sus valores en un instante dado, junto con los valores de las variables de entrada para ese momento y para todo momento futuro, entonces la disposición del sistema y de estas variables se determina completamente para ese momento y para cualquier momento futuro. Una construcción matemática que satisface particularmente este requerimiento es el problema del valor inicial de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (sistemas analógicos) o una ecuación en diferencia (sistema discreto). Dado el valor de la variable dependiente en cualquier instante (condición inicial) y los valores de las variables de entrada para ese instante y para todo tiempo subsecuente, es posible resolver la ecuación diferencial (o en diferencia) para el valor de la variable dependiente para todo tiempo a partir de ese instante, lo que nos da la ecuación de estado. Por lo que, existirá una ecuación de estado para cada variable de estado.
Para un sistema dado existe más de un conjunto de variables de estado, todas válidas. Sin embargo, todas deben de tener el mismo número de variables de estado, y cada conjunto para que sea válido debe consistir de cantidades independientes.
El espacio de estado, es el espacio matemático (n – dimensional) cuyas coordenadas son las variables de estado. Por lo tanto, en cualquier instante, el estado del sistema está representado por un “punto” en el espacio de estado. De donde, lo anterior explica el uso del término enfoque de espacio de estado para describir el modelo de sistemas basado en las ecuaciones de estado.
Se puede describir un sistema dinámico, existente en un número finito de elementos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, en las que el tiempo es la variable independiente.
El modelo matemático de estos sistemas serán las ecuaciones inmediatas siguientes y las posteriores para los casos continuos y discretos, respectivamente; en ambos casos la primera ecuación, que contiene la dinámica del sistema, se denomina ecuación de estado y la segunda ecuación de salida.
	
	
En estas, ,  y  son matrices reales, mientras que u, x, y son los vectores definidos, que contienen las variables de entrada, salida y estado respectivamente.
Nótese que la dinámica del sistema está representada en la ecuación de estado, pues es allí en donde aparecen las derivadas o las diferencias, mientras que la ecuación de salida es algebraica.
Sistemas continuos
En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio.
La forma más general de representación por variable de estado de un sistema continuo está dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo; y la segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo. Así tenemos: 
Ecuación de estado              [Ec. 1.a]
Ecuación de salida               [Ec. 1.b]
Aquí consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m componentes respectivamente. Esta forma de representación es válida para los sistemas continuos no-lineales y variantes en el tiempo en forma general.
Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:
[Ec. 2.a]
[Ec. 2.b]
Si el sistema representado por las ecuaciones 1, es un sistema lineal, la dependencia de  e y, pasa a ser lineal:
[Ec. 3.a]
[Ec. 3.b]
Donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo.
Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del tiempo: 
[Ec. 4.a]
[Ec. 4.b]
En general la dimensión de los vectores u e y puede ser cualquiera. Si en particular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denomina SISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesen mayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (multiple-input multiple-output).
Sistemas propios y estrictamente propios
Para un sistema SISO, que sea lineal,la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:
[Ec.5]
Donde y(r) es la derivada temporal r-ésima de la salida y con respecto al tiempo, y u(q) es la derivada temporal q-ésima de la entrada u con respecto del tiempo.
En sistemas físicos reales se da siempre que r es mayor o igual que q. Si fuera lo contrario, nunca se podría definir y en función de u pues no sería causal. A los sistemas en que r es mayor o igual a q se los denomina propios. En el caso en que r es mayor que q (no cabe la posibilidad de que sean iguales) se los denomina estrictamente propios.
Se puede demostrar que en los casos que el sistema es estrictamente propio, no existe transmisión directa, y la matriz D se hace nula en esos casos (tanto en la ecuación 3.b como en la ecuación 4.b).
 
Sistemas discretos
De igual manera, podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado:
Ecuación de estado              [Ec. 6.a]
 Ecuación de salida               [Ec. 6.b]
Donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) es el vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente.
Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos no-lineales e invariantes en el tiempo en forma general.
Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo: 
[Ec. 7.a]
[Ec. 7.b]
Si el sistema representado por las ecuaciones 6, es un sistema lineal, la dependencia del vector de estado en un nuevo tiempo x(k+1) y la salida y(k) pasa a ser lineal: 
[Ec. 8.a]
[Ec. 8.b] 
Donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del instante k.
Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del instante de tiempo k:
[Ec. 9.a]
[Ec. 9.b]
De manera similar pueden definirse nuevamente aquí, los sistemas propios y los sistemas estrictamente propios, y en éstos últimos consecuentemente la matriz D se hace nula (no hay transmisión directa de ninguna de las entradas a ninguna de las salidas)
El modelo externo: Función de transferencia
 
Sistemas continuos
La función de trasferencia de un sistema lineal la  definimos como la razón de la transformada de Laplace de la variable de salida del sistema a la transformada de Laplace de la variable de entrada, con todas las condiciones iniciales asumidas como cero.
La función de transferencia así definida de un sistema o elemento representa la relación que describe la dinámica del sistema o elemento involucrado.
En el caso de la representación en diagramas de bloques, es una práctica habitual en control de colocar las funciones de transferencia de cada elemento dentro del bloque correspondiente.
 
Respuesta del sistema como convolución
Llamemos h(t,t) a la respuesta del sistema en el tiempo t, de haber introducido como entrada un impulso en el tiempo t. Entonces podemos pensar por la propiedad de superposición que una señal de entrada u(t) la podemos descomponer como una suma infinita de señales impulso moduladas con la señal de entrada u: 
La salida en el tiempo t habiendo puesto en la entrada del sistema una señal u(q) . d|q será: 
 Y por lo tanto, la sumatoria infinita (la integral) de todas estas respuestas será entonces la salida en el tiempo t (la entrada antes del tiempo 0 se consideran nulas): 
Y si determinamos entonces, cuánto vale la función de transferencia del sistema lineal e invariante en el tiempo es:
Sistemas discretos
La función de transferencia de un sistema lineal discreto  la  definimos como la razón de la transformada Z de la variable de salida del sistema a la transformada Z de la variable de entrada, con todas las condiciones iniciales asumidas como cero.
 
Fácilmente podemos trasladar también las propiedades de la función de transferencia discreta: si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la función de transferencia es única, es un cociente de polinomios y es además la respuesta del sistema a un impulso unitario.
 
0
t
t
³
0
t
t
³