matrices - Axel Sánchez Nazario (1)

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Matrices 
 
Teorema: sean A, B y C matrices de respectivamente, cuyos 
elementos son números complejos, entonces 
 
Teorema: Sean A, B y C matrices de respectivamente y D, E 
y F matrices de respectivamente cuyos elementos son 
números complejos, entonces; 
i) 
ii) 
 
Matriz identidad 
 
 
 
 
Teorema: Si A es una matriz de con elementos en C, entonces 
i) 
ii) 
Inversa de una matriz 
Definición: Sea A una matriz de con elementos en C. Una matriz X se dice 
que es inversa de A si X y se representa con . Por tanto 
 
Definición: Sea A una matriz de con elementos en C. Se dice que A es no 
singular si existe , en caso contrario se dice que es singular. 
Teorema: propiedades de la inversa 
Si A y B son dos matrices no singulares del mismo orden y , entonces 
1) es única 
2) 
 
 
3) 
4) 
 
 
 si 
 
 
Tipos especiales de matrices cuadradas 
 
Partes de una matriz 
 
Los elementos de la diagonal principal tienen la característica de que , se 
dice entonces que son de la forma 
 
Los elementos del triángulo superior tienen la característica de que 
Los elementos del triángulo inferior tienen la característica de que 
 
Traza de una matriz (tr A) 
 
Definición: Sea A una matriz de orden n con elementos en C. Se define la traza 
como 
 
 
 
 
 
 
Teorema: propiedades de la traza 
Si A y B son dos matrices de orden n con elementos en C y 
1) 
2) 
3) 
Matrices triangulares superiores e inferiores 
Sea una matriz de con elementos en C. Se dice que 
1) A es triangular superior si para 
2) A es triangular inferior si para 
 
Teorema: propiedades de las matrices triangulares superior e inferior. Si A y B son 
dos matrices triangulares superiores o inferiores del mismo orden y 
entonces: 
1) es triangular superior (inferior) 
2) es triangular superior (inferior) 
3) es triangular superior (inferior) 
 
 
Matriz diagonal y matriz escalar 
Definición de matriz diagonal: Sea una matriz de con elementos en 
C. Se dice que A es una matriz diagonal si para y se representa con 
 
 
Teorema: Propiedades de la matriz diagonal 
Si A y B son dos matrices diagonales tales que y 
 y , entonces 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición de una matriz escalar 
Una matriz escalar de orden n, se dice que es escalar si tiene la forma 
 
 
 
 
 
 
 
Operaciones sobre matrices 
 
Transpuesta ( ) 
Sea una matriz de con elementos en C. Se llama 
transpuesta de A a la matriz de n tal que 
 Teorema: Propiedades de la operación transposición. Si son dos 
matrices con elementos en C y , entonces 
1) 
1) ( 
2) ( 
3) ( 
 
Matrices simétricas y anti simétricas 
Definición: Sea A una matriz de orden n con elementos en C. Se dice que 
1) A es simétrica si 
2) A es anti simétrica si 
 
Matrices Simétricas 
Si entonces 
 
 
Matrices anti Simétricas 
Si entonces 
 
 
Teorema: Si A y B son las matrices simétricas (antisimétricas) de orden n y , 
entonces 
1) es simétrica (anti simétrica) 
2) es simétrica (anti simétrica) 
Teorema: Si A es una matriz de orden n con elementos en C, entonces 
1) es simétrica 
2) es anti simétrica 
Conjugación 
Definición: Sea una matriz de con elementos en C. Se 
llama conjugada de A a la matriz de m tal que 
 
Teorema: Propiedades de la conjugación. Si son dos matrices con 
elementos en C y , entonces 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
Matrices reales y matrices imaginarias 
Sea una matriz de con elementos en C. Se dice que 
1) A es real si 
2) A es imaginaria si 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Si A y B son las matrices reales (imaginarias), entonces 
1) es real (imaginaria) 
2) es simétrica real (imaginaria) 
Teorema: Si una matriz de con elementos en C entonces 
1) es real 
2) es imaginaria 
 
 
Conjugación-Transposición 
 
Definición: Sea una matriz de con elementos en C. Se llama 
conjugada-transpuesta de A y se representa con a la matriz de n definida 
por 
Teorema: Si A es una matriz de con elementos en C entonces 
 
Teorema: Propiedades de las conjugación-transposición. Sean A y B dos matrices 
del mismo orden respectivamente con elementos en C, entonces 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
Matriz hermitiana y antihermitiana 
 
Definición: Sea A una matriz de orden n con elementos en C. Se dice que 
1) A es hermitiana si 
2) A es antihermitiana si 
 
 
 
Determinantes 
Una matriz de n hileras y n columnas es llamada matriz cuadrada de orden n. Con una 
matriz cuadrada usamos un número llamado el determinante de la matriz. Se dice que el 
determinante de una matriz es del mismo orden que esta. 
 
El determinante representa al número que es la suma algebraica de todos los posibles 
productos obtenidos 
1) Tomando como factores uno y sólo un número de cada hilera y de cada columna 
2) Dando a cada producto el singo de mas o el signo de menos según haya un 
número par o impar de inversiones en el segundo subíndice (correspondiente a la 
columna) cuando los factores del producto se escriben de modo que el primer 
subíndice (correspondiente a los renglones) no presente inversiones. 
Propiedades de los determinantes 
1) El valor de un determinante no cambia si se intercambian hileras y columnas 
correspondientes. 
2) Si cada uno de los elementos de una hilera (o columna) de un determinante es 
igual a cero, entonces el valor del determinante es igual a cero. 
3) Si dos columnas (o renglones) de un determinante son intercambian, el signo del 
determinante no cambia. 
4) Si dos columnas (o renglones) de un determinante son idénticas, el valor del 
determinante es cero. 
5) Si cada uno de los elementos de una columna (o renglón) de un determinante se 
multiplica por un número m, el valor del determinante se multiplica por m. 
6) Si cada elemento de una columna (o renglón) de un determinante es una 
constante veces los elementos correspondientes de otra columna ( o renglón), el 
valor del determinante es cero. 
7) Si cada elemento de una columna de una determinante se expresa como la suma 
de dos determinantes, el determinante es igual a la suma de dos determinantes. 
8) El valor de un determinante no se altera si cada elemento de una columna ( o 
renglón) se multiplica por un número m y se suma a los elementos 
correspondientes de cualquier columna ( o renglón).