MM2013Sesion13 - Axel

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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
3. Modelado Euler-Lagrange de Sistemas
Electromecánicos
JCMG - 2013 690
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Contenido
3.1 Introducción.
3.2 Coordenadas básicas, parámetros concentrados, energı́a-estado.
3.3 Ecuaciones de equilibrio a partir de funciones energı́a-estado
(ecuación restringida de Lagrange).
3.4 Grados de libertad y coordenadas generalizadas.
3.5 Formulación completa de la Ecuación de Lagrange
3.6 Redes eléctricas y funciones energı́a-estado
3.7 Ecuación de Lagrange para sistemas eléctricos
y mecánicos conservativos
3.8 Acoplamiento en sistemas electromecánicos.
3.9 Inclusión de elementos disipativos.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
3.1 Introducción
El modelado de sistemas mecánicos, eléctricos y electromecánicos tiene una lar-
ga historia vieja ya de varios siglos.
Como se ha visto precedentemente se han desarrollado métodos de modelado
especı́ficos para cada una de estas clases de modelos: leyes de Kirchhoff para
sistemas eléctricos (métodos de mallas y de nodos, método basado en Teorı́a de
Grafos) y métodos basados en la segunda ley de Newton y el Principio d’Alembert
para sistemas mecánicos.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las técnicas clásicas de modelado de los sistemas en cuestión parten de la con-
sideración de los elementos constitutivos idealizados de los sistemas como sis-
temas de parámetros concentrados, cuyo comportamiento está dictado por leyes
constitutivas simples.
El objetivo del modelado clásico es la obtención de ecuaciones de equilibrio que
describen la dinámica del sistema.
NOTA 152 Los métodos clásicos, aquellos que a partir de las leyes constitu-
tivas (relaciones diferenciales), construyen las ecuaciones de equilibrio se
enfrentan frecuentemente al problema de que la interconexión de los ele-
mentos da lugar a ecuaciones que describen las restricciones (asociadas a
las interacciones).
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las restricciones aparecen en el proceso de modelado como incógnitas que de-
ben ser eliminadas para llegar a las ecuaciones de equilibrio.
Una alternativa a los métodos clásicos de modelado de sistemas eléctricos, méca-
nicos y electromecánicos, es la ofrecida por el ası́ denominado Método Variacio-
nal.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 153 El Método Variacional se basa en la consideración de que los
sistemas son esencialmente procesadores de energı́a y fue desarrollado
en el contexto de la Mecánica Clásica por una gran diversidad de especia-
listas, entre los cuales los más renombrados son sin lugar a dudas Joseph-
Louis de Lagrange (Italia 1736–1813) y William Rowan Hamilton (Inglaterra,
1805–1865).
En lo que sigue se hará una revisión rápida del Método Variacional. Inicialmente
la exposición estará restringida a los sistemas conservativos (esto es, aquellos
que no poseen elementos que disipan energı́a), posteriormente se abordará la
inclusión de elementos disipativos.
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3.2 Coordenadas básicas, elementos de parámetros concentra-
dos y funciones energı́a-estado
Elemento Capacitancia Eléctrica
En la teoria de los circuitos lineales, el sı́mbolo para la capacitancia mostrada en
la figura siguiente es descrito por la relación diferencial:
i(t) =C
dv(t)
dt
C
i
v
+
que establece que la corriente a través del capacitor es proporcional a la tasa de
cambio del voltaje en las terminales del elemento.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para un elemento dado esta constante de proporcionalidad tiene unidades de
faradios si la corriente está medida en amperes, la diferencia de potencial v está en
voltios y el tiempo t en segundos. Estas son unidades mks.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La ecuación precedente puede ser escrita en términos intregrales como sigue:
v(t) =
1
C
Z t
t1
i(t)dt + v(t1)
Ahora bien, si t1 = t�• entonces se puede considerar que v(t1) = 0 y en conse-
cuencia:
v(t) =
1
C
Z t
�•
i(t)dt
y definiendo a la función de corriente como la tasa de cambio (con respecto al
tiempo) del flujo de carga positiva, o:
i(t) =
dq(t)
dt
,
donde q(t) es la carga entendida como una función del tiempo expresada en
coulombs; ası́ que un coulomb por segundo iguala a un ampere.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En consecuencia:
q(t)�q(�•) =
Z t
�•
i(t)dt
y tomando q(�•) = 0 se tiene:
q(t) =
Z t
�•
i(t)dt =Cv(t)
o bien:
v(t) =
1
C
q(t) ,
que corresponde al elemento capacitivo lineal.
Si al carga es graficada como una función del voltaje, entonces la capacitancia
C (v) es la pendiente de la curva en cada punto, tal y como se muestra en la figura
siguiente:
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q
v
Pendiente = C(v)
Si la gráfica fuera una lı́nea recta, entonces el elemento capacitivo serı́a un capa-
citor lineal.
La carga aparece entonces como un coordenada fundamental en el capaci-
tor.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Elemento Inductancia Eléctrica
En la teoria de los circuitos lineales, el sı́mbolo para la inductancia mostrada en la
figura siguiente es descrito por la relación diferencial:
v(t) = L
di(t)
dt
L
i
v
+
que establece que el voltaje en las terminales del inductor es proporcional a la
tasa de cambio de la corriente a través del elemento.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para un elemento dado esta constante de proporcionalidad tiene unidades de
henrys si la corriente está medida en amperes, la diferencia de potencial v está en
voltios y el tiempo t en segundos.
Estas son unidades mks. La ecuación precedente puede ser escrita en términos
intregrales como sigue:
i(t) =
1
L
Z t
�•
v(t)dt
suponiendo que i = 0 en t = �•.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para interpretar la ecuación precedente es necesario revisar la ley de Faraday
para el voltaje inducido en una espira cerrada. En términos del vector de densidad
de flujo magnético, esta ley puede ser escrita como sigue:
eind =�
d
dt
Z
S
B ·dS.
Con respecto a la figura siguiente, B es el vector de densidad de flujo magnético,
en webers por metro al cuadrado, y dS es el vector incremento del área de la
superficie dirigida hacia afuera como se muestra en la figura.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
dS
i
veind
Superficie S
Devanado c
B
1
2
Para tener un vector de densidad de flujo magnético B en la dirección mostrada
en la figura se debe de insertar una corriente en el lado 2 del devanado.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En consecuencia:
v =�eind
para tener el lado positivo del voltaje en las terminales sobre la lı́nea de entrada
de corriente.
Ası́: Z
S
B ·dS
�t=t
t=�•
=
Z t
�•
v(t)dt.
La integral de superficie del vector de densidad de flujo magnético sobre una
superficie que encierra al devanado es definida como el flujo magnético que liga
al devanado.
Si el devanado tiene más de una espira, entonces la suma de las integrales de su-
perficie tomadas para cada espira estará involucrada en la ecuación precedente.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La suma total de las integrales de superficie representa al flujo de lı́gadura del
devanado multiespiras. En consecuencia, simbolı́camente:Z
S
B ·dS
�t=t
t=�•
= l (t)�l (�•) ,
donde el flujo de lı́gadura l tiene unidades de webers.
También se utiliza la unidad webers-espira, pero es equivalente a webers, ya que
las espiras no tienen unidades.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Tomando l (�•) = 0 se obtiene:
i(t) =
1
L
l (t) .
Para parámetro de inductancia lineal los flujos de lı́gaduras son proporcionales a
la corriente aplicada.
Una inductancia tiene la habilidad de acumular flujo de lı́gaduras y en el proceso
una corriente debe de existir en algún lugar (lo cual noquiere decir que la corriente
debe existir en el mismo elemento).
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Una descripción de este elemento está dada al graficar el flujo de lı́gaduras como
una función de la corriente que actualiza al campo de lı́gadura.
La curva caracterı́stica para el elemento inductancia de parámetros concentrados
se muestra a continuación.
λ
i
Pendiente = L(i)
La pendiente de esta curva en todo punto es la inductancia L(i).
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Como en el caso de la capacitancia, una lı́nea recta corresponde a una inductan-
cia lineal.
El flujo de lı́gadura aparece como un coordenada fundamental en el inductor.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Elemento Eléctrico Disipativo
Los elementos de parámetros concentrados capacitancia e inductancia se consi-
derarán como elementos que almacenan energı́a en el campo eléctrico y en el
campo magnético, respectivamente.
Todos los elementos eléctricos disipan una cierta cantidad de energı́a por unidad
de tiempo en forma de calor.
Se utiliza el término disipar porque la energı́a calorı́fica se pierde en el medio
ambiente.
JCMG - 2013 710
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para tomar en cuenta esta pérdida se requiere un tercer elemento: la admitancia.
En un medio conductivo, el vector de densidad de corriente J está relacionado con
el vector eléctrico E por medio de una expresión de la forma:
J = sE.
En esta ecuación s denota la conductividad del medio en mhos por metro.
En un medio lineal s es constante; en general s es función de J o de E.
La figura siguiente muestra un cilindro incremental del medio conductivo de área
axial DS y longitud Dl.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
∆S
∆l
J, E
El cilindro está seleccionado de manera tal que J es normal a DS y es relativamen-
te constante sobre la superficie. También, E no cambia sobre la superficie.
Los extremos del cilindro son equipotenciales y cualquier corriente que entra por
un lado sale por el otro. Por otra parte, no hay flujos de corriente en las paredes.
El vector de superficie es colineal con J y con S.
En consecuencia:
JDS = sDS
Dl
EDl.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La cantidad JDS es la corriente total en el cilindro incremental y EDl corresponde
a la diferencia de potencial entre los extremos.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
El cilindro incremental puede ser modelado por medio de una resistencia de paráme-
tros concentrados, cuyo sı́mbolo se muestra a continuación.
G mhos
q
λ
+
.
.
R ohms
Utilizando q̇ como la corriente y l̇ como el voltaje la ecuación precedente puede
escribirse como sigue:
q̇ = G
⇣
l̇
⌘
l̇ ,
donde la admitancia G = sDSDl tiene unidades de mhos y 1/G = R es la resistencia,
en unidades de ohms.
JCMG - 2013 714
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La curva caracterı́stica para la resistencia (o la admitancia) se muestra en la figura
siguiente, expresada en términos de una gráfica de q̇ como función de l̇ .
q
λ
Pendiente = G( ) = 
.
.
λ
. 1
R( )λ 
.
Si la conductividad del medio, esto es s , es constante, entonces G será también
constante y la caracterı́stica q̇-l̇ es una lı́nea recta, definiendo ası́ un elemento
disipativo lineal.
JCMG - 2013 715
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Coordenadas básicas para los elementos mecánicos traslacionales
Existen dos clases básicas de movimiento en elementos mecánicos:
1. Movimiento traslacional.
2. Movimiento rotacional.
Es claro que un sistema mecánico puede presentar ambas clases de movimiento.
Se iniciara con el movimiento traslacional.
Masa lineal de parámetros concentrados
El elemento masa lineal de parámetros concentrados se representa simbólica-
mente por medio de la figura siguiente y puede ser descrito por medio de la rela-
ción diferencial siguiente:
f (t) = M
dv(t)
dt
.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
f
Mv
La fuerza de f newtons es positiva cuando se dirige hacia abajo. La velocidad v
en m/seg es medida con respecto al marco referencial estacionario.
JCMG - 2013 717
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ambos lados de la masa se mueven con la misma velocidad. En la figura se indica
que la velocidad se toma como positiva si está orientada hacia abajo.
La segunda ley de Newton para el caso lineal establece que la fuerza neta apli-
cada a la masa es proporcional a la tasa de cambio de su velocidad (esto es a la
aceleración), con la constante de proporcionalidad M expresada en unidades de
kilogramos para unidades mks de la fuerza y de la velocidad.
Integrando la ecuación precedente se tiene entonces:
v(t) =
1
M
Z t
�•
f (t)dt
tomando la velocidad en el tiempo t = �• igual a cero.
JCMG - 2013 718
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La integral
R t
�• f (t)dt es definida como el momento p. En consecuencia:
p(t)� p(�•) =
Z t
�•
f (t)dt.
Y tomando p(�•) = 0 se tiene:
v(t) =
1
M
p(t) ,
con la velocidad siendo proporcional al momento para el caso lineal.
En general la curva caracterı́stica del elemento masa de parámetros concentrados
grafica su momento como función de su velocidad, como se muestra en la figura
siguiente.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Pendiente = M(v) 
p
v
Si la curva corresponde a una lı́nea recta, entonces la masa es constante y se
tiene una elemento masa lineal.
Se elige el momento como una coordenada mecánica básica para un sistema
mecánico traslacional.
Como en el caso de los elementos eléctricos la primera derivada de la coordenada
básica nos proporciona una variable usual en el análisis, en este caso la fuerza f .
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Resorte lineal de parámetros concentrados
Para el elemento resorte lineal de parámetros concentrados, que se muestra
simbólicamente en la figura siguiente, su descripción corresponde a la ecuación:
v(t) = K
d f (t)
dt
,
donde f es la fuerza, en newtons, aplicada al resorte, v es la velocidad, en metros
por segundo, de un extremo terminal del resorte con respecto al otro extremo ter-
minal, y K es la constante de proporcionalidad del resorte, en metros por newton.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
f
v
La constante K recibe el nombre de complianza del resorte.
Manipulando la ecuación precedente e integrando se obtiene:
f (t) =
1
K
Z t
�•
v(t)dt,
tomando f (�•) = 0.
La integral en la ecuación precedente corresponde simplemente a la posición del
extremo terminal alto del resorte, con respecto al extremo terminal bajo. Simbóli-
camente:
x(t)� x(�•) =
Z t
�•
v(t)dt
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
y tomando x(�•) = 0 se tiene:
f (t) =
1
K
x(t)
como la ecuación que describe la dinámica del resorte lineal.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 154 Es común en mecánica utilizar la constante del resorte, que es
igual al recı́proco de la complianza del resorte. En lo que sigue se utilizará la
complianza, para mantener la simetrı́a con los elementos eléctricos.
En general la curva caracterı́stica del resorte grafica la posición del resorte en
función de la fuerza aplicada, como se muestra en la figura siguiente.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Pendiente = K(f) 
x
f
La pendiente de la curva en cada instante corresponde entonces a la complianza
del resorte. Si la gráfica corresponde a una recta entonces se tiene un resorte
lineal.
NOTA 155 Las coordenadas mecánicas fundamentales son el momento y
la posición. Sus primeras derivadas son la fuerza y la velocidad, respecti-
vamente.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
El amortiguador lineal
Las coordenadas mecánicas fundamentales aparecen en el elemento amortigua-
dor, disipativo (o viscoso), de parámetros concentrados, representado esquemáti-
camente como sigue:
p
x
D
.
.
La fuerza aplicada al elemento es mostradacomo ṗ y la velocidad, ẋ, corresponde
a la velocidad del extremo terminal alto con respecto al extremo terminal bajo.
La ecuación del amortiguador lineal de parámetros concentrados está dada por:
ṗ = Dẋ,
JCMG - 2013 726
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
donde D está en unidades de newtons-segundos por metro.
Una gráfica de ṗ contra ẋ , como se muestra a continuación, proporciona la curva
caracterı́stica general del amortiguador.
Pendiente = D(x) 
p
x
.
.
.
Como antes, una recta corresponde a un amortiguador lineal.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Coordenadas básicas para los elementos mecánicos rotacionales
Todos los elementos mecánicos traslacionales se definen de manera análoga a
como se hizo con los elementos traslacionales. Sus coordenadas básicas funda-
mentales correspondientes son el momento angular y la posición angular.
Para un elemento inercia lineal de parámetros concentrados se tiene la ecuación:
T (t) = J
dw (t)
dt
,
donde: w denota la velocidad angular y es medida en radianes por segundo; T
denota el par aplicado en newtons-metro y J denota la inercia en kilogramos-
metros al cuadrado.
Integrando y considerando w (�•) = 0 se tiene:
w (t) =
1
J
Z t
�•
T (t)dt,
donde la integral es definida como el momento angular l y en consecuencia:
l (t)� l (�•) =
Z t
�•
T (t)dt.
JCMG - 2013 728
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Tomando l (�•) = 0 se tiene simplemente:
w (t) =
1
J
l (t) .
En general la descripción de un elemento inercia se realiza por medio de la grafi-
cación de su momento angular en función de su velocidad angular.
En lo que respecta al resorte rotacional lineal, su curva caracterı́stica grafica la
posición angular en función del par aplicado. En el caso lineal la función carac-
terı́stica está dada por:
T (t) =
1
K
q
q (t) ,
con la complianza K
q
en unidades de radianes por newton-metro.
Finalmente, para el amortiguador rotacional lineal se tiene:
l̇ (t) = D
q
q̇ (t) ,
con el coeficiente rotacional de viscosidad en unidades de newton-metro-segundo
por radianes.
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MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Resumen de coordenadas básicas para los elementos eléctricos y mecáni-
cos de parámetros concentrados
Coordenadas Primeras derivadas
Sı́mbolo Descripción Unidades Sı́mbolo Descripción Unidades
Eléctrico q Carga coulomb q̇ = i Corriente amperes
l Flujo de lı́gadura webers l̇ = v Voltaje voltios
Mecánico p Momento newton-seg ṗ = f Fuerza newtons
(traslacional) x Posición metros ẋ = v Velocidad m/seg
Mecánico l Momento newton-m- l̇ = T Par newton-m
(rotacional) angular seg
q Posición rad q̇ = w Velocidad rad/seg
angular angular
JCMG - 2013 730
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ecuaciones de equilibrio, variables de estado y funciones de estado
Se quiere describir la operación instantánea de un sistema compuesto por ele-
mentos eléctricos y mecánicos de parámetros concentrados.
La descripción podrı́a ser dada adecuadamente expresando ambas coordenadas
básicas para cada elemento como funciones del tiempo.
El procedimiento general para determinar las coordenadas del sistema como fun-
ciones del tiempo involucra en general el resolver un conjunto de ecuaciones di-
ferenciales simultáneas. Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de
equilibrio.
JCMG - 2013 731
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Estas ecuaciones balancean dinámicamente variables terminales especı́ficas pa-
ra los elementos de parámetros concentrados de acuerdo con las interconexiones
existentes en el sistema.
En los sistemas eléctricos las ecuaciones de equilibrio son formuladas por medio
de las leyes de Kirchhoff para para corrientes y para potenciales (ecuaciones de
mallas y ecuaciones de nodos).
En el caso de los sistemas mecánicos la formulación parte de la aplicación de la
segunda ley de Newton o del principio D’Alembert, involucrando en este caso su-
matorias de fuerzas (movimiento traslacional) o de pares (movimiento rotacional).
JCMG - 2013 732
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las variables utilizadas en la formulación de las ecuaciones de equilibrio son de-
nominadas variables de estado.
NOTA 156 Un punto de estado corresponde a los valores de las variables
de estado en un tiempo dado.
El movimiento del punto de estado como una función del tiempo también des-
cribe la operación del sistema (este movimiento es frecuentemente denominado
trayectoria de estado del sistema).
NOTA 157 La formulación de ecuaciones de equilibrio en el caso de siste-
mas que involucran acoplamientos entre componentes eléctricos y mecáni-
cos es frecuentemente complicada, por lo que se prefiere una formulación
basada en la energı́a.
JCMG - 2013 733
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
El método basado en energı́a requiere la formulación de las ası́ denominadas
funciones de energı́a-estado.
NOTA 158 En un instante dado las funciones del estado dependen de los
valores de las variables de estado en dicho tiempo, es decir no dependen
de la historia del estado.
La formulación energética da lugar a las mismas ecuaciones de equilibrio que
resultan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff y de Newton, pero el procedi-
miento de obtención es más sencillo, lo cual justifica su aplicación.
JCMG - 2013 734
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Sistemas conservativos
Como primer paso se formulará la metodologı́a energética para sistemas conser-
vativos (esto es sistemas que sólo almacenan energı́a, pero que no la disipan).
Por lo cual en el caso eléctrico sólo se abordarán sistemas que no poseen resis-
tencias, mientras que en el caso mecánico no serán incluidos los amortiguadores.
También, en un principio sólo se consideran sistemas eléctricos y mecánicos ais-
lados (sus componentes no interaccionan).
JCMG - 2013 735
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La función de estado de la capacitancia
Para un capacitor la potencia instantánea está dada por:
Pe = l̇ (t) q̇(t) ,
donde l̇ (t) denota la variable diferencia de potencial y q̇(t) denota la variable
corriente expresadas como funciones del tiempo. El subescrito e indica almacena-
miento eléctrico.
NOTA 159 La energı́a por unidad de tiempo que fluye en el capacitor
está siendo almacenada en un campo eléctrico.
JCMG - 2013 736
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Función de energı́a-estado
El incremento de energı́a suministrada en un tiempo dt está dada por:
dWe (t) = Pe (t)dt = l̇ (t)
dq(t)dt
dt
.
La energı́a total suministrada a partir de un tiempo inicial t0 hasta un tiempo t se
obtiene integrando la ecuación precedente:
We (t)�We (t0) =
R t
t0 l̇ (t)
dq(t)
dt dt
y cambiando de variable:
We (q)�We (q0) =
R t
q0 l̇
0�q0�dq0,
donde q denota la carga en el tiempo t y q0 denota la carga en el tiempo t0.
JCMG - 2013 737
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 160 En la ecuación precedente los apostrofes son utilizados para in-
dicar las variables que intervienen en la integración. Las variables sin apos-
trofes indican los lı́mites en la integral y en el caso de q se está represen-
tando el estado en el tiempo t.
Tomando We (q0) = 0 (escogiendo t0 de manera tal que q0 = 0) se tiene la energı́a
de campo eléctrico total acumulada en el capacitor:
We (q) =
Z q
0
l̇
0dq0.
JCMG - 2013 738
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Este término energético es una función de estado, ya que para un punto de estado
dado el área que corresponde al cálculo de la integral es única y visceversa, esto
es una área especı́fica corresponde a un sólo punto de estado.
Además la función de estado depende únicamente del estado final
del elemento (lo cual no es cierto si la curva caracterı́stica del ele-
mento no fuera de valor simple, tal y como es el caso cuando se
presenta el fenómeno de la histéresis).
JCMG - 2013 739
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Función de co-energı́a-estado
Una segunda función de energı́a-estado es la llamada función de co-energı́a:W 0e
⇣
l̇
⌘
=
Z
l̇
0
q0
⇣
l̇
0
⌘
dl̇ 0,
que se relaciona con We (q) como sigue:
We (q)+W 0e
⇣
l̇
⌘
= ql̇ .
En el caso especial de un capacitor lineal se tiene que:
We (q) =W 0e
⇣
l̇
⌘
=
1
2
ql̇ .
JCMG - 2013 740
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La función de estado de sistemas formados por capacitancias aı́sladas
Generalizando el tratamiento anterior para un conjunto de n capacitancias:
We (q1,q2, . . . ,qn) = Âni=1
R qi
0 l̇
0
i
�
q01,q
0
2, . . . ,q
0
n
�
dq0i.
NOTA 161 El apostrofe en las coordenadas es utilizado como antes para
indicar la carga general o el voltaje general en los elementos y las coorde-
nadas libres del apostrofe se refieren especı́ficamente a las coordenas de
los puntos de estado.
JCMG - 2013 741
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las coordenadas libres del apostrofe especificarán el estado real de los elementos
y por ende el estado del sistema de elementos interconectados.
Dado que sólo el estado final es importante se puede computar la ecuación prece-
dente considerando que la carga final en cada capacitor se deposita en secuencia.
En consecuencia:
We (q1,q2, . . . ,qn) =
R q1
0 l̇
0
1
�
q01,0, . . . ,0
�
dq01
+
R q2
0 l̇
0
2
�
q1,q02, . . . ,0
�
dq02
+ · · ·+
R qn
0 l̇
0
n
�
q1,q2, . . . ,q0n
�
dq0n.
JCMG - 2013 742
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La función de co-energı́a puede desarrollarse de manera similar. Por simetrı́a:
W 0e
⇣
l̇1, l̇2, . . . , l̇n
⌘
= Âni=1
R
l̇i
0 q̇
0
i
⇣
l̇
0
1, l̇
0
2, . . . , l̇
0
n
⌘
dq0i.
=
R
l̇1
0 q̇
0
1
⇣
l̇
0
1,0, . . . ,0
⌘
dl̇ 01
+
R
l̇2
0 q̇
0
2
⇣
l̇1, l̇
0
2, . . . ,0
⌘
dl̇ 02
+ · · ·+
R
l̇n
0 q̇
0
n
⇣
l̇1, l̇2, . . . , l̇
0
n
⌘
dl̇ 0n.
Además:
We (q1,q2, . . . ,qn)+W 0e
⇣
l̇1, l̇2, . . . , l̇n
⌘
=
n
Â
i=1
qil̇i.
JCMG - 2013 743
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ejemplo 32 Considere tres capacitores no lineales con las siguientes caracterı́sti-
cas:
q1 = 3
⇣
l̇1
⌘1/3
, q1 = 4
⇣
l̇2
⌘2/3
, q3 = 7
⇣
l̇3
⌘1/5
.
Iniciando con la función de co-energı́a e incrementando los tres voltajes sucesiva-
mente desde cero hasta sus valores finales l̇1, l̇2 y l̇3:
W 0e
⇣
l̇1, l̇2, l̇3
⌘
=
R
l̇1
0 q
0
1
⇣
l̇
0
1,0,0
⌘
dl̇ 01+
R
l̇2
0 q
0
2
⇣
l̇1, l̇
0
2,0
⌘
dl̇ 02+
R
l̇3
0 q
0
3
⇣
l̇1, l̇2, l̇
0
3
⌘
dl̇ 03
=
R
l̇1
0 3
⇣
l̇
0
1
⌘1/3
dl̇ 01+
R
l̇2
0 4
⇣
l̇
0
2
⌘2/3
dl̇ 02+
R
l̇3
0 7
⇣
l̇
0
3
⌘1/5
dl̇ 03
= 94l̇
4/3
1 +
12
5 l̇
5/3
2 +
35
6 l̇
6/5
3 .
JCMG - 2013 744
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Y en lo que respecta a la función de energı́a:
We (q1,q2,q3)
=
R q1
0 l̇
0
1
�
q01,0,0
�
dq01+
R q2
0 l̇
0
2
�
q1,q02,0
�
dq02+
R q3
0 l̇
0
3
�
q1,q2,q03
�
dq03
=
R q1
0
⇣
1
3q
0
1
⌘3
dq01+
R
l̇2
0
⇣
1
4q
0
2
⌘3/2
dq02+
R
l̇3
0
⇣
1
7q
0
3
⌘5
dq03
= 1108q
4
1+
2
5(4)3/2
q5/22 +
1
6(7)5
q63.
JCMG - 2013 745
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para evaluar la suma de ambas funciones de energı́a y verificar que ésta es igual
a Â3i=1 qil̇i se tiene que para el primer término:
9
4l̇
4/3
1 +
1
108q
4
1 =
9
4l̇
4/3
1 +
34
108l̇
4/3
1
= 3l̇ 4/31
= q1l̇1,
dado que q1 = 3
⇣
l̇1
⌘1/3
. Se sigue el mismo procedimiento para los términos
restantes.
JCMG - 2013 746
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Derivadas parciales de las funciones de estado de campo eléctrico
Para formar las ecuaciones de equilibrio por medio de las funciones energı́a-
estado se requiere calcular ciertas derivadas parciales.
Utilizando como ejemplo los elementos de campo eléctrico de parámetros con-
centrados se ilustra a continuación cómo se obtienen las ecuaciones de equilibrio.
Derivando la energı́a de campo eléctrico almacenada en el sistema de n capaci-
tores con respecto a la carga en el k-ésimo capacitor de obtiene:
∂We (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn)
∂qk
y al realizar esta derivada parcial todas las q’es se mantienen constantes, con
excepción de qk.
JCMG - 2013 747
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En consecuencia:
∂We (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn)
∂qk
=
∂
∂qk
n
Â
i=1
Z qi
0
l̇
0
i
�
q01,q
0
2, . . . ,q
0
k, . . . ,q
0
n
�
,
que se reduce a:
∂We (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn)
∂qk
= l̇k (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn) .
NOTA 162 Tomando el cambio en la energı́a almacenada en el sistema con
respecto a un cambio incremental en la carga sobre uno de los capacito-
res, y manteniendo fija las carga sobre los otros capacitores, se obtiene el
voltaje sobre el capacitor seleccionado.
JCMG - 2013 748
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ecuaciones de mallas
Las ecuaciones de malla de Kirchhoff se obtienen sumando voltajes alrededor de
ciertos lazos en un cı́rcuito eléctrico.
NOTA 163 La ecuación precedente proporciona un esquema para el
cómputo del voltaje entre las terminales de un capacitor especı́fico a partir
de una función energı́a-estado particular.
Si se desea la obtención de ecuaciones de malla se utilizan como variables de
interés (para la realización de las derivadas parciales de la función de energı́a-
estado) a cargas q y a corrientes q̇.
JCMG - 2013 749
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ecuaciones de nodos
Si se desea la obtención de ecuaciones de nodos se utilizan como variables de
interés (para la realización de las derivadas parciales de la función de energı́a-
estado) a flujos de lı́gaduras l y a voltajes de nodo l̇ .
En efecto, tomando la derivada parcial de la función co-energı́a-estado de campo
eléctrico con respecto a un voltaje particular l̇k se obtiene:
∂W 0e(l1,l2,...,lk,...,ln)
∂ l̇k
= ∂
∂ l̇k
Âni=1
R
l̇i
0 q
0
i
⇣
l̇
0
1, l̇
0
2, . . . , l̇
0
k, . . . , l̇
0
n
⌘
dl̇ 0i
= qk
⇣
l̇1, l̇2, . . . , l̇k, . . . , l̇n
⌘
.
JCMG - 2013 750
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
De esta manera el cambio en la función de co-energı́a-estado con respecto al
voltaje en el k-ésimo capacitor, cuando todos los otros voltajes están fijos, da la
carga en el k-ésimo capacitor.
Derivando ambos lados de la ecuación precedente se obtiene la corriente que
circula através del k-ésimo capacitor.
JCMG - 2013 751
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las ecuaciones de nodo se obtienen sumando corrientes en cada nodo.
Seleccionando l ’s y l̇ ’s como coordenadas se interés se obtendrán las ecuacio-
nes nodales de equilibrio de voltaje al formar derivadas parciales con respecto a
estas coordenadas.
En lo que sigue se formulan las ecuaciones de energı́a y de co-energı́a de los
elementos eléctricos y mecánicos faltantes y posteriormente se formalizará el pro-
cedimiento de obtención de las funciones de estado.
JCMG - 2013 752
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Funciones de energı́a-estado para un sistema de inductancias
La potencia instantánea suministrada a un sistema de k inductancias está dada
por:
Pm (t) =
n
Â
i=1
q̇il̇i,
donde m indica que se está almacenando energı́a de campo magnético.
Entonces, la energı́a de campo magnético total almacenada en un incremento de
tiempo dt está dada por:
dWm =
n
Â
i=1
q̇i (t)
dli (t)
dt
dt
e integrando de 0 a t (considerando igual a cero la energı́a almacenada en t = 0)
se tiene la energı́a total almacenada:
Wm (t) =
Z t
0
"
n
Â
i=1
q̇i (t)
dli (t)
dt
#
dt,
JCMG - 2013 753
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
que puede reducirse a:
Wm (l1,l2, . . . ,ln) =
n
Â
i=1
Z
li
0
q̇0i
�
l
0
1,l
0
2, . . . ,l
0
n
�
dl 0i .
JCMG - 2013 754
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La función de co-energı́a-estado para el sistema de n inductancias está dada por:
W 0m (q̇1, q̇2, . . . , q̇n) =
n
Â
i=1
Z q̇i
0
l̇
0
i
�
q̇01, q̇
0
2, . . . , q̇
0
n
�
dq̇0i
y también:
Wm (l1,l2, . . . ,ln)+W 0m (q̇1, q̇2, . . . , q̇n) =
n
Â
i=1
liq̇i.
JCMG - 2013 755
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Al realizar la derivada parcial de la función de energı́a-estado con respecto a lk
(manteniendo constantes el resto de los flujos de lı́gaduras) se obtiene la corriente
en el k-ésimo inductor:
∂Wm (l1,l2, . . . ,lk, . . . ,ln)
∂lk
= q̇k (l1,l2, . . . ,lk, . . . ,ln),
requerida para una formulación nodal.
JCMG - 2013 756
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
De manera similar se realiza la derivada parcial de la función de co-energı́a-estado
con respecto a la corriente q̇k:
∂W 0m (q̇1, q̇2, . . . , q̇k, . . . , q̇n)
∂ q̇k
= lk (q̇1, q̇2, . . . , q̇k, . . . , q̇n) ,
que corresponde al voltaje en las terminales del k-ésimo inductor, de utilidad en la
formulación en términos de mallas.
NOTA 164 En lo que respecta a la función energı́a-estado correspondiente
a elementos disipativos (admitancias o resistencias) no se produce alma-
cenamiento de energı́a. En este caso la energı́a que fluye se convierte en
calor, que se transfiere al sistema electromecánico al cual pertenece el sis-
tema eléctrico.
JCMG - 2013 757
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Funciones energı́a-estado mecánico-traslacionales
MASA: Los elementos inercia y resorte (tanto en el caso traslacional como en el
rotacional) constituyen sistemas mecánicos conservativos.
La energı́a cinética en una masa o en un elemento inercia está en la forma
de energı́a cinética, esto es energı́a asociada al movimiento. Esto e, en un
cuerpo en movimiento la energı́a (que se incremeta conforme el cuerpo se
mueva) almacenada corresponde a la energı́a cinética.
JCMG - 2013 758
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La potencia instantánea total suministrada a un sistema de parámetros con-
centrados de n elementos masa está dada por:
P =
n
Â
i
ẋi (t) ṗi (t) ,
donde ẋi (t) denota la velocidad de la i-ésima masa y ṗi (t) denota al fuer-
za aplicada a la i-ésima masa (pi (t) denota el momento asociado al i-ésimo
elemento).
JCMG - 2013 759
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En un incremento de tiempo dt la energı́a cinética T recibida por el sistema
está dada por:
dT (t) =
n
Â
i=1
ẋi (t)
d pi (t)
dt
dt.
Tomando la energı́a cinética en tiempo t = 0 igual a cero, la energı́a cinética
almacenada en algún tiempo t está dada por:
T (p1, p2, . . . , pn) = Âni=1
R t
0 ẋi (t)
d pi(t)
dt dt
= Âni=1
R pi
0 ẋi
�
p01, p
0
2, . . . , p
0
n
�
d p0i,
que corresponde al área por encima de la curva caracterı́stica correspondien-
te.
JCMG - 2013 760
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La función de co-energı́a cinética asociada está dada por:
T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn) =
n
Â
i=1
Z ẋi
0
p0i
�
ẋ01, ẋ
0
2, . . . , ẋ
0
n
�
dẋ0i
y finalmente ambas funciones de energı́a están asociadas como sigue:
T (p1, p2, . . . , pn)+T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn) =
n
Â
i=1
piẋi.
JCMG - 2013 761
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La ecuaciones de equilibrio para sistemas mecánicos frecuentemente son
formuladas por medio de la segunda ley de Newton o por medio del principio
de D’Alembert, tanto en el caso traslacional como en el caso rotacional, y
las ecuaciones expresadas en tales términos corresponden a sumatorias de
fuerzas o de pares, respectivamente.
Dado que es primordial conocer la configuración del sistema, se prefieren
formulaciones en términos de fuerza (o de pares), ya que esto involucra a las
posiciones como coordenadas. En consecuencia:
∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋk, . . . , ẋn)
∂ ẋk
= pk (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋk, . . . , ẋn)
y derivando esta ecuación por ambos lados se obtiene la fuerza requerida so-
bre el k-ésimo elemento como una función de las n velocidades en el sistema.
RESORTE: En lo que respecta al resorte traslacional, la energı́a es almacenada
bajo la forma de energı́a potencial. Un sistema de n resortes, en un incremen-
to dt, puede almacenar la energı́a potencial:
dV (t) =
n
Â
i=1
ṗi (t)
dx1 (t)
dt
dt
JCMG - 2013 762
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
y suponiendo que en t = 0 la energı́a potencial es igual a cero, la energı́a
potencial acumulada en algún tiempo t es igual a:
V (t) =
n
Â
i=1
ṗi (t)
dxi (t)
dt
dt,
que es equivalente a:
V (x1,x2, . . . ,xn) =
n
Â
i=1
Z xi
0
ṗ0i
�
x01,x
0
2, . . . ,x
0
n
�
dx0i.
JCMG - 2013 763
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En lo que respecta a la co-energı́a potencial:
V 0 ( ṗ1, ṗ2, . . . , ṗn) =
n
Â
i=1
Z ṗi
0
x0i
�
ṗ01, ṗ
0
2, . . . , ṗ
0
n
�
d ṗ0i.
y la relación entre ambas funciones de energı́a está dada por:
V (x1,x2, . . . ,xn)+V 0 (ṗ1, ṗ2, . . . , ṗn) =
n
Â
i=1
xi ṗi.
Derivando la función de energı́a potencial con respecto a xk se tiene:
∂V (x1,x2, . . . ,xk, . . . ,xn)
∂dk
= ṗk (x1,x2, . . . ,xk, . . . ,xn) ,
que representa la fuerza aplicada al k-ésimo resorte en función de las coor-
denadas de posición.
JCMG - 2013 764
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Funciones energı́a-estado mecánico-rotacionales
Para los elementos rotacionales se tiene de manera similar:
INERCIA ROTACIONAL: Función de energı́a cinética:
T (l1, l2, . . . , ln) =
n
Â
i=1
Z li
0
q̇i
�
l01, l
0
2, . . . , l
0
n
�
dl0i.
Función de co-energı́a:
T 0
�
q̇1, q̇2, . . . , q̇n
�
=
n
Â
i=1
Z
q̇i
0
l0i
�
q̇
0
1, q̇
0
2, . . . , q̇
0
n
�
dq̇ 0i .
JCMG - 2013 765
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
RESORTE ROTACIONAL: Función de energı́a potencial:
V (q1,q2, . . . ,qn) =
n
Â
i=1
Z
qi
0
l̇0i
�
q
0
1,q
0
2, . . . ,q
0
n
�
dq 0i .
Función de co-energı́a potencial:
V 0
�
l̇1, l̇2, . . . , l̇n
�
=
n
Â
i=1
Z l̇i
0
q
0
i
�
l̇01, l̇
0
2, . . . , l̇
0
n
�
dl̇0i.
li denota el momento angular del i-ésimo elemento de inercia y qi el i-ésimo
desplazamiento angular.
JCMG - 2013 766
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Resumen de funciones energı́a y de co-energı́a-estado de elementos con-
servativos
Elemento Funciones de energı́a-estado Tipo de energı́a
Capacitancia We (q1,q2, . . . ,qn) = Âni=1
R qi
0 l̇
0
i (q
0
1,q
0
2, . . . ,q
0
n)dq0i. Campo eléctrico
W 0e
⇣
l̇1, l̇2, . . . , l̇n
⌘
= Âni=1
R
l̇i
0 q
0
i
⇣
l̇
0
1, l̇
0
2, . . . , l̇
0
n
⌘
dl̇ 0i
Inductancia Wm (l1,l2, . . . ,ln) = Âni=1
R
li
0 q̇
0
i (l
0
1,l
0
2, . . . ,l
0
n)dl 0i Campo magnético
W 0m (q̇1, q̇2, . . . , q̇n) = Âni=1
R q̇i
0 l̇
0
i (q̇
0
1, q̇
0
2, . . . , q̇
0
n)dq̇0i
Masa traslacional T (p1, p2, . . . , pn) = Âni=1
R pi
0 ẋi (p
0
1, p
0
2, . . . , p
0
n)d p0i Cinética
T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn) = Âni=1
R ẋi
0 p
0
i (ẋ
0
1, ẋ
0
2, . . . , ẋ
0
n)dẋ0i
Resorte traslacional V (x1,x2, . . . ,xn) = Âni=1
R xi
0 ṗ
0
i (x
0
1,x
0
2, . . . ,x
0
n)dx0i Potencial
V 0 ( ṗ1, ṗ2, . . . , ṗn) = Âni=1
R ṗi
0 x
0
i (ṗ
0
1, ṗ
0
2, . . . , ṗ
0
n)d ṗ0i
Inercia rotacional T (l1, l2, . . . , ln) = Âni=1
R li
0 q̇i (l
0
1, l
0
2, . . . , l
0
n)dl0i Cinética
T 0
�
q̇1, q̇2, . . . , q̇n
�
= Âni=1
R
q̇i
0 l
0
i
�
q̇
0
1, q̇
0
2, . . . , q̇
0
n
�
dq̇ 0i
Resorte rotacional V (q1,q2, . . . ,qn) = Âni=1
R
qi
0 l̇
0
i (q
0
1,q
0
2, . . . ,q
0
n)dq 0i Potencial
V 0
�
l̇1, l̇2, . . . , l̇n
�
= Âni=1
R l̇i
0 q
0
i
�
l̇01, l̇
0
2, . . . , l̇
0
n
�
dl̇0i
JCMG - 2013 767
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 165 Las funciones de energı́a y de co-energı́a son interdependien-
tes. Para un conjunto de puntos de estado representados por ak y ḃk siem-
pre se tiene:
Energı́a(a1,a2, . . . ,an)+Co-energı́a
⇣
ḃ1, ḃ2, . . . , ḃn
⌘
=
n
Â
i=1
aiḃi.
En lo que respecta a los elementos conservativos:
NOTA 166 Los elementos conservativos siempre están definidos como una
relación entre una coordenada básica y la primera derivada de la otra coor-
denada. Por ejemplo, en el caso del elemento inercia (rotacional) se tiene
ak = lk y ḃk = q̇k.
JCMG - 2013 768
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 167 Al evaluar la relación funcional de la forma:
n
Â
i=1
Z
ai
0
ḃ
0
i (a1,a2, . . . ,an)da
0
i
se debe recordar que el sistema puede llegar a sus puntos de estado final
de cualquier manera, sin que la cantidad dada por la expresión precedente
cambie. Lo anterior significa que con todas las otras a ’s igualadas a cero,
a
0
1 puede ser incrementada desde cero hasta su valor final a1. Entonces
manteniendo constante a 01 en su valor final a1, a
0
2 podrı́a ser incrementada
desde cero a su valor finala2. A su vez, cada una de las otras a 0i podrı́a ser
incrementada a su valor final conforme el ı́ndice va de 1 a n. Cualquier otro
esquema que lleve a los mismos puntos de estado final a1, a2, . . . , an darı́a
el mismo valor para la expresión.
JCMG - 2013 769
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
3.3 Ecuaciones de equilibrio a partir de funciones energı́a-estado:
Ecuación restringida de Lagrange
Fuerzas generalizadas a partir de funciones energı́a-estado
Si estamos interesados en un conjunto de ecuaciones de equilibrio que involu-
cren a las coordenadas a y ȧ, entonces todas las derivadas parciales deben ser
tomadas con respecto a a o ȧ.
En la tabla siguiente se proporcionan todas las derivadas parciales para los seis
elementos conservativos de parámetros concentrados.
JCMG - 2013 770
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Elemento Coordenadas Derivada Análisis
Capacitancia q, q̇ ∂We(q1,...,qn)
∂qk
= l̇k (q1, . . . ,qn) Ecuaciones de mallas
l , l̇ ∂W
0
e(l̇1,...,l̇n)
∂ l̇k
= q̇k
⇣
l̇1, . . . , l̇n
⌘
Ecuaciones de nodos
Inductancia l , l̇ ∂Wm(l1,...,ln)
∂lk
= q̇k (l1, . . . ,ln) Ecuaciones de nodos
q, q̇ ∂W
0
m(q̇1,...,q̇n)
∂ q̇k
= lk (q̇1, . . . , q̇n) Ecuaciones de mallas
Masa p, ṗ ∂T (p1,...,pn)
∂ pk
= ẋk (p1, . . . , pn) Suma de velocidades
(traslacional) x, ẋ ∂T
0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
= pk (ẋ1, . . . , ẋn) Suma de fuerzas
Resorte x, ẋ ∂V (x1,...,xn)
∂xk
= ṗk (x1, . . . ,xn) Suma de fuerzas
(traslacional) x, ẋ ∂V
0(ṗ1,...,ṗn)
∂ ṗk
= xk ( ṗ1, . . . , ṗn) Suma de velocidades
Inercia l, l̇ ∂T (l1,...,ln)
∂ lk
= q̇k (l1, . . . , ln) Suma de velocidades
(rotacional) q , q̇ ∂T
0(q̇1,...,q̇n)
∂ q̇k
= lk
�
q̇1, . . . , q̇n
�
Suma de pares
Resorte q , q̇ ∂V (q1,...,qn)
∂qk
= l̇k (q1, . . . ,qn) Suma de pares
(rotacional) q , q̇ ∂V
0(l̇1,...,l̇n)
∂ l̇k
= qk
�
l̇1, . . . , l̇n
�
Suma de velocidades
JCMG - 2013 771
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ecuaciones de equilibrio mecánico a partir de funciones de energı́a-estado
Las ecuaciones de equilibrio mecánico son generalmente formuladas como fun-
ciones de las posiciones y de las velocidades (esto es en función de las coorde-
nadas x, ẋ, q y q̇ ).
NOTA 168 Las ecuaciones de equilibrio en esta forma involucran sumas
de fuerzas para sistemas traslacionales y sumas de pares para sistemas
rotacionales.
JCMG - 2013 772
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Además:
Es poco frecuente utilizar descripciones en términos de momentos, por lo que:
En el caso de la masa y de la inercia (rotacional) se utilizan como soporte
las funciones de co-energı́a cinética.
Mientras que:
En el caso de los resortes traslacional y rotacional se utilizan las funcio-
nes de energı́a potencial.
JCMG - 2013 773
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En lo que sigue se ilustrará la obtención de las ecuaciones de equilibrio mecánico
por medio de un ejemplo.
Ejemplo 33 Considere el sistema mecánico siguiente:
MASA
RESORTE
pa
.
pb
.
xa
.
xb
.
La velocidad del extremo terminal inferior del resorte con respecto al marco refe-
rencial fijo se indica por medio de ẋa (en m/seg) y es positiva cuando el resorte se
mueve en la dirección indicada por la flecha.
JCMG - 2013 774
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Similarmente para la masa, ẋb (en m/seg) corresponde a la velocidad de la masa
con respecto al marco referencial fijo y es positiva cuando la masa se mueve en
la dirección indicada por la flecha.
Las fuerzas ṗa y ṗb tienen sus direcciones escogidas de manera que la energı́a
fluya en el elemento cuando ambas variables terminales tengan el mismo signo.
JCMG - 2013 775
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
De esta manera, si ẋa y ṗa son positivas, la energı́a potencial está siendo almace-
nada en el resorte. En concordancia, si ẋb y ṗb son positivas, la energı́a cinética
está siendo almacenada en la masa.
El resorte es descrito por una curva caracterı́stica del desplazamiento xa en fun-
ción de la fuerza aplicada ṗa. Por simplicidad se supone que el resorte está en su
longitud libre (esto es ṗa = 0) cuando xa = 0.
La masa es decrita por medio de una curva caracterı́stica de su momento pb en
función de su velocidad ẋb.
JCMG - 2013 776
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
De la curva caracterı́stica la función de energı́a-potencial-estado para el resorte
está dada por:
V (xa) =
Z xa
0
ṗ0a
�
x0a
�
dx0a
y la función de co-energı́a-cinética-estado para el resorte está dada por:
T 0 (ẋb) =
Z ẋb
0
p0b
�
ẋ0b
�
dẋ0b.
Tomando la derivada parcial de ambos lados de la función de energı́a potencial
del resorte con respecto a xa:
∂V (xa)
∂xa
=
∂
∂xa
Z xa
0
ṗ0a
�
x0a
�
dx0a = ṗa (xa) ,
que corresponde a la fuerza externa aplicada al resorte.
Similarmente, la fuerza externa aplicada a la masa puede ser recuperada a partir
de la función de co-energı́a cinética de la masa.
JCMG - 2013 777
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Derivando totalmente entonces con respecto a ẋb:
d
dt

∂T 0 (ẋb)
∂ ẋb
�
=
d
dt

∂
∂ ẋb
Z ẋb
0
p0b
�
ẋ0b
�
dẋ0b
�
= ṗb (ẋb) ,
que corresponde a la fuerza externa aplicada al resorte.
JCMG - 2013 778
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se acopla ahora la masa a la terminal inferior del resorte, como se muestra en la
figura siguiente:
MASA
RESORTE
x
.
f(t)
Al conectar los dos elementos se tiene que ẋa = ẋb = ẋ, donde ẋ es la coordenada
de velocidad del sistema.
JCMG - 2013 779
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Si xa, xb y x son tales que el resorte se encuentra en su longitud libre cuando ellas
son iguales a cero, entonces integrando la última expresión se tiene:
xa = xb = x,
que es formalmente conocida como una restricción holonómica.
El término restricción es utilizado porque la interconexión de los elementos res-
tringe a las coordenadas y las obliga a comportarse de cierta manera.
JCMG - 2013 780
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Una vez que la masa es acoplada al resorte, el movimiento del resorte se restringe
a seguir el movimiento de la masa.
La ecuación original (esto es ẋa = ẋb = ẋ) es una relación diferencial entre las
coordenadas de posición.
Ha sido posible integrarla para obtener xa = xb = x, por lo que la ecuación origi-
nal (ẋa = ẋb = ẋ) es una ecuación integrable de restricción y recibe el nombre de
ecuación de restricción holonómica.
JCMG - 2013 781
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
El término holonómica simplemente significa que la relación diferencial entre las
coordenadas de posición puede ser integrada para dar lugar a una ecuación alge-
braica entre las coordenadas.
Substituyendo la restricción xa = xb = x en V (xa) y T 0 (ẋb), la fuerza externa apli-
cada al resorte es ∂V (x)
∂x y la fuerza externa aplicada a la masa es entonces
d[∂T 0(ẋ)/∂ ẋ]
dt .
JCMG - 2013 782
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Si la fuerza f (t) es aplicada a la masa, el principio de D’Alembert requiere que las
fuerzas externas aplicadas al resorte y a la masa balanceen a f (t), esto es:
d
dt

∂T 0 (ẋ)
∂ ẋ
�
+
∂V (x)
∂x
= f (t)
y como:
T 0 (ẋ) =
1
2
Mẋ2
y:
V (x) =
x2
2K
,
donde K es la complianza del resorte y M es la masa, se tiene como ecuación de
equilibrio del sistema:
Mẍ+
x
K
= f (t) .
JCMG - 2013 783
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Forma restringida de la Ecuación de Lagrange (sistemas mecánicos)
En lo que sigue se generalizan las ideas presentadas en la sección anterior, es-
to es se consideran sistemas compuestos de una gran cantidad de masas y de
resortes, aunque antes se asignarán fuerzas y velocidades individuales.
Para las masas la función de co-energı́a cinética puede ser escrita como sigue:
T 0 (ẋa, ẋb, . . .) = Â
k
Z ẋk
0
p0k
�
ẋ0a, ẋ
0
b, . . .
�
dẋ0k.
JCMG - 2013 784
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La función de energı́a potencial correspondiente a los resortes está dada por:
V
⇣
x
a
,x
b
, . . .
⌘
= Â
k
Z xk
0
ṗ0k
⇣
x0
a
,x0
b
, . . .
⌘
dx0k,
donde las letras latinasy griegas minúsculas subescritas se utilizan para las ma-
sas y los resortes, respectivamente.
Se supone ahora que las masas y los resortes están interconectadas y se deno-
minan nodos mecánicos a los puntos de interconexión.
Se supone que los elementos están interconectados de alguna manera a través
de n nodos mecánicos.
JCMG - 2013 785
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se puede entonces escribir un conjunto de ecuaciones de restricción entre las
velocidades definidas en cada uno de los n nodos y las velocidades orginales de
los elementos:
ẋa = fa (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
ẋb = fb (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)...
ẋ
a
= f
a
(ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
ẋ
b
= f
b
(ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
...
y si las ecuaciones de restricción son holonómicas pueden ser integradas para
obtener relaciones entre las coordenadas originales de los elementos y las nuevas
coordenadas de nodos.
JCMG - 2013 786
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Substituyendo entonces las ecuaciones integradas en las funciones de estado se
tiene:
T 0 (ẋa, ẋb, . . .)! T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
y:
V
⇣
x
a
,x
b
, . . .
⌘
!V (x1x2, . . . ,xn)
JCMG - 2013 787
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Tomando ahora las derivada total de ∂T 0/∂ ẋk se obtiene:
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
= ṗmasak (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn) ,
que corresponde a la fuerza externa total aplicada a todos las masas conectadas
al k-ésimo nodo mecánico.
Similarmente:
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
= ṗresortek (x1,x2, . . . ,xn)
corresponde a la fuerza externa total aplicada a todos los resortes conectados al
k-ésimo nodo mecánico.
JCMG - 2013 788
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Denominando Qk al total de todas las fuerzas aplicadas externamente al k-ésimo
nodo mecánico de sistema, del principio de D’Alembert (Qk debe ser balanceada
por las fuerzas en masas y resortes en el k-ésimo nodo) se tiene que:
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
+
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n,
que recibe el nombre de forma restringida de la Ecuación de Lagrange.
JCMG - 2013 789
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 169 La solución de las n ecuaciones precedentes provee el movi-
miento (trayectoria) del sistema. Se debe de agregar un término adicional a
la ecuación restringida de Lagrange para incluir las restricciones holonómi-
cas donde las velocidades originales son función de las nuevas coordena-
das de velocidad y de posición.
JCMG - 2013 790
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ejemplo 34 Considere el sistema mecánico mostrado en la figura siguiente:
M1
M2
K1
K2
K3
f1(t)
f2(t)
xa
.
xb
.
Se supone que los resortes K1, K2 y K3 están extendidos a distancias a, b y c,
respectivamente, cuando xa y xb son iguales a cero.
JCMG - 2013 791
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Separando los elementos como se muestra en la figura siguiente se definen va-
riables terminales para cada elemento.
M
1
M
2
K
1
K
2
K
3
x
1
.
x
2
.
x
3
. p1
.
p
2
.
p
3
.
p
4
.
x
4
.
x
5
.
p
5
.
La k-ésima complianza Ki tiene indicada la velocidad ẋi de su terminal inferior con
respecto a su terminal superior.
La flecha correspondiente a ẋi indica que la velocidad se toma como positiva cuan-
do el terminal inferior se aleja del terminal superior.
JCMG - 2013 792
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La fuerza ṗ1 sobre la complianza K1 se toma como positiva si da lugar a una
velocidad positiva, o cuando también está dirigida hacia abajo.
Las variables terminales correspondientes a las masas tienen definidas sus ve-
locidades con respecto al soporte estacionario. Ambas velocidades ẋ4 y ẋ5 son
positivas cuando se dirigen hacia abajo.
Las fuerzas aplicadas a estas masas, esto es ṗ4 y ṗ5, son positivas cuando se
dirigen hacia abajo y son aplicadas presionando a partir del soporte estacionario.
JCMG - 2013 793
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se formula entonces la función de co-energı́a cinética, esto es:
T 0 (ẋ4, ẋ5) =
5
Â
i=4
Z ẋi
0
p0i
�
ẋ04, ẋ
0
5
�
dẋ0i
y como:
p4 = M1ẋ4
y
p5 = M5ẋ5
se tiene:
T 0 (ẋ4, ẋ5) =
1
2
M1ẋ24+
1
2
M2ẋ25.
JCMG - 2013 794
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En lo que respecta a la función de energı́a potencial:
V (x1,x2,x3) =
3
Â
i=1
Z xi
0
ṗ0i
�
x01,x
0
2,x
0
3
�
y como:
ṗ1 =
x1
K1
,
ṗ2 =
x2
K2
y
ṗ3 =
x3
K3
.
JCMG - 2013 795
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se tiene entonces:
V (x1,x2,x3) =
x21
2K1
+
x22
2K2
+
x23
2K3
.
Al conectar los elementos se establecen las relaciones entre las coordenadas ẋa
y ẋb y las coordenadas originales, esto es:
ẋ1 = ẋa,
ẋ2 = �ẋa+ ẋb,
ẋ3 = ẋb,
ẋ4 = ẋa,
ẋ5 = ẋb.
JCMG - 2013 796
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Integrando las primeras tres ecuaciones se obtiene:
x1 = xa+a,
x2 = �xa+ xb+b,
x3 = xb+ c,
con a, b y c siendo las longitudes extendidas de los resortes cuando xa y xb son
iguales a cero.
JCMG - 2013 797
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Substituyendo las nuevas coordenadas se obtienen las nuevas expresiones para
las funciones de co-energı́a cinética y energı́a potencial:
T 0 (ẋa, ẋb) =
1
2
M1ẋ2a+
1
2
M2ẋ2b.
y:
V (xa,xb) =
(xa+a)2
2K1
+
(�xa+ xb+b)2
2K2
+
(xb+ c)
2
2K3
.
Las fuerzas externas que actuán sobre los nodos mecánicos son:
Qa (t) =� f1 (t)
y:
Qb (t) = f2 (t) .
Entonces para la primera coordenada se tiene:
d
dt

∂T 0 (ẋa, ẋb)
∂ ẋa
�
+
∂V (xa,xb)
∂xa
= Qa,
JCMG - 2013 798
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
esto es:
d
dt
(M1ẋa)+
xa+a
K1
+
xa� xb�b
K2
=� f1 (t) .
Y para la segunda coordenada:
d
dt

∂T 0 (ẋa, ẋb)
∂ ẋb
�
+
∂V (xa,xb)
∂xb
= Qb,
esto es:
d
dt
(M2ẋb)+
�xa+ xb+b
K2
+
xb+ c
K3
= f2 (t) .
JCMG - 2013 799
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ejemplo 35 La figura siguiente representa un motor moviendo a una carga rota-
toria.
J1 J2
KθT1(t) T2(t)
θa θb
. .
El motor es representado por medio de la inercia J1. El par desarrollado por el
motor es una función explı́cita del tiempo T1 (t). La carga, representada por la
inercia J2, está acoplada al motor, lo cual significa a un embrague con complianza
K
q
. También, la carga presenta un par reactivo T2 (t).
En lo que sigue se obtendrán las ecuaciones de equilibrio utilizando la formulación
energética. Para ello se separan todos los componentes del sistema tal y como se
muestra en la figura siguiente:
JCMG - 2013 800
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
J
1
J
2
Kθl1
θ
1
θ
2
. .
θ
3
.
.
l
3
.
l
3
.
JCMG - 2013 801
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para la inercia del motor J1, se denota la velocidad angular con respecto al re-
ferencial estacionario como q̇1 y el par aplicado a esta inercia se denota como
l1.
Similarmente, la velocidad angular del lado izquierdo del embrague con respecto
al lado derecho se denota como q̇3 y el par correspondiente como l3.
JCMG - 2013 802
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
De manera similar se definen las variables terminales para la inercia de la carga
J2.
Se tiene entonces como co-energı́a cinética del sistema:
T 0
�
q̇1, q̇2
�
=
2
Â
i=1
Z
q̇i
0
l0i
�
q̇
0
1, q̇
0
2
�
dq̇i =
1
2
J1q̇ 21 +
1
2
J2q̇ 22 .
En lo que respecta a la energı́a potencial:
V (q3) =
Z
q3
0
l̇3
�
q
0
3
�
dq 03 =
q
2
3
2K
q
.
JCMG - 2013 803
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Al conectar los elementos se tienen las siguientes restricciones:
q̇1 = q̇a,
q̇2 = q̇b,
q̇3 = q̇a� q̇b.
En términos de las nuevas coordenadas se tiene (suponiendo que cuando qa =
qb la complianza del embrague está libre):
T 0
�
q̇a, q̇b
�
=
1
2
J1q̇ 2a +
1
2
J2q̇ 2b y V (q3) =
(qa�qb)2
2K
q
.
JCMG - 2013 804
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En cuanto a los pares aplicados a los nodos se tiene:
Qa = T1 (t) y Qb =�T2 (t) .
El signo se elige en función de las direcciones de los pares externos, esto es si el
par tiene la misma dirección que la de la coordenada supuesta se toma el signo
positivo y en el caso contrario se toma el signonegativo.
Para la primera coordenada se tiene entonces:
d
dt
"
∂T 0
�
q̇a, q̇b
�
∂ q̇a
#
+
∂V (qa,qb)
∂qa
= Qa,
esto es:
d
dt
�
J1q̇a
�
+
qa�qb
K
q
= T1 (t) .
JCMG - 2013 805
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Para la segunda coordenada:
d
dt
"
∂T 0
�
q̇a, q̇b
�
∂ q̇b
#
+
∂V (qa,qb)
∂qb
= Qb,
esto es:
d
dt
�
J2q̇b
�
+
qa�qb
K
q
=�T2 (t) .
En resumen, las ecuaciones de equilibrio de sistema corresponden a:
d
dt
�
J1q̇a
�
+
qa�qb
K
q
= T1 (t) y
d
dt
�
J2q̇b
�
+
qa�qb
K
q
=�T2 (t) .
JCMG - 2013 806
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
3.4 Grados de libertad y coordenadas generalizadas
Antes de generalizar la forma restringida de la ecuación de Lagrange, conviene
decir algunas palabras en torno a la relación que existe entre los grados de libertad
y las restricciones.
Como se ha visto:
Para un sistema mecánico compuesto de n masas y resortes, no acoplados,
se requieren n coordenadas para especificar por completo la configuración
del sistema.
Si los n elementos están interconectados en alguna configuración particular,
las n coordenadas originales ya no pueden variar libremente.
JCMG - 2013 807
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
NOTA 170 La interconexión da lugar a restricciones entre las coordenadas.
Si las ecuaciones de restricción involucran únicamente relaciones integrables en-
tre las coordenadas diferenciales, recibirán el nombre de restricciones holonómi-
cas.
Si las ecuaciones de restricción involucran relaciones no integrables entre coor-
denadas diferenciales, recibirán el nombre de restricciones no holonómicas.
NOTA 171 El número de grados de libertad de un sistema está definido co-
mo el número de coordenadas (n) menos el número de restricciones entre
coordenadas (m) (esto es n-m).
JCMG - 2013 808
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Repitiendo la forma restringida de la ecuación de Lagrange:
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
+
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n.
Si de la interconexión de los elementos resultan m ecuaciones adicionales de
restricción, entonces se tendrán n+m ecuaciones con sólo n incógnitas, por lo
que no todas las n+m ecuaciones pueden ser independientes.
NOTA 172 Para que la ecuación de Lagrange proporcione un conjunto de
ecuaciones de equilibrio que definan completamente la dinámica del siste-
ma mecánico, se requiere que las coordenadas involucradas sean mutua-
mente independientes, por lo que las coordenadas deben ser selecciona-
das de tal manera que las ecuaciones de restricción no las involucren.
JCMG - 2013 809
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ası́:
NOTA 173 El número de coordenadas generalizadas requeridas para des-
cribir la dinámica del sistema iguala al número de grados de libertad del
sistema.
Si se tienen n coordenadas generalizadas, entonces el sistema posee n grados de
libertad, dado que el número de ecuaciones de restricción entre las coordenadas
generalizadas debe ser igual a cero.
JCMG - 2013 810
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las funciones de estado pueden ser formuladas en cualquier sistema de coorde-
nadas conveniente. Sin embargo, antes de utilizar estas funciones de estado para
la obtención de la ecuación de Lagrange, un conjunto de coordenadas generali-
zadas debe ser sustituido por el conjunto original de coordenadas.
Suponga entonces que:
a. Se tiene un sistema con 5 grados de libertad, pero que el sistema particular
de coordenadas que se ha elegido para representar al sistema comprende
un total de 6 coordenadas. En consecuencia, debe existir una ecuación de
restricción entre las seis coordenadas.
JCMG - 2013 811
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
b. Si la restricción fuera holonómica, la ecuación de restricción podrı́a ser resuelta
para una de las coordenadas en términos de las otras cinco.
c. Utilizando la relación obtenida se podrı́a eliminar la coordenada en todas las
funciones de estado, que podrı́an entonces ser utilizadas en la ecuación de
Lagrange, dado que las cinco coordenadas restantes constituyen un conjunto
generalizado.
d. Si las ecuaciones de restricción fueran no holonómicas, no podrı́an obtenerse
relaciones entre las coordenadas, ya que las restricciones no podrı́an inte-
grarse. Las funciones de estado continuarı́an siendo funciones de las seis
coordenadas generalizadas y en consecuencia no podrı́a utilizarse la ecua-
ción de Lagrange para obtener las ecuaciones de equilibrio del sistema.
JCMG - 2013 812
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
3.5 Formulación completa de la Ecuación de Lagrange para sis-
temas mecánicos conservativos
Frecuentemente es más conveniente la formulación de las funciones de energı́a-
estado requeridas para la Ecuación de Lagrange en términos de un conjunto de
coordenadas no generalizadas, o coordenadas para las cuales las ecuaciones de
restricción pueden ser escritas.
Sin embargo se ha visto que las coordenadas utilizadas en las funciones de ener-
giı́a-estado deben ser transformadas a un conjunto de coordenadas generalizadas
antes de ser utilizadas en la Ecuación de Lagrange.
JCMG - 2013 813
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La transformación de un conjunto de coordenadas no generalizadas a un conjunto
de coordenadas generalizadas sólo puede realizarse cuando las restricciones son
holonómicas.
En lo que sigue se propondrá una transformación de coordenadas muy general y
se analizará su efecto sobre la formulación de la forma restringida de la Ecuación
de Lagrange.
JCMG - 2013 814
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La forma completa de la Ecuación de Lagrange
Suponga que se desea cambiar del conjunto de coordenadas x1, x2, . . ., xn utiliza-
das en la forma restringida de la Ecuación de Lagrange, esto es:
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
+
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n,
a un nuevo conjunto de coordenadas denotado por:
x1 = x1 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,
x2 = x2 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,
. . .
xn = xn (x1,x2, . . . ,xm, t) ,
donde x es el sı́mbolo utilizado para estas nuevas m coordenadas y se indica la
posibilidad de una dependencia explı́cita del tiempo t.
JCMG - 2013 815
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La derivada total con respecto al tiempo de cada una de las viejas coordenadas x
está dada, en general, por:
ẋk =
∂xk
∂x1
ẋ1+
∂xk
∂x2
ẋ2+ · · ·+
∂xk
∂xm
ẋm+
∂xk
∂ t
.
Esta ecuación muestra que las viejas velocidades ẋk no sólo son funciones de las
nuevas velocidades ẋ , sino también de las nuevas posiciones xi, donde i = 1, 2,
. . . , m.
Tomando las derivadas parciales de las viejas velocidades ẋk con respecto a las
nuevas velocidades ẋi se tiene:
∂ ẋk
∂ ẋi
=
∂
∂ ẋi
✓
∂xk
∂x1
ẋ1+
∂xk
∂x2
ẋ2+ · · ·+
∂xk
∂xm
ẋm+
∂xk
∂ t
◆
=
∂xk
∂xi
.
JCMG - 2013 816
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Tomando la forma restringida de la Ecuación de Lagrange, esto es:
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
+
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n,
y multiplicándola por ∂ ẋk
∂ ẋi
, lo cual es equivalente a ∂xk
∂xi
, se tiene:
∂ ẋk
∂ ẋi
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
+
∂xk
∂xi
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
=
∂ ẋk
∂ ẋi
Qk,
8k = 1,2, . . . ,n.
JCMG - 2013 817
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La derivada total del producto de dos funciones puede ser expandida como sigue:
d
dt

∂ ẋk
∂ ẋi
∂T 0(ẋ1,ẋ2,...,ẋn)
∂ ẋk
�
= ∂ ẋk
∂ ẋi
d
dt
h
∂T 0(ẋ1,ẋ2,...,ẋn)
∂ ẋk
i
+∂T
0(ẋ1,ẋ2,...,ẋn)
∂ ẋk
d
dt
✓
∂ ẋk
∂ ẋi
◆
y:
d
dt
✓
∂ ẋk
∂ ẋi
◆
= ddt
⇣
∂xk
∂xi
⌘
= Âmj=1
∂
2xk
∂xi∂x j
ẋ j +
∂
2xk
∂xi∂ t
= ∂
∂xi
✓
Âmj=1
∂
2xk
∂x j
ẋ j +
∂
2xk
∂ t
◆
= ∂ ẋk
∂xi
.
En consecuencia, si las viejas velocidades ẋk no están en función de las nuevas
JCMG - 2013 818
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
coordenadas de posición xi el último término en la ecuación:
d
dt

∂ ẋk
∂ ẋi
∂T 0(ẋ1,ẋ2,...,ẋn)
∂ ẋk
�
= ∂ ẋk
∂ ẋi
d
dt
h
∂T 0(ẋ1,ẋ2,...,ẋn)∂ ẋk
i
+∂T
0(ẋ1,ẋ2,...,ẋn)
∂ ẋk
d
dt
✓
∂ ẋk
∂ ẋi
◆
será igual a cero.
Como puede observarse, el primer término del lado derecho de la ecuación pre-
cedente es idéntico al primer término de la ecuación de equilibrio:
∂ ẋk
∂ ẋi
d
dt

∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
�
+
∂xk
∂xi
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
=
∂ ẋk
∂ ẋi
Qk,
8k = 1,2, . . . ,n.
JCMG - 2013 819
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Tomando lo anterior en cuenta, y también el hecho de que ddt
✓
∂ ẋk
∂ ẋi
◆
= ∂ ẋk
∂xi
, se
tiene:
d
dt

∂T 0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂ ẋi
�
� ∂T
0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂xi
+ ∂V (x1,x2,...,xn)
∂xk
∂xk
∂xi
= Qk
∂xk
∂xi
8k = 1,2, . . . ,n.
Se puede escribir una ecuación similar a la anterior para cada valor de k. Sumando
todas estas ecuaciones se tiene:
Ânk=1
d
dt

∂T 0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂ ẋi
�
�Ânk=1
∂T 0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂xi
+Ânk=1
∂V (x1,x2,...,xn)
∂xk
∂xk
∂xi
= Ânk=1 Qk
∂xk
∂xi
.
Utilizando entonces las ecuaciones:
x1 = x1 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,
x2 = x2 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,
. . .
xn = xn (x1,x2, . . . ,xm, t) ,
JCMG - 2013 820
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
y:
ẋk =
∂xk
∂x1
ẋ1+
∂xk
∂x2
ẋ2+ · · ·+
∂xk
∂xm
ẋm+
∂xk
∂ t
.
las funciones de estado T 0 y V pueden ser expresadas en términos de las m nue-
vas coordenadas y del tiempo.
JCMG - 2013 821
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Haciendo las substituciones de coordenadas se obtienen las siguientes identida-
des:
∂T 0
⇣
ẋ1, ẋ2, . . . , ẋm,x1,x2, . . . ,xm, t
⌘
∂ ẋi
=
n
Â
k=1
∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂ ẋi
,
∂T 0
⇣
ẋ1, ẋ2, . . . , ẋm,x1,x2, . . . ,xm, t
⌘
∂xi
=
n
Â
k=1
∂T 0 (ẋ1, ẋ2, . . . , ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂xi
,
∂V (x1,x2, . . . ,xm, t)
∂xi
=
n
Â
k=1
∂V (x1,x2, . . . ,xn)
∂xk
∂xk
∂xi
.
También se define:
Qi =
n
Â
k=1
Qk
∂xk
∂xi
.
Como las operaciones ddt y la sumatoria son mutuamente exclusivas y por lo tanto
JCMG - 2013 822
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
pueden ser intercambiadas en:
Ânk=1
d
dt

∂T 0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂ ẋi
�
�Ânk=1
∂T 0(ẋ1,...,ẋn)
∂ ẋk
∂ ẋk
∂xi
+Ânk=1
∂V (x1,x2,...,xn)
∂xk
∂xk
∂xi
= Ânk=1 Qk
∂xk
∂xi
y sustituyendo las últimas identidades en esta ecuación se tiene:
d
dt
"
∂T 0
⇣
ẋ1,ẋ2,...,ẋm,x1,x2,...,xm,t
⌘
∂ ẋi
#
�
∂T 0
⇣
ẋ1,ẋ2,...,ẋm,x1,x2,...,xm,t
⌘
∂xi
+∂V (x1,x2,...,xm,t)
∂xi
= Qi,
para i = 1, 2, . . ., m, que da un total de m ecuaciones de equilibrio en términos de
m nuevas coordenadas.
JCMG - 2013 823
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Si estas m coordenadas se seleccionan de manera que representen un conjunto
generalizado, la ecuación precedente representa una forma completa de la Ecua-
ción de Lagrange.
NOTA 174 En la forma completa de la Ecuación de Lagrange la co-energı́a
cinética se ha convertido en una función no sólo de las velocidades sino
también de las posiciones e incluso del tiempo. Por otra parte, la función
de energı́a potencial nunca es función de las velocidades, ya que sólo es
función de las posiciones y del tiempo. Si la co-energı́a cinética no fuera en
realidad dependiente de las coordenadas de posición, la ecuación prece-
dente se reducirı́a a la ecuación correspondiente a la forma restringida de
la ecuación de Lagrange, aunque tanto T 0 como V serı́an dependientes de
manera explı́cita del tiempo.
JCMG - 2013 824
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
El Lagrangiano del sistema
Para sistematizar este formulación energética se define la siguiente función:
L
⇣
ẋ1, ẋ2, . . . , ẋm,x1,x2, . . . ,xm, t
⌘
= T 0
⇣
ẋ1, ẋ2, . . . , ẋm,x1,x2, . . . ,xm, t
⌘
�V (x1,x2, . . . ,xm, t) .
Esta función, la diferencia entre la co-energı́a cinética y la energı́a potencial, es el
Langrangiano del sistema y en general es función de las ẋ ’s, x ’s y de t.
JCMG - 2013 825
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En términos del Lagrangiano la ecuación:
d
dt
"
∂T 0
⇣
ẋ1,ẋ2,...,ẋm,x1,x2,...,xm,t
⌘
∂ ẋi
#
�
∂T 0
⇣
ẋ1,ẋ2,...,ẋm,x1,x2,...,xm,t
⌘
∂xi
+∂V (x1,x2,...,xm,t)
∂xi
= Qi,
para i = 1, 2, . . ., m, puede escribirse como:
d
dt
264∂L
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂ ẋi
375� ∂
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂xi
= Qi,
para i = 1, 2, . . ., m.
JCMG - 2013 826
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Esta ecuación es equivalente a:
∂L
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂ ẋi
=
∂T 0
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂ ẋi
�0
y:
�
∂L
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂xi
=�
∂T 0
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂xi
+
∂V (x , t)
∂ ẋi
.
NOTA 175 El conjunto de ecuaciones dadas por la ecuación precedente re-
presenta m ecuaciones diferenciales simultáneas, que constituyen las ecua-
ciones de equilibrio del sistema. El problema de modelar el sistema fı́sico
y resolver las ecuaciones de equilibrio no se ha simplificado, lo que se ha
logrado es sistematizar la formulación del problema de modelado.
JCMG - 2013 827
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ejemplo 36 Considere el doble péndulo invertido mostrado en la siguiente figura:
y
x
r1
r2
M1
M2
(x1, y1)
(x2, y2)M1g
M2g
θ1
θ2
O
Una masa M1 pende de un soporte rı́gido por medio de un eslabón sin masa de
longitud r1. Una segunda masa M2 pende de la primera masa por medio de un
segundo eslabón sin masa r2. Se desea hallar las ecuaciones de equilibrio del
sistema suponiendo que los puntos de pivoteo no están afectados por la fricción.
JCMG - 2013 828
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se fija un marco referencial cartesiano xy con origen en el punto O. La posición de
cada masa en un instante dado está dada por (x1, y1) para M1 y (x2, y2) para M2.
El Lagrangiano del sistema está dado por:
L (ẋ1, ẋ2, ẏ1, ẏ2,x1,x2,y1,y2) = T 0 (ẋ1, ẋ2, ẏ1, ẏ2)�V (x1,x2,y1,y2) .
Como no hay resortes involucrados se tiene que:
V (x1,x2,y1,y2) = 0.
JCMG - 2013 829
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Como las dos masas involucradas son lineales, al función de co-energı́a cinética
está dada por:
T 0 (ẋ1, ẋ2, ẏ1, ẏ2) =
1
2
M1ẋ21+
1
2
M1ẏ21+
1
2
M2ẋ22+
1
2
M2ẏ22.
En consecuencia:
L (ẋ1, ẋ2, ẏ1, ẏ2,x1,x2,y1,y2) =
1
2
M1
⇣
ẋ21+ ẏ
2
1
⌘
+
1
2
M2
⇣
ẋ22+ ẏ
2
2
⌘
.
JCMG - 2013 830
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las fuerzas externas que actúan sobre el sistema se deben a la acción de la
gravedad en las direcciones y. Ası́:
Qy1 = M1g, Qx1 = 0,
Qy2 = M2g, Qx2 = 0.
Se utilizan signos positivos para las fuerzas externas, ya que dichas fuerzas tien-
den a incrementar las coordenadas asociadas.
NOTA 176 El conjunto de coordenadas cartesianas no representa un con-
junto adecuado de coordenadas generalizadas.
JCMG - 2013 831
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Los eslabones inducen las siguientes restricciones holonómicas:
x21+ y
2
1 = r
2
1
y:
(x2� x1)2+(y2� y1)2 = r22.
Los ángulos q1 y q2 constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. Cada
una de las coordenadas puede variar independientemente de la otra.
El sistema tiene únicamente dos grados de libertad y las dos coordenadas gene-
ralizadas especifican la configuración completa.
Las coordenadas cartesianas originales se transforman a las nuevas coordenadas
generalizadas por medio de las siguientes relaciones:
x1 = r1sen(q1) , x2 = r1sen(q1)+ r2sen(q2) ,
y1 = r1cos(q1) , y2 = r1cos(q1)+ r2cos(q2) .
Estas transformaciones satisfacen automáticamente las ecuaciones de restric-
ción.
JCMG - 2013 832
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Obteniendo las primeras derivadas de las transformaciones precedentes se tiene:
ẋ1 = r1q̇1cos(q1) ,
ẋ2 = r1q̇1cos(q1)+ r2q̇2cos(q2) ,
ẏ1 = �r1q̇1sen(q1) ,
ẏ2 = �r1q̇1sen(q1)� r2q̇2sen(q2) .
Substituyendo en la expresión del Lagrangiano se tiene:
L
�
q̇1, q̇2,q1,q2
�
= 12M1r
2
1q̇
2
1 +
1
2M2
h
r21q̇
2
1 + r
2
2q̇
2
2 +2r1r2q̇
2
1 q̇
2
2 cos(q1�q2) .
i
Como puede verse, el Lagrangiano es función de las posiciones y de las velocida-
des angulares.
Ahora bien:
Q
q1 = Qy1
∂y1
∂q1
+Qx1
∂x1
∂q1
+Qy2
∂y2
∂q1
+Qx2
∂x2
∂q1
JCMG - 2013 833
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
y:
Q
q2 = Qy1
∂y1
∂q2
+Qx1
∂x1
∂q2
+Qy2
∂y2
∂q2
+Qx2∂x2
∂q2
.
JCMG - 2013 834
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Transformando a las nuevas coordenadas se tiene:
Q
q1 = M1g(�r1sen(q1))+M2g(�r1sen(q1))
y:
Q
q2 = M2g(�r2sen(q2)) .
Como puede verse las fuerzas generalizadas son ahora pares, lo cual correspon-
de a la naturaleza del sistema.
El signo negativo en los pares que aparecen en las ecuaciones precedentes indi-
can que dichos pares tienden a decrecer las coordenadas q1 y q2.
JCMG - 2013 835
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se puede ahora utilizar la ecuación de Lagrange, esto es:
d
dt
264∂L
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂ ẋi
375� ∂
⇣
ẋ ,x , t
⌘
∂xi
= Qi.
para obtener las ecuaciones de equilibrio del sistema, teniéndose para el ejemplo
en curso que xi = qi.
JCMG - 2013 836
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ası́, las ecuaciones de equilibrio están dadas por:
(M1+M2)r21q̈1+M2r1r2q̈2cos(q1�q2)+M2r1r2q̇
2
2 sen(q1�q2)
=�(M1+M2)gr1sen(q1)
y:
M2r22q̈2+M2r1r2q̈1cos(q1�q2)�M2r1r2q̇
2
1 sen(q1�q2)
=�M2gr2sen(q2) .
JCMG - 2013 837
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
3.6 Redes eléctricas y funciones energı́a-estado
Mallas, nodos y leyes de Kirchhoff
En los cı́rcuitos eléctricos la formación de ecuaciones de equilibrio tiene lugar al
utilizar las dos leyes de Kirchhoff que involucran sumas de potenciales alrededor
de mallas cerradas y de corrientes en nodos.
Estas dos leyes dan lugar a:
las ecuaciones de malla (suma de potenciales)
y a las ecuaciones de nodos (sumas de corrientes en nodos).
JCMG - 2013 838
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ası́:
En la formulación de mallas se iguala a cero la suma de todos los voltajes
instantáneos alrededor de todos los lazos cerrados, utilizando la carga q o su
primera derivada q̇, la corriente, como la coordenada de interés.
En el caso de la formulación nodal, se iguala a cero la suma de las corrientes
que entran o que dejan cada nodo en la red. En este caso la coordenada de
interés, que expresa las corrientes, es la coordenada flujo de ligadura l , o su
primera derivada l̇ , esto es el voltaje.
JCMG - 2013 839
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ecuaciones de mallas a partir de las funciones energı́a-estado
Como se ha visto precedentemente, la formulación de ecuaciones de equilibrio a
base de mallas requiere de las funciones de co-energı́a magnética y de energı́a
eléctrica. Estas funciones de estado pueden ser formuladas en términos de va-
riables de voltaje y de corriente definidas en las terminales de cada elemento
eléctrico.
Dado que en la formulación a base de mallas se utilizan las funciones de co-
energı́a magnética y de energı́a eléctrica, las variables de corriente o de carga en
los elementos están involucradas en las funciones de estado.
JCMG - 2013 840
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Las restricciones debidas a las interconexiones de elementos de la red asociarán
coordenadas de corriente en los elementos.
Estas restricciones corresponden a la ley de Kichhoff para corrientes aplicada a
cada punto de interconexión o nodo de la red.
Entonces, un conjunto de coordenadas generalizadas satisfacerá siempre la ley
de corrientes en cada nodo de la red.
JCMG - 2013 841
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ası́, utilizando las funciones de co-energı́a magnética y de energı́a eléctrica, ex-
presadas en términos de un conjunto de variables generalizdas de mallas, se
tienen las ecuaciones de equilibrio de la red:
d
dt

∂W 0m (q̇1, q̇2, . . . , q̇n)
∂ q̇k
�
+
∂We (q1,q2, . . . ,qn)
∂qk
= Qk
para k = 1, 2, . . ., n, donde q̇1, q̇2, . . ., q̇n corresponden a un conjunto independiente
de lazos de corriente en el sistema.
NOTA 177 El primer término de la izquierda corresponde a los voltajes
en los inductores que forman la k-ésima malla, mientras que el segundo
término de la izquierda corresponde a las caı́das de potencial en los capa-
citores de k-ésima malla. El término de la derecha corresponde a la suma
algebraica de de las fuentes de voltaje en la k-ésima malla.
Ejemplo 37 Considere el siguiente cı́rcuito eléctrico:
JCMG - 2013 842
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
+
_
v1
L1
v2
+
_
C2
C1
L2
M
q1 q2
. .
Se desea hallar las ecuaciones de equilibrio utilizando el métodos de mallas.
JCMG - 2013 843
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se definen variables de voltaje y de corriente terminales para cada uno de los
elementos:
+
_
v1
L1
v2
+
_
C2
C1
L2
M
+
λa
qa
.
.
+
λb
qb
.
.
qc
.
+
λc
.
qd
.
λd
.
+
En cada caso las direcciones de referencia para el voltaje y la corriente son tales
que si coinciden la energı́a fluye en el elemento.
JCMG - 2013 844
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
La energı́a de almacenamiento eléctrico está dada por:
We (qa,qd) =
Z qa
0
l̇
0
a
�
q0a,0
�
dq0a+
Z qd
0
l̇
0
d
�
qa,q0d
�
dq0d,
que sólo está asociada a los capacitores.
Como:
l̇a (qa,qd) =
qa
C1
y:
l̇d (qa,qd) =
qd
C2
.
Se tiene:
We (qa,qd) =
q2a
2C1
+
q2d
2C2
.
En lo que respecta a la función de co-energı́a de campo magnético de la red:
W 0m (q̇b, q̇c) =
Z q̇b
0
l
0
b
�
q̇0b,0
�
dq̇0b+
Z q̇c
0
l
0
d
�
q̇b, q̇
0
c
�
dq̇0c,
JCMG - 2013 845
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
únicamente asociada a los inductores.
Se tiene entonces que:
lb (q̇b, q̇c) = L1q̇b�Mq̇c
y:
lc (q̇b, q̇c) =�Mq̇b+L2q̇c,
donde el signo menos en el término mutuo indica que la contribución del campo
mutuo a los flujos de lı́gaduras es opuesta a los flujos de lı́gaduras auto-inducidos.
En consecuencia:
W 0m (q̇b, q̇c) =
R q̇b
0 L1q̇
0
bdq̇
0
b+
R q̇c
0
�
Mq̇b+L2q̇0c
�
dq̇0c,
= 12L1q̇
2
b�Mq̇bq̇c+
1
2L2q̇
2
c.
JCMG - 2013 846
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
En lo que respecta a las restricciones se tiene:
q̇a (t) = q̇1 (t) ,
q̇b (t) = q̇1 (t) ,
q̇c (t) = q̇1 (t)� q̇2 (t) ,
q̇d (t) = q̇2 (t) ,
que corresponde a un conjunto de restricciones holonómicas.
JCMG - 2013 847
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Integrando la primera y la última ecuaciones de restricción se tiene:
qa (t) = q1 (t) y qd (t) = q2 (t) .
En consecuencia:
We (q1,q2) =
q21
2C1
+
q22
2C2
.
y:
W 0m (q̇1, q̇2) =
1
2
L1q̇21�Mq̇1 (q̇1� q̇2)+
1
2
L2 (q̇1� q̇2)2 .
Por otra lado:
Q1 = v1 (t)� v2 (t) y Q2 = v2 (t) .
JCMG - 2013 848
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Se pueden entonces obtener las ecuaciones de equilibrio de la red.
Para k = 1: ddt
h
∂W 0m(q̇1,q̇2)
∂ q̇1
i
+ ∂We(q1,q2)
∂q1
= Q1, esto es:
(L1�2M+L2) q̈1+
1
C1
q1+(�L2+M) q̈2 = v1 (t)� v2 (t) .
Para k = 2: ddt
h
∂W 0m(q̇1,q̇2)
∂ q̇2
i
+ ∂We(q1,q2)
∂q2
= Q2, esto es:
(�L2+M) q̈1+(L2) q̈2+
1
C2
q2 = v2 (t) .
JCMG - 2013 849
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Ecuaciones de nodos a partir de las funciones energı́a-estado
Las ecuaciones de equilibrio en términos de nodos son formuladas por medio de
la ley de Kirchhoff para corrientes.
En este caso se requieren las funciones de estado de co-energı́a eléctrica y de
energı́a magnética.
En consecuencia se pueden utilizar las variables de voltaje y de corriente definidas
en las terminales de cada elemento para la formulación de las ecuaciones de
equilibrio.
JCMG - 2013 850
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
Dado que se utilizan las funciones de estado de co-energı́a eléctrica y de energı́a
magnética, las coordenadas involucradas son los flujos de lı́gaduras y o los volta-
jes. Las restricciones debidas a interconexiones estarán expresadas en términos
de los voltajes.
Estas ecuaciones de restricción corresponden a la aplicación de la ley de Kirchhoff
para potenciales aplicada alrededor de cada lazo cerrado de la red.
Un conjunto de coordenadas generalizadas que automáticamente satisface las
restricciones (esto es la ley de potenciales apliacada alrededor de los nodos ce-
rrados de la red) está constituido por las variables nodales mostradas en la figura
siguiente.
JCMG - 2013 851
MODELOS MATEMÁTICOS Y SIMULACIÓN
e
1
λ
1
.
λ
2
.
λ
3
.
λ
4
.
λ
5
.
λ
6
.
λ
7
.
λ
8
.
+
e
2
e
3
e
4
+
+
+
JCMG - 2013 852
MODELOS MATEMÁTICOS