325-2005-ESIME-ZAC-MAESTRIA-lopez-lira-peters-luisalfredo

Vista previa del material en texto

1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
CONTROL DE VIBRACIONES POR MEDIO
DE CONTROLADORES CON RETRASO
Tesis de Grado
PRESENTA: Ing. Luis Alfredo López Lira Peters
ASESOR: Dr. Valery Romanovich Nossov
Mayo de 2005
2
3
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
COORDINACION GENERAL DE POSGRADO E INVESTIGACION
CARTA SESION DE DERECHOS
En la Ciudad de México, Distrito Federal, el día 18 del mes Mayo del año 2005 el que suscribe López Lira Peters Luis
Alfredo, alumno del Programa de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica con número de registro A0300679,
adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es
autor(a) intelectual del presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del Dr Valery Romanovich Nossov y cede los
derechos del trabajo intitulado: Control de Vibraciones por Medio de Controladores con Retraso, al Instituto Politécnico
Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos del trabajo sin el permiso
expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección: alfredo_lira
_1@hotmail.com.
Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.
__ Ing. Luis Alfredo López Lira Peters
4
Resumen.
 Se estudia un controlador para vibraciones mecánicas basado en un control con retraso, se analiza la calidad
del control en base a un estudio numérico y la posibilidad de emplear éste para estabilizar un sistema
vibratorio mecánico,
 Igualmente se simula numéricamente e interpreta gráficamente; por medio de ecuaciones diferenciales,
diversos controles con retraso en la entrada de la ecuación diferencial que describe las vibraciones en un
sistema tipo rotor-chumacera, para así poder inferir él ó los controladores mas idóneos para atenuar lo mas
posible las vibraciones en el sistema citado.
 Finalmente, se determina y grafica la región de estabilidad del control con retraso propuesto, en base a los
parámetros τ (retardo) contra α (coeficiente de amplificación e inversión), que forman precisamente los
ejes x e y para la región de estabilidad encontrado por medio del estudio numérico.
Abstract
 Studie of a controller for mechanical vibrations founded in a delay control. Analize the quality of this control
on the basis of a numerical study and the posibility of use this for the stabilitation of a vibratory mecahnical
system.
 At the same, graphical simulity and interpretation, by means of functional differential equations, a variety
of delay controllers on the entrance of the functional differential equations that describes the vibrations in a
system rotor-bearing, for the porpuose to find the best controller for the attenuate the vibrations of the system
mentioned above.
 Finally, detreminate and graphically the stability region of the controller proposite on basis at the
paramenters τ (delay) versus α (amplifying and inversor coefficient) that forms the x and y axis for the
satbility region found by means tjhe numerical study.
5
OBJETIVO:
Simular numéricamente e interpretar gráficamente; por medio de ecuaciones diferenciales,
diversos controles con retraso en la entrada de la ecuación diferencial que describe las
vibraciones en un sistema tipo rotor-chumacera, para así poder inferir él ó los controladores
mas idóneos para atenuar lo mas posible las vibraciones en el sistema citado.
INTRODUCCION
El empleo de controladores con retraso no es común, principalmente por la complejidad de
los modelos matemáticos involucrados y su implementaron tecnológica. Por lo mismo en
la literatura referente al tema no se encuentran suficientes trabajos sobre su comportamiento
y uso para la atenuación de vibraciones. Esto porque en general las alternativas
tradicionales para el control de éstas funcionan aceptablemente. Por tanto este trabajo
pretende contribuir al avance en este campo de la teoría del control automático.
El control automático y la ingeniería asociada a su diseño constituyen un campo de por sí
interdisciplinario, y que además se ha vuelto una parte importante e integral de los procesos
modernos industriales y de manufactura.
Asimismo, se ha desarrollado y se ha avanzado mucho en la teoría del control automático y
se cuenta actualmente con un gran numero de resultados teóricos con un amplio espectro de
aplicaciones a sistemas reales de ingeniería (Ver p. ej. Afanasév, Komanovskii y
Nossov,1996; Vidyasagar, 1993; Khalil,1996).
Ahora bien; mucho de este conocimiento se ha conseguido, últimamente; mediante la
simulación por computadora de sistemas reales, en donde el modelo del sistema en general
es un sistema de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento en el tiempo de
las variables de control del sistema. En general para obtener el sistema de ecuaciones
diferenciales que describe o modela al sistema real, es necesario hacer simplificaciones o
aproximaciones basándose en las leyes naturales que gobiernan los procesos al interior del
sistema real. Ésta es la técnica mas utilizada (la simulación) ya que de otra forma se
tendrían que hacer experimentos en el mismo sistema real con el consiguiente costo
económico y con la limitante de que sistema real no se puede someter o no se pueden
experimentar condiciones extremas, bien sea porque el costo puede resultar muy alto, o
bien porque pudiesen causarse accidentes con un alto costo en vidas humanas y económico.
6
Otra alternativa consiste en la construcción de un prototipo, pero para el diseño de éste
primeramente se tienen que calcular teóricamente sus parámetros, además de que también
involucra un coste económico.
En el caso que nos ocupa, existen varias técnicas, que se pudiesen llamar clásicas, para
disminuir las vibraciones en maquinaria rotatoria, por ejemplo el balanceo estático y/o
dinámico (en uno o dos planos), el uso de volantes de inercia, contrapesos, cojinetes
hidrodinámicos, amortiguadores lineales y rotacionales, cojinetes y levitación magnética
entre otros. Afortunadamente la mayoría de ellos se puede modelar y simular
numéricamente o analíticamente (en contados casos) y poder hacer así un análisis dinámico
y frecuencial del sistema para posteriormente hacer el diseño mecánico de la partes que
deben de soportar el paso por las frecuencias de resonancia.
Cabe señalar que estas alternativas funcionan adecuadamente bajo condiciones de
operación estables y frecuencias de excitación constantes.
Es por esto que se propone hacer un estudio de los efectos en la disminución o atenuación
de las vibraciones por medio de, precisamente; controladores con retraso y así contribuir en
el avance teórico en este campo del control automático.
 En todo tipo de maquinaria que involucre movimiento mecánico las vibraciones están
siempre presentes, pro supuesto que la amplitud y frecuencia de éstas depende de diversos
factores entre ellos los mas destacables son los tipos o formas de acoplamientos para la
transmisión de fuerzas o torcas, la velocidad angular y el tipo de movimiento (lineal,
oscilatorio o rotativo). Por supuesto que la atenuación y control de las vibraciones
constituye de por si un campo bastante amplio de aplicación tecnológica de la teoría del
control automático, en especial el estudio de la estabilidad de los sistemas mecánicos
precisamente frente a éstas vibraciones que en la teoría del control se conocen como
perturbaciones.
En general hay dos técnicas para la atenuación y control de las vibraciones, las
conocidas como controles pasivos, en donde se hace un estudio previo del espectro de
vibraciones, y basándose en éste se diseña la estructura mecánica y geométrica del control
que por lo mismo resulta ser de lazo abierto (o sea que no tieneretroalimentación). Otra
técnica que en las últimas décadas ha tenido un desarrollo notable es la de control activo,
debido principalmente a que es ahora mas común y accesible el uso de microprocesadores o
microcontroladores conectados a sensores ubicados en las partes críticas de la maquinaria.
Además de que los microprocesadores o microcontroladores también actúan en
7
consecuencia mediante actuadores conectados también a ellos. Se tiene de esta manera un
sistema retroalimentado o de lazo cerrado que puede eventualmente reaccionar ante
vibraciones o perturbaciones que pudiesen no haber sido contempladas dentro del diseño de
un control pasivo.
Por lo anteriormente expuesto el diseño de un control pasivo es en general un proceso
conocido, pero no es adecuado cuando las señales de excitación no son fijas (amplitud y/o
frecuencia variables) o bien los parámetros del sistema mecánico no se conocen con
exactitud. El control con retraso, que se inscribe dentro de los controladores activos,
pretende subsanar esta deficiencia principalmente anticipándose a frecuencias y/o
amplitudes mediante la historia o valores previos de ambas.
Otro aspecto a considerar dentro de los esquemas de los modelos, es que la velocidad
angular del rotor se considera constante, con lo que los modelos matemáticos se
simplifican. Empero, en este trabajo consideraremos un espectro amplio de velocidades de
rotación, además de que los retrasos también en general los consideraremos primero
constantes, pero después variables, para de esta forma basándose en un amplio estudio
numérico del modelo inferir el o los controladores mas óptimos o adecuados a condiciones
particulares.
Se obtuvieron las características básicas de los controladores con retraso.
8
CAPITULADO
1.- Ecuaciones diferenciales funcionales
1.1- Definiciones generales y clasificación
1.2- Métodos de resolución
1.3- Definición de estabilidad y métodos para hallarla
2.- Sistemas de segundo orden con dos grados de libertad
2.1- Sistemas de segundo orden de frecuencia natural
2.2- Sistemas de segundo orden amortiguados
2.3- Sistemas de segundo orden con control forzado
2.4- Sistemas de segundo orden con control retrasado
3.- Aplicaciones del control con retraso en mecatrónica.
3.1- Estado tecnológico actual.
3.2- Aplicaciones para control de vibraciones en chumaceras
4.- Modelado numérico de las leyes de control propuestas.
4.1- Generalidades y exactitud del método numérico empleado
4.2- Generalidades del modelo matemático propuesto para la simulación del control
 con retraso
4.3.-Estudio numérico del modelo propuesto (control con retraso)
5.- Conclusiones y bibliografía.
9
CAPITULO 1
10
1.1 Definición de ecuación diferencial funcional
Recordando de los cursos de cálculo elemental la definición de ecuación diferencial:
Es una ecuación en la que en sus términos aparecen derivadas o diferenciales, o bien
aquella que vincula variables independientes, su función y derivadas o diferenciales, o
ambas de aquella. Si la variable independiente es una sola, la ecuación se denomina
ordinaria; si hay dos variables independientes o más, ecuación diferencial en derivadas
parciales. p.ej.
Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
En general podemos expresar un ecuación diferencial (E. D.) como:
F(t , x´, x´´, x´´´,...,x(n))=0
donde F es una función de n+2 variables, y (n) es el orden de la derivada.
El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a la derivada de mayor índice
que figura en ella, p. ej.
Los órdenes de estas ecuaciones son 4, 2, 1 y 1 respectivamente.
El grado de la ecuación diferencial es el exponente asociado con la derivada de mayor
índice, los grados en el ejemplo precedente son 2, 1, 3 y 1. Un tipo de ecuaciones
099.21.22
2
=++ x
dt
dx
dt
xd dtxtdx )6.21.1( −=
099.21.22
2
=++ x
dt
dx
dt
xd
t
dt
dx 71.2
3
=





099.2 =+ x
dt
dx
dt
dxt
dt
xd 3
2
4
4
1.2 =−





11
extremadamente importantes son las que se conocen como lineales, que pueden ser de
cualquier orden pero en las que la función así como todas sus derivadas aparecen elevadas
al exponente 1 (uno) , los coeficientes de la función así como los de sus derivadas son solo
función de la variable independiente y el segundo miembro de la E.D. solo depende de la
variable independiente. O sea son un tipo especial de E.D. de primer grado. Una gran parte
de la teoría sobre sistemas de control se apoya precisamente sobre los sistemas lineales, que
matemáticamente se pueden describir por ecuaciones diferenciales lineales. La forma
general de una E.D. lineal de orden n es:
Se asumirá en lo que resta de este trabajo, a menos que se diga expresamente que se usa
otra notación; que la variable independiente es t, y que la variable dependiente es x, o sea x
es una función de t. x (j) denota la j-ésima derivada de x con respecto a t (o en general, de
la variable dependiente con respecto a la independiente). La razón de la notación x y t para
el presente trabajo es que por costumbre en textos y tratados sobre sistemas de control es la
notación que mas frecuentemente se usa.
En la teoría de sistemas de control, es costumbre representar una E.D. de 1er orden como:
El punto sobre la x denota la primera derivada respecto al tiempo. Una solución de una
E.D. es toda relación o función entre las variables independiente y dependiente o función
[x=f(t)] en la que no figuran derivadas ni diferenciales y tal que al sustituirla en la E.D. la
satisface idénticamente.
 Un punto importante es que la solución general de una E.D. de orden n es aquella solución
en la que figuran n constantes arbitrarias.
P. ej. y = x2 + C es la solución general de la E.D. y´=2x ya que la sustituirla en la E.D.
obtenemos 2x=2x lo que es una identidad.
),( txfx =&
)()( )(..... 
 
.........)()()(
0
)2(
)2(
2)1(
)1(
1)(
)(
tftxta
dt
xdta
dt
xdta
dt
xdta n
n
nn
n
nn
n
n
=+
+





+





+





−
−
−−
−
−
12
El llamado problema de Cauchy consiste en hallar una solución particular de la E.D.
dando un punto especifico, se usa la notación x(t0)=x0 lo cual se logra una vez hallada la
solución general de la E.D. y sustituyendo el punto mencionado en dicha solución, para así
hallar el o los valores de las constantes arbitrarias que figuran en la solución general.
La gráfica construida sobre el plano tOx de la solución x(t) de la ecuación diferencial se
llama curva integral de esta ecuación. De esta manera, a la solución general x=f(t,C) sobre
el plano xOy le corresponde una familia de curvas integrales que depende de un solo
parámetro o sea la constante arbitraria C . Y a la solución particular que satisface la
condición inicial x(t0)=x0 le corresponde una curva de ésta familia que pasa por el punto
dado M0 (t0 , x0 ). Lo mismo aplica para una ecuación diferencial parcial en dos variables
independientes y una dependiente, excepto por supuesto que la gráfica no sería una curva
sino en general una familia de superficies en 3 dimensiones.
Empero, existen ecuaciones diferenciales que tienen soluciones que no se pueden obtener
de la solución general para algún valor de la constante arbitraria C (inclusive cuando C= +
− infinito). Tales soluciones se llaman singulares . Por ejemplo, efectuado la
comprobación, se puede verificar que la ecuación:
Tiene la solución general:
x =sen(t+C)
Mientras que la función x=1 es también una solución de la E.D. , pero ella no se puede
obtener de la solución general para ningún valor de C, o sea es una solución singular.
Geométricamente; la gráfica de la solución singular es una curva integral que en cada punto
tiene una tangente común a una de las curvas de la familia de curvas integrales definidas
por la solución general. Estacurva se denomina envolvente de la familia de curvas
integrales.
21 tx −=&
13
 Finalmente, el proceso de obtención de las soluciones de una ecuación diferencial se
denomina integración de la ecuación diferencial.
Ahora bien, una ecuación diferencial funcional es una E.D. en la cual la derivada de la
función incógnita x´(t) tiene un valor en t ( variable independiente)que está relacionado a x
como función de alguna otra función u del mismo argumento t o variable independiente.
Una ecuación diferencial funcional (E.D.F.) general de primer orden tiene la forma
siguiente:
Obsérvese como la variable u que aparece como argumento, es a su vez función de la
variable independiente t; de ahí el nombre de funcional, ya que una función está
involucrada en el argumento de la función principal.
Un tipo de E.D.F. (ecuación diferencial funcional) de orden m, es aquella que tiene la
forma:
Donde i corre desde los enteros 1 a p, y s va de los enteros 1 a n. Este tipo de E.D.F. con
τ > 0 se conoce como ecuacion diferencial funcional con retardo o retraso (E.D.F.R). En
general se puede afimar que la derivada de orden mas alto de la función incógnita aparece
una sola vez con un mismo valor de la variable independiente t.
Si el miembro derecho de la E.D.F. no depende explícitamente de t (o de la variable
independiente), se conoce como E.D.F. autónoma, que por tanto adopta la forma general
para primer orden1 :
Y la correspondiente E.D.F.R. autónoma será:
 
1 Recuérdese que el punto sobre la x significa la primera derivada respecto al tiempo
)))((),(,( tuxtxtf
dt
dx
=
1.1) ( ) )(,),........(,.,),........´(),(,( )()1()( i
s
i
mm txtxxtxtxtfx ττ −−= −
1.2) ( )))((),(( tuxtxfx =&
1.3) ( ))(( τ−= txfx&
14
Donde, como era de esperarse, el miembro derecho no depende del tiempo en forma
explícita.
Por otro lado, físicamente se puede decir que una E.D.F.R. dice que el valor actual de la
variable dependiente, es función tanto del valor actual de la independiente; así como
también de la historia, o valores previos de la misma variable dependiente. Otra manera de
expresar lo anterior es diciendo que la velocidad de cambio del sistema depende no solo de
su estado presente sino que también de sus estados o velocidades, o ambos; pasados y en
algunos casos futuros. Por ejemplo si se tiene cierto proceso y se quiere investigar la
posición conociendo la velocidad y si ésta depende de los valores pasados y presente,
entonces el proceso puede describirse en términos de una E.D.F.R.
 Si en (1.1) o en (1.3) −infinito < τ < 0 entonces la ecuación es E.D.F. con retardo sin
frontera ( o contorno). Si −infinito < h < τ < 0 entonces (1.1) o (1.3) es una E.D.F. con
retardo acotado (o con frontera).
Considérese la siguiente E.D.F.R.
Y sea t0 el momento inicial; el problema de valor inicial, o problema de Cauchy para
E.D.F.R. es determinar una función x(t) para t >=t0 −τ, y satisfaga (1.4) para t >=t0
1.2 Métodos de Solución de la Ecuaciones Diferenciales
Funcionales
Para la simple ecuación diferencial funcional retardada (E.D.F.R.) (1.4) puede obtenerse la
solución del problema de Cauchy para ella, por el método conocido como por pasos o de
integración sucesiva, el cual permite definir una solución continua x(t) por medio de
integraciones sucesivas de la ecuación diferencial ordinaria. Reemplazando x(t−τ) para t0 <
t < t0 + τ (intervalo de longitud igual al retardo) en (1.4) por φ( t−τ) se llega a la ecuación
diferencial ordinaria:
1.4) ( ) )( ),( , ( τ−= txtxtfx&
ττφ +≤≤−= 00 ) )( ),( , ( tttttxtfx&
15
Habiendo definido la solución x(t) en el intervalo para t0 < t < t0 + τ , se puede continuar
en la misma forma y definir x(t) en t0+ τ< t < t0 + 2τ, t0 +2τ< t < t0 + 3τ y así
sucesivamente. Por ejemplo, la solución de la ecuación x´(t) = a x(t − 1), t>=1 sujeta a la
condición inicial x0(t−1)=1, t<=0 viene dada por la fórmula:
Otro ejemplo, sea:
Y hágase φ( t) = k en la intervalo t0 − τ (“prehistoria” de la ecuación). Aplicando el método
de pasos se llega primero a:
E integrando se halla:
Continuando en la misma forma:
Seguidamente:
Generalizando por inducción:
1] [ , )(])1([a)( 1i
0
+=−−= −
=
∑ ττ tni!ittx i
n
i
)( τα −= txx&
ktxtttkx =+≤≤= )( , , 000 τα&
τα
αα
+≤≤+−=
−×=+=
000
011
 para ]1)([)(
 )1( , 
tttttktx
tkkktkx
00
2
0
2
0
00
t2 para ])(
2
)(1[)(
:sea o )1()( ; ]1)([ 
ttrttattktx
ktxttkx
+≥≥+−−+−×+=
+×=++−−×=
ττα
αττταα&
00
3
0
3
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2t3en ])2(
!3
)(
!2
)(1[)(
:opor tant )
2
21()2( ; ])(
2
)([1 
ttttattattktx
aktxttattkx
+≥≥+−−+−−+−×+=
++×=+−−+−−×+=
ττττα
τατττταα&
..,.........2 ,1 ,0con 
! 
)1(
)( 0
1
=
−−−
= ∑
=
m
i
itt
ktx
im
i
i τα
16
Sin embargo, el método de pasos no es universal, por ejemplo no puede ser aplicado a
ecuaciones con retraso variable ( o sea τ variable) que se desvanece en algunos puntos:
Pero casi siempre el método de pasos se puede usar para las ecuaciones (1.4) si f(t, x(t−τ))
depende únicamente de x(t) y x(θ) para θ <= ε < 0. En algunos casos el método de pasos
ayuda a obtener los diferentes y conocidos teoremas de existencia, unicidad y continuidad
de las soluciones y otras propiedades cualitativas.
A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la solución de (1.4) igualmente que
para infinitamente derivables funciones φ y f tiene, en general, una discontinuidad en el
punto t=t0 . En realidad. x´(t + 0) = f[0, φ(θ)] no siempre es igual x´(t 0 − 0) = φ ´(0) . En
el punto t = t0 + h hay una discontinuidad o “salto” en la segunda derivada, pero la primera
derivada es por todos lados continua, y así sucesivamente. De esta manera, la solución se
vuelve mas “suave” para cada paso que se avanza. Este proceso se conoce como
“suavizamiento” de la solución.
Otra característica peculiar de las E.D.F.R. es que la solución solo existe a la derecha del
punto inicial t0 ; pero en general no existe a la izquierda de éste. Considerando por ejemplo
la ecuación:
Reescribiéndola en la forma x(t)=x´(t + 1), esta ecuación dice que en el intervalo [−1 ,
0], x(t)=φ´(t + 1); en [−2,−1], x(t)=x´(t + 1) =φ´´(t + 2); y así sucesivamente. La solución
x(t) es expresada por φ (m)(t) [donde m es el orden de la derivada, de ahí el paréntesis]; y m
tiende a infinito cuando t tiende a menos infinito. Si φ(t) es solamente continua, entonces la
solución x(t) no existe a la izquierda de t=0. Si existe φ (m)(t) pero φ (m+1)(t) no existe,
entonces la solución x(t) de (1.5) existe únicamente en [−m ,0]. En el caso de las
ecuaciones (1.1) ó (1.4), la situación es todavía mas complicada. La solución a la izquierda
0 ,0)( ,0)( ] ))((),( , [ ttthththtxtxtfx ii >=>=−=&
)5.1( 10 ),()( ;1 ),1()( ≤≤=≥−= tttxttxtx ϕ&
17
del punto inicial es conocida algunas veces como continuación inversa de la solución. El
problema de la continuación inversa de la solución es incorrecto en el sentido de
Hadamard. Considérese nuevamente la ecuación (1.5) . Asúmase que la función inicial
φ(t) no se conoce exactamente; esto es se sabe únicamente φaprox(t) =φ(t)+δ(t) o sea solo se
conoce una aproximación, con δ0 una estimación del error δ(t) tal que abs[δ(t)]< δ0 . Bajo
éstas suposiciones es imposible determinar x(t) a la izquierda de t=0 con precisión δ0 por el
método descrito en está sección. De hecho, si se hace δ(t)=δ0 senω t, entonces x(t) =
φaprox(t) =φ ´(t)+ δ0 ω cos ωt y la norma de la diferencia x(t)−φ´(t)=δ0 ω tiende a infinito si
ω tiende a infinito.En este caso es necesario aplicar cierto método de regularización para la
continuación del respaldo (backward continuation). Es de resaltar que algunos problemas
de aplicación requieren definir el estado inicial del sistema para el estado actual conocido.
A continuación se da un resultado conocido sobre la existencia, unicidad y continuidad para
las soluciones de las E.D.F.R. con retardo acotado:
Una función x(t) se dice que es solución de (1.6) en [t0, , t0+δ ], con δ > 0 si x ε C[ t0 − h
, t0 + δ ] y x(t) satisface la ecuación (1.7) para todo t ε [t0, , t0+δ ].Se asume que x´(t)=f( t,
φ).
En algunos pocos casos, hay tipos integrables de E.D.F.R., esto es si a la ecuación:
Si se le aplica el método de pasos, obtenemos la siguiente ecuación sin retardo:
Por tanto, si el método de pasos es aplicable a (1.7) y la ecuación resultante (1.8) es
integrable para toda función continua gn (t) , entonces se dice que (1.7) es integrable en
cuadraturas. Seguidamente se puede dar una definición análoga para la ecuación mas
general:
(1.6) 0 , , )),(,()( 00 ≤≤−=≥−= τφτ hxtttxtftx t&
(1.8) ) ) )((),(,()( trtgtxtftx n −=&
(1.7) )()(con ) ) )((),(,()( 0 tgtxtrtxtxtftx =−=&
(1.9) ) ))(( ...,),........ )(( ),(,()( 1 trtxtrtxtxtftx m−−=&
18
Si E1 es el siguiente intervalo al conjunto inicial E0 , entonces al aplicar el método de pasos
a la ecuación planteada, ésta se reduce a un ecuación diferencial ordinaria en E1 , la cual
puede resolverse por supuesto por los métodos de integración conocidos.
Algunos ejemplos de E.D.F.R. que se pueden integrar en cuadraturas son las ecuaciones de
la forma (1.9)
Y como en cada paso f es una función conocida de t , se puede integrar con facilidad.
Ahora considérese la ecuación de variables separables:
Que podemos reescribir en la forma:
Por ejemplo, considérese:
Para E1/2 =0,1/2 se puede escribir:
Luego entonces la solución es:
Métodos numéricos
Estos métodos suelen emplearse cuando la E.D. no puede integrarse por los procedimientos
comunes, o bien su solución no pueda expresarse en términos de funciones elementales que
satisfagan la ecuación. En variados casos, particularmente en el estudio de las ecuaciones
no lineales, solo se puede hacer un estudio aproximado de la E.D precisamente por estos
métodos.
dtrtxrtxrtxtxtNtdxtxM m ) )( ..,),........( ),( ),(,()())(( 21 −−−=
mitrrdtrtxrtxrtxtxtHxG
tdxrtxrtxrtxtxthtxg
iim
m
,....,3,2,1),(con ;) )( ...,),........( ),( ),(,( )(
)() ) ( ..,),........ ( ),. ( ),(, ( ))((
21
21
==−−−
=−−−
.0,2
1en para 2)(con )
2
1()( 0
2 −==+−= Etttxttxtx&
 0)0(y 12)( 2 =−+= xtttx&
 
3
1)( 32 ttttx −+=
19
Los métodos numéricos en general se desarrollaron para ecuaciones diferenciales de
primer orden, pero como es bien sabido, una E. D. de orden n se puede expresar por medio
de un sistema de n ecuaciones de primer orden. Con el uso de las computadoras, los
lenguajes de programación de alto nivel (FORTRAN o C por ejemplo), y últimamente los
paquetes específicos (como MATHEMATICA o MATLAB) se ha facilitado enormemente
el llevar a cabo esta tarea y cada vez; con el incremento en la velocidad de los
microprocesadores la exactitud ha crecido enormemente2.
A las E.D.F.R. se les puede aplicar igualmente bien los métodos numéricos que se emplean
en las E.D. ordinarias, por supuesto con las modificaciones adecuadas. Si bien al llevar a
cabo esto surgen dificultades específicas ausentes en las ecuaciones sin retardo.
Sea:
con
x(t)=g(t), t<=t0
Este problema para funciones f y g tan “lisas” como se quiera, tiene discontinuidades en las
derivadas (en los puntos t0 + nr donde nε N ) , por tanto es imposible utilizar los métodos
en diferencias finitas de “grados superiores” ya que no solo no pueden dar una “buena
aproximación” (digamos mejor que la obtenida con el método de poligonales de Euler),
sino que al aumentar su grado la exactitud del método en general decrece.
Afortunadamente esta dificultad es salvable utilizando la idea de Elzgoltz: en los primeros
pasos se integra la ecuación con el método de Euler, con un paso de integración “pequeño”,
después la integración se realiza con algún método de diferencias finitas de grado superior.
Zvierkina3 tiene un método en diferencias finitas modificado de grado p>1, que toma en
consideración las discontinuidades de las derivadas en proceso de integración en el
problema que se presentó líneas arriba.
 
2 Recuerdese que el llamado paso en la integración entre mas “pequeño” da mayor exactitud pero incrementa notablemente el “tiempo
máquina” o duración del algoritmo de cálculo.
3 T.S. Zvierkina. La fórmula de Adams modificada para la integración de E.D.F.R., Trudy Sem. po Diff. Urav. S Otkl. Arg.,T.III,1965
)10.1( ) ) )(( ),(,()( 1 trtxtxtftx −=&
20
La segunda gran dificultad consiste en que en cada paso de integración hay que
interpolar los valores de la solución y su derivada en ese punto4:
tj − r ( tj )
Particularmente la ecuación (1.10) con retardo constante esta última dificultades puede
evitar si se toma como paso de integración de tal manera que r = m h donde rε Ν.
Al utilizar el método de Runge Kutta se necesita realizar una interpolación múltiple de xi y
x´i al tiempo de calcular la función f en los puntos intermedios de cada paso. La
interpolación se hace necesaria aun en el caso de r constante. Esto aumenta el número de
operaciones, además para asegurar una “buena” exactitud de la interpolación utilizando el
método de Runge Kutta, se necesita guardar en la “memoria operativa” de la computadora
una gran cantidad de valores ya encontrados de la solución, no obstante que estos valores
no son utilizados en el proceso de control del cálculo. O sea que éste método pierde muchas
de las ventajas que tiene para ecuaciones ordinarias.
El método que tiene mejores perspectivas es el de diferencias finitas modificado.
Si el esquema de cálculo no se relaciona con el método “por pasos” entonces los
puntos tj=0 − k r en donde rε R+ pueden resultar interiores del respectivo intervalo donde se
realiza el esquema, por tanto es necesario considerar que la solución puede ser menos “lisa”
en estos puntos que en los restantes de (tj ,tj+1 ) y este hecho es el que precisamente el que
se toma en cuenta para modificar los métodos empleados para ecuaciones ordinarios.
1.3 Definición de estabilidad y métodos para hallarla
La palabra estable, proveniente del latín stábile, significa en el habla común constante,
permanente o firme. Como un concepto físico se introdujo primeramente en mecánica
donde se aplica fundamentalmente a una posición de equilibrio, de una partícula, cuerpo o
sistema mecánico. En estas condiciones el equilibrio se denomina estable si la partícula o
cuerpo retorna a un posición en la que originalmente estuvo, después de moverlo o
separarlo ligeramente de la misma.
 
4 En realidad este problema solo aumenta el volumen de las operaciones pero en principio no representa una dificultad
21
De esta forma se enseña como un concepto intuitivo de la estabilidad, que si cuerpo con
forma de libro suficientemente delgado, tiene una posición mas “estable” si se coloca sobre
una de las cubiertas que si se “para” sobre un canto porque la base de apoyo es mas ancha,
mecánicamente hablando. Igualmente si el centro de masa de cualquier otro objeto entre
mas ancha la base de apoyo, mayor “estabilidad” presenta. Torricelli formuló un principio
que lleva su nombre, aunque ya era conocido con anterioridad a él; que dice “En todo
sistema de cuerpos sólidos en equilibrio (estable) el centro de gravedad ocupala posición
relativa mas baja posible”.
Si un punto de un cuerpo rígido está fijo, y el cuerpo está sujeto a la acción gravitatoria, se
puede dar, concordando con el principio de Torricelli, el siguiente criterio para estabilidad:
existe estabilidad si el centro de gravedad queda por debajo del punto fijo.
La siguiente ilustración muestra este concepto intuitivo de estabilidad.
Fig. 1.1Concepto intuitivo de estabilidad
Por supuesto este criterio no se puede aplicar si no existen punto fijo, como en el caso de
una bola que se desplace sobre una superficie plana y horizontal. Empero, para una bola
que se desplaza sobre una superficie alabeada con puntos de equilibrio, funciona una
variante del principio de Torricelli, que se puede enunciar como sigue: si cualquier
desplazamiento pequeño a partir de la posición de equilibrio hace que el centro de gravedad
suba, el equilibrio es estable.
En estos ejemplo se puede observar que la noción de estabilidad lleva implícita de alguna
forma la de desplazamiento o movimiento mecánico, por tanto, es esencialmente dinámica.
Equilibrio inestable
Equilibrio estable
22
En la formulación Lagrangiana de la mecánica se amplía este concepto, al tiempo que se
extiende la noción de movimiento mecánico, considerando no solo el cambio de posición,
sino también el cambio temporal de las coordenadas generalizadas con las que se describe
el sistema en cuestión. Como se sabe, estas coordenadas generalizadas necesarias para
modelar problemas mecánicos por medio de Lagrangiana, pueden ser velocidades lineales o
angulares; aceleraciones, longitudes, etc.
Sin embargo, los conceptos y criterios de estabilidad señalados anteriormente, aunque
adecuados y fructíferos en muchas situaciones, resultan inadecuados o insuficientes en
otras. Un hito importante en el desarrollo de la teoría lo constituye el teorema de Lagrange
en su tratado “Mecanique analytique” . Como el ejemplo anterior de la bola, donde la
introducción de la función de energía potencial que es proporcional a la altura, anuncian ya
este teorema; que en esencia expresa que el equilibrio es estable en los puntos donde la
energía potencial tiene un mínimo.
Empero, Lagrange sólo logró demostrar su teorema para el caso en que la función de
energía potencial es de forma cuadrática. G. L. Dirichlet en 1846 una demostración general
que después sirvió como modelo a Lyapunov para el desarrollo de su segundo método que
además se puede aplicar a sistemas tanto lienales como no lineales. Las conocidas como
funciones de Lyapunov se pueden entender como generalizaciones de la función de energía
potencial para sistemas conservativos utilizados por Lagrange y Dirichlet.
Mucho eminentes matemáticos y científicos del siglo XIX se ocuparon de cuaestioens de
estabilidad , por ejemplo Lagrange, Kelvin, Routh, Shukovskii y Poincaré. No obstante, un
tratamiento general de la estabilidad del movimiento en su forma clásica completamente
satisfactorio tuvo que esperar hasta 1892 en que A. M. Lyapunov en su famosa tesis
doctoral “problema general de la estabilidad del movimiento”. En este trabajo se introduce
por primera vez con rigor matemático la definición de estabilidad y que es mucho mas
amplia que el correspondiente concepto mecánico; no se refiere ya al movimiento de un
cuerpo material, sino que se generaliza a una ecuación diferencial. Además no se trata de la
estabilidad de un equilibrio, sino de la de una solución cualquiera de la ecuación. (Los
puntos de equilibrio o estacionarios de la ecuación son matemáticamente las soluciones
particulares de la ecuación, y representanlos puntos físicos de equilibrio del cuerpo cuyo
movimiento se describe).
23
Después de los conceptos de estabilidad y estabilidad asintótica introducidos por
Lyapunov, aparecen los de estabilidad uniforme, asintóticamente uniforme, globalmente,
equiasintóticamete, exponencial, cuasi asintótica y otras muchas más.
Es de tomar en cuenta que éstas definiciones corresponden a cierta clase de estabilidad a
saber: la estabilidad frente a perturbaciones instantáneas. En cuanto a las permanentes o de
acción continuada (Duboshin) existen la estabilidad total, la integral, la estabilidad en
media y otras.
También se han introducido la estabilidad eventual, la práctica, los diferentes tipos de
estabilidad “en variaciones”, la estabilidad absoluta ( que se aplica en las ecuaciones que
describen procesos controlobles), la estabilidad de conjuntos, la parcial, la relativa, la
condicional, la marginal, los conceptos en espacios Lp y más.
Los prefijos y combinaciones de palabras no bastan y se hace necesario numerar las
definiciones. Este caos ha tenido numerosos intentos de ser organizado por parte de
Massera, Movchan, Gibert y Knops, Hahn, Bushaw, hasta llegar a Habets y Peiffer que
consideran hasta 184,320 conceptos diferentes de estabilidad.
Por esto que en este trabajo se ocupara solo de los métodos mas comunes y prácticos para
obtener la estabilidad del sistema que modela las vibraciones.
Al diseñar un sistema mecánico se debe poder predecir su comportamiento dinámico a
partir del conocimiento de sus componentes. La característica mas importante del
comportamiento dinámico de un sistema de control es la que a lo largo de este trabajo se
usará más, a saber; la estabilidad absoluta., es decir; si el sistema es estable o inestable. Se
usará el siguiente criterio: un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de
perturbaciones o de alguna entrada; la salida permanece en el mismo estado. Un sistema de
control lineal e invariante con el tiempo(5) es críticamente estable si las oscilaciones de
salida continúan para siempre. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su
estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Realmente, la
salida de un sistema físico puede aumentar hasta cierto punto, pero puede estar limitada por
detenciones mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la
salida excede cierta magnitud, y entonces ya no se pueden aplicar las E.D. lineales.
Entre los comportamientos importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta) que
deben recibir una cuidadosa consideración, están la estabilidad relativa y el error en estado
24
estable. Dado que un sistema de control físico implica un almacenamiento de energía, la
salida del sistema, cuando éste está sujeto a una entrada, no sucede a la entrada de
inmediato, sino que exhibe una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estable. La
respuesta transitoria de un sistema de control práctico con frecuencia exhibe oscilaciones
amortiguadas antes de alcanzar un estado estable. Si la salida de un sistema en estado
estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en
estado estable. Este error indica la presición del sistema. Al analizar un sistema de control,
debemos examinar el comportamiento de la respuesta en el tiempo que en general consta
de una transitoria y otra de estado estable.
Ahora bien, para poder aplicar los metodos o criterios para la estabilidad, el sistema físico
( ya sea mecánico, electrico, térmico o de fluidos) se debe primero modelar usando la leyes
físicas que correspondan o que mejor lo describan; también haciendo las supocisiones o
aproximaciones adecuadas y finalmente expresar el modelo mediante una o un sistema de
ecuaciones diferenciales6.
Se enuncia un primer teorema establecido por Lyapunov, para determinar si un sistema es
estable o no:
Supóngase que se ha obtenido el modelo matemático del sistema físico que se estudia y
se representa por el sistema de E.D. siguiente:
Donde x´ y x son matrices columna de orden n. Y sea x(t) (también matriz columna de
orden n) una solución de este sistema. Se dice que estable en el sentido de Lyapunov en
t=t0 si dado un ε>0 existe un δ>0 tal que si y(t) es cualquier otra solución de tal manera
que | x(t0)− y(t0) | < δ, entonces:
| x(t)− y(t) | < ε para t>=0. En caso contrario x(t) es inestable.
Gráficamente se puede ilustrar de la siguiente manera:
 
5 Se modela por una E.D. lineal de coeficientes constantes
6 Esto es un descripción sucinta, en los siguientes capitulos nos ocuparemos de obtener el modelo matemático para sistemas vibratorios
)11.1.........(..........).........,( txfx =&
 x
25
Fig. 1.2 Acotación de Lyapunov
En la práctica y como a menudo es dificil obtener la solución de (1.11) no se recurre a
este teorema para encontrar la estabilidad de un sistema de control. Lyapunov desarrolló en
1892, 2 métodos para encontrar la estabilidad conocidos como primero y segundo, para
determinar la estabilidad de los sistemas dinámicos descritos mediante ecuaciones
diferenciales ordinarias.
 El primer método se compone de todos los procedimientos en los que se usa la forma
explícita de la solución de las ecuaciones diferenciales para el análisis. En general este
primer método solo sirve para análisis de estabilidad de sistemas lineales e invariantes con
el tiempo, y es la generalización de criterios como el de Routh o Nyquist que son mas
operativos. Pero al mismo tiempo este primer método da una visión mas general de la
estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo además de proporcionar una
generalización de los métodos particulares para este tipo de sistemas.
El segundo método no requiere de las soluciones de las E.D. Esto es, por medio del
segundo método, se determina la estabilidad de un sistema sin resolver las ecuaciones en el
espacio de estados7 no lineales o bien variantes en el tiempo; o ambas cuestiones a la vez.
Operativamente, cuando se aplica este segundo método de Lyapunov al análisis de
estabilidad de los sistemas no lineales, se requiere de mucha experiencia e ingenio; sin
embargo se puede contestar a la pregunta de la estabilidad de los sistemas no lineales
cuando otros métodos fracasan.
curva solución x(t , t0 , x0)
curva solución y(t , t0 , x0)
curva solución y(t , t0 , x0)
 x0
 2δ
 ε
 ε
 t
26
Un enfoque para determinar la estabilidad de un sistema es por medio de la conocida
como función de transferencia la que se obtiene a partir de la ecuación diferencial lineal e
invariante con el tiempo que modela al sistema en cuestión. En sí, la función de
transferencia se define como la relación o cociente de la transformada de Laplace de la
salida (función de respuesta) entre la transformada de Laplace de la entrada (función de
excitación) cuando las condiciones iniciales son cero.
Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito por la E.D. siguiente:
Donde el segundo miembro , u(x) ; se conoce como entrada o controlador del sistema y
y(t) es la salida del sistema. Si el controlador o entrada u(x) es un función de x de la
forma:
La función de transferencia de este sistema será:
Donde L representa la operación de la transformada de Laplace que es en este caso
transforma una función en el dominio del tiempo t, a una función en el dominio complejo s.
Si la potencia mas alta de s en el denominador de la función de transferencia es n , el
sistema se denomina sistema de n-ésimo orden.
El enfoque de función de transferencia como se dijo anteriormente solo puede aplicarse a
sistemas lineales e invariantes en el tiempo; afortunadamente la mayoría de los sistemas de
control caen dentro de esta categoria.La función de transferencia incluye las unidades
necesarias para relacionar la entrada con la salida pero no proporciona información acerca
de la estructura física del sistema.
 
7 Otra representación matemáticapara sistemas de control que se obtiene a partir de la E.D. que modela el sistema
( ) )(.......... 012
)1(
1 xuyayayayaya
n
n
n
n =+++++
−
− &&&
[ ]
[ ] )12.1( ......
......
)(
)(
entrada
)(
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sU
sX
L
LsG n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=== −
−
−
−salida
( ) xaxaxaxaxaxu mm
m
m 012
)1(
1 ..........)( +++++=
−
− &&&
27
Una de las ventajas del enfoque de función de transferencia es que, para un sistema en
particular puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y
estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia. ésta
proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a
diferencia de su descripción física.
El denominador de (1.12) se conoce como ecuación característica del sistema. Asimismo
la ec. (1.12) se le pueden factorizar numerador y denominador quedando (recuérdese que
s=x+yj es una variable compleja):
Donde las zj 8 se conocen como ceros de la función de transferencia y las pj 9 como polos
de la misma. De aqui que el primer criterio que se usa para determinar la estabilidad de un
sistema es el que se denomina análisis de estabilidad en el plano complejo en donde la
estabilidad se determina a partir de la ubicación de los polos en el plano complejo o plano s.
Recuérdese que la unidad de los números imaginarios es:
Si alguno de estos polos se encuentra en en el semiplano derecho del plano s, entonces
conforme aumenta el tiempo se producirá el modo dominante y la respuesta transitoria
aumentará en forma monotónica u oscilará con amplitud creciente. Esto significa que el
sistema es inestable. Para tal sistema tan pronto se conecta la alimentación, la salida
aumenta con el tiempo. Si no ocurre una saturación en el sistema o no se incluye una
detención mecánica del sistema, éste puede terminar dañandosé y fallando, dado que la
respuesta de un sistema físico real no puede aumentar indefinidamente. Por ende en un
sistema de control lineal normal no se permiten los polos en lazo cerrado en el semiplanpo
derecho del plano complejo10. Si todos los polos se encuentran a la izquierda del eje
imaginario (o también denominado eje ω j ), cualquier respuesta transitoria termina por
alcanzar el equilibrio. Esto representa un sistema estable.
 
8 raices de la ecuación en el numerador
9 raices de la ecuación en el denominador
10 lo que significa un número complejo con parte real positiva
)13.1( 
)..().........)((
))......()((
)(
21
21
n
m
pspsps
zszszs
KsG
+++
+++
=
1−=j
28
Fig. 1.3 Plano de los números complejos
Que un sistema sea estable o inestable es una propiedad del sistema mismo y no depende
de la entrada ni de la función de excitación del sistema. Los polos de la entrada, o de la
función de excitación, no afectan la propiedad de estabilidad del sistema, sino solo
contribuyen a los términos de respuesta en estado estable en la solución. Por tanto, el
problema de estabilidad absoluta se soluciona con facilidad al no elegir polos en el
semiplano derecho del plano complejo, incluyendo el eje ω j.
Observación: el solo hecho de que todos los polos se encuentren en el semiplano
izquierdo del plano complejo no garantiza características satisfactorias de respuesta
transitoria. Si los polos dominantes complejos conjugados se encuentran cerca del eje ω j,
la respuesta transitoria exhibirá oscilaciones excesivas o será muy lenta. Por tanto y para
garantizar caracteristicas de respuesta transitoria rápidas y bien amortiguadas, es necesario
que los polos en lazo cerrado del sistema se encuentren en una región determinada del
Eje imaginario
 j
Eje real
s=x+yj
29
plano complejo. Tal como la región delimitada por el área sombreada:
Fig. 1.4 Región de estabilidad en el plano complejo
Criterio de estabilidad de RouthConsidérese la función de transferencia:
Para hallar los polos en lazo cerrado y así determinar la estabilidad o inestabilidad del
sistema, es necesario factorizar el polinomio U(s) . El criterio de estabilidad de Routh
determina si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial sin tener que
obtenerlas en realidad. Cuando se aplica este criterio a una sistema de control, la
información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de
la ecuación característica11 .
El procedimiento es:
1.- Escriba el polinomio en s en la forma siguiente (los coeficientes son cantidades reales):
 an sn + an−1 sn−1+.................+ a2 s2 +a1 s1 +a0 =0 (1.15)
2.-Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un
coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas.
En al caso el sistema no es estable. Si solo es de interés la estabilidad absoluta, no es
necesario continuar con el procedimiento. Observesé que todos los coeficientes deben de
ser positivos.
3.-Si todos los coeficientes son positivos, ordénese los coeficientes del polinomio en filas y
columnas de acuerdo con el patrón siguiente:
 sn a0 a2 a4 a6 .........
 sn−1 a1 a3 a5 a7...........
 
11 Denominador de la función de transferencia
[ ]
[ ] )14.1( ......
......
)(
)(
entrada
)(
01
1
1
01
1
1
asasasa
bsbsbsb
sU
sX
L
LsG n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++
=== −
−
−
−salida
30
sn−2 b1 b2 b3 b4...........
sn−3 c1 c2 c3 c4..........
:
:
s2 e1 e2
s1 f1
s0 g1
Donde los coeficientes b1 , b2 , b3 etc. se calculan por medio de:
etc
La evaluación de las b continua hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo
patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de las dos filas anteriores al evaular las
c, las d , las e , etc. O sea:
etc
etc.
Este proceso se continua hasta la n− ésimo fila quedando el arreglo completo de
coeficientes en forma triangular. Obsérvese que al desarrollar el arreglo, una fila completa
se divide entre, o se multiplica por, un número positivo con el objeto de simplificar el
cálculo numérico subsecuente sin que esto altere la conclusión de la estabilidad del
sistema.
Una vez realizado todo lo anterior, el criterio plantea que el número de raíces de la
ecuación (1.15) con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los
coeficientes de la primera columna del arreglo. Debe señalarse que no es necesario conocer
los valores exactos de los términos de la primera columna, solo se necesitan los signos. La
1
3021
1 a
aaaa
b
−
=
1
5041
2 a
aaaa
b
−
=
1
2131
1 b
baab
c
−
=
1
3151
2 b
baab
c
−
=
1
2121
1 c
cbbcd −=
1
3131
2 c
cbbc
d
−
=
31
condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación (1.15) se
encuentren en el semiplano izquierdo del plano complejo es que todos los coeficientes de la
ecuación (1.15) sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo
tengan signo positivo.
Criterio de la integral de la frecuencia.
Los métodos basados en la frecuencia son usados ampliamente en la teoría del control
automático para investigar la estabilidad de sistemas autónomos. Para E.D.F.R. los métodos
de frecuencia fueron desarrollados por Kabakov y Tzypkin. Están estos métodos basados en
el principio del argumento de análisis complejo. El criterio de Michailov y Nyquist son los
mas frecuentemente usados. Consideresé la función característica:
Aquí todas las funciones fk (z) están acotadas y la función ∆(z) es analítica en una mitad
del plano complejo de tal forma que Re z > −γ para algún −γ > 0 . Substituyendo ω j (12)
en (1.15) se llega a:
El hodógrafo de la función (1.17) en el plano complejo se llama de Michailov.
A continuación se enuncia el criterio de Michailov:
Criterio de Michailov: Para que se tenga estabilidad asintótica de una ecuación lineal de
orden n con la función característica (1.16), es condición necesaria y suficiente que la
variación de la función ∆(ω j) sea igual a nπ / 2 cuando ω varía de cero a infinito; esto es:
El criterio de Michailov para E.D.F.R. fue provisto por Kabakov y Tzypkin. Pero para
E.D.F.R. el hodógrafo de Michailov es mas complicado que para ecuaciones diferenciales
 
12 Recuerdese que ω es la frecuencia (en rad/s) de la señal que se aplica al sistema
)16.1( )(.........)()()( det) 22
1
1
0
zfzzfzzfzsdKezIz n
nnnzs ++++=





−=(∆ −−
∞
−∫
)17.1( )()()( ωωω jVUj +=∆
2
)(arg 0
π
ω
nj =∆ ∞
32
ordinarias. Un típico hodógrafo de Michailov para un sistema estable sin retardos esta
representado en la figura:
Fig. 1.5 Hodógrafo de Michailov
El hodógrafo de Michailov para:
 D(z)=2 z2 +0.5 z + 2 + e+zτ 
con τ =1, 5, 10 se muestra en la figura siguiente:
Fig. 1.6 Hodógrafo de Michailov para la ec. (1.18)
Para τ =1, 10 el sistema es inestable, y estable para τ = 5.
Ahora bien, es mas efectivo emplear el criterio integral. Defíniendo la función de la
derivada logaritmica R(ω) para un sistema con la ecuación característica ∆(z) :
)18.1( 
)()(
)´()()´()()]( [arg
)(
)´(Re)( 22 ωω
ωωωω
ω
ω
ω
VU
UVVUjF
d
d
z
zR
+
−
==
∆
∆
=
33
donde ∆(ω j)=U(ω) + jV(ω).
Criterio de la estabilidad integral: para la estabilidad asintótica de una E.D.F.R. con la
ecuación característica ∆(z) es necesario y suficiente que:
 Donde R(ω) esta definido por la fórmula (1.18)
 El criterio de la integral de la frecuencia es más conveniente para cálculos por
computadora. Escójase un número s de tal manera que:
Entonces empleando la condición (1.18) es suficiente verificar la inecuación:
Considérese por ejemplo el sistema con la ecuación característica:
 D(z)=0.1 z2 +0.3 z + 0.5+(0.1 z+0.2) ε−zτ2 +(0.2 z +0.3 z)e− zτ1
Se obtiene:
U=−0.1ω 2+ 0.5 + 0.1ω sen τ1ω + 0.2 cosω τ1 + 0.2ω sen τ2ω + 0.3 cosω τ2 
V=0.3ω − 0.2 sen τ1ω + 0.1ω cosω τ1 − 0.3 senω τ2 + 0.2ω cosω τ2 
)19.1( 
2
)(
0
π
ωω
ndR =∫
∞
1)(
0
<∫
∞
ωω dR
)20.1( 
2
)1()(
0
π
ωω
−
>∫
∞ ndR
34
La gráfica de la función R(ω) para estas ecuaciones con τ1 =3.0, τ2 =1.5 es (el sistema es
estable):
Fig. 1.7 Grafica de la ec. (1.21)
Y para τ1 =2.5, τ2 =1.7 es (el sistema es inestable):
Fig. 1.8 Grafica de la ec-. (1.21)
 Realizando el cálculo de las integrales y usando (1.20) con n=2 se obtiene:
 5.1 , 0.3
2
0455.3)(
21
20
0
==
>=∫
ττ
π
ωω dR
7.1 , 5.2
2
0834.1)(
21
20
0
==
<−=∫
ττ
π
ωω dR
35
En el primer caso el sistema es estable e inestable en el segundo. Remarcando que a partir
del estudio de la función R(ω) se obtienen algunas estimaciones del régimen transitorio.
36
CAPITULO 2
37
2.1 Sistemas de segundo orden de frecuencia natural.
Una vibración es el movimiento de un cuerpo o de un sistema de cuerpos conectados
que se repite uniforme o aleatoriamente en un intervalo de tiempo dado. En estructuras de
ingeniería (bastidores, cimentaciones, estructuras de puentes, bancadas de máquinas, etc.)
la ocurrencia de las vibraciones es extensa . Inclusive hay estructuras diseñadas a propósito
para vibrar , que se usan en investigaciones geológicas sísmicas, para facilitar el empaque
de materiales pulverizados como arena o harina, y para determinar la duración o los límites
de fatiga de los elementos de las máquinas. Sin embargo, lo mas común es que los efectos
de las vibracionesson indeseables en las estructuras de uso en ingeniería. Dado que
cualquier vibración requiere energía o potencia para producirla, entonces la eficiencia de
las máquinas se reduce. Además de que causan esfuerzos repetidos o periódicos en los
materiales de los cuales está hecha la estructura, esto eventualmente conduce a la fatiga del
material que apresura el tiempo de su falla natural.
Ahora bien, en general hay dos tipos de vibraciones, las denominadas libres y las
forzadas. Las primeras ocurren cuando el movimiento se mantiene por fuerzas
gravitacionales o restauradoras elásticas13, tales como el movimiento ondulatorio de un
péndulo o la vibración de una barra elástica. La vibración forzada es causada por una
fuerza externa al sistema, ya sea periódica, intermitente o bien aleatoria. Ambos tipos de
vibración pueden involucrar amortiguamiento o no. Las vibraciones sin amortiguamiento
pueden continuar indefinidamente en teoría, ya que en el análisis se desprecian los efectos
de la fricción o la viscosidad del medio. Como en realidad siempre hay fuerzas de fricción
externas e internas en cualquier sistema, el movimiento de todos los sistemas vibratorios
tiene siempre amortiguamiento.
Para describir los sistemas vibratorios se definirá primeramente lo que es el número de
grados de libertad del sistema: el mínimo número o cantidad de
coordenadas independientes necesarias para describir un
sistema completamente. De esta forma cuando el movimiento de un cuerpo está
restringido de tal manera que solo puede moverse o vibrar en una sola dirección se dice que
tiene, o que su movimiento puede describirse; en términos de un solo grado de libertad (la
coordenada x por ejemplo). O sea un sistema de un solo grado de libertad requiere
 
13 Recuérdese que los metales y otros materiales exhiben un intervalo de elasticidad cuando se les aplica una fuerza o esfuerzo dentro de
ciertos límites
38
únicamente de una coordenada para especificar de modo absoluto la posición del sistema en
cualquier instante de tiempo. El análisis de sistemas de varios grados de libertad está
basado en este caso, por lo que se considerará primero.
Luego entonces, el sistema vibratorio mas simple de un grado de libertad es la
vibración libre sin amortiguamiento, por la que podemos aproximar muchos de los
comportamientos de estructuras de ingeniería. El modelo se presenta en figura (2.1) :
Fig. 2.1 Sistema masa resorte
En el análisis que sigue se asume que el resorte sigue una ley lineal a saber: que la
fuerza para estirarlo o comprimirlo en una distancia x a partir de su posición de equilibrio,
es directamente proporcional a la fuerza a la que es sometido, o sea sigue la conocida ley de
Hooke:
 F = k y (2.1)
Primeramente considérese un masa m suspendida del resorte sin movimiento, el peso
correspondiente será mg, y por la ley de inercia dado que está en reposo, se obtiene:
m g − kδ0 = 0 (2.2)
Donde δ0 es la cantidad que se estira el resorte a partir de su posición de no estirado hasta la
posición de equilibrio; y k es la constante elástica del resorte, en unidades de fuerza por
unidad de longitud (p. ej. N/m) llegando así a una posición de equilibrio en donde se sitúa
el nivel cero como se muestra en la siguiente figura (2.2) :
39
Fig. 2.2 En torno a las fuerzas del sistema
Ahora bien, cuando ya se está moviendo por la segunda ley :
m y´´=−k (δ 0 + y)+ m g
Y por (2.2) se obtiene la E.D. lineal de segundo orden con coeficientes constantes:
Por costumbre se hace ω 2= k2/m 14quedando:
Se dice que la ecuación (2.3) describe el movimiento armónico simple o movimiento
libre no amortiguado, y que representa a un sistema de segundo orden de frecuencia
natural ya que la ecuación diferencial involucra un segunda derivada, ω es la frecuencia
 
14 Como se sabe ω rad/s es la velocidad angular de un sistema mecánico y esta relacionada en la solución de la E.D. que se presenta 
)3.2( 02
2
=+ y
m
k
dt
yd
)4.2( 0 22
2
=+ y
dt
yd
ω
40
natural del sistema15, cabe aqui hacer mención de las suposiciones en las que se basa este
modelo:
1) La constante elástica del resorte se mantiene constante, o sea no depende del tiempo ni
de la posición; esto es válido si no se excede el límite elástico del resorte y si la fatiga o
relajación del material del que está hecho el resorte se desprecia, lo que es válido
cuando no son demasiados16 los ciclos en los que se estudia el sistema y si el material
del resorte es un metal ferroso.
2) La fuerza que ejerce el resorte es restitutiva, o sea que siempre está dirigida hacia la
posición de equilibrio y=0 y siempre es proporcional al estiramiento o compresión
sufrida por el resorte o sea exhibe un comportamiento lineal. Esto es válido dentro del
intervalo elástico del resorte aunque mediciones muy precisas pudiesen indicar que este
comportamiento es ligeramente no lineal en el intervalo mencionado.
3) La constante elástica del resorte es igual si se comprime éste que si se estira.
4) No hay efectos disipativos, esto es la resistencia o viscosidad del medio que rodea al
sistema, o los efectos de fricción interna de los materiales no existen. Igualmente lo
anterior es válido si dichas fuerzas son pequeñas comparadas con la fuerza que ejerce el
resorte o la velocidad que adquiere la masa suspendida.
5) La masa del resorte es nula. Esta aproximación es válida si la masa de éste es pequeña
comparada con la de la masa suspendida.
Dado que es una ecuación de segundo orden se necesitan dos condiciones iniciales para
tener completo el problema de Cauchy, a saber: posición y velocidad iniciales, que
matemáticamente se expresan:
Físicamente éstas condiciones representan si por ejemplo y0 < 0 y y´0 < 0 se trata de una
masa que se suelta de una posición y0 unidades de longitud arriba de la posición de
equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba y´0 unidades de longitud por unidad de
tiempo. Las demás posibilidades son análogas.
 
15 Obsérvese que esta frecuencia natural solo depende las cantidades intrínsecas del sistema, esto es de su masa inercial y de su
constante elástica
16 las palabras “muchos”, “demasiados” o “pocos” dependen de la presición que se requiera o de alguna regla establecida ya sea
empíricamernte; o por algún criterio, tal como 10 a 1.
)5.2( )0( 0 00 vty y) (ty ==== &
41
La solución de (2.4) proporcionada por cualquier texto de ecuaciones diferenciales se
expresa como:
y=C1 senω t + C2 cosω t (2.6)
 Sin embargo, para propósitos de análisis mecánico es mas conveniente expresar (2.6)
como:
 y= A sen(ω t + θ 0) (2.7)
 Si se está interesado en como pasar de la forma (2.6) a la (2.7) consúltese el apéndice I.
En (2.7) las diversas cantidades involucradas son:
θ0 : se denomina fase inicial del movimiento, que es el punto, medido sobre el eje de
coordenadas; a partir del cual parte la masa (en t=0 ).
A: es la amplitud del movimiento (p. ej. en mm), y es el desplazamiento máximo a partir
del origen; y dado que la función seno varía de –1 a 1entonces el movimiento está acotado
entre y=−A y y=A.
ω : es la frecuencia angular (en rad/s)
De la misma forma, se pueden calcular la conocidas cantidades para el movimiento
armónico simple:
 T: periodo, que es el tiempo para completar una oscilación, o sea que la masa se
encuentre en la misma posición y con la misma velocidad (en magnitud y dirección) que la
que tenía cuando empezamos a medir el periodo, para este caso y dado quela función seno
tiene un periodo de 2π entonces T= 2π /ω 17
f : frecuencia, que es el número de ciclos en una unidad de tiempo generalmente un
segundo, i es igual a reciproco del periodo 1/T
Considérese ahora el problema cuando la fuerza no depende linealmente de la deformación.
En la práctica de la ingeniería, si el análisis del sistema mecánico se puede restringir a
pequeñas oscilaciones o deformaciones, entonces una relación no-lineal fuerza contra
 
17 ωT+θ=2π+θ que es el tiempo T necesario para que la masa este nuevamente en la posición θ 
42
deformación de un resorte o elemento elástico se puede simplificar a por un proceso
matemático de linealización, siempre y cuando se conozca la relación entre la fuerza y la
deformación, bien sea mediante una relación analítica F=f(x) o una gráfica fuerza (F)
contra deformación (x) . Supóngase que el elemento elástico tiene una relación fuerza
contra deformación no lineal tal como se muestra (línea continua):
Fig. 1.3 E lástico no lineal (línea continua)
Primeramente debemos cargar el elemento con una precarga o sea una fuerza estática F0
que da una deformación x0 . En este punto se tiene un equilibrio estático, y por la ley de
inercia y la 3ª ley la reacción en el resorte es exactamente F0 . Subsecuentemente una
fuerza adicional ∆F resultará en un incremento en la deformación ∆x y por tanto F0 + ∆F
=f (x0+∆x). Expandiendo la función por medio de una serie de Taylor alrededor del punto
x0 o sea la posición de equilibrio:
 Para pequeñas deformaciones si la funcion es lo suficientemente suave y obviando los
términos de grado superior a 1, se llega a:
 ∆F =f ´(x0) ∆x...........................(2.9)
Lo cual es evidentemente una relación lineal e indica que la constante del resorte es una
función de la derivada evaluada en el punto o posición de equilibrio. La interpretación
x0
Fuerza F
Deformación x
x0+∆x
F = f (x)
)8.2.......()(
!3
)´´(
)(
!2
)´(
)´()()( 30200000 +∆+∆+∆+=∆+=∆+ x
xf
x
xf
xxfxfxxfFF
43
geométrica es, por supuesto; la tangente en el punto de equilibrio x0 y ésta hace las veces
de la función real f(x) .
Sin embargo no hay una forma fácil de determinar el error dentro del cual es aceptable la
anterior simplificación. Fundamentalmente ésta depende de la función f(x) en sí; así como
de la regla o norma de exactitud empleada que esta determinada por los propósitos para los
que és el análisis, algunas veces sucede que la aproximación (2.9) no es aceptable.
2.2 Sistemas de segundo orden amortiguados.
El estudio del movimiento vibratorio libre o sin amortiguamiento es una tanto irreal tal
como se mencionó en las suposiciones analizadas en la anterior sección. En realidad todas
las vibraciones son amortiguadas en cierta medidad por fuerzas de rozamiento. Estas
fuerzas son causades fundamentalmente por rozamiento entre dos superficies secas18 o
bien por fricción fluída cuando un cuerpo rígido se mueve en un fluído, o también por
fricción o rozamiento interno entre las moléculas de un cuerpor que en apariencia es
elástico.
Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso o bien
resistencia del medio causado por la fricción fluída a velocidades baja y moderadas. La
dependencia de ésta fuerza con la velocidad se muestra en la figura:
Fig. 1.4 Dependencia de lafuerza de rozamiento con la velocidad
A pequeñas velocidades la resistencia o fuerza de rozamiento crece linealmente con la
velocidad:
 F = − λ v (2.10) 
 
18 Denominadas rozamiento de Coulomb
Fuerza de rozamiento
velocidad v
44
Donde el signo menos indica que esta fuerza se opone al movimiento, el valor del
coeficiente λ depende de la forma y dimensiones del cuerpo, del estado de su superficie y
de la viscosidad del medio. Tiene unidades de Fuerza − tiempo por unidad de longitud19.
El movimiento vibratorio de un cuerpo o sistema mecánico que tiene amortiguamiento
viscoso se puede caracterizar por un bloque acoplado a un resorte, el efecto de
amortiguamiento puede caracterizarse por un amortiguador conectado al bloque, tal como
se muestra en la figura (2.5):
Fig. 2.5 Sistema resorte amortiguador en paralelo
Igualmente, para un amortiguador real20, es posible modelarlo por la ecuación (2.10) donde
igualmente el coeficiente λ depende de las propiedades del fluido que contenga el
amortiguador asimismo como de la construcción de éste. Es de notar que ambos casos el
amortiguador o el efecto de amortiguamiento sobre el sistema solo actua cuando hay
movimiento, esto es cuando la velocidad es diferente de cero, y este efecto (de
amortiguamiento) depende de la velocidad instantánea; no importando para este modelo el
sentido de la velocidad ( o sea si es positiva o negativa).
 A continuación se calcula la constante λ de un amortiguador típico, por ejemplo el que se
usa para absober choques. Consiste en un pistón de longitud L y diámetro d, provisto de 2
canalitos que lo atraviesan (el pistón) de diámetro D. Todo relleno con un fluído de
viscosidad µ y densidad ρ , como se muestra en la figura:
 
19 P. ej. si F se mide en Newtons (N) y la velocidad en m/s, λ se medirá en N s / m
8 Elementalmente consiste de dos placas separadas una determinada distancia y conteniendo un fluido de viscosidad µ
45
Fig. 2.6 Esquema de un amortiguador
Para flujo laminar en los canalitos, la caida de presión es:
Con el factor de fricción:
Por tanto:
Donde U es la velocidad promedio del fluido através de los canales.
Y por continuidad de flujo:
Donde V es la velocidad del pistón, por tanto:
fU
D
LP
2
2
µ=∆
ρ
µ
UD
f 64=
U
D
LP 2
32 µ
=∆
V
D
dU
2
2
1





=
46
Si se supone que el diámetro de los canalitos es muy pequeño, la fuerza sobre el pistón
debido a la caída de presión ∆P es:
La constante λ del pistón es definida por la ecuación (2.10), por tanto:
Para n canalitos se obtiene:
Es de notar como ya sea en al ecuación (2.11) o en la (2.12) la constante del amortiguador λ
depende de cantidades que a su vez son constantes, esto es su geometría (longitud L y
diámetros del pistón y canalitos D y d respectivamente) y la viscosidad µ del fluído.
Ahora nuevamente se analiza el sistema con un solo grado de libertad que se mostró al
principio de ésta sección:
Fig. 2.7 Sistema amortiguado en posición de equilibrio
V
D
d
D
LP
2
22
32





=∆
µ
V
D
dLPdF
42
4
4





=∆= µπ
π
)11.2( 4
4





=
D
dLµπλ
)12.2( 4
4





=
D
d
n
Lµπ
λ
47
Si la masa está en movimiento y=y(t) al tiempo t , la velocidad será v=y´ y por tanto una
fuerza opositora al movimiento F=− λ v donde λ es la constante del amortiguador. Como
se mencionó esta constante depende de las propiedades físicas del amortiguador, pero es
independiente del desplazamiento, velocidad y tiempo.
Nuevamente aplicando la segunda ley del movimiento en la dirección vertical obtenemos:
Usando la frecuencia natural ωn = (k/m)1/2 y la conocida como relación de
amortiguamiento crítico ζ=λ/2mωn se llega a:
Y esta es la ecuación diferencial que describe el movimiento del sistema. También tiene las
condiciones iniciales siguientes:
Se propone que la solución de (2.14) sea de la forma y(t) = e z t siendo z una constante
compleja por determinar. Insertándola en la ecuación (2.14) lleva a:
Y la ecuación característica correspondiente:
 Por lo tanto y(t) = e z t es una solución de (2.13) si z es una raíz de la ecuación (2.15) , o
sea:
z = [ −ζ+/− (ζ 2 −1)1/2] ωn 
Estas raíces son llamadas valores característicos o eigenvalores de la ecuación (2.15) y
proporcionanlas soluciones:
kyyym −−= &&& λ
)13.2( 02 2 =++ yyy nn ωςω &&&
)14.2( )0( 0 00 vty y) (ty ==== &
.0)2( 2 =++ ztnn ezz ωςω
)15.2( 0)2( 2 =++ nn zz ωςω
48
 y1 (t) = e z1 t y1 (t) = e z2 t
Donde:
z1 = [ −ζ− (ζ 2 −1)1/2] ωn z2 = [ −ζ + (ζ 2 −1)1/2] ωn 
Y dado que la ecuación diferencial (2.13) del sistema es lineal, por tanto el sistema
mecánico es lineal y para la solución se aplica el principio de superposición, esta es que la
solución del sistema es la suma de las soluciones, por tanto:
 y (t) = y1 (t) + y2 (t) =C1 e z1 t + C1 e z2 t (2.16)
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, aplicando las condiciones iniciales (2.14) a la
ecuación anterior se obtiene:
 y (0) = C1 + C1 = y0 y´(0) =z1 C1 + z2 C1 = v0 (2.17)
O sea que los valores de las constantes arbitrarias son :
Con estos valores de las constantes c1 y c2 la solución (2.16) es unívoca para cualquier
intervalo de tiempo [ Pontryagin, 1962 ].
Ahora se investigará el comportamiento de la solución (2.16) para los siguientes 4 casos :
I ) λ = 0 , ζ = 0 y el problema puede ser establecido como:
con las condiciones iniciales:
La solución de la ecuación (2.17) con:
z1 = jω z2 = − jω (2.21)
)18.2( 
12
1 
12
2 00
2
00
1 zz
zyvc
zz
vzxc
−
−
=
−
−
=
)19.2( 02 =+ yy nω&&
)20.2( )0( 0 00 vty y) (ty ==== &
49
Y por tanto:
y ( t ) = c1 e− ω j + c2 e+ ω j
Y usando la identidad de Euler e θ j = cosθ + j senθ se obtiene:
y ( t ) = (c1+ c2 ) e− ω j + (c1+ c2 ) e+ ω j
Y dado que z2 = − z1 junto con (2.17) se arriba a:
Esta última ecuación es la representación matemática de oscilaciones armónicas, o
movimiento armónico simple, con una velocidad angular natural ω n = (k/m)1 / 2 .
II) λ2 < 4 m k o bien ζ < 1 y entonces ζ 2− 1 < 0 y :
 z1 = [ −ζ− j (ζ 2 −1)1/2] ωn z2 = [ −ζ + j (ζ 2 −1)1/2] ωn 
Y de esta manera las dos soluciones serán:
 y 1 , 2 ( t ) = e− ζ ωn j (cos ωd t +/ − j sen ωd t )
Donde ω d = ω n (1−ζ2 )1/2 . Y por tanto la solución general será:
y ( t ) = e− ζ ωn j [ (c1 + c2 )cos ωd t +(c1 − c2) j sen ωd t ]
Usando (2.18) se llega a:
)22.2( sencos)( 00 t
v
tyty n
n
n ωω
ω +=
)23.2( .)sencos()( 000 t
vytyety n
d
n
d
tn ω
ω
ζω
ωζω
+
+= −
50
Debido al término e− ζ ωn j y como la masa m es positiva y la constante del amortiguador λ
también, la solución es un movimiento u oscilaciónes armónicas con una amplitud
decreciente con el tiempo. La velocidad angular correspondiente es ω d = ω n (1−ζ2 )1/2
donde el subíndice d es damping o sea amortiguado. Este movimiento se denomina
movimiento subamortiguado ya que existe el amortiguamiento pero su magnitud permite
que hay oscilaciones armónicas y disminuye la amplitud de éstas conforme pasa el tiempo,
o sea el amortiguamiento absorbe gradualmente la energía potencial que hay almacenda en
e l elemento elástico.
III) λ2 > 4mk o bien equivalentemente ζ > 1 entonces la solución (2.16) adopta la
forma:
 y (t) = y1 (t) + y2 (t) =C1 e z1 t + C1 e z2 t (2.24)
con:
z1,2 = [− ζ −/+ ( ζ 2 −1) 1/2] ω n 
y las correspondientes constantes c1 y c2 serán:
La solución dada por la ecuación (2.24) es una función decreciente monótonamente
conforme pasa el tiempo, o sea el conocido decaimiento exponencial. Este tipo de
movimiento se denomina movimiento sobreamortiguado, ya que el amortiguamiento tiene
una magnitud muy grande en relación a la fuerza impulsora.
IV) λ2 = 4mk o bien equivalentemente ζ = 1 entonces la solución (2.16) dado que se
presentan dos raíces iguales:
z1 = z2 = −ζ ωn
n
n
v
xc
v
xc
ωζζ
ζ
ωζζ
ζ
 12
 
2
1
12
 
 
 12
 
2
1
12
2
0
202
2
0
201
−
−








−
−
−=
−
+








+
−
=
51
Es de notar que la función e ζ ωn j es también solución y por tanto la solución general
adquiere el aspecto:
x (t) = e −ζ ωn j (c1 + c2 t )
en donde las constantes c1 y c2 viene dadas por:
c1 = x0 c2 =v0 + ζ ωn x0 
Igualmente esta movimiento es no- periodico y decreciente con el tiempo. Se conoce como
movimiento amortiguado críticamente.
 Estos cuatro casos considerados se comparan en las gráficas de la figura (2.8), en donde la
línea azul es la posición en tanto que la línea verde punteada es la velocidad.
Fig. 2.8 Los cuatro casos del amortiguamiento
La mayoría de los sistemas de ingeniería que deliberadamente no pretenden ser
amortiguados, la constante de amortiguamiento λ en general es muy pequeña y en
consecuencia ζ << 1 . Por lo tanto para esos sistemas la frecuencia de la vibración no
difiere mucho de de la frecuencia del mismo sistema sin amortigumiento. Para sistemas
con bastante amortiguamiento, en cambio, la frecuencia decrece considerablemente. En el
límite del valor del amortiguamiento λcrit = 4 mk o equivalentemente ζ = 1 o sea la
condición llamada amortiguamiento crítico la frecuencia cae a cero. Esto significa que el
52
periodo del movimiento tiende a infinito. Dicho de otra forma, la amplitud nunca cruzará el
eje del tiempo t ( en una gráfica y vs t o sea posición contra tiempo) y solo se acercará a
ella asintóticamente. Para altos valores de la constante λ de amortiguamiento, el resultado
es que simplemente que la amplitud se aproximará a cero lentamente. El significado de ζ es
claro ahora: ζ = λ/ 2(mk) 1/2 es la relación de la constante de amortiguamiento λ a la
constante de amortiguamiento crítica λcrit = 2(mk) ½.
 Las raíces de la ecuacion característica, que en general son números complejos, que se
nuestran en la figura como función de la realción de amortiguamiento ζ . La curva
obtenida en el plano complejo se denomina lugar geométrico de las raíces.
Otra manera de apreciar la respuesta de un oscilador amortiguado es la llamado traza de
fase que nos es otra cosa mas que la gráfica de la respuesta del seitema en un plano
posición contra velocidad, o sea y contra y´. Para un oscilador sin amortiguamiento descri
una elipse, o bien, con una apropiada selección de escalas, una circunferencia. Para un
sistema amortiguado, el plano de fase describe un espiral que asintóticamente se acerca
hacia el origen. Para un oscilador sobreamortiguado, el movimiento atraviesa por el origen.
 Ahora se tratará de aplicación del sistema amortiguador y resorte en paralelo para modelar
simplificadamente el comportamieno mecánico de un polímero, dentro de los cuales están
por supuesto los hules, ampliamente usados en la interfase de fijación de maquinaria
industrial ya se a una cimentación o bien a estructuras o bastidores. Un material polimérico,
colocado bajo un esfuerzo cortante, muestra un comportamiento tanto elástico, que puede
describirse en término de la ecuación (2.1); así como un corportamiento viscoso o plástico,
que igualmente puede describirse en términos de la ecuación (2.10). Esto quiere decir que
la deformación no es instantánea, a este comportamiento se le conoce como deformación
viscoelástica y es una serie de deformaciones viscosas (modeladas por el amortiguador)
junto con deformaciones elásticas (modeladas por supuesto por el resorte), lo que se
representa por el modelo mostrado en la figura (2.9), resorte y amortiguador conectados en
paralelo.
53
Fig. 2.9 Modelo de un material polimérico
Un caucho por ejemplo, no puede deformarse completamente en el momento en que la
fuerza es aplicada debido a que les toma algo de tiempo a las moléculas para desenredarse .
El reacomodamiento y enderazamiento de las moléculas hace posible una considerable
deformación,