Vibraciones - Sistemas de un grado de libertad 2018 - V0

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Departamento de Aeronáutica 
 
Facultad de Ingeniería 
 
Universidad Nacional de La Plata 
 
 
 
 
VIBRACIONES 
DE UN GRADO DE LIBERTAD 
 
 
Mecánica y Mecanismos 
 
 
 
 
Pablo L. Ringegni / Andrés Martínez del Pezzo 
 
 
Revisión 0 
La Plata 2018 
 
 
 
 
 
 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
2 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
La vibración es un movimiento oscilatorio en torno a un punto de referencia. Los 
movimientos vibratorios pueden clasificarse según varios criterios, he aquí algunos: 
 
a) Según el número de grados de libertad 
1. Vibraciones de sistemas a un grado de libertad 
2. Vibraciones de sistemas de múltiples (dos o más) grados de libertad (finitos) 
3. Vibraciones de sistemas a infinitos grados de libertad o continuos 
 
b) Según las causas que producen el movimiento 
1. Vibraciones naturales o libres: producidas por un impulso inicial y luego el sistema no 
recibe más energía del exterior. Estas vibraciones pueden ser no amortiguadas 
(teóricamente continuarían al infinito) o amortiguadas 
2. Vibraciones sostenidas o forzadas: producidas en forma continua por la influencia de 
una fuerza determinista (periódica) o aleatoria, exterior al sistema. 
 
c) Según la forma de la ecuación diferencial del movimiento 
1. Vibraciones lineales: cuya ecuación diferencial del movimiento es lineal 
2. Vibraciones no lineales: gobernadas por ecuaciones diferenciales no lineales 
 
d) Según la naturaleza del objeto que vibra 
l. Vibraciones de máquinas: sea en su conjunto o de sus elementos constitutivos (árboles, 
ruedas, álabes de turbinas, palas de helicópteros, resortes, etc.) 
2. Vibraciones de vehículos: sea en su conjunto (automóviles, aviones, buques), sea de 
sus elementos componentes (alas, hélices, ruedas, etc.). 
3. Vibraciones de edificios y otras construcciones civiles. 
4. Otros (líquidos, gases, etc) 
 
e) Según la naturaleza del movimiento vibratorio 
1. Vibraciones de traslación 
2. Vibraciones de rotación 
3. Vibraciones mixtas, etc. 
 
 
 
1.1 VIBRACIÓN PERIÓDICA 
La forma más simple de una vibración periódica está dada por el movimiento armónico 
simple. 
 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
3 
 
 
Figura 1 
 
Su representación (Fig. 1) es la proyección sobre un eje vertical de un vector rotante que 
rota con movimiento circular uniforme de velocidad angular ro constante. 
 
Resulta: 
𝑥 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑤 ∙ 𝑡) (1.1) 
 
Después de una rotación completa (ciclo) de 2 radianes, la onda se repite. 
El tiempo requerido para completar un ciclo se define como período (T) del movimiento. 
 
Como para un ciclo se cumple: T = 2, resulta: 
 
𝑇 = 2 ∙ 𝜋 𝜔⁄ 
 
La frecuencia (f) es la inversa del período: 
 
𝑓 = 1 𝑇⁄ =
𝜔
2 ∙ 𝜋⁄ 
 
 
1.2 LIMITES ADMITIDOS PARA LA VIBRACIONES 
 
A los fines de tener una visión más amplia de los problemas de las vibraciones pasamos 
revista a los factores que limitan la magnitud de estas. Uno de los principales objetivos del 
estudio y de la medición de las vibraciones es determinar cuantitativamente la magnitud 
de las amplitudes de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones para constatar si 
son superiores o inferiores a los límites admisibles. Se tratan entonces de conocer ciertos 
límites admisibles para los numerosos elementos sometidos a vibraciones. 
Las magnitudes características de las vibraciones están limitadas por los factores que a 
continuación tratamos de exponer: 
 
1.3.1 El efecto sobre el hombre 
 
Las vibraciones tienen sobre el hombre efectos nocivos muy variados. Así por 
ejemplo, las vibraciones muy lentas, características de los buques, pueden provocar el 
mal de mar. Las vibraciones de los automóviles fatigan y son, a veces, la causa de 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
4 
 
muchos problemas físicos del cuerpo de los pasajeros / conductores. En los edificios 
destinados a viviendas u oficinas, las vibraciones son fastidiosas y molestas sobre todo 
por sus efectos sobre el sistema nervioso. Para el hombre que trabaja en forma 
permanente en un lugar sujeto a vibraciones - trátese de un conductor de vehículos, de un 
operario atendiendo una máquina, etc. el efecto nocivo se presenta bajo forma de fatiga, 
de disminución de la productividad, a la larga también bajo forma de enfermedades 
profesionales. 
Muchos investigadores en diferentes países han estudiado los efectos de las 
vibraciones sobre el hombre para establecer las condiciones y las escalas de percepción, 
así como los niveles admisibles de las vibraciones. 
 
1.3.2 El efecto sobre las máquinas y los aparatos 
 
Los daños que las vibraciones pueden provocar en las máquinas y aparatos 
revisten varios aspectos. En primer lugar, es necesario considerar los efectos de fatiga 
mecánica debido a las fuertes vibraciones después de las cuales algunos elementos de 
máquinas pueden fallar o romperse. Las vibraciones pueden representar un obstáculo 
para el desarrollo normal de un proceso de fabricación, dando origen a una calidad 
deficitaria de los productos elaborados (por ejemplo, el caso de vibraciones en máquinas-
herramientas). Las vibraciones que llegan a los aparatos de medida pueden ser 
extremadamente contraproducentes (falsean la medida) cuando están montados a bordo 
de vehículos. 
 
 
1.3.3 El efecto sobre los edificios 
 
Las vibraciones producidas en los edificios pueden provocar (además de los 
efectos sobre hombres y máquinas) daños a la construcción. Se comienza por la 
destrucción del cielorraso, por los vidrios que se rompen y pueden llegar a fisuras en las 
fundaciones, los pisos y columnas. El caso extremo está representado por los efectos 
desastrosos de un terremoto. 
Un gran número de estudios revelan los efectos de las vibraciones en los dominios 
más variados de la técnica, teniendo como punto de partida una gran variedad de 
factores. La documentación recogida hasta ahora ha permitido realizar algunas síntesis, 
bajo forma de diagramas y tablas, y que, en ciertos países, revisten carácter de norma 
obligatoria. No obstante, estas indicaciones no representan todavía una forma 
universalmente aceptada, sea debido a los límites admisibles adoptados como con 
relación a la magnitud física utilizada como criterio para apreciar la nocividad. Es por eso 
que el lector, frente a la documentación técnica presentada, deberá realizar un análisis 
crítico con respecto a los factores característicos del problema que él mismo debe 
resolver. 
El problema es simple cuando el criterio para apreciar la vibración está 
representado por la deformación del material provocada por la vibración. En este caso, la 
resistencia de materiales da la magnitud admisible para la deformación de los cuerpos 
estudiados, así puede concluirse directamente el límite admisible de la vibración. 
 
 
 
 
 
 
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5 
 
2 VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS A UN GRADO DE LIBERTAD 
 
2. 1 GENERALIDADES 
 
Todo sistema mecánico al ser apartado de su posición de equilibrio estable por 
una causa cualquiera oscila alrededor de esta posición produciendo las llamadas 
vibraciones mecánicas. A este cambio o movimiento alrededor del equilibrio corresponde 
una variación de las tensiones internas de los materiales, provocando, en general 
sobretensión, su fatiga y, a veces, un colapso estructural (resonancia). 
El estudio de las vibraciones es importante por cuanto afectan al confort humano 
(caso de transporte de pasajeros) o a las máquinas o estructuras en general, produciendo 
efectos nocivos. Asimismo, en el caso de algunos instrumentos de medición, es 
necesarios aislarlos de las vibraciones porque pueden falsear su medida o deteriorarse 
prematuramente. Sin embargo, a veces, las vibraciones son aprovechadas para medir 
magnitudes físicas, tal como en el caso de tacómetros, acelerómetros, etc. 
Los sistemas vibratorios comprenden elementos para almacenar energía potencial 
(resorte), elementos para almacenar energía cinética (masa o inercia)y elementos por 
medio de los cuales la energía se disipa gradualmente (amortiguador). La vibración de un 
sistema implica la transferencia de energía en sus formas: potencial y cinética. También, 
la vibración es producto de la interacción activa entre la elasticidad y la inercia del 
sistema. 
Aunque una estructura real o sistema continuo puede almacenar ambas formas de 
energía y puede también disiparla, en lo que sigue consideraremos sistemas a 
parámetros concentrados constituidos por resortes, masas y amortiguadores ideales 
donde cada uno de estos elementos realiza una única función. 
También debemos señalar que estudiaremos los sistemas lineales que son 
aquellos para los cuales la relación entre excitación y respuesta admite el principio de 
superposición. En otras palabras, el modelo matemático al que responden estos sistemas 
se traduce en una ecuación de movimiento que es lineal. La linealidad es una hipótesis 
que está contenida en la formulación matemática del problema y que algunos sistemas 
responden a ella más que otros dependiendo, en general, de la aproximación deseada de 
los resultados y del campo de variabilidad de los parámetros que definen el problema. De 
todos modos, el estudio lineal siempre es importante por cuanto constituye, en muchos 
casos, una primera aproximación del problema. Sin embargo, conviene subrayar que, en 
la práctica, efectuar una linealización rápida sin un adecuado control experimental, puede 
conducir a errores ya que puede carecer de significado práctico asumir la hipótesis de los 
pequeños movimientos. 
En los problemas más simples es posible determinar la configuración de los 
sistemas mediante una sola coordenada: de ahí que se los conoce como sistemas a un 
grado de libertad. Es de esta manera como se inicia el estudio de vibraciones 
 
 
2.2 VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO (armónicas) 
 
Para estudiar las vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad, 
analizamos el modelo matemático más simple formado por un resorte sin masa de 
constante elástica k y una masa m proveniente del peso puntual W aplicado en uno de 
sus extremos, según se muestra en la fig. 3, al que llamamos sistema masa-resorte (m- 
k), donde m puede solamente moverse según el eje vertical 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
6 
 
 
Figura 2 
Cuando el peso W se cuelga del resorte, éste se estira un valor est, llamando 
deflexión estática o alargamiento estático, hasta alcanzar la posición de equilibrio PE. En 
esta posición, el efecto de la gravedad sobre m se equilibra con la fuerza elástica reactiva 
del resorte y se cumple: 
 
𝑘 ∙ 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝑊 = 𝑚 ∙ 𝑔 (2.1) 
(Relación que define la posición de equilibrio PE) 
Si a partir de esta posición la masa m es desplazada una distancia x y luego se la 
abandona, la única fuerza que actúa sobre m es la reacción del resorte y se inicia un 
movimiento vibratorio gobernado por: 
La ley fundamental de Newton ∑ 𝐹 = 𝑚 ∙ �̈�, cuya aplicación da: 
 
𝑊 − 𝑘 ∙ (𝑥 + 𝛿𝑒𝑠𝑡) = 𝑚 ∙ �̈� 
 
 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta la relación (2.1) resulta: 
𝑚 ∙ �̈� + 𝑘 ∙ 𝑥 = 0 
que es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden. 
K 
m 
X(t) 
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7 
 
Si se divide x m: 
𝑘
𝑚⁄ = 𝑤0
2 = 𝑔/ 𝛿 𝑒𝑠𝑡 
Nos queda: 
�̈� + 𝑤0
2 ∙ 𝑥 = 0 
Con 
√
K
m
2
= 𝑤0 (Pulsación natural del sistema) 2.2 
 
La solución general de esta ecuación diferencial es: 
𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑤0. 𝑡) + 𝐵. cos (𝑤0. 𝑡) 
Donde A y B son constantes que se determinan de acuerdo con las condiciones 
iniciales que son, generalmente: 
𝑡 = 0 → 𝑥 = 𝑥𝑜 
𝑡 = 0 → �̇� = 𝑥�̇� 
Operando, se tiene: 
𝐴 =
𝑥0̇
𝑤0
 y 𝐵 = 𝑥0 
𝑥 =
𝑥0̇
𝑤0
. 𝑠𝑒𝑛(𝑤0. 𝑡) + 𝑥0. cos (𝑤0. 𝑡) 2.3 
La solución anterior es la superposición de dos armónicas desfasadas entre sí 90º. 
En conclusión, el sistema m, k, luego de ser perturbado, posee una vibración 
sinusoidal caracterizada por una pulsación angular natural o frecuencia angular propia w0 
(a esta equivale una frecuencia natural f0) dada por (2.2). y que depende exclusivamente, 
como se vio, de los parámetros característicos del sistema, es decir: 
𝑤0 = √
𝑘
𝑚
= √
𝑔
𝛿𝑒𝑠𝑡
 
La expresión anterior muestra el valor de 0 es igual al que le corresponde a un 
péndulo matemático de longitud igual a 𝛿𝑒𝑠𝑡 
Como: 𝑤 = 2. 𝜋. 𝑓 =
2.𝜋
𝑇
 
Resulta: 𝑇0 =
2.𝜋
𝑤0
 llamado período propio 
𝑓0 =
𝑤0
2.𝜋
 llamada frecuencia natural o propia 
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8 
 
Como una función armónica puede considerarse como la proyección sobre el eje polar de 
un vector rotante con velocidad angular w0, y modulo igual a amplitud de la armónica, la 
solución 2.3 se puede escribir como: 
𝑥 = 𝐶. cos(𝑤0. 𝑡 − 𝛼) 
con: 
𝐶 = √𝑥0
2 + (
𝑥0̇
𝜔𝑜
)
2
 y tan 𝛼 = (
𝑥0̇
𝑥0.𝜔0 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
 
Y 
𝑤0. 𝑡 − 𝛼 
𝛼 
𝑤0. 𝑡 
𝑥0̇
𝜔𝑜
 
X0 
X 
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9 
 
2.3 Sistemas de más de un resorte 
Cuando un sistema cuenta con más de un resorte se pueden dar dos posibilidades 
de arreglo entre ellos, que se los considere en serie o en paralelo. 
2.3.1 Resorte serie
Cuando se tienen los dos resortes 
unidos por los extremos opuestos, 
dispuestos como si fueran una cadena, el 
desplazameinto de la masa será la suma de 
los alargamientos de ambos resortes, o sea: 
𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝛿𝑒𝑠𝑡1 + 𝛿𝑒𝑠𝑡2 
 
Figura 3
En esta disposición, la carga se propaga por los dos (2) resortes por igual: 
𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝑤
𝑘1
+
𝑤
𝑘2
= 𝑤. (
1
𝑘1
+
1
𝑘2
) 
𝛿𝑒𝑠𝑡 = 𝑤. (
𝑘1 + 𝑘2
𝑘1. 𝑘2
) 
Entonces: 𝑘𝑒 =
𝑘1.𝑘2
𝑘1+𝑘2
 
 
2.3.2 Resorte paralelo 
En esta configuración los resortes 
se encuentran unidos por los extremos 
del mismo lado, de forma que ambos 
resortes ven el mismo desplazamiento en 
su extremo libre, de forma que: 
𝑤1 = 𝑘1. 𝛿𝑒𝑠𝑡 
𝑤2 = 𝑘2. 𝛿𝑒𝑠𝑡 
Así es como: 
𝑤1 + 𝑤2 = 𝛿𝑒𝑠𝑡. (𝑘1 + 𝑘2) 
𝑤 = 𝛿𝑒𝑠𝑡. (𝑘1 + 𝑘2) 
𝑘𝑒 = 𝑘1 + 𝑘2 
 
 
Figura 4 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
10 
 
 2.4 Vibraciones torsionales libres 
 
 
Muchas veces conviene analizar los sistemas no con el grado de libertad asociado 
al desplazamiento x, sino a la rotación θ, por ejemplo, en sistema pendulares o sistemas 
de ejes que trabajan a torsión, etre otros. 
La rigidez de la barra se calcula 
como: 
𝑘𝑡 = 𝐽𝑝.
𝐺
𝑙
=
𝜋. 𝑑4
32
.
𝐺
𝑙
 
 
Figura 5 
Entonces para este caso la ecuación del movimiento se expresa como: 
𝐼. �̈� + 𝑘𝑡. 𝜃 = 0 
Donde I = momento de inercia del disco 
Con 𝑤0 = √
𝑘𝑡
𝐼
 
Y la solución está dada por: 
𝜃 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0. 𝑡) + 𝐵. 𝑠𝑒𝑛 (𝑤0. 𝑡) 
 
 
 
 
 
 
I 
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11 
 
3 Vibraciones forzadas armónicas 
Cuando un sistema está sometido a una acción externa o excitación armónica 
forzada, su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. 
Fuentes comunes de excitación armónica son el desbalance en máquinas rotatorias, 
fuerzas producidas por máquinas reciprocantes o el movimiento de la máquina misma, 
entre otras. La excitación armónica es frecuente en sistemas de ingeniería. Son 
comúnmente producidas por desbalances en maquinaria rotatoria. Aunque la pura 
excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación, un 
entendimiento de la conducta de un sistema que sufre excitación armónica es esencial 
para comprender cómo el sistema responderá a tipos más generales de excitación. La 
excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún 
punto del sistema. 
 
Sea el siguiente sistema masa resorte forzado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑤 − 𝑘. (𝛿𝑒𝑠𝑡 + 𝑥) + 𝐹(𝑡) = 𝑚. �̈� 
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹(𝑡) 
𝑚. �̈� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹𝑜. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
�̈� + 𝑤0
2. 𝑥 =𝐹𝑜
𝑚
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3.1) 
La solución general completa de esta ecuación consta de dos partes, la solución 
general de la homogénea y la solución particular de la completa. La función de la general 
homogénea en este caso es la correspondiente a la vibración libre inciso 2.2, y la 
particular de la completa es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia  de la 
excitación. Podemos suponer que dicha solución es de la forma: 
𝑥𝑝 = 𝐴𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜃) (3.2) 
Donde Ap es la amplitud de la oscilación y es la fase del desplazamiento con respecto a 
la fuerza excitatriz. 
La amplitud y la fase en la ecuación de arriba se calculan sustituyendo la (3.2) en la (3.1), 
recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración 
están adelantadas al desplazamiento en 90º y 180º respectivamente. 
K 
m 
X(t) 
F(t)
K 
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12 
 
−𝐴𝑝. 𝜔2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝜔0
2. 𝐴𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) =
𝐹𝑜
𝑚
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
 
𝐴𝑝 =
𝐹𝑜
𝑚
.
1
(𝑤0
2 − 𝜔2)
=
𝐹𝑜
𝑚
.
1
𝑤0
2. (1 −
𝜔2
𝑤0
2)
=
𝐹𝑜
𝑘
.
1
(1 −
𝜔2
𝑤0
2)
 
Donde sustituyendo 𝛿𝑒𝑠𝑡 =
𝐹𝑜
𝑘
 , la solución de la (3.1) queda : 
𝑥 = 𝐶1. 𝑠𝑒𝑛(𝜔0𝑡) + 𝐶2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡) +
𝛿𝑒𝑠𝑡
(1−
𝜔2
𝜔0
2)
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
 
 
 
Para completar el análisis de la respuesta a estos sistemas forzados se analiza a 
la solución por separado de lo que corresponde al régimen transitorio y al régimen 
permanente. Por el alcance de este curso, nos limitaremos al análisis del régimen 
permanente exclusivamente, el cual es dominado por la presencia de la fuerza externa. 
3.1 RÉGIMEN PERMANENTE 
Como se mencionó anteriormente este régimen está determinado exclusivamente 
por la existencia de la fuerza externa, la cual posee una frecuencia de excitación , y la 
solución que determina el comportamiento del cuerpo en este régimen está definido por la 
solución de la particular de la completa, que para este caso que no existe 
amortiguamiento queda: 
𝑥 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
(1 −
𝜔2
𝜔0
2)
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Donde 
1
(1−
𝜔2
𝜔0
2)
 es el “factor de amplificación dinámico” (FA), que es el que pone de 
manifiesto la contribución dinámica del sistema. 
En la gráfica siguiente se aprecia la gráfica del factor de amplificación: 
Efecto de la vibración propia (libre) Efecto de la vibración originada por 
la fuerza externa perturbadora 
 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
13 
 
 
Figura 6 
Se puede ver que: 
- Cuando la relación 
𝜔
𝜔0
 → 0, 𝐹𝑎 → 1,. La fuerza global es casi igual a la fuerza 
del resorte y el desplazamiento corresponde al alargamiento del resorte: 
𝑥 =
𝐹𝑜
𝑘
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
- Cuando 
𝜔
𝜔0
 ≅ 1 , 𝐹𝑎 → ∞, con la consecuencia que 𝑥 → ∞. Esta región se 
llama zona de resonancia. 
Estas excitaciones pueden ser indeseables para equipos cuya operación puede 
ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes amplitudes 
de vibración. La resonancia debe ser evitada en la mayoría de los casos y, para evitar que 
se desarrollen grandes amplitudes, se usan frecuentemente amortiguadores. 
 
- En la zona donde 
𝜔
𝜔0
 > 1 , la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en 
vencer la gran fuerza de inercia. Acá, el FA se hace pequeño (menor a 1), con 
la consecuencia que 𝑥 → 0. 
 
4 Vibraciones libres con amortiguamiento 
Cuando se excita un sistema lineal con un grado de libertad, su respuesta libre 
dependerá de su frecuencia natural (rigidez y masa) y del amortiguamiento que éste 
presente. La ecuación del movimiento será de la forma: 
𝑚. �̈� + 𝐹𝑑 + 𝑘. 𝑥 = 0 
Y el modelo representativo será: 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
F A
 
/o 
Factor de amplificación (Valor Absoluto) 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
14 
 
(t) 
Figura 7 
 
donde Fd es la fuerza de amortiguamiento. La descripción real de Fd no es sencilla pero se 
pueden utilizar modelos ideales de amortiguamiento que a menudo permitirán una 
satisfactoria predicción de la respuesta. Entre tales modelos, la fuerza de 
amortiguamiento viscoso, proporcional a la velocidad, es el que permite un tratamiento 
matemático simple. 
La fuerza de amortiguamiento viscoso se expresa como 
 
𝐹𝑑 = 𝑐 ∙ �̇� 
 
donde c es una constante de proporcionalidad (característica propia del amortiguador o 
constante de amortiguamiento). Simbólicamente se la representa por medio de un 
cilindro-pistón como en la Fig. 8. La ecuación de movimiento queda: 
 
𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 = 0 
 
El método tradicional para resolver la ecuación 
 
𝑚. �̈� + 𝑐. �̇� + 𝑘. 𝑥 = 0 (4.1) 
es suponer una solución de la forma: 
𝑥 = 𝐶. 𝑒𝑠∙𝑡 (4.2) 
donde C y s son constantes. 
 
Si dividimos la (4.1) por la masa m nos queda: 
 
�̈� + 2ℎ. �̇� + 𝑤0
2. 𝑥 = 0 (4.3) 
 
Donde 2. ℎ =
𝑐
𝑚
 y 𝑤0 = √
𝑘
𝑚
 
Ahora utilizando la solución (4.2) para resolver la (4.3) obtenemos la ecuación 
característica: 
𝑠2 + 2ℎ. 𝑠 + 𝑤0
2 = 0 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
15 
 
La solución de esta da las raíces s1 y s2, cuyos valores dependen de su 
discriminante. Así la solución general de la ecuación diferencial será la combinación lineal: 
𝑥 = 𝐶1 ∙ 𝑒
𝑠1∙𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒
𝑠2∙𝑡 (4.4) 
Donde C1 y C2 son constantes que deben evaluarse por medio de las condiciones iniciales 
𝑥(0) y �̇�(0) 
Las raíces de la ecuación característica quedan: 
𝑠1,2 = −ℎ ± √ℎ² − 𝑤0² 
Sustituyendo esta última en la (4.4) se obtiene: 
𝑥(𝑡) = 𝑒−ℎ.𝑡 . (𝐶1. 𝑒
√ℎ2−𝑤0
2.𝑡 + 𝐶2. 𝑒
−√ℎ2−𝑤0
2.𝑡) (4.5) 
El primer término 𝑒−ℎ∙𝑡 es simplemente una función decreciente exponencialmente 
con el tiempo. El comportamiento de los términos entre paréntesis depende, sin embargo, 
de si los valores numéricos dentro del radical son positivos, nulos o negativos. 
Cuando el término del amortiguamiento ℎ2 es mayor que 𝑤0
2, los exponentes en la 
ecuación de arriba son números reales y no hay oscilaciones posibles. Nos referimos a 
este caso como sobre-amortiguamiento. 
Cuando el término ℎ2 es menor que 𝑤0
2, el exponente se vuelve imaginario 
(±𝑖 ∙ √𝑤0
2 − ℎ2 ∙ 𝑡) y como: 
 
𝑒±𝑖∙√𝑤0
2−ℎ2∙𝑡 = 𝑐𝑜𝑠√𝑤0
2 − ℎ2 ∙ 𝑡 ± 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛√𝑤0
2 − ℎ2 ∙ 𝑡 
 
los términos de la Ec. (4.5), dentro del paréntesis, son oscilatorios. Este es el caso sub-
amortiguado. 
Como caso límite entre los dos, definimos amortiguamiento critico como el valor de 
c que anula la raíz. Es ahora aconsejable examinar éstos tres casos en detalle y en 
términos de cantidades que se usan en la práctica. Comenzamos por el amortiguamiento 
crítico. 
 
2.5.1 Amortiguamiento crítico 
El valor de C que hace cero la raíz de la ec. (4.5) se llama amortiguamiento crítico 
y se lo denomina Cc, y se lo obtiene a partir de: 
ℎ2 = 𝑤0
2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (
𝐶𝑐
2. 𝑚
)
2
=
𝑘
𝑚
 
Despejando se obtiene la constante de amortiguamiento crítico: 
𝐶𝑐 = 2. √𝑘. 𝑚 
En determinadas ocasiones resulta más práctico utilizar la relación  para definir el 
comportamiento del sistema en función de si = 1 amortiguamiento crítico,  1 sobre-
amortiguado  sub-amortiguadodonde se define como: 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
16 
 
𝜀 = (
𝐶
𝐶𝑐
) 
De esta forma podemos calcular las raíces de la (2.6) en función de : 
𝑠1,2 = (−𝜀 ± √𝜀² − 1) ∙ 𝑤0 (4.6) 
1. Caso Sub-amortiguado 
En este caso  <1 y sustituyendo la (4.6) en la (4.4) y operando obtenemos: 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜀∙𝑤0∙𝑡 ∙ (𝐶1 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜√1 − 𝜀
2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑐𝑜𝑠√1 − 𝜀
2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡) 
La cual si utilizamos las condiciones iniciales 𝑥(0) y �̇�(0) nos queda como: 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜀∙𝑤0∙𝑡 ∙ (
�̇�(0)+𝜀∙𝑤0∙𝑥(0)
𝑤0∙√1−𝜀2
∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡 + 𝑥(0) ∙ 𝑐𝑜𝑠√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0 ∙ 𝑡) (4.7) 
 
Por analogía la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas (pseudofrecuencia) en este 
caso vale: 
𝑤𝑑 =
2 ∙ 𝜋
𝑇𝑑
= 𝑤0 ∙ √1 − 𝜀
2 
Lo cual define un movimiento aperiódicosegún puede verse en la siguiente figura: 
 
 
Figura 8 
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7x
(t
) 
0.t 
Desplazamiento caso sub-amortiguado 
-𝑥 0 . 𝑒−𝜀.𝑤0.𝑡 
𝑥(0). 𝑒−𝜀.𝑤0.𝑡 
𝑥(𝑡) 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
17 
 
2. Caso Sobre-amortiguado 
En este caso  >1 y la solución general queda: 
𝑥(𝑡) = 𝐶1 ∙ 𝑒
(−𝜀+√𝜀2−1)∙𝑤0∙𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒
(−𝜀−√𝜀2−1)∙𝑤0∙𝑡 
Donde: 
𝐶1 =
�̇�(0) + (−𝜀 + √𝜀2 − 1) ∙ 𝑤0 ∙ 𝑥(0)
2 ∙ 𝑤0 ∙ √𝜀
2 − 1
 
𝐶2 =
�̇�(0) + (−𝜀 − √𝜀2 − 1) ∙ 𝑤0 ∙ 𝑥(0)
2 ∙ 𝑤0 ∙ √𝜀
2 − 1
 
El movimiento es una función exponencial decreciente del tiempo (aperiódica), como se 
aprecia en la siguiente figura: 
 
Figura 9 
 
3. Caso Amortiguamiento crítico 
Para este caso  = 1 o sea que las raíces s1 = s2 = -0 y la (4.4) queda: 
𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2) ∙ 𝑒
−𝑤0∙𝑡 = 𝐶3 ∙ 𝑒
−𝑤0∙𝑡 
-4
-2
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x(
t)
 
0.t 
Desplazamiento caso sobre-amortiguado 
𝐶2. 𝑒
−𝜀− 𝜀2−1 .𝑤0.𝑡 
𝑥 𝑡 
𝐶1. 𝑒
(−𝜀+√𝜀2−1).𝑤0.𝑡 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
18 
 
Que no contiene el número de constantes requerido para satisfacer las dos condiciones 
iniciales. La solución para las condiciones iniciales 𝑥(0) y �̇�(0) y pueden encontrarse a 
partir de la (4.7) haciendo 𝜀 → 1 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑤0∙𝑡 ∙ {[�̇�(0) + 𝑤0 ∙ 𝑥(0)] ∙ 𝑡 + 𝑥(0)} 
La figura siguiente muestra tres alternativas de respuesta con 𝑥(0). 
 
Figura 10 
 
2.6 DECREMENTO LOGARÍTMICO: 
Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento en un sistema 
consiste en medir la proporción de caída de las oscilaciones libres. A mayor 
amortiguamiento, mayor proporción de caída. 
A partir de definir lo que denominaremos decremento logarítmico que se define 
como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera, cuya 
expresión resulta: 
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑥𝑛
𝑥𝑛+1
= 𝑙𝑛
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛 . seno(√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0. 𝑡𝑛 − 𝜃)
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛+1 . seno(√1 − 𝜀2 ∙ 𝑤0. 𝑡𝑛+1 − 𝜃)
 
Y puesto que los valores de los senos son iguales cuando el tiempo se incrementa 
en el período amortiguado Td, la razón de arriba se reduce a: 
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
x(
t)
 
0t 
Desplazamiento caso amortiguamiento crítico 
x*(0)<0
x*(0)=0
x*(0)>0
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
19 
 
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛
𝑒−𝜀∙𝑤0.𝑡𝑛+1
 
Donde: 
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + 𝑇𝑑 
Sustituyendo 𝛿 = 𝑙𝑛(𝑒𝜀∙𝑤0.𝑇𝑑) = 𝜀 ∙ 𝑤0. 𝑇𝑑 
Sustituyendo el período amortiguado por: 
𝑇𝑑 =
2𝜋
𝑤0 ∙ √1 − 𝜀
2
 
La expresión del decremento logarítmico queda: 
𝛿 =
2𝜋∙𝜀
√1−𝜀2
 que es una ecuación exacta. 
Si despejamos  de esta última obtenemos la razón de amortiguamiento en función 
del decremento logarítmico: 
𝜀 =
𝛿
√4𝜋2−𝛿2
 (4.8) 
Si medimos experimentalmente x(t) de un gráfico como en la figura siguiente, 
correspondiente a picos sucesivos xn(t) y xn+1(t) se puede utilizar la ecuación (4.9) para 
estimar el valor de , y reemplazarlo en la (4.8) para calcular la razón de amortiguamiento. 
𝛿 = 𝑙𝑛
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡+𝑇𝑑)
 (4.9) 
 
Figura 11 
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7x
(t
) 
0.t 
Desplazamiento caso sub-amortiguado 
𝑥1(𝑡) 
𝑥2(𝑡) 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
20 
 
Vale aclarar que la (4.8) se puede extrapolar más allá de dos medidas adyacentes 
de x(t), de forma de aumentar la precisión del cálculo, o sea: 
𝛿 =
1
𝑛
∙ 𝑙𝑛
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡 + 𝑛 ∙ 𝑇𝑑)
 
Donde n es el número de picos positivos sucesivos. Si bien este método entrega 
valores con buena precisión, hace un tiempo se han elaborado Técnicas de Análisis 
Modal para realizar estos cálculos, las cuales escapan al alcance de este apunte y que 
poseen mayor precisión. 
 
5 Vibraciones forzadas amortiguadas 
En este caso cuando el sistema esta amortiguado y posee una excitación 
armónica externa, el modelo es el siguiente 
 
 
𝐹(𝑡) = 𝐹0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
 
 
y la ecuación del movimiento se puede escribir de la siguiente manera: 
 
𝑚. �̈� + 𝑐�̇� + 𝑘. 𝑥 = 𝐹(𝑡) = 𝐹0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (5.1) 
o 
�̈� + 2ℎ. �̇� + 𝑤0
2. 𝑥 =
𝐹0
𝑚0
∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
De la misma manera que para el caso excitado sin amortiguamiento, la solución de esta 
ecuación consta de dos partes, la solución de la homogénea y la particular de la completa. 
La función de la general homogénea en este caso es la correspondiente a la vibración 
amortiguada libre inciso 2.5, y la particular de la completa es una oscilación estacionaria 
de la misma frecuencia  de la excitación. Nuevamente podemos suponer que dicha 
solución es de la forma: 
𝑥𝑝 = 𝐵𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) (5.2) 
Donde Bp es la amplitud de la oscilación y φes la fase del desplazamiento con respecto a 
la fuerza excitatriz 
F(t)
K 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
21 
 
Para este caso 
𝐵𝑝 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
√(1−
𝜔2
𝜔0
2)
2
+[2𝜀∙(
𝜔
𝜔0
)]
2
 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 
 𝐹0
𝑘
 
 
y tan 𝜑 =
2.ℎ.𝑤
𝑤0
2−𝑤2
 
 
Que sustituyendo obtenemos: 
𝑥 = 𝑒−ℎ𝑡. (𝐶1. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) + 𝐶2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)) +
𝛿𝑒𝑠𝑡
√(1 −
𝜔2
𝜔0
2)
2
+ [2𝜀 ∙ (
𝜔
𝜔0
)]
2
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) 
 
 
 
Nuevamente, para completar el análisis de la respuesta a estos sistemas forzados 
se analiza a la solución por separado de lo que corresponde al régimen transitorio y al 
régimen permanente. Por el alcance de este curso, nos limitaremos al análisis del régimen 
permanente exclusivamente, el cual es dominado por la presencia de la fuerza externa. 
 
3.1 RÉGIMEN PERMANENTE 
Como se mencionó anteriormente este régimen está determinado exclusivamente 
por la existencia de la fuerza externa, la cual posee una frecuencia de excitación , y la 
solución que determina el comportamiento del cuerpo en este régimen está definido por la 
solución de la particular de la completa: 
𝑥 =
𝛿𝑒𝑠𝑡
√(1 −
𝜔2
𝜔0
2)
2
+ [2𝜀 ∙ (
𝜔
𝜔0
)]
2
. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) 
Donde 
1
√(1−
𝜔2
𝜔0
2)
2
+[2𝜀∙(
𝜔
𝜔0
)]
2
 es el “factor de amplificación dinámico” (Fa), o sea que pone de 
manifiesto la contribución dinámica del sistema. 
En la gráfica siguiente se aprecia la gráfica del factor de amplificación: 
Efecto de la vibración propia (libre) Efecto de la vibración originada por 
la fuerza externa perturbadora 
 
 
Vibraciones con un grado de libertad Rev. 0 
 
22 
 
 
Figura 12 
- Cuando la relación 
𝜔
𝜔0
 → 0, 𝐹𝑎 → 1, con lo cual las fuerzas de inercia como las 
de amortiguamiento son pequeñas, lo que produce que la magnitud de la 
fuerza global es casi igual a la fuerza del resorte. Equivale a tener la carga 
aplicada estáticamente. 
 
- Cuando 
𝜔
𝜔0
 ≅ 1 , la fuerza de inercia, que ahora es mayor, es equilibrada por la 
fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de 
amortiguación, por lo cual 𝐹𝑎 > 1, pero ya es mensurable a diferencia del caso 
no amortiguado donde tendía a infinito. Esto tiene como consecuencia que 
𝑥 > 1. Esta región por analogía con el caso no amortiguado, se llama zona de 
resonancia. Se puede apreciar que para c/c0 = 0, se tiene la curva para el caso 
no amortiguado 
 
- Cuando, en la zona donde 
𝜔
𝜔0
 > 1 el sistema tiende a estabilizarse hasta 
desaparecer el movimiento vibratorio, ubicándose en la posición de equilibrio 
con la carga estática solamente actuando. La fuerza aplicada se emplea casi 
enteramente en vencer la gran fuerza de inercia. 
 
Curvas de desfasaje 
Dan el desfasaje φ, entre el movimiento de la masa x(t) y la fuerza perturbadora F(t) está 
dado por 
tan 𝜑 =
2. ℎ. 𝑤
𝑤0
2 − 𝑤2
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Fa
 
/0 
Factor de amplificación dinámico (Fa) 
C/C0=0
C/C0=0,2
C/C0=0,4
C/C0=0,6
C/C0=0,8
C/C0=1