teoria y problemas fisica (96)

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Ejemplo 7.15. Un bloque de 3[kg] cuelga de una cuerda unida a dos 
resortes de K1 = 100[N/m] y K2 = 200[N/m] arreglados en paralelo] a 
un resorte cuando cuelga de éste verticalmente en equilibrio. El 
sistema de resortes se estira desde su posición de equilibrio y el 
bloque se deja en libertad. Determinar la frecuencia angular, el 
máximo alargamiento y del resorte oscilante y la velocidad máxima. 
La amplitud de oscilación es de 0.5[m]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Determinar la constante equivalente del sistema en paralelo 
 
𝑘no = 𝑘` + 𝑘+ = 100 + 200 = 300[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
2. Calcular la frecuencia angular 
 
𝜔 = >
𝑘no
𝑚 =
>300
3 = 10
[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
 
2. Determinar los valores máximos de x y v 
 
𝑥1p' = 𝐴 = 0.5[𝑚] 
 
𝑣1p' = 𝐴𝜔 = (0.5)(10) = 5[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
Ejemplo 7.16. Del sistema de resortes cuelga un bloque de 5[kg], los 
resortes dispuestos en paralelo tienen constantes de 200[N/m] y 
300[N/m], respectivamente, en tanto que, la constante del resorte 
inferior es de 500[N/m]. Si la frecuencia de oscilación del sistema es 
de 1[Hz], la amplitud de 0.2[m] y la aceleración de 10[m/s2]. Calcular 
la energía potencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Determinar la constante equivalente de los resortes en paralelo 
 
𝑘no` = 𝑘` + 𝑘+ = 200 + 300 = 500[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
2. Hallar la constante equivalente total, teniendo en cuenta que los 
resortes en paralelo se han "convertido" en un solo resorte que 
se encuentra en serie con el resorte inferior. 
 
1
𝑘no
=
1
𝑘no`
+
1
𝑘[
=
1
500 +
1
500 =
2
500 
𝑘no = 250[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
3. Calcular la frecuencia angular 
 
𝑓 =
𝜔
2𝜋 = 1⟹ 𝜔 = 2𝜋 
 
4. Determinar la energía potencial 
 
En primer lugar, se tendrá que evaluar x a partir de la aceleración 
 
𝑎 = 𝐴𝜔+𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 
10 = 0.2(4𝜋+)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) ⟹ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) =
2.5
𝜋+ 
 
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) = 0.2 7
2.5
𝜋+: =
0.5
𝜋+
[𝑚] 
 
M	
M	
 
 
	
 
𝐸d =
1
2𝑘𝑥
+ =
1
2𝑚𝜔
+𝑥+ =
1
2
(250) 7
0.5
𝜋+ :
+
=
31.2
𝜋f
[𝐽] 
 
Ejemplo 7.17. Determinar el periodo de oscilación del sistema 
oscilante de la figura, si la masa del bloque es de 46.8 [kg] y las 
constantes de los resortes son k1 = 100[N/m], k2 = 200[N/m], k3 = 
600[N/m], k4 = 300[N/m] y k5 = 150[N/m]. 
 
 
 
 
 K3 
 
 
 
 K4 
 
 M 
 
 
 K5 
 
 
 
 
Estrategia de Resolución. Primero se determinará la constante 
equivalente del sistema de resortes para luego, hallar la frecuencia 
angular, la misma que permite calcular el periodo. 
 
1. Hallar la constante equivalente entre los resortes de K2 y K3 que 
están configurados en paralelo 
 
𝐾no` = 𝐾+ + 𝐾[ = 200 + 600 = 800[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
2 . La resultante de K2 y K3 está agrupada en serie con K4, por tanto, 
la constante equivalente será: 
 
1
𝐾no+
=
1
𝐾no`
+
1
𝐾f
=
1
800 +
1
300 
 
𝐾no+ = 218[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
3. El resorte de Keq3 se encuentra en paralelo con el de K1 
 
𝐾nof = 𝐾 + 𝐾no[ = 100 + 218 = 318[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
4. Finalmente Keq4 está en paralelo con K5, puesto que el bloque está 
entre ambos resortes. 
 
𝐾no = 𝐾r + 𝐾nof = 150 + 318 = 468[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
5. Determinar la frecuencia angular 
 
𝜔 = >
𝐾no
𝑀𝑔 =
>468
468 = 1
[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
Calcular el periodo 
𝑇 =
2𝜋
𝜔 = 2𝜋
[𝑠] 
 
 
Ejemplo 7.18. Determinar la frecuencia del sistema oscilante, si la 
masa del bloque es de 44 [kg] y las constantes de los resortes son 
iguales a 200[N/m] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M 
 
 
 
 
 
 
 
1. En la primera fila la constante equivalente es la suma de las tres 
constantes, debido a que éstos están agrupados en paralelo 
K1	
K2 
 
	
 
𝐾no` = 𝐾 + 𝐾 +𝐾 = 200 + 200 + 200 = 600[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
2. Para los de la segunda fila: 
 
𝐾no+ = 𝐾 + 𝐾 = 200 + 200 = 400[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
3. Para la combinación de la primera y la segunda fila (serie): 
 
1
𝐾no[
=
1
𝐾no`
+
1
𝐾no+
=
1
600 +
1
400 
 
𝐾nof = 240[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
4. El último resorte de Keq4 está en paralelo con el resorte de la 
tercera fila, puesto que entre ellos media un bloque. 
 
𝐾no = 𝐾r + 𝐾nof = 200 + 240 = 440[𝑁 𝑚⁄ ] 
 
5. Determinar la frecuencia 
 
𝑓 =
𝜔
2𝜋 =
s
etu
vw
2𝜋 =
sff;
ff;
2𝜋 =
1
2𝜋
[𝐻𝑧] 
 
 
7.2.5. PÉNDULO SIMPLE 
 
Un péndulo simple es un sistema que consta de una cuerda 
inextensible de longitud L y una partícula de masa m que oscila en un 
plano con un período de oscilación T que corresponde a un viaje de 
ida y vuelta. Lo que se desea en definitiva, es encontrar el valor del 
período T. 
 
 
Fig. 7.5 
 
La partícula se moverá sobre un arco de circunferencia de radio L. 
Las fuerzas que actúan sobre la masa m son su peso y la 
tensión de la cuerda . Descomponiendo el peso en dos 
direcciones, paralela y perpendicular a la cuerda, como muestra la 
figura, podemos observar lo siguiente: 
 
 
 
 
i) En la dirección de la cuerda, tomada como positiva ya que se 
dirige hacia arriba: 
 
 
 
Puesto que la masa m ejecuta un movimiento circular, teniendo, por 
tanto, una aceleración centrípeta . La ecuación anterior 
queda como: 
 
 
Esta última ecuación permite determinar la tensión de la cuerda, a 
condición de que se conozca la velocidad v. 
 
En un péndulo ordinario que oscila con amplitudes pequeñas, 
, por tanto, la tensión es prácticamente igual a 
mgcosa, cabe señalar que, muchas veces se comete el error de 
igualar la tensión a mgcosa. 
 
ii) En la dirección perpendicular a la cuerda, es decir, sobre el 
arco de circunferencia s (tomado positivo hacía la derecha 
de la figura, se tiene: 
iii) 
 
 
es decir: 
gm!
T
!
L
vmmamgT c
2
cos ==- a
Lv /2
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
L
vgmT
2
cosa
Lvg /cos 2>>a
L
sgsengsen
dt
sd
dt
sdmmamgsen t
-=-=
==
a
a
2
2
2
2
÷
ø
ö
ç
è
æ -=-
L
s
L
sgLvv 020
2 coscos
2
1
2
1