Resumen Matematica II - Algebra - Quintas Lajara, Gonzalo

Vista previa del material en texto

(
Resumen de Matemática II
Quintás Lajara, Gonzalo
Resumen completo de la materia. Los temas principales son: lógica proposicional, números complejos, ecuaciones con dos incógnitas, secciones cónicas, análisis combinatorio, vectores, combinaciones y transformaciones lineales, matrices, rango, determinante, sistema de ecuaciones lineales y autovectores y autovalores.
2014
Quintás Lajara, Gonzalo
FCE, Universidad Nacional de La Plata.
)
Lógica proposicional.
Proposición.
Es toda sucesión de palabras de la cual tenga sentido afirmar que sea verdadera o falsa, pero no ambas.
	Ejemplos 
a) El pizarrón es redondo
b) La suma de los ángulos interiores de un triangulo es 180º
c) El número 5 es par
Sin embargo, no son proposiciones las siguientes:
a) ¿hace frio?
b) El libro sirve para
Las últimas dos son sucesiones de palabras que carecen de sentido; carecer de sentido en el sentido que no se puede afirmar si son V o F.
	Dada una proposición, nos preguntaremos si esta es V o F. si es verdadera diremos que su valor de verdad es V y si es falsa diremos que su valor de verdad es F. Los valores de verdad de las proposiciones son V o F. una proposición tiene el valor de verdad V si es verdadera y F si es falsa.
Representación simbólica de proposiciones
	En lógica se utilizan letras minúsculas para representar proposiciones.
p= “el pizarrón es redondo”
 indicará el valor de verdad de p
.
Operaciones con proposiciones
1. Conjunción: se llama conjunción o producto lógico de las proposiciones p, q, dadas en ese orden, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra “y”.
Notación. 
	p
	q
	p˄q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
 Ejemplos
2. Disyunción: se llama disyunción o suma lógica de las proposiciones p, q, dadas en ese orden, a la proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra “o”.
	p
	q
	p˄q
	p˅q
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
 Notación. 
 Ejemplos
3. Negación: se llama negación de la proposición p a la proposición que se obtiene colocando la palabra “no” y enunciando a continuación la proposición p.
	p
	~p
	V
	F
	F
	V
Notación. 
Ejemplo
Conectivos lógicos: son las partículas gramaticales “y”, “o”, “no” y sus símbolos lógicos correspondientes 
Relaciones lógicas.
1. Implicación (condicional): se dice que la proposición p implica la proposición q, o que q se deduce de p, si no se verifica que el valor de verdad de p sea verdadero y el de q falso.
Notación. 
	p
	q
	p=>q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
p = antecedente; q = consecuente.
		Condic suficiente => Condic necesaria
2. Equivalencia: se dice que la proposición p es equivalente a la proposición q si se verifica que .
Notación. .
Ejemplo
	p
	q
	p=>q
	q=>p
	(p=>q)˄(q=>p)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	p
	Q
	Pq
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
3. Implicaciones asociadas a la implicación 
a) Implicación recíproca 
b) Implicación contraria 
c) Implicación contra recíproca 
Formulas lógicas.
1) 
2) (
Leyes de De Morgan
)
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Llamamos ley lógica o tautología del cálculo proposicional a toda fórmula que toma el valor Verdad en todos los casos posibles. Se dice contradicción lógica o anti tautología del cálculo proposicional a toda fórmula que toma el valor Falsedad en todos los casos posibles 
	P
	Q
	p˄q
	~(p˄q)
	~p
	~q
	~p˅~q
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
Demostración de formula lógica 2 a partir de las tablas de verdad -------
Concluimos que 
 (
=
)
Esquema proposicional
	Se llama esquema proposicional en la indeterminada x, a toda expresión que contiene a x y que posee la siguiente propiedad: existe por lo menos un nombre tal que la expresión obtenida sustituyendo la indeterminada por dicho nombre, es una proposición.
	Por convención, las indeterminadas suelen llamarse variables o incógnitas. Los nombres de los objetos suelen llamarse también constantes.
	Notación. Se simbolizan de la sig manera si a x se le asigna un valor tal que la proposición sea verdadera, entonces se lo denominará raíz. 
	Ejemplos. Es esquema – No es esquema.
Operadores o cuantificadores.
1) Se llama operador universal y se simboliza a la expresión “para todo x”.
2) Se llama operador existencial y se simboliza a la expresión “existe x tal que” (Por lo -).
En términos generales, si se tiene un esquema proposicional , puede obtenerse de él una proposición mediante la adjunción de un operador existencial o universal, asi:
Alcance de un operador: se llama alcance de un operador en x al esquema proposicional más simple que aparece inmediatamente después del operador, salvo que se presenten paréntesis, en cuyo caso deben aplicarse las reglas habituales referentes al uso del paréntesis.
	Las variables alcanzadas por un operador se denominan ligadas o aparentes, mientras que la aparición de cualquier otra variable en la expresión se denominan libres.
En general vemos que: 
Negación de operadores.
I. Dado , su negación es 
Ejemplo.
 P(x)=”x es verde” ; = para todo x, x es verde ; =no todos los x son verdes.
¿Qué quiere decir que no todos los objetos x son verdes? Que existe por lo menos un objeto que no es verde. Es decir, dicha expresión puede ser considerada equivalente a:
La negación de un operador universal es equivalente a la afirmación de un operador existencial cuyo alcance es la negación del alcance del primero.
II. Dado , su negación es 
P(x)=”x es > a 5” ; = existe x tal que x es >a 5 ; =no existe x tal que x >a 5
¿Qué quiere decir que no existe x tal que x sea mayor a 5? Que todos los x son menores o iguales a 5 (no mayores). Es decir, dicha expresión puede ser considerada equivalente a:
La negación de un operador existencial es equivalente a la afirmación de un operador universal cuyo alcance es la negación del alcance del primero.
 (
Por prop. vista anteriormente (6)
)En general vemos que: a) si entonces,
			 
						 	
b) si entonces,
 (
Por prop. vista anteriormente (7)
)			 
					 
					 
Métodos de demostración de la implicación p=>q
1) Método directo.
	Se supone que el antecedente es verdadero y, luego de aplicar propiedades, axiomas, teoremas, etc… se llega a establecer que el consecuente es verdadero y, por ende, se demuestra la implicación. 
Se examina p. Se parte del supuesto de que y se continua con el examen de q llegando a que .
	Ejemplos “la suma de dos nº naturales impares es igual a un nº natural par”
Demostración. Suponemos que “x” e “y” son dos nº naturales impares.
 donde n, m números naturales
 
 
 donde 
 
2) Método indirecto.
	Se supone que el consecuente es falso y, luego de aplicar propiedades, axiomas, teoremas, etc… se llega a establecer que el antecedente es falso y, por ende, se demuestra la implicación. 
Se examina q. Se parte del supuesto de que y se continúa con el examen de q llegando a que .
Ejemplos “Si el cuadrado de un nº natural es par, entonces dicho nº es par”
Demostración. Suponemos que “k” es impar, entonces resultará impar.
 donde 
 
 
 
 donde 
 
Si K no es par, entonces no es par => si k es par, entonces es par.
3) Método por reducción al absurdo.
Se supone qu y, luego de aplicar propiedades, axiomas, teoremas, etc… se llega a un absurdo. Esto demuestra que y que por lo que .
Ejemplos “sean rectas del plano. Si y son paralelas a entonces y son paralelas.
Demostración. rectas del mismo plano con: .
Como entonces 
Del axioma que dice “por todo punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a ella” vemos que P es un punto exterior de donde pasan dos rectas paralelas a . ESTO ES ABSURDO. 
Conclusión. 
Principios clásicos de la lógica
a) Principio de la identidad
Si p entonces p. por ejemplo: “si Sócrates es un hombre entonces Sócrates en un hombre”. . La fórmula es una tautología.
b) Principio de la contradicción
No puedeser que se cumpla p y no p. por ejemplo “no puede ser que Napoleon haya nacido en Inglaterra y que Napoleon no haya nacido en Inglaterra”. . La fórmula también es tautología.
c) Principio del tercero excluido
O bien p, o bien no p. lo que este principio indica es que, dada una proposición p, se presentan solo dos posibilidades: que ella se verifique o que se verifique su negación. No hay una tercera posibilidad. . La fórmula es una tautología.
 (
b
)Conjuntos y relaciones
 (
a
)Par ordenado: donde a=1er elemento y b=2do elemento
 . Ejemplo . 
Producto cartesiano. Dados dos conjuntos no vacios A y B, se llama producto cartesiano “A por B” al conjunto formado por todos los pares ordenados tales que el 1er elemento pertenezca al conjunto A y el 2do elemento pertenezca al conjunto B. 
	Notación. 
Ejemplo 1. 
 escrito por extensión.
 Vemos claramente que 
Ejemplo 2. 
 escrito por comprensión.
.
Prop. del producto cartesiano. 
a) 
b) 
Relación: dados dos conjuntos no vacios, A y B, se llama relación A en B a cualquier subconjunto del producto cartesiano AxB. Se simboliza .
	Ejemplo 1. 
 donde y . Escrito por extensión. 
	Ejemplo 2. 
Ejemplo 3. Si A=B entonces sobre A. Este ejemplo se observa en el diagrama de Venn.
 (
0
) (
7
) (
1
) (
3
)
Propiedades de las relaciones. relación sobre A
I. Reflexiva. es reflexiva si y solo si para todo elemento se cumple que está relacionado con . 
Ejemplo. es reflexiva 
II. Simétrica. es relación simétrica si y solo si para todo elemento tales que está relacionado con b entonces b está relacionado con .
 (
a
)
 (
b
)Ejemplo 1. es simétrica.
	 no es simétrica.
Ejemplo 2. es simétrica porque: 
									
III. Anti simétrica. es anti simétrica si y solo si para todo elemento tales que está relacionado con b y b está relacionado con a. se cumple que a es igual a b.
								
IV. Transitiva. es transitiva si y solo si para todo elemento tales que está relacionado con b y b está relacionado con c entonces a está relacionado con c.
 (
b
)
 (
a
)Ejemplo 1. . es transitiva.
 (
c
)Ejemplo 2. es transitiva.
Ejemplo 3. . 
 . es transitiva.
Relación de equivalencia. Una relación , sobre es una relación de equivalencia si y solo si tiene todas las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo 1. . de equivalencia.
Ejemplo 2. “ es un conjunto de rectas del plano”. . de equivalencia.
Veamos un ejemplo importante: 
1) donde . Vemos que a-a es => . 
 es reflexiva.
2) .
 
Vemos que b-a es . es simétrica.
3) .
Vemos que a-c es . es transitiva.
 (
Como es una relación reflexiva sabemos que hay por lo menos un elemento relacionado
)Clase de equivalencia. , relación de equivalencia sobre un conjunto A, , la clase de equivalencia de es el conjunto formado por los todos los elementos del conjunto A que están relacionados con el elemento.
	Notación. 
	Ejemplo. 
 (
3
) 						 
 (
-2
) 					 
Partición de A. tales que
1) (cada uno de ellos no es vacio)
2) 
3) 
Ejemplo1. 
Ejemplo2. es de equivalencia.
. . 
Quintás Lajara, Gonzalo.
1
 
 
Relación de orden. es de orden si y solo si tiene las propiedades de reflexiva, transitiva y anti simétrica.
Ejemplo. es de orden
Orden total. de orden, es de orden total si y solo si para todo se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a. 
Orden parcial. de orden, es de orden parcial si y solo si existe tal que o bien a no está relacionado con b, o bien b no está relacionado con a. .
	Ejemplo. 
		. Veamos si es de orden:
1) . Es reflexiva
2) 
 
 				 
				 . Es anti simétrica
3) 
 
 
					 
					 Es transitiva
Conclusión. Es de orden.
Números complejos (en forma trigonométrica)
(falta una clase que no es importante para nada)
 			 
				 
	Ejemplo. 
 . 
Producto
 (
-1
)
			 √
Ejemplo. 
Potencia 
· Formula de Moivre 
Ejemplo1. 
Ejemplo2 (expresado en forma trigonométrica). 
 
Cociente
Ejemplo. 
 
 .
 (
Z
) (
b
)Vemos que si
 
 (
-b
)
 (
-Z
)
.
Raíz n-ésima. 
Sea , tales que .
Por fórmula de Moivre 
 por lo que vemos…
Entonces 
 
 
 …
Ejemplo. 
Notar que todos los puntos están a 120º entre sí en este caso.
Ecuaciones con dos incógnitas x,y
 
Ejemplo. ---- (1,0) ya que (una de las tantas soluciones)
Ecuación de la recta.
Dada la recta y los puntos sobre tales que entonces se llama pendiente de : 
 , donde 
Ecuación de la recta pendiente-punto
 recta de pendiente y que pasa por 
P punto cualquiera, 
 
Ecuación explícita
 recta de pendiente y ordenada al origen . pasa por el punto (0,b) de la ecuación pendiente-punto.
 Ejemplo. 
Ecuación implícita o general (sirve para cualquier recta con o sin pendiente)
, donde A,B,C son nº reales, A,B ambos no nulos.
 (
b
)
Ejemplo. 
 1er caso. 
 (
a
)	 2do caso. 
Ecuación de la recta que pasa por tales que 
Partiendo de la ecuación pendiente-punto vemos que 
Ejemplo. 
Ecuación segmentaria
Si 
Utilizando y suponiendo que entonces:
Rectas paralelas
 rectas no verticales donde, (misma pendiente).
	
Ejemplo. Encontrar la ecuacion de la recta que para por (3,1) y es paralela a 
		Notar que entonces √
Rectas perpendiculares
 rectas no verticales donde, 
		 ya que 
Ejemplo. Encontrar la ecuacion de la recta que para por (3,1) y es perpendicular a 
Notar que entonces √
Distancia entre dos puntos 
Por Pitágoras sabemos que: 
Distancia de la recta al punto exterior
Para poder calcular dicha distancia debemos:
1) (ecuación pendiente punto para obtenerla)
2) (
Coordenadas del punto Q que están en ambas rectas.
) => obteniendo así 
3) (
Q
) (
P
)
Ejemplo. 
1) 
2) por igualación… => 
3) 
Punto medio
	Queremos encontrar el punto medio del segmento que une a los dos puntos 
 siendo 
Secciones cónicas
Circunferencia: se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
· Equidistan: igual distancia
· A la distancia constante la llamamos radio 
· Centro 
Ecuación de la circunferencia. Dada una circunferencia de radio y centro .
 (
y
) (
P
)
 (
x
)
	Sea un punto arbitrario sobre la circunferencia, entonces 
Ecuación canónica de la circunferencia, ecuación pendiente-punto.
Ejemplo1. 
Ejemplo2. 
Ejemplo3. 
Vemos que: para conocer si un determinado punto está sobre la circunferencia, debemos reemplazarlo en la ecuación y el resultado será 
Ejemplo4. 
 
 … ecuación general de la circunf. 
 
 (
Hay que buscar la forma binómica, completar cuadrados.
)Ejemplo5. 
 
 
 
 
Condición para que sea la ecuación de una circunferencia.
Entonces. 1er caso es una circunferencia.
 2do caso no es circunferencia. Tiene solución única.
 3er caso no es circunferencia. No tiene solución.
Parábola: es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto exterior a ella llamado “foco”.
· La distancia entre el foco y la directriz: 
· Foco=F
· Directriz=d
· Vértice= punto V, tal que 
 (
Eje focal o eje de simetría (donde pasa el foco)
)
 (
F
) (
Q
)
 (
V
)
 (
P
) (
y
)Ecuación de la parábola con vértice en el origen v(0,0) y eje focal en el eje x
 
 (
d
) (
F
) (
x
)
Sea un punto cualquiera sobre la circunferencia.
 por la definición.
También puede ocurrir que donde los valores de x deben ser negativos. Hay librosque no tienen en cuenta dicha fórmula porque entienden que P es la distancia dirigible (puede ser + o -).
 (
3
)
 (
d: 
)Ejemplo. 
Ecuación de la parábola con vértice en el origen v(0,0) y eje focal en el eje y
 
La ecuación en este caso sería 
Ejemplo. Encontrar la ecuación. 
 (
k
) (
h
) (
x
) (
P
) (
y
)Corrimiento de ejes
 
 y 
Ecuación de la parábola con sus vértices y con el eje focal paralelo al eje x
 
Ejemplo. . Como 2P es positivo, las ramas van hacia la derecha.
	
Ecuación de la parábola con sus vértices y con el eje focal paralelo al eje y
 
Otra forma en las que pueden aparecer las ec. de las parábolas
1. 
2. 
Elipse: Es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos llamados focos es una constante que se indica 2a, donde 
· (
P
) donde .
· Distancia focal: distancia entre los dos focos 
· Eje focal: recta que pasa por los focos.
· (
-c
) (
c
)Centro siendo 
· (
Eje focal
)Vemos que 
Ecuación de la elipse con y eje focal en x.
Focos: 
 
	Pero dicho cálculo es muy engorroso por lo que debemos simplificarlo.
Como , donde entonces…
Ejemplo. , entonces 
A. donde, => => => 
B. … 
· Observamos que si entonces encontramos dos puntos sobre la elipse llamados vértices.
· Observamos que si entonces encontramos dos puntos sobre la elipse .
· El gráfico es simétrico respecto de ambos ejes cuando el 
· Excentricidad: mide la chatura de la figura respecto de los ejes. 
· Directrices: 
Ejemplo. , entonces 
 
 
 
 Semieje mayor: Semieje menor: 
Ecuación de la elipse con y eje focal en y
Para saber cuál es el eje hay que observar los denominadores. Donde esté el denominador más grande es donde va a estar el eje.
Ecuación de la elipse con y eje focal paralelo al eje x
· 
· 
· 
· 
· 
Otras formas de encontrar la ecuación de la elipse
1. 
2. 
3. 
Hipérbola: es el conjunto de puntos del plano tales que la diferencia de sus puntos fijos llamados focos es una constante que se indica 2a, donde .
· donde 0
· donde 
· Distancia focal: distancia entre los dos focos 
· Eje focal: recta que pasa por los focos.
· Centro siendo 
· Vemos que 
Ecuación de la hipérbola con y eje focal en x.
· Focos: 
A. donde, => => => 
B. … como ya es + 
· Observamos que si entonces encontramos dos puntos sobre la hipérbola llamados vértices.
· Observamos que si entonces encontramos dos puntos más pero no sobre la hipérbola .
· El gráfico es simétrico respecto de ambos ejes cuando el 
· Excentricidad: mide la chatura de la figura respecto de los ejes. 
· Directrices: (verticales)
· (
F
) (
F
)Asíntotas: 
Ejemplo. , entonces 
 
 
 
				 Asíntotas: 
				Directrices: 
 Eje trasverso: Eje conjugado: 
Ecuación de la hipérbola con y eje focal en y
· Focos: 
· Observamos que si entonces encontramos dos puntos sobre la hipérbola llamados vértices.
· Observamos que si x entonces encontramos dos puntos más pero no sobre la hipérbola .
· El gráfico es simétrico respecto de ambos ejes cuando el 
· (
F
)Excentricidad: mide la chatura de la figura respecto de los ejes. 
· Directrices: (horizontales)
· (
F
)Asíntotas: 
Ecuación de la hipérbola con y eje focal paralelo al eje x
· 
· 
· 
· 
· 
· Asíntotas: obtenerlas a partir de la ecuación pendiente-punto
Ecuación de la hipérbola con y eje focal paralelo al eje x
Otras formas de encontrar la ecuación de la elipse
 con .
· Vemos que con podría ser elipse.
· Si , podría ser circunferencia.
Análisis combinatorio.
Principio del producto: 
	Supongamos que un procedimiento que designamos como puede ser realizado de maneras diferentes y, un segundo procedimiento puede ser realizado de maneras diferentes.
	Supongamos también que cualquiera de las maneras de realizar el procedimiento puede ser seguida `por cualquiera de las maneras de realizar el procedimiento . Entonces, el procedimiento compuesto que consiste en realizar el procedimiento seguido del procedimiento se puede realizar de maneras diferentes.
Ejemplo1. Con los nº 1,2,3 ¿cuántos nº de 2 cifras se pueden formar?
_ _ => se pueden formar 9 números.
· Notar que se aplica un procedimiento y luego, el otro (producto lógico). Analíticamente, k procedimientos , osea . 
Ejemplo2. Usando tarjetas numeradas del 0 al 9 ¿Cuántos nº de 4 cifras se pueden formar?
_ _ _ _ es decir => 
Ejemplo3. Idem al anterior pero con nº menores a 3000.
_ _ _ _ es decir => 2
Ejemplo4. Hay 7 libros y 4 estantes ¿Cómo los puedo colocar?
_ _ _ _ es decir => 
Principio del producto:
	Dados objetos distintos, se llaman variaciones simples de objetos tomados de a a los distintos grupos que se pueden formar tales que:
a) En cada grupo hay objetos distintos de los disponibles.
b) Dos grupos son distintos si difieren en al menos un elemento o en el orden en que aparecen dentro del grupo 
Ejemplo1. A B C D se pueden formar 12 elementos
Ejemplo2. 
Permutaciones simples de elementos
Variaciones con repetición
	Dados objetos distintos, se llaman variaciones con repetición de objetos tomados de a a los distintos grupos que se pueden formar tales que:
a) En cada grupo hay objetos no necesariamente distintos a los disponibles.
b) Dos grupos son distintos si difieren en al menos un elemento o en el orden en el que aparecen dentro del grupo.
Permutación de elementos con repetición
Combinaciones simples
	Dados objetos distintos, se llaman combinaciones simples de objetos tomados de a a los distintos conjuntos que se pueden formar de elementos distintos tomados de los disponibles.
 (
ABC, BCD, CDA, ACD
ACB, BDC, CAD, ADC
BCA, DBC, ……. …….
BAC, DCB
CAB, CBD
CBA, CDB
----- ----- ----- -----
3! 3! 3! 3!
)	Dos combinaciones se consideran distintas si difieren en al menos un elemento.
 	Notación. 
Ejemplo1. A B C D 
.
.
 
 
Vemos que: 
Ejemplo2. Hay 7 amigos y solo puedo invitar a 4. 
Ejemplo3. Hay 5 mujeres y 4 varones.
a) 4 personas 
b) 2 mujeres y 2 varones 
c) Por lo menos 2 mujeres 
Permutaciones con elementos indistinguibles entre sí
	Dado elementos tales que de ellos son indistinguibles entre sí, indistinguibles entre sí y diferentes a los anteriores , indistinguibles entre si y distintos a los otros,… elementos indistinguibles entre sí y diferentes a los anteriores y además:
	El número de permutaciones de estos elementos que se pueden obtener es:
Ejemplo1. Tenemos la palabra M A T E M A T I C A . queremos permutar las letras.
Entonces:	 
Ejemplo2. Tenemos los números 575572. 
Números combinatorios
 
Ejemplo. 
Propiedades.
1) 
2) 
3) 
4) 
Demostración de prop 4. 
El procedimiento no está bien creo.
Binomio de newton
Triángulo de Tartaglia
Ejemplo1. 
Ejemplo2. 
Notar que siempre vamos a obtener un término más al del exponente.
Para el k-ésimo término de 
Ejemplo. 
Espacio vectorial real
	Un conjunto de elementos llamados vectores, es un espacio vectorial real si entre estos elementos y los nº reales a los que llamaremos escalares se definen:
· Una ley de composición interna llamada suma de vectores: 
							 
· Una ley de composición externa llamada producto por un escalar: 
								 
Tales que:
1) La suma de los vectores es asociativa. 
2) Existe elemento neutro para la suma de vectores: 
3) Todo elemento de tiene elemento simétrico para la suma de vectores: 
.
4) La suma de los vectores es conmutativa 
5) Asociatividad combinada: 
6) Propiedaddistributiva con respecto a la suma de vectores (del producto):
 
 
7) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de escalares
 
8) Existe elemento neutro para el producto: 
 (
2
)
 (
X
)Ejemplo1. Espacio vectorial real, (producto cartesiano).
 (
-3
) 
 (
Y
)
Suma de vectores. Suma de 
 
 
Producto de vectores. 
 
 
 
Demostración de que es un espacio vectorial real (IMPORTANTISIMO).
	Hay que demostrar que se cumplen todas las propiedades 
1) 
 por carácter transitivo.
2) Elemento neutro para la suma de vectores:
 
. 
3) Todo elemento de tiene elemento simétrico
, 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
4) Suma conmutativa de vectores.
 
 conmutativa.
5) Asociatividad combinada.
 
6) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de vectores.
 
7) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de escalares.
 
8) Elemento neutro del producto.
 
 
CONCLUSIÓN FINAL. Espacio vectorial real, .
Vectores básicos (también llamados versores)
 
 
Familia de vectores: es cualquier conjunto finito de vectores , espacio vectorial real.
Combinación lineal de vectores: dada una familia finita de vectores de V, se llama combinación lineal de dichos vectores a todo vector tal que:
Independencia lineal
	Se dice que los vectores de la familia espacio vectorial real son linealmente independientes sí y solo sí para cualquier combinación lineal de estos vectores igualada al vector nulo implica que los escalares son todos iguales a cero.
Son linealmente independientes 
Ejemplo1. son linealmente ind. Porque:
Ejemplo2. no son linealmente ind. Porque:
Nos está indicando que hay infinitas relaciones para dichos vectores. Es linealmente dep.
Dependencia lineal
	Se dice que los vectores de la familia espacio vectorial real son linealmente dependientes sí y solo sí existe una combinación lineal de estos vectores igualada al vector nulo con no todos los escalares iguales a cero.
Son linealmente dependientes 
Propiedades
1) Dos vectores son linealmente dependientes sí y solo sí uno de ellos es igual al otro multiplicado por un escalar.
Demostración
i. son linealmente dependientes entonces existen escalares no ambos nulos tales que: 
· Suponiendo que 
ii. Sean tales que existe un escalar si 
		 
 
		Donde 
 
Esto es una combinación lineal de los vectores igualada al vector nulo con los escalares no todos nulos. Esto indica que los vectores son linealmente dep.
2) Toda familia de vectores de espacio vectorial real que contenga al vector nulo es linealmente dependiente.
Ejemplo. 
 	 
3) Dado una familia de vectores espacio vectorial real, si existe algún subconjunto de vectores de A linealmente dependientes entonces los vectores de A son linealmente dependientes.
 => 
Demostración.
	Supongamos que los vectores son linealmente dep. entonces existen escalares no todos nulos tales que 
Podemos ver que 
	Esto es una combinación lineal de los vectores del conjunto A igualada al vector nulo con los escalares no todos nulos. Por lo tanto decimos que los vectores del conjunto A son linealmente dependientes.
4) Dada una familia de vectores A espacio vectorial real, si los vectores de A son linealmente independientes entonces todo subconjunto B de A está formado por vectores linealmente independientes (contra recíproca de la prop anterior).
Ejemplo. 
 por prop anterior. Donde 
	Los vectores de A son linealmente dependientes porque hay un subconjunto de vectores que son linealmente dependientes.
5) Dado son linealmente independientes si y solo si 
Ejemplo. son linealmente independientes.
 son linealmente dependientes.
Espacio vectorial – base de un espacio vectorial real.
	Una familia finita de vectores B espacio vectorial real es una base de sí y solo sí:
1) Los vectores de la familia B sean linealmente independientes
2) Todo vector 
Ejemplo1. base canónica de 
1) Son linealmente indep. Por la prop nº 5, ósea: 
2) ejemplo. 
.
Ejemplo2. 
1) Son linealmente indep. Por la prop nº 5, ósea: 
2) 
	Vemos que existen . Ejemplo: (1,3) 
 .
Ejemplo3. son linealmente dep. 2.2-1.4=0 ya no es base
Ejemplo4. 
1) es linealmente indep.
2) 
 no es base.
Ejemplo4. base canónica de 
1) 
 
 
 => es linealmente indep.
2) 
	 es base.
Propiedad: dos vectores linealmente independientes de forman base de .
Demostración. Sean linealmente independientes, entonces por la propiedad nº 5: 
¿?
 
 
 
 (
-
)Para resolver dicho sistema, multiplicamos todo por 
 			 multiplicamos todo por 
 							
							 
 (
-
)Para resolver dicho sistema, multiplicamos todo por 
 			 multiplicamos todo por 
 							
					 
 => es base de 
Dimensión de un espacio vectorial es igual al número de vectores de cualquiera de sus bases.
 no es base de 
 no es base de 
Coordenadas y componentes
 base ordenada.
 , 
Ejemplo. Las coordenadas de en son y ya que . Los componentes de (1,3) en este caso son .
Transformaciones lineales.
Dados , espacios vectoriales reales, se llama transformación lineal a toda aplicación tal que:
1) 
2) 
Ejemplo. 
 ¿es trasformación lineal?
1) 
 
 
 √
 
 
 √
 
2) (
 
 √
 
 
 √
 
Entonces por 1 y 2 vemos que es transformación lineal.
Otra forma de verificar transformación lineal. 
Operaciones con transformaciones
A. Suma. Dadas y aplicaciones, siendo espacios vectoriales reales. Se define la suma como: 
Ejemplo. 
 
		 
 
		 
Propiedad. Dados espacios vectoriales reales, y son transformaciones lineales entonces, es también transformación lineal.
	Demostración. Supongamos y transformaciones lineales, entonces:
 
Entonces tomando: 
 es una transformación lineal.
B. espacios vectoriales reales.
 y se define la composición 
Ejemplo. 
 
		Entonces 
Propiedad. Sean espacios vectoriales reales. Sean y transformaciones lineales entonces es transformación lineal.
	Demostración. Supongamos y transformaciones lineales entonces: 
 
 por definición de composición
 por hipótesis, es trasformación lineal
 por hipótesis, es transformación lineal
 por definición de la composición 
 es trasformación lineal.
Matriz asociada a una transformación lineal.
Dada la transformación lineal donde , espacios vectoriales reales.
B bases de respectivamente.
 (
La cual tiene 
 filas y tiene 
 columnas
) 
 
 
				…
 
 (
Matriz asociada a la transformación lineal 
 respecto de las bases 
.
)
Ejemplo. 
Matrices
	Dados dos números naturales , se llama matriz de orden a toda tabla ordenada de filas y columnas cuyos elementos los indicamos , donde 
Ejemplo. matriz de orden 2 por 3.
Definiciones
1. Matriz cuadrada: de orden es toda matriz de orden . Ejemplo 
2. Dada A de orden , se llama diagonal principal de A a la formada por los elementos Ejemplo. 
3. Matriz diagonal es toda matriz de orden tal que . Ejemplos 
4. Matriz identidad de orden n es la matriz diagonal de orden n tal que . 
5. Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada tal que . Ejemplo notamos que de la diagonal principal hacia abajo hay todos ceros (0).
6. Matriz triangular inferior es toma matriz cuadrada tal que . Ejemplo notamos que de la diagonal principal hacia arriba hay todos ceros (0).
7. Matriz simétrica es toda matriz de orden tal que . Ejemplo 
8. Matriz asimétrica es toda matriz de orden tal que . Ejemplo. notamos que la matriz asimétrica tiene ceros en la diagonal principal.
9. Dada la mtriz A de , la matriz transpuesta de A es de de manera tal que los elementos 
Ejemplo 
Propiedades:si A es simétrica entonces 
		 si A es asimétrica entonces 
10. Matriz fila es la matriz de orden . Ejemplo 
11. Matriz columna es la matriz de orden m. Ejemplo 
12. Matriz nula es aquella cuyos elementos son todos cero, . 
13. Igualdad entre matrices: A y B de donde (respectivamente iguales).
Operaciones con matrices.
Suma. A y B de donde de , .
Ejemplo. 
		Propiedades de la suma de matrices.
a) Asociativa 
b) Conmutativa 
c) Elemento neutro 
d) Simétrica 
Producto por un escalar. vemos que de 
		Propiedades del producto de matrices por un escalar.
a) Asociatividad combinada 
b) Distributiva respecto de la suma de escalares 
c) Distributiva respecto de la suma de matrices 
d) Elemento neutro 
e) 
f) 
Producto de matrices. 
a) A matriz de , B matriz de 
b) A matriz de B matriz de entonces 
Ejemplo.
 
 
 etc.
Propiedades del producto de matrices.
a) Asociativa 
b) Traspuesta 
c) Distributiva del producto respecto de la suma 
d) No es conmutativa en general 
e) Si A es de orden , de orden entonces 
f) Si A es de orden , de orden entonces 
g) Si A es de orden , de orden entonces 
Matriz escalonada. A de orden es escalonada sí y solo sí:
1) El 1er elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del 1er elemento no nulo de la fila precedente.
2) Las filas nulas, si las hoy, se encuentran en la parte inferior de la matriz
Ejemplo. 
Operaciones elementales sobre filas.
1) Permutar las filas 
2) Multiplicar una fila por un escalar 
3) Sumar a una fila los correspondientes elementos de otra fila multiplicados por un escalar 
4) Si la matriz B se obtiene luego de aplicar un número finito de operaciones elementales sobre filas de una matriz A, estas se dicen que son matrices equivalentes. 
Rango. Nº de filas no nulas de una matriz escalonada (matriz escalonada) entonces 
Ejemplo. Hay que tratar que el 1er elemento no nulo sea igual a 1. .
Matriz escalonada reducida:
Inversiones de una permutación
Ejemplo. 
Si pero se ecuentra a la izquierda de entonces hay una inversión.
Determinante.
	Dada una matriz A cuadrada de orden , se llama determinante de la matriz A a la suma algebraica de todos los productos posibles que se pueden formar tomando uno y solo un elemento de cada fila y cada columna.
	El signo que precede a cada producto corresponde al signo de la permutación de los segundos subíndices una vez que los primeros siguen el orden natural, es decir, si la permutación es de clase par corresponde signo positivo pero si es de clase impar, será de signo negativo.
	Hay términos donde van a ser par y van a ser impar.
Se puede indicar 
Ejemplo1. 
Ejemplo2. 
Menor complementario del elemento 
A matriz de orden , el menor complementario del elemento es igual al determinante de la submatriz de orden que se obtiene de A al suprimir la fila y la columna . 
Ejemplo. 
Adjunto o cofactor de de A en orden :
Si en el desarrollo del determinante de A sacamos factor común de todos los términos en los que aparece, veremos que queda multiplicado por un polinomio que se denomina adjunto o cofactor de .
 entonces 
Propiedades del determinante
	Para matrices de orden superior a 3, el cálculo del determinante aplicando la definición es largo y laborioso y es por ello que se emplean otros métodos encaminados a reducir el orden del determinante. La mayoría de estos métodos se basan en las propiedades de los determinantes, donde las más importantes son las siguientes:
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta 
2. Al intercambiar dos líneas paralelas (filas o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo pero no cambia su valor absoluto.
3. Si se multiplican por una constante k todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz, el determinante de esa matriz aparece multiplicado por k.
4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) iguales, entonces su determinante vale cero.
	Dem. 
5. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) proporcionales, entonces su determinante vale cero.
6. Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada son cero, entonces su determinante vale cero.
	Dem. 
7. Si cada elemento de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se escribe como la suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las líneas, excepto la línea de la descomposición, en la que el primer determinante tiene el primer sumando de cada elemento del inicial y el segundo determinante tiene el segundo sumando.
8. Si una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más líneas paralelas a ella, entonces su determinante vale cero.
9. El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se le suma a una línea cualquiera (fila o columna) una combinación lineal de otras líneas paralelas a ella.
10. El determinante de una matriz triangular o diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
11. El valor del determinante de una matriz cuadrada A es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera (fila o columna) de A por sus adjuntos respectivos.
12. La suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera (fila o columna) de una matriz cuadrada A por los adjuntos de otra línea paralela a la primera es igual a cero.
13. El determinante del producto de dos matrices cuadradas de orden n es igual al producto de los determinantes de ambas matrices. 
Rango
	Dada una matriz de orden , la matriz cuadrada formada por los elementos situados en las intersecciones de r filas y r columnas de la matriz A elegidos arbitrariamente, se llama submatriz de orden r y su determinante menor de orden r de A.
Ejemplo. 
Si todos los menores de orden r son entonces también lo son todos los menores de orden superior.
Definición. Sea la matriz A de orden , se llama rango r de la matriz A al orden de la submatriz con determinante de mayor orden que puede obtenerse de la matriz A. .
Propiedad1. todos los menores de son iguales a 0 y existe algún menor de orden r distinto de cero.
Propiedad2. El rango de una matriz A es igual a la dimensión del espacio vectorial real generado por filas (o columnas) de la matriz A. Entonces es igual al número de filas (o columnas) linealmente independientes.
Propiedad3. El determinante de una matriz A, , donde A es de orden .
Propiedad4. El determinante de una matriz A, el conjunto de las filas de A es linealmente dependiente.
Matriz inversa. Se dice que la matriz A de orden tiene inversa si y solo si existe una matriz B de orden tal que: identidad de orden . Entonces B es la inversa de A.
Obtención de la matriz inversa para 
Dada se llama matriz adjunta de A a la matriz donde es el adjunto o cofactor de .
Ejemplo. 
, y así sucesivamente. 
 
La inversa es 
Propiedad1. La matriz inversa de A, si existe, es única.
	Demostración. Supongamos que son matrices inversas de A, entonces:
Propiedad2. 
Demostración. 
Propiedad3. 
Demostración. 
Propiedad4. 
Demostración. 
Forma práctica del cálculo de . Fórmula de Gauss
Ejemplo. . Se completa la matriz A con la matriz .
Luego de aplicar operaciones elementales sobre filas, donde se encontraba la matriz A se obtuvo la matriz y, donde estaba la matriz y se obtuvo la matriz inversa .
Sistema de ecuaciones lineales.
	Dados dos nº naturales , un sistema de ecuaciones con incognitas es todo conjunto de igualdades:
 son las incógnitas.
 son nº conocidos llamados términos independientes.
 son nº conocidos llamados coeficientes de las incognitas.
 es el coeficiente de en la ecuación nº .
Notación matricial
Ejemplo. 
Solución de sistemas.
	Es toda n-upla de nº tales que al sustituir por en cada una de las ecuacionesse obtengan identidades.
Ejemplo. 
1er solución. 2 1 0 
Otra solución. 0 2 1
Clasificación.
1. Compatible determinado: tiene solución única
2. Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones
3. Incompatible: cuando no tiene solución
Sistema homogéneo. es homogéneo si y solo si . Dicho sistema es siempre compatible.
	Ejemplo. 
Sistema equivalente. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y solo si toda la solución de uno de ellos es solución del otro.
Matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas es la matriz de orden cuyas primeras columnas son respectivamente iguales a las columnas de A y la columna tendrá elementos de la matriz B de términos independientes.
Propiedad. Dados dos sistemas de ecuaciones lineales y C tales que las respectivas matrices ampliadas de y son equivalentes, entonces los dos sistemas son equivalentes.
	Dado , 
Ejemplo1. 
Asi encontramos el nuevo sistema 
 
Teorema de Roucheé-Frobenius.
	Dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas , es sistema incompatible si y solo si al rafo de la matriz de los coeficioentes A es igual al rango de la matriz ampliada , siendo una matriz ampliada…
Casos posibles.
1. Sistema comp. Determinado 
2. Sistema comp. Indeterminado 
3. Sistema incompatible 
Regla de Cramer.
	Dado el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas tales que , entonces el sistema es compatible determinado y la solución es:
	Donde es la matriz de orden que se obtiene de la matriz A al sustituir la columna nº de A por la columna de los términos independientes de B.
Demostraciones que hay que aprender si o si para el final:
· Teorema 1 de autovectores y autovalores
· Teorema 2 de autovectores y autovalores
· Si A es una matriz triangular, entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal principal.
· Si A es una matriz cuadrada, entonces tienen los mismos autovalores (tienen el mismo polinomio característico).
· Si λ es un autovalor asociado a una matriz cuadrada A, entonces es un autovalor asociado a la inversa de A .
· Dado entonces y son autovalores L.I.
· ¿Cómo son los autovectores y autovalores de ?
· Si el autovalor de la matriz A es λ=0, A no es invertible.
· La suma de una matriz cuadrada A y su transpuesta es simétrica.
· La diferencia de una matriz cuadrada A con su transpuesta es anti simétrica.
· El producto de una matriz cuadrada A con su transpuesta es simétrico.
· El producto de dos matrices A y B anti simétricas es anti simétrico si y solo si 
· Dadas dos matrices A y B simétricas. La condición necesaria para que el producto A.B sea simétrico es que ambas matrices conmuten (AB=BA)
· Si A es una matriz anti simétrica de orden n, con n impar, entonces det(A)=0.
· Una matriz A puede expresarse como la suma de una matriz simétrica y una matriz anti simétrica, siendo dicha descomposición única.
· La matriz inversa de A, si existe, es única.
· La inversa de la matriz inversa de A es igual a A 
· La inversa de una matriz A transpuesta es igual a la transpuesta de la matriz inversa de A. 
· El determinante de la matriz inversa de A es 
· 
· si la inversa de una matriz A es simétrica, entonces su transpuesta también lo es.
· Si D es una matriz diagonal, entonces también lo es.
· Si A es una matriz triangular superior, su matriz inversa también lo es.
· Si A es una matriz triangular inferior, su matriz inversa también lo es.
· Si ¿es B base de ?
· Si ¿es B base de ?
· Demostrar que la divisibilidad de es de orden parcial.