4 Guías rectangulares - Arturo Lara (1)

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25- 4 Guías rectangulares
Estas guías tienen una sección rectangular de lados ay b que, como se muestra en la figura 26-2, se encuentra situada en el plano xy. De (26-29) y (26-30) se puede observar que para cualquiera de los dos modos se tiene que resolver una ecuación de la forma (26-6). Utilizando el método de separación de variables y expresando 4/ 0 (,x,y) = X(x)Y(y), con
Figura 26-2 Sección de una guía de ondas rectangular.
o
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Campos en regiones confinadas
los mismos argumentos usados en la sección 11-4 para obtener dos ecuaciones separadas, se encuentra
J_ d2X
X dx2
— k2 = const. = - k2
* dy2
(26-31)
de modo que (d2X/dx2) +	2X= 0 y (d2 Y/dy2)+ K22 Y = 0, donde
k2 + k2 = kc2
(26-32)
y k2 2 es también una constante. Resolviendo en términos de las funciones trigonométricas, se tiene que
’//o(-x’T)==(Cisen^ix+ C2cosklx)(C3senk2y + C4cosk2y) (26-33)
donde las C son constantes de integración. Esta expresión de 'Pq contiene un total de seis
constantes y, dependiendo del modo particular de que se trate, se identifica (26-33) con
o con & .
z
Ejemplo
Modos Et.
Se toma aquí & z = 0 y se escribe
=(CisenAjx + C2cosA:1x)(C3senfc2y + C4cosZc2y)
(26-34)
Puesto que JC es una componente tangencial, no necesita anularse en la frontera, de modo que (26-34) no es muy útil en sí. Por otro lado, y son componentes tangenciales en los lugares adecuados de la frontera, debiendo anularse ahí por lo que sí pueden resultar de interés. (Desde luego, & % y serán componentes normales en algunas partes de la frontera, anulándose ahí de modo que se podrían elegir en vez de los otros componentes. Sin embargo, como se verá después, se llega a los mismos resultados.)
Siendo & z = 0, se encuentra que cuando se sustituye (26-34) en (26-25) y (26-36) se obtienen
iuuk2
=	— (CjSenAjX 4- C2cosfc1x)(C3cosA:2y — C4senk2y)
kc
(26-35)
S - -	- (^cos^ix- C2s&nkix)(C2senk2y + C4(x>sk2y)
kc
(26-36)
De la figura 26-2 se ve que en y = y y = b & será componente tangencial, por lo que debe ser igual a cero ahí. De manera similar, & y debe ser cero en x = 0 y x = a. Tomando primero los valores cero de x y y se obtienen
Sx(x,0) = 0=	(C.sen/qx + C2coskix)
(26-37)
S (0,y) = 0= -	(C3senk2y + C4cosk2y)
k„
z
(26-38)
Guías rectangulares
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de modo que C3 =Oy Ci =0. Por tanto, hasta aquí, (26-34), (26-3 5) y (26-36) se han simplificado convirtiéndose en
	94 = C2C4coskxxcosk2y
	(26-39)
	i<jjiik2
&x —	5— C^C^cos/q.xsenÁ^y
kc¿
	(26-40)
	iu>iikx
=	— C2C4sñnkxx cosk2y
kc
	(26-41)
Todavía falta satisfacer las ecuaciones de frontera en las dos caras restantes. De (26-40) se observa que el requisito &x (x,b) = 0 conduce a sen k2b - 0, de modo que k2b - mr donde n es un entero. De manera similar, &y (a,y) = 0, de la condición kxa = mir siendo m un entero. Se ha encontrado así que
, mir	,	nir
kx~		k2——r-
1 a ¿ b
(26-42)
de manera que de (26-32) se pueden encontrar los valores permitdos de kc2 que son
(26-43)
de manera que de (26-32) se pueden encontrar las longitudes de onda y las frecuencias de corte usando (26-43) en (26-9) y (26-11). Las constantes de propagación de la guía y sus longitudes de onda correspondientes se obtienen de (26-7) y (26-5):
(26-44)
La única cantidad que no se ha obtenido es la amplitud arbitraria C2C4 de & z. Si se toma C2C4 = Ho, se puede utilizar (26-42) para expresar (26-39) a (26-41) de una manera más explícita. Además, se puede usar (26-39) en (26-27) y (26-28) para encontrar el resto de las amplitudes. Cuando se hace esto se encuentra que las amplitudes de un modo ET general en una guía rectangular son
Sz=0
(26-45)
(26-46)
(26-47)
(26-48)
(26-49)
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Campos en regiones confinadas
cu- rr í mirx \	( niry \
Jvz = H0cos j eos í I
(26-50)
donde kc y se encuentran por medio de (26-43) y (2644),
Para verificar los resultados obtienidos, de la figura 26-2 se puede ver que JC x será una componente normal en x = ° y x = a, debiendo anularse ahí; de (26-48) se deduce que así es en efecto. De manera similar, (26-49) indica que JCy = 0 en y = 0 y y - b, como debe ser. [En realidad esto no debe sorprender porque el resultado de uno de los ejercicios es que las componentes transversales de un modo ET se relacionan entre sí por medio de Ktrans = (k /Wju)zX ^rans y, por lo tanto, son perpendiculares. Así, si &trans se toma normal a la superficie, JC será automáticamente tangencial, como se vio arri- ba. Se obtiene un resultado similar para modos MT.]
Recuérdese que todavía se tiene que multiplicar cada uno de estos factores de amplitud por el término de propagación y tomar la parte real para obtener los campos físicos. Por ejemplo, cuando (26-45) y (26-14) se combinan entre sí se obtiene
(26-51)
Dado que -i=
expí[k^z-(cüí +
E. va adelante
e ■)77, el factor exponencial puede expresarse como
1/2 7r)] lo que, cuando se compara con (26-50), demuestra que
de H en el tiempo por una diferencia de 90°. De manera simi-
lar, (26-48) y (26-49) demuestran que Hx y H van adelante de Hz por 90°,
mientras que E sigue a H por la misma diferencia, según (2646).
y	z
Hasta ahora no se ha especificado n y m, excepto en cuanto a que son
enteros. Antes que nada , de (2645) a (26-50) se observa que si m y/o n fue-
ran negativos ninguna amplitud de campo cambiaría. Por lo tanto, se puede
imponer la restricción de que m y n sean positivos o cero. Si tanto m como
n son iguales a cero, (26-50) da Jfz = Ho= const., mientras que las otras
componentes son aparentemtnte cero en tanto que (26-44) da k^ = kn =
co/v. Así, el campo sería de la forma Hz — H(¡e l(koz ~~ que corresponde a
un campo longitudinal con una sola componente y viajando en la dirección
del eje de la guía con una velocidad v característica de una onda plana. Sin
embargo, de acuerdo con (26-43), k¿ = 0 y, dado que se dividió entre k¿
para obtener (26-25) a (26-28), no es posible usar estos resultados aquí, de-
biéndose regresar a las ecuaciones de Maxwell (26-13). En este caso se ob-
tendría V ’ H= 0 = dHzldz - ik0Hz, de manera que k0 = 0 y, por lo tanto,
= 0; esto hace que H — const., lo que guarda consistencia con el resto de (26-
13) con E =0. Así, para m = n = 0 la solución resulta ser simplemente un cam-
po magnético constante a lo largo del eje de la guía; si bien esto es cierta-
mente posible, no es de interés por el momento.
En resumen, my n deben restringirse a .m >0y «^0, pero sin que m
= n - 0. Por lo tanto, un modo de propagación ET dado puede caracterizarse
por el par de enteros m y n asignados independientemente. Es costumbre
describirlo como el modo ET
m n
Puesto que el caso general ET es bastantes complicado, se considera en
detalle únicamente un caso particular simple.
Guías rectangulares
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Ejemplo
Modo ETi o • Supóngase que a A b y encuéntrese el modo con el k más pequeño y, por lo tanto, la máxima longitud de onda de corte Xr. De (26-43) se aprecia que esto corresponde a m = 1 y n = 0, es decir, al modo ET10. En este caso, kcl0 de modo que = 2a y coc= itv¡a, según (26-9) y 26-11). Por lo tanto, la longitud de onda de corte es dos veces la dimensión más grande la sección; en otras palabras, no es posible “comprimir” una onda “más grande” en la guía. La constante de propagación de la guía se encuentra a partir de (26-44) y (26-8), resultando
(26-52)
Las amplitudes del campo que se obtienen de (26-45) a (26-50) son
= 7/ocos^~^
(26-53)
(26-54)
(26-55)
mientras que & x = & z = 0 y y = 0. Al sustituirlas en (26-14) y (26-15), suponiendo por simplicidad que es real y tomando después las partes reales de las expresiones que resultan, se encuentra que las únicas componentes de campo no son iguales a cero son
Ey = —	jsen^ ^SQn(kgz — cot)
Hx = Hokg( ~ )sen( ™ )sen( V “
Hz = HqCos ( ™ )cos(£gz - coi)
(26-56)
(26-57)
(26-58)
Se puede observar que los valores de Ey son independientes de y; por tanto, los campos eléctricos son líneas rectas de magnitud constante para un valor dado de x, pero la magnitud sí varía con x y es máxima en el centro, donde x = y2 a. Las líneas de Hx son rectas con su valor máximo en el centro también. Por otro lado, el valor de Hz es igual a cero en el centroy tiene signos opuestos a ambos lados del mismo. La figura
25- 3 muestra Ey y Hx sobre el plano xy en un instante dado, suponiéndose también que Hq y sen (kg z - cot) son positivos ambos. Las líneas llenas indican Ey, mientras que/fx está representado por líneas punteadas; las flechas en la parte inferior de la figura indican la variación de Hx con la posición. Si se toma una posición z donde también cos (kg z - c¿t) sea positivo, como se aprecia en la figura, las líneas de Hz según (26-58), se dirigirán hacia afuera de la página en la mitad izquierdade la figura y hacia la página en su mitad derecha, puesto que el eje z se dirige hacia afuera de la página. A una distancia igual a media longitud kgz - cot = (27r/X^)(X.g/2) = ir , de modo que las direcciones de todos los campos que se indican en la figura 26-3 se habrán invertido, como se aprecia en (26-56) a (26-58).
Puesto que tanto Ey como Hx son proporcionales a sen(kgz — cot), mientras que Hz varía según cos(fcgz — coi), Ey y Hx serán iguales a cero cuando \HZ | sea máxima. De ma-
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Campos en regiones confinadas
Figura 26-3 Campos de un modo ETi0 en la sección, en un instante dado.
ñera similar, iFy I y \HX I serán máximas cuando Hz = 0. La figura 26-4 muestra también las relaciones entre los campos en un momento dado, presentando un corte de la guía paralelo al plano xz; el eje y se dirige hacia afuera de la página. En este caso las líneas punteadas representan el vector H resultante en este plano; la situación de la figura 26-3 correspondería aquí a un plano perpendicular al eje z, en la posición indicada por las flechas A, por ejemplo.
Dado que estos campos son en realidad ondas, su comportamiento en el tiempo puede visualizarse si se imagina un observador en una posición dada y las imágenes que ve se mueven en la dirección positiva de z. Se deberán mover con la velocidad de la guía dada en (26-52) como
g kg p — (Trr/uw)2^2
(26-59)
de la que se sigue que v > v, que es la velocidad de una onda plana en el material del interior de la guía; para el vacío se tendría que vg > c.
Figura 26-4 Campos de un modo ETi0 en el plano xz, en un instante dado.
Ondas EMT
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Las ecuaciones 26-57 y 26-58 demuestran que, por lo general, Hx y Hz tendrán amplitudes diferentes para una posición dada en la guía. Si se recuerda lo visto en la sección 24-7, se ve que esto significa que el campo magnético total H está polarizado elípticamente cuando se le considera una función del tiempo.
Puesto que existen componentes normales de D y componentes tangenciales de H que no son iguales a cero, deben existir ciertas cargas y corrientes superficiales en las paredes de la guía, de acuerdo con (26-2), que pueden calcularse a partir de estas relaciones. Por ejemplo, sobre la caray =0, la normal exterior del conductor es n = y, encontrándose que
oy = ñ • D = t.Ey — — Houiá£^ ~ jsen^ jsen( kgz —	(26-60)
mientras que en la cara y — b, donde n = -y, o^. tiene el mismo valor, pero con signo opuesto. No existen cargas superficiales sobre las caras perpendiculares al eje x porque Ex — 0. De (26-60) se desprende que o? oscila con el tiempo y que, en particular, su signo cambia. Desde el punto de vista físico, esto ocurre debido al flujo de cargas libres sobre las superficies, es decir, la existencia de corrientes superficiales. Estas pueden calcularse de manera parecida a partir de
Kf = ñ X H y (26-57) y (26-58).
Ejemplo
Modos MT. En este caso se toma 7CZ = 0 y &z igual a la expresión de 'P, dada en (26-33); así, (26-32) vuelve a ser aplicable. Este caso es una realidad más simple porque &z puede ser una componente tangencial, desapareciendo en x = 0 y a en y = 0 y b. Siguiendo el mismo procedimiento que antes, se observa que ahora se debe tener que C2 = C4 = 0, mientras que kr, k2 y kc están otra vez dadas por (26-42) y (26-43). Así, los modos ET y MT de una guía de ondas rectangular tienen el mismo conjunto de longitudes de onda de corte; las configuraciones de los campos deben ser diferentes, sin embargo. Tomando Ci C3 = Eo, (26-33) es el punto de partida para cálculo del modo MT, siendo éste
que puede ahora utilizarse para calcular el resto de las amplitudes de campo por medio de (26-25) a (26-28). Nótese que m = n = 0 hace que &z y todos los demás componentes de los campos sean iguales a cero; por lo tanto, no existe un modo MT^. Además, si m = 0 ó n = 0, &z = 0 y todos los campos son también iguales a cero. Así, resulta que no es posible tener modos MT ó MT qn, a diferencia del caso ET.
Desde luego, es posible que existan guias de onda cuyas secciones no sean rectangulares; por ejemplo, podría haber circulares. Tales casos pueden ser estudiados de la misma manera sistemática que se ha utilizado aquí para el caso rectangular. Los detalles matemáticos son diferentes (y por lo general más difíciles), pero los principios involucrados son los mismos exactamente. Sin embargo, aquí no se desarrolla ningún otro tipo de guía aunque sí se considerará un tipo distinto de modo.