NotasTema6_0 - Axel

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Tema 6: Solución numérica de ecuaciones en derivadas parciales
M. I. Luis Ángel Santamaŕıa Padilla
Facultad de Ingenieŕıa, UNAM
1 Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
2 Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
3 Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Objetivo tema 6
El estudiante aplicará el método de diferencias finitas para obtener la solución aproximada de ecuaciones en
derivadas parciales
Las EDP son muy importantes en aplicaciones
como
Mecánica de fluidos
Transferencia de calor
Teoŕıa electromagnética
En general es muy dif́ıcil encontrar una solución
anaĺıtica para EDP
Comúnmente se resuelven numéricamente
Se presentarán métodos numéricos para resolver
algunos problemas fundamentales en ingenieŕıa
Ecuación de Laplace
Ecuación de calor
Ecuación de onda
Introducción
Una EDP es una ecuación diferencial con dos o más variables independientes
Una EDP es de orden n si la mayor derivada en la ecuación diferencial es de orden n.
Una EDP es lineal, śı la variable dependiente y sus derivadas parciales son de primer grado
Si cada término de la EDP involucra únicamente a la variable dependiente y sus derivadas, entonces será
homogénea. En caso contrario es no homogénea.
Suponga u = u(x, y), se usará la siguiente notación para indicar las derivadas parciales
ux =
∂u
∂x
; uxx =
∂2u
∂x2
; uxy =
∂2u
∂y∂x
;
La dimensión de una EDP se determina por el número de coordenadas espaciales, (no se considera el tiempo
t). Por ejemplo:
Una EDP con u = u(x, y, z) es de dimensión tres
Una EDP con u = u(x, t) es de dimensión uno
Clasificación
Considere una clase de EDP lineal de segundo orden que aparece en la forma
auxx + 2buxy + cuyy = f(x, y, u, ux, uy)
La EDP es
Eĺıptica si b2 − ac < 0
Ec. de Poisson uxx + uyy = f(x, y)
Ec. de Laplace 2D uxx + uyy = 0
Parabólica si b2 − ac = 0
Ec. de calor 2D ut = α2uxx
Hiperbólica si b2 − ac > 0
Ec. de onda utt = α2uxx
En aplicaciones
Cuando una EDP es eĺıptica, se resuelve un
problema con valores en la frontera
Cuando la EDP es parabólica o hiperbólica, se
resuelve un problema de valor inicial y en las
fronteras
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas. Problema de Dirichlet
Se considerará la solución de la ecuación de Poisson
en dos dimensiones
uxx + uyy = f(x, y)
En la región rectángular donde la solución u(x, y)
está preescrita en las fronteras
La idea es definir un tamaño de malla h y construir
una rejjilla dibujando ĺıneas verticales y horizontales
con distancia h
Estas ĺıneas son llamadas ĺıneas de rejilla
Los puntos donde intersectan son los puntos de la
malla
Los puntos de malla que están en las fronteras, son
llamados puntos de frontera
Los puntos internos son llamados puntos interiores
de la malla
El objetivo es aproximar la solución de u en los
puntos interiores de la malla
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas. Problema de Dirichlet
Denote un punto t́ıpico de la malla (x, y) por (i, j)
El valor de u en el punto se denota por uij
El valor de la funcón f en el punto será fij
Aproximando las derivadas parciales de segundo orden con una fórmula de diferencias centradas con tres
puntos se tiene
ui−1,j − 2uij + ui+1,j
h2︸ ︷︷ ︸
uxx
+
ui,j−1 − 2uij + ui,j+1
h2︸ ︷︷ ︸
uyy
= fij
Se simplifica a
ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4ui,j = h2fij
Que es llamada la ecuación en diferencias de Poisson, la cual proveé una relación entre la solución de u en
(i, j) y cuatro puntos adyacentes
Para la ecuación en diferencias de Laplace se tendrá
ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4ui,j = 0
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas. Problema de Dirichlet
La ecuación en diferencias se aplica en cada punto
interior de la malla
Se obtendrá un sistema de ecuaciones lineales, cuyo
tamaño será igual al número de puntos internos en
la malla
Si hay n puntos interiores en la región, el sistema
lineal tendrá la forma Au = b
An×n es la matriz de coeficientes
un×1 es el vector de ingógnitas
bn×1 es un vector conocido
Dada la naturaleza del problema, la matriz An×n
tendrá a lo más cinco elementos distintos de cero
en cada renglón.
Considere la molécula de cinco puntos, cuando al
menos uno de los puntos adyacentes al punto ui,j
es un un punto de frontera, dichos valor será
conocido por la condición de frontera del problema
y se moverá al lado derecho de la ecuación en
diferencias para formar parte de b
Se requiere un número grande de puntos en la
malla para tener una buena exactitud, causando
que la matriz A se vuelva muy grande y con
muchos elementos igual a cero (matriz dispersa)
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
Ejemplo
Considere el problema de Dirichlet mostrado en la figura
Tres lados poseen una temperatura cero
El borde inferior tiene un perfil de temperatura
sin(πx/2)
Utilizando una malla h = 0.5 construya una rejilla y
encuentre los valores aproximados de los puntos
internos de la malla.
Se tienen tres puntos de malla interior y ocho
puntos de frontera
La ecuación en diferencias se aplicará tres veces,
una para cada punto interior
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
Ejemplo
Recuerde la ecuación en diferencias de Laplace
ui−1,j + ui+1,j + ui,j−1 + ui,j+1 − 4ui,j = 0
Sustituyendo
(i = 1, j = 1) : u01 + u21 + u10 + u12 − 4u11 = 0
(i = 2, j = 1) : u11 + u31 + u20 + u22 − 4u21 = 0
(i = 3, j = 1) : u21 + u41 + u30 + u32 − 4u31 = 0
Sabemos que los puntos en las fronteras son
u12 = u22 = u32 = u01 = u41 = 0
u10 = sin
(
0.5π
2
)
= 0.7071
u20 = sin
(π
2
)
= 1
u30 = sin
(
1.5π
2
)
= 0.7071
Sustituyendo los valores anteriores en el sistema de
ecuaciones se obtiene
−4u11 + u21 = −0.7071
u11 − 4u21 + u31 = −1
u21 − 4u31 = −0.7071
En forma matricial resulta en−4 1 01 −4 1
0 1 −4
u11u21
u31
 =
−0.7071−1
−0.7071

La solución del sistema resulta en
u11 = 0.2735
u21 = 0.3867
u31 = 0.2735
Ecuaciones diferenciales parciales eĺılpticas
Caso mostrado en notas Caso con h = 0.05
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Se presentará el método de diferencias finitas
Para esta clase de ecuaciones, la solución numérica por el método de diferencias finitas, no garantiza
convergencia a pesar del tamaño de malla
La convergencia se puede asegurar, siempre y cuando se impongan condiciones adicionales
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Método de diferencias finitas para EDP parabólicas
La ecuación de calor unidimensional
ut = α
2uxx
es el modelo más simple de una EDP parabólica
Considere un alambre de longitud L con sus
extremos asilados y a una temperatura cero, sujeto
a la condición inicial a lo largo del alambre f(x)
El problema de valores iniciales y de frontera es
ut = α
2uxx, 0 ≤ x ≤ L; t > 0
u(0, t) = 0 = u(L, t)
u(x, 0) = f(x)
Se definirá una rejilla de tamaño h en la dirección x
y de tamaño k en la dirección t
Las derivadas parciales se reemplazarán por las
fórmulas de diferencias centradas con tres puntos
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Método de diferencias finitas para EDP parabólicas
Para el término ut se usarán diferencias hacia
adelante con dos puntos, ya que la variable t sólo
puede progresar en la dirección positiva del eje t.
Partiendo de la ecuación ut = α
2uxx y sustituyendo
las fórmulas de diferencias finitas se obtiene
1
k
(ui,j+1 − uij) =
α2
h2
(ui−1,j − 2ui,j + ui‘1,j)
Observando la estructura de molécula, conociendo
ui−1,j , ui,j y ui+1,j , podemos encontrar a ui,j+1
que se encuentra en un nivel superior en el eje t
como
ui,j+1 =
[
1− 2kα
2
h2
]
ui,j +
kα2
h2
(ui−1,j + ui+1,j)
que se simplifica a
ui,j+1 = [1− 2r]ui,j + r (ui−1,j + ui+1,j)
r =
kα2
h2
El método será estable y convergerá si
r =
kα2
h2
≤ 1
2
Ecuacionesdiferenciales parciales parabólicas
Ejemplo
Considere un alambre de longitud L = 1 aislado en los
extremos con α = 0.5, los extremos se mantienen a una
temperatura 0, sujeto a la condición inicial
f(x) = 10 sin(πx)
Calcule los valores aproximados de temperatura u(x, t)
considerando 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 0.5 en los puntos de
malla generados por h = 0.25 y k = 0.1.
Solución.
Primero se verifica
r =
kα2
h2
=
(0.1)(0.5)2
(0.25)2
= 0.4 <
1
2
Se utilizará la ecuación
ui,j+1 = [1− 2r]ui,j + r (ui−1,j + ui+1,j)
Que se reduce a
ui,j+1 = 0.2uij + 0.4 (ui−1,j + ui+1,j)
Para u10, u20 y u30
u10 = 10 sin(0.25π) = 7.0711
u20 = 10 sin(0.5π) = 10
u30 = 10 sin(0.75π) = 7.0711
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Ejemplo
ui,j+1 = 0.2uij + 0.4 (ui−1,j + ui+1,j)
Para u11, i = 1, j = 0
u1,1 = 0.2u10 + 0.4 (u00 + u20)
= 0.2(7.0711) + 0.4(0 + 10) = 5.4142
Para u21, i = 2, j = 0
u2,1 = 0.2u20 + 0.4 (u10 + u30)
= 0.2(10) + 0.4(7.0711 + 7.0711) = 7.0569
Para u31, i = 3, j = 0
u3,1 = 0.2u30 + 0.4 (u20 + u40)
= 0.2(7.0711) + 0.4(10 + 0) = 5.4142
Se sigue el mismo procedimiento para los renglones
siguientes. Si se grafican dichos resultados se obtiene
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
La ecuación unidimensional de onda es la EDP
hiperbólica más simple
utt = α
2uxx
Considere una cuerda elástica de longitud L y con
los extremos fijos
Suponiendo un desplazamiento y velocidad iniciales
dados por f(x) y g(x), respectivamente, la
vibración libre de la cuerda está determinada por el
problema de valores iniciales y en la frontera
utt = α
2uxx; 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
ut(x, 0) = g(x)
Se generará una malla de tamaño h en la dirección
x y de tamaño k en la dirección t
Los términos uxx y utt de la ecuación de onda se
reemplazarán por la aproximación de diferencias
centradas con tres puntos
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Recuerde la ecuación de onda
utt = α
2uxx
La ecuación de onda queda de la forma
1
k2
(ui,j−1 − 2uij + ui,j+1) =
α2
h2
(ui−1,j − 2uij + ui+1,j)
Multiplicando por k2, definiendo r̃ =
(
kα
h
)2
y resolviendo para ui,j+1
ui,j+1 = −ui,j−1 + 2(1− r̃)uij + r̃(ui−1,j + ui+1,j)
La ecuación anterior es conocida como la ecuación unidimensional de onda en diferencias
La ecuación es estable y converge si r̃ ≤ 1
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (inicio del procedimiento)
Se aplica la ecuación de onda en diferencias a lo largo de j = 0
ui,1 = ui,−1 + 2(1− r̃)ui,0 + r̃(ui−1,0 + ui+1,0)
Las cantidades ui,0, ui−1,0 y ui+1,0 están
disponibles de la función de desplazamiento inicial,
pero ui,−1 es desconocida.
Para encontrar ui,−1 se usa la información de la
velocidad inicial ut(x, 0) = g(x)
Sea xi = ih y gi = g(xi). Usando la fórmula de
diferencias centradas para ut(xi, 0)
ui,1 − ui,−1
2k
= gi
Se resuelve para ui,−1 y se obtiene
ui,−1 = ui,1 − 2kgi
Se sustituye en la ecuación que define ui,1 y se
obtiene
ui,1 = (1− r̃)ui,0 +
1
2
r̃(ui−1,0 + ui+1,0) + kgi
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Implementación de la solución de la ecuación unidimensional de onda
En resumen, la aproximación de la ecuación unidimensional de onda en diferencias se implementa de la siguiente
manera
Utilizar los valores del desplazamiento y velocidad iniciales para calcular ui,1
ui,1 = (1− r̃)ui,0 +
1
2
r̃(ui−1,0 + ui+1,0) + kgi
Con esto se obtienen los valores en el primer paso de tiempo, j = 1
Posterioremente se aplica la ecuación en diferencias para j ≥ 1
ui,j+1 = −ui,j−1 + 2(1− r̃)uij + r̃(ui−1,j + ui+1,j)
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Ejemplo
Considere una cuerda elástica de longitud L = 2 y
α = 1, con los extremos fijos. Suponga que la cuerda
está sujeta al desplazamiento inicial f(x) = 5 sin
(
πx
2
)
y
con velocidad inicial g(x) = 0.
Usando h = 0.4 = k encuentre el desplazamiento u(x, t)
de la cuerda para 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ t ≤ 2.
Solución.
Primero se calcula r̃
r̃ =
(
kα
h
)2
=
(
(0.4)(1)
(0.4)
)2
= 1
Para calcular los valores de ui,1
ui,1 = (1− r̃)ui,0 +
1
2
r̃(ui−1,0 + ui+1,0) + kgi
en el nivel j = 1, que corresponde a t = 0.4, se
considera gi = 0, r̃ = 1
Sustituyendo se obtiene
ui,1 = (1− 1)ui,0 +
1
2
(1)(ui−1,0 + ui+1,0)
+ (0.4)(0)
ui,1 =
1
2
(1)(ui−1,0 + ui+1,0); i = 1, 2, 3, 4
Para i = 1, 2, 3, 4
u11 =
1
2
(u00 + u20)
u21 =
1
2
(u10 + u30)
u31 =
1
2
(u20 + u40)
u41 =
1
2
(u30 + u50)
Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
Ejemplo
De la condición de frontera f(x) = 5 sin
(
πx
2
)
, se
determinan los puntos u00, u10, u20, u30, u40, u50
u00 = 5 sin
(
π(0)
2
)
= 0
u10 = 5 sin
(
π(0.4)
2
)
= 2.9389
u20 = 5 sin
(
π(0.8)
2
)
= 4.7553
u30 = 5 sin
(
π(1.2)
2
)
= 4.7553
u40 = 5 sin
(
π(1.6)
2
)
= 2.9389
u50 = 5 sin
(
π(2)
2
)
= 0
Sustituyendo en expresiones para u11, u21, u31, u41
u11 =
1
2
(u00 + u20) =
1
2
(0 + 4.7553)
u11 = 2.3777
u21 =
1
2
(u10 + u30) =
1
2
(2.9389 + 4.7553)
u21 = 3.8471
u31 =
1
2
(u20 + u40) =
1
2
(4.7553 + 2.9389)
u31 = 3.8471
u41 =
1
2
(u30 + u50) =
1
2
(4.7553 + 0)
u41 = 2.3777
	Ecuaciones diferenciales parciales elílpticas
	Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
	Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas