Propiedadesdeterminantes - Axel Sánchez Nazario

Vista previa del material en texto

Propiedades de los Determinantes
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
12 de enero de 2011
Índice
12.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
12.2. La adjunta de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
12.3. Resultado clave 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
12.4. El determinante: medida de invertibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
12.5. Determinate y la unicidad de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
12.6. Determinantes y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
12.7. Método práctico de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
12.8. Ejemplo del método práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
12.1. Propiedades
En esta sección se hace una lista de las propiedades más importantes de los determinantes. Para hacer una
ilustración de las mismas, ejemplificaremos con una matriz 3×3 pero aplican para matrices de cualquier orden.
1. Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:
|AT | = |A| (1)
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de
cero, entonces |B| = k |A|. ∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
kb1 kb2 kb3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = k
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 ka3
b1 b2 kb3
c1 c2 kc3
∣∣∣∣∣∣ = k
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cualesquiera |B| = −|A|.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣
b1 b2 b3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣
a3 a2 a1
b3 b2 b1
c3 c2 c1
∣∣∣∣∣∣
4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo de un renglón (o columna) a otro renglón (o columna),
entonces |B| = |A|. ∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
ka1 + b1 ka2 + b2 ka3 + b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 a2 ka2 + a3
b1 b2 kb2 + b3
c1 c2 kc2 + c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la
diagonal principal. ∣∣∣∣∣∣
a11 .. ..
0 a22 ..
0 0 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11 a22 a33
6. Si A tiene un renglón (o columna) de ceros, entonces |A| = 0.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
0 0 0
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 0
b1 b2 0
c1 c2 0
∣∣∣∣∣∣ = 0
7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces |A| = 0.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a1
b1 b2 b1
c1 c2 c1
∣∣∣∣∣∣ = 0
8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son múltiplos entre śı, entonces |A| = 0.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
ka1 ka2 ka3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 ka1
b1 b2 kb1
c1 c2 kc1
∣∣∣∣∣∣ = 0
2
9. Si A es cualquier matriz de n× n y k es cualquier escalar, entonces
|kA| = kn |A|
10. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.
|AB| = |A| |B|
|A1 A2 · · ·Am| = |A1| |A2| · · · |A3|
De las propiedades anteriores se deduce que:
Teorema
Si A es invertible, entonces
|A−1| = 1
|A|
Demostración
Como AA−1 = I, tomando determinantes y aprovechando que el determinante de un producto es el producto
de los determinantes se tiene
|A| ·
∣∣A−1∣∣ = 1
de donde
∣∣A−1∣∣ = 1/ |A| �
Ejemplo 12.1
Obtenga el determinante de cada matriz:
1. A =
 6 −5 −10 0 0
−2 −2 4
 2. B =
 1 1 43 3 2
−6 −6 6

3. C =
 −6 1 65 5 −1
−10 −10 2
 4. D =
 −2 6 60 2 −4
0 0 −3

Respuesta:
|A| = 0, pues tiene un renglón de ceros.
|B| = 0, pues tiene una columna repetida (la primera y la segunda).
|C| = 0, pues un renglón es un múltiplo de otro (el 3 es -2 por el 2).
|D| = (−2)(2)(−3) = 12, pues es una matriz triangular.
Ejemplo 12.2
Si A y B son matrices 2× 2 tales que |A| = 4 y |B| = −1, calcule los determinantes de las matrices:
1. BA
2. AB
3. A BT
4. AT B
3
5. AT B A−1
6. −5 A
Respuesta:
1) |B A| = |B| · |A| = (−1)(4) = −4,
2) |A B| = |A| · |B| = −4,
3) |ABT | = |A| · |BT | = |A| · |B| = (4)(−1) = −4
4) |ATB| = |AT | · |B| = |A| · |B| = −4
5) |AT B A−1| = |AT | · |B| · |A−1| = (4)(−1)(1/4) = −1
6) | − 5A| = (−5)2 · |A| = (25)(4) = 100 �
12.2. La adjunta de una matriz cuadrada
Definición 12.1
Sea A = [aij ] una matriz n×n y sea Cij el cofactor de aij . A la matriz n×n cuyo elemento (i, j) es el cofactor
Cij se le llama la matriz de cofactores de A. A la transpuesta de la matriz de cofactores de A se le llama la
adjunta de A y se le simboliza por adj(A):
adj(A) =

C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
...
...
. . .
...
Cn1 Cn2 · · · Cnn

T
(2)
Ejemplo 12.3
Determine la matriz adjunta de la matriz
A =
 2 0 −11 −2 1
−3 1 −3

Solución
Calculemos todos los cofactores posibles:
C11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ −2 11 −3
∣∣∣∣ = 5, C12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 1 1−3 −3
∣∣∣∣ = 0
C13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ 1 −2−3 1
∣∣∣∣ = −5, C21 = (−1)2+1 ∣∣∣∣ 0 −11 −3
∣∣∣∣ = −1
C22 = (−1)2+2
∣∣∣∣ 2 −1−3 −3
∣∣∣∣ = −9, C23 = (−1)2+3 ∣∣∣∣ 2 0−3 1
∣∣∣∣ = −2
C31 = (−1)3+1
∣∣∣∣ 0 −1−2 1
∣∣∣∣ = −2, C32 = (−1)3+2 ∣∣∣∣ 2 −11 1
∣∣∣∣ = −3
C33 = (−1)3+3
∣∣∣∣ 2 01 −2
∣∣∣∣ = −4
Por tanto
adj(A) =
 5 0 −5−1 −9 −2
−2 −3 −4
T =
 5 −1 −20 −9 −3
−5 −2 −4
 �
4
12.3. Resultado clave 1
El siguiente resultado es la clave para ver cómo es que el determinante de una matriz cuadrada es su medida
de invertibilidad:
Teorema
Sea A una matriz n× n, entonces:
A · adj(A) = |A| In (3)
Demostración
Considere el producto B = A · adj(A). El elemento (i, j) de B es:
bij = (renglón i de A) · (columna j de adj(A))
= [ai1 ai2 · · · ain]

Cj1
Cj2
...
Cjn

= ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn
Existen dos casos sobre i y j:
i = j: en este caso bij coincide con la expansión de |A| en el renglón i.
i 6= j: en este caso bij coincide con la expansión en el renglón j de una matriz donde el renglón i de A ha
sido reemplazado por renglón j. Es decir, el determinante de una matriz que tiene un renglón repetido.
Por tanto, tal determinante debe ser cero y aśı para i 6= j se tiene bij = 0.
Por tanto,
bij =
{
|A| si i = j
0 si i 6= j
Aśı
A · adj(A) = |A| In�
12.4. El determinante: medida de invertibilidad
Habiendo probado el resultado anterior, se deduce un resultado clave sobre el determinante de una matriz
cuadrada:
Teorema
Una matriz A es invertible si y sólo si |A| 6= 0.
Demostración
Si |A| 6= 0, por el teorema anterior A · adj(A) = |A| In. Haciendo álgebra con la expresión tenemos:
A ·
(
1
|A|
adj(A)
)
= In
de donde se deduce que A es invertible y que A−1 = 1|A|adj(A).
Si A es invertible, entonces existe A−1 tal que AA−1 = I. Tomando determinantes se tiene |A| · |A−1| =
|I| = 1. Por tanto, |A| no puede ser cero �
5
12.5. Determinate y la unicidad de un sistema
El siguiente resultado indica cómo se puede relacionar el determinante de la matriz de un sistema de
ecuaciones cuadrado con el determinante de la matriz de coeficientes:
Teorema
El sistema n× n consistente Ax = b: tiene infinitas soluciones si y sólo si |A| = 0.
En particular: el sistema homogéneo cuadrado Ax = 0 tiene una solución distinta de 0 si y sólo si
|A| = 0.
Demostración
Ax = b tiene infinitas soluciones ssi las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente ssi al
aplicar rref a A queda al menos una variable libre ssi al aplicar rref a A quedan menos de n pivotes ssi A no
es invertible ssi |A| = 0 �
12.6. Determinantes y dependencia lineal
De la misma argumentación de la demostración del teorema clave 3 se deduce un método rápido para saber
si un conjunto de vectores puede ser linealmente dependiente o no:
Teorema
Las columnas de una matriz n × n A forman un conjunto linealmente dependiente si y sólo si
|A| = 0. En particular, un conjunto de n vectores en Rn eslinealmente dependiente si y sólo si al
formar con ellos una matriz y al obtener el determinante de esta se obtiene cero.
12.7. Método práctico de cálculo
En la práctica para calcular el determinante de una matriz se utiliza variante del el método de Gauss-
Jordan ( qué curioso,¿verdad?) La idea se basa en el siguiente hecho: Si se aplica una operación elemental a
una matriz A:
A
op−→ B
el determinante de A cambia de la siguiente manera:
1) Si Op es del tipo Ri ↔ Rj :
|A| = −|B|
Recuerde la regla: Un cambio de renglones cambia el signo del determinante .
2) Si Op es del tipo Ri ← cRi entonces
|A| = 1
c
|B|
3) Si Op es del tipo Ri ← Ri + cRj entonces
det(A) = det(B)
Recuerde la regla: Las operaciones de eliminación no cambian el determinante.
El método consiste en aplicar a la matriz sólo las operaciones de intercambio y eliminación para convertir la
matriz original en una matriz escalonada. El determinante de la última matriz será simplemente el producto
de los elementos de la diagonal principal. Cada cambio de renglón implicará un cambio en el signo.
6
12.8. Ejemplo del método práctico
Veamos algunos ejemplos que ilustran el método práctico del cálculo de un determinante utilizando como
referencia el proceso de escalonamiento.
Ejemplo 12.4
Obtenga el determinante de la matriz
A =
 0 0 41 2 3
−5 −13 −12

Solución
Apliquemos el algoritmo de Eliminación Gaussiana:
A0 = A =
 0 0 41 2 3
−5 −13 −12
 R1↔R2−−−−−→ A1 =
 1 2 30 0 4
−5 −13 −12

Aśı |A| = − |A1|. Continuando con el algoritmo de Gauss:
A1 =
 1 2 30 0 4
−5 −13 −12
 R3←R3+5R1−−−−−−−−→ A2 =
 1 2 30 0 4
0 −3 3

Aśı |A| = − |A1| = − |A2|. Asimismo:
A2 =
 1 2 30 0 4
0 −3 3
 R2↔R3−−−−−→ A3 =
 1 2 30 −3 3
0 0 4

Aśı |A| = − |A2| = − (−1) |A3| = |A3|. Como
|A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
0 −3 3
0 0 4
∣∣∣∣∣∣ = (1) (−3) (4) = −12
tenemos |A| = −12 �
Ejemplo 12.5
Calcule |A|, si A con las operaciones:
1. R1 ↔ R4(intercambio)
2. R1 ← −6R1(escalamiento)
3. R3 ← R3 − 2R1(eliminación)
4. R2 ↔ R3(intercambio)
5. R4 ← R4 − 4R2(eliminación)
se convierte en la matriz escalonada:
B =

5 5 −4 −5
0 −5 4 −5
0 0 3 4
0 0 0 −2

Solución Se tiene:
|A| = (−1) ·
(
1
−6
)
· (1) · (−1) · (1) · |B| = −25�
7
	12.1 Propiedades
	12.2 La adjunta de una matriz cuadrada
	12.3 Resultado clave 1
	12.4 El determinante: medida de invertibilidad
	12.5 Determinate y la unicidad de un sistema
	12.6 Determinantes y dependencia lineal
	12.7 Método práctico de cálculo
	12.8 Ejemplo del método práctico