Álgebra_6_Wenceslao_Reséndiz_Aguilar - Wenceslao Reséndiz

Vista previa del material en texto

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
CEROS DE FUNICONES POLINOMIALES Y MULTIPLICIDAD 
ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
 
WENCESLAO RESÉDIZ AGUILAR 
Ceros de una función polinomial 
 
Los valores de la variable para los cuales la función polinomial es igual a cero 𝑝(𝑥) = 0 se les llaman raíces 
de un polinomio y se representan de la forma 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, …, 𝑟𝑛 
 
Estos valores tienen por coordenadas (𝑟1, 0) para cada una de las raíces reales del polinomio. Y se les llama 
ceros de la función 
 
La mayoría de las funciones polinomiales tienen 𝑛 ceros reales 
 
Actividad 1. Gráficas y tablas de variación para obtener los ceros de una función polinomial 
 
Considere la siguiente función polinomial 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 
 Al dibujar su gráfica podemos observar aproximadamente en que valores la función tiene ceros 
 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 
 
La gráfica nos muestra que las raíces del polinomio son 𝑟1 = −2, 𝑟2 = 2 𝑦 𝑟3 = 3 que corresponden a los 
puntos de coordenadas (−2,0), (2,0) 𝑦 (3,0) esto también se puede verificar con la siguiente tabla de 
variación: 
 
 
x p(x) 
-5 -168 
-3 -30 
-2 0 
0 12 
1 6 
2 0 
3 0 
4 12 
Ejercicio 
 
Dada la función polinomial 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 9𝑥3 + 8𝑥2 − 9𝑥 − 10. 
 
a) Complete la siguiente tabla de variación 
 
x -10 -5 -2.5 -2 -1 -0.5 1 2 2.5 5 10 
p(x) 11880 360 0 0 0 -4.5 0 108 236.25 2520 29700 
 
 
b) Determine las raíces de la función polinomial y las coordenadas de los ceros correspondientes 
R: Las raíces de la función polinomial están cuando x= --2.5 , --2 , --1 , 1. Las coordenadas serían las 
siguientes (--2.5,0) (--2,0) (--1,0) (1,0) 
 
 
 
c) Dibuje en GeoGebra la función polinomial y marque en ella los ceros correspondientes 
 
 Ceros de la función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 2. Obtención de las raíces o ceros por factorización 
 
Para obtener los ceros de una función polinomial se puede obtener elaborando su gráfica, haciendo una tabla 
de variación, factorizando y con otros teoremas que posteriormente veremos 
 
1. Factorizar las siguientes funciones polinomiales y obtener los ceros correspondientes 
 
𝒂) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 
 
Factorizando 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 4) → −𝑥 = 0 𝑦 𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 4 
 
Los ceros de la función son (0,0) y (4, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒃) 𝒑(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 
 
Factorizando 𝑝(𝑥) = −𝑥(𝑥 + 6) → −𝑥 = 0 𝑦 𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = −6 
 
Los ceros de la función son (0,0) y (-6, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒄) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 
 
Factorizando 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) → 𝑥 − 3 = 0 𝑦 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −1 
 
Los ceros de la función son (3,0) y (-1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒅) 𝒑(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟓)(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗) 
 
Se puede observar que x²-6x+9 es un TCP entonces su factorización es: (𝑥 − 3)2 y 
 
𝑝(𝑥) = (3𝑥 − 5)(𝑥 − 3)2 → 3𝑥 − 5 = 0 𝑦 𝑥 − 3 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 =
5
3
 𝑦 𝑥 = 3 
 
𝐶𝑒𝑟𝑜𝑠 (
5
3
, 0) 𝑦 (3, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
𝒆) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 
Factorizando 𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥2 + 3𝑥 + 2) → 𝑥 = 0 𝑦 ( 𝑥 + 2)(𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 = 0 𝑥 = −2 𝑥 = −1 
 
Los ceros de la función son (0,0) y (-2, 0) (-1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒 
Factorizando 𝑝(𝑥) = (𝑥3 + 𝑥2) − (4𝑥 + 4) → 𝑥2( 𝑥 + 1) − 4(𝑥 + 1) → (𝑥2 − 4)(𝑥 + 1) → 
𝑥 = −1 𝑥 = ±√4 → 𝑥 = −1 𝑥 = 2 𝑥 = −2 
 
Los ceros de la función son (-2,0) (-1,0) (2,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒈) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 
Factorizando 𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥2 − 4𝑥 + 3) → 𝑥 = 0 𝑦 (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) → 𝑥 = 0 𝑥 = 1 𝑥 = 3 
 
Los ceros de la función son (0,0) (1,0) (3,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒉) 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 
 
Factorizando por agrupación de términos 
 
 𝑝(𝑥) = (𝑥3 − 2𝑥2) + (𝑥 − 2) → 𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 2) + (𝑥 − 2) → 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 1) 
 
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 − 2 = 0 𝑦 𝑥2 + 1 = 0 → 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = ±√−1 
 
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛: 𝑥 = 2, 𝑥 = 𝑖 𝑦 𝑥 = −𝑖 (2,0), (𝑖, 0) 𝑦 (−𝑖, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si te das cuenta en este problema el polinomio tiene una raíz real y una raíz compleja. En este curso no 
se dará una explicación gráfica de las variables imaginarias. 
 
 
Multiplicidad de una función polinomial 
 
Cuando un factor lineal aparece múltiples veces en la factorización de una función polinomial, eso le da al 
correspondiente cero su multiplicidad 
 
Por ejemplo en el polinomio 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)4(𝑥 − 4)2, el número 4 es un cero de multiplicidad 2 y el número 
1 es un cero de multiplicidad 4 
 
Para el polinomio 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 2)3(𝑥 − 3)2, el número 2 es un cero de multiplicidad 3 mientras que el 
número 3 es un cero de multiplicidad 2 
 
El polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 2) 
En este caso el número 1 es un cero de multiplicidad 3 y el número 2 es un cero de multiplicidad 1 
 
Ahora observa cada una de las gráficas de las funciones polinomiales y analiza como es el trazo de la gráfica 
justo donde hay un cero de multiplicidad impar y un cero de multiplicidad par 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como puedes observar cuando se tiene: 
 
a) Un cero de multiplicidad impar la gráfica cruza el eje x 
b) Un cero de multiplicidad par la gráfica no cruza el eje x solo lo toca en ese punto 
 
Actividad 3. Análisis de gráficas de funciones polinomiales, según su multiplicidad 
 
Contesta en cada situación lo que se te pide 
 
1. ¿En la gráfica de esta función, la multiplicidad del cero en x=6 es par o impar? 
 
 
 Multiplicidad impar 
 
 
 
 
 
 
 
2. ¿Cuál es la gráfica de 𝑝(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 3)? La gráfica B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. ¿Cuál es la gráfica de 𝑝(𝑥) = −𝑥3 + 4𝑥2 − 4𝑥? La gráfica D 
 
 
 
4. Dada la siguiente gráfica ¿Cuál es la posible expresión algebraica de la función polinomial? 
 
a) 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)3(𝑥 − 2)2 
 
b) 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3 
 
c) 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 2)2 
 
d) 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 2)3 
 
 
 
5. Dada la función polinomial 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 9𝑥2 ¿Cuál de las siguientes es su gráfica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfica correspondiente a 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 9𝑥2