Esfera uniformemente polarizada - Arturo Lara (1)

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Esfera uniformemente polarizada
Como un ejemplo del uso de cargas ligadas, considérese una esfera de radio a que posee una polarización P constante. Se toma el eje z en la dirección de P y el origen se coloca en el centro de la esfera, como se muestra en la figura 10-8; así, P = Pz. Dado queP es constante, ph = 0 debido a (10-10). En la figura se aprecia que la normal exterior del dieléctrico es n' = f, y por lo tanto debe existir una densidad superficial de carga ligada que puede calcularse por medio de (10-8) y (1-94), resultando
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(10-27)
Como puede observarse, ob no es constante sino que varía en magnitud y signo con el ángulo, tal como se indica en la figura 10-9. Por simplicidad, únicamente se encontrarán
el potencial y el campo eléctrico para puntos sobre el ejez positivo;en el próximo capítulo se resuelve este problema completamente por medio de un método muy diferente.
De la figura 10-10 se desprende que
R = (z2 + a2 — 2za cos#')1/2
(10-28)
y, por lo tanto, al utilizar (10-27), (1 -100) (con r - a) y (2-22), se encuentra que 0, en la forma (10-9), queda
r” PcosO'd9' dq'
■o Jo Jo
’2 — 2za eos#')1/2
■o
[idp,
2 — 2za[L)x/2
(10-29)
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Electrostática en presencia de materia
La integral se encuentra con la ayuda de las tablas y resulta
(z2 + a2 + z¿Zjii)(z2 4- a2 — 2z¿tyi)1/2
3z2¿z2	_j
= —[(z2 + a2)(|z + a| —|z —rz|) —z¿z(|z + íz| + |z —¿z|)l	(10-30)
3z a
existiendo dos casos a considerar.
1. Fuera de la esfera. Aquí z>a y \z ~a\=z- a-, también |z +a| = z +a, ya que tanto
Figura 10-10. Cálculo del potencial en un
punto sobre el eje.
a como z son positivos. Con estos valores se encuentra que (10-30) queda como 2¿z/3z2 y cuando se sustituye esto en (10-29) se encuentra que el potencial fuera de la esfera es
Pa3
y, por lo tanto,
(io-32)
Es más fácil entender estos resultados si se les expresa en función del momento dipolar total, p, de la esfera, el cual se calcula a partir de (10-2) y resulta ser
p = | tto^Pí	(10-33)
de manera que (10-31) y (10-32) pueden también escribirse como
Esfera uniformemente polarizada
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Al comparar estos resultados con (8-48) y (8-50), y recordando que Q - 0 y r = z para un punto de campo sobre el eje z, se observa que son justamente los de un dipolo puntual de momento total p. Esto lleva a sospechar que el campo en cualquier punto exteriores un campo dipolar que corresponde a este momento dipolar total; como se verá en el siguiente capítulo, esta sospecha resulta ser correcta.
2. Dentro de la esfera. Aquí z < a, de modo que \z - ¿z| = a - z; de nuevo, |z +a| = z +a. En este caso (10-30) queda como 2z/3a2, y cuando esto se introduce a (10-29) da el potencial dentro de la esfera como:
Pz
<¡•,«=4?	(10'36>
y, por lo tanto,
f°-37)
Nótese que el campo eléctrico es constante; esto puede provocarla sospecha de que E es constante en todo el interior de la esfera, lo que resulta ser cierto.
Uno de los ejercicios consiste en demostrar que se obtienen los mismos resultados para valores negativos de z, es decir, que Ez0 está siempre en la dirección positiva, y Ezi es constante y dado por (10-37) para todas las z. La figura 10-11 ilustra las direcciones que se encontraron de E; se pueden entender estas direcciones al ver la distribución de la fuente de carga en la figura 10-9.
E
Figura 10-11. Campos eléctricos sobre el eje z produci-
dos por una esfera uniformemente polarizada.
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Electrostática en presencia de materia
Un ejercicio que vale la pena considerar consiste en verificar que estos resultados estén en concordancia con las condiciones generales de frontera que ya se habían obtenido. De (10-31) y (10-36) se encuentra que el potencial es continuo en la superficie de la esfera, como se encontró en (9-29), es decir, cuando z - a, = Pa/3e0. Sobre el eje z, Ez es una componente normal, por lo que se puede encontrar que
E2n-E{n = Ezo(a)-E2l(a) =
2P\
3€o/
P _ ^(0)
eo €o
P \
3eo/
usando (10-32), (10-37) y (10-27). Este valor de la diferencia entre las componentes normales es justamente el que debería de ser según (9-26).