Inducción magnética - Arturo Lara

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Inducción magnética
La ley de Ampere es otro ejemplo de una ley de “acción a distancia.” Al principio del capítulo 3 se vio que la ley de Coulomb poseía una propiedad similar y se concluyó que sería de utilidad dividirla en dos partes, introduciendo el campo eléctrico como una especie de intermediario para describir la interacción entre cargas. Aquí se hará lo mismo para estudiar la fuerza entre corrientes. Por razones históricas, el campo que se utiliza para este propósito recibe el nombre de “inducción magnética”; el nombre “campo magnético” se reserva por lo general para otro campo vectorial que se definirá más adelante, cuando se estudien los efectos de la materia.
14-1 Definición de la inducción magnética
Recuérdese que el paso de la ley de Coulomb al campo eléctrico fue posible porque en la sección 3-1 se pudo expresar la fuerza sobre una carga como el producto de la carga y otra cantidad a la que se llamó campo eléctrico. Aquí se expresará (13-1) de una manera similar como
(14.1)
El factor entre paréntesis es independiente del elemento de corriente Ids en la posición r, pero sí depende de la distribución de otros elementos de corriente con respecto a Ids. Si a la cantidad entre paréntesis se le denota como B(r) y se utiliza (1-139), se tiene
/'¿Zs'XR _ /¿o r /Ws'XR
jR2
R3
(14-2)
y
Fc^c = ^WsXB(r)
(14-3)
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Inducción magnética
B
Figura 14-1 Fuerza sobre un elemento de corriente debida
a una inducción B.
El campo vectorial B definido así recibe el nombre de inducción magnética; a veces también se le llama densidad de flujo magnético o simplemente campo B. Además, (14-2) es conocida por lo general como la ley de Biot-Savart.
De (14-3) se puede deducir que la unidad de B es 1 newton/(ampere-metro). Sin embargo, no es usual emplear esta combinación, sino que la unidad de B tiene dos formas estándar: 1 tesla = 1 weber/(metro)2. Al comparar estas formas con la anterior, se observa que 1 weber = 1 joule/ampere = 1 volt-segundo.
Así, por medio de este procedimiento se ha introducido otro campo vectorial, B, que puede calcularse para cualquier punto de campo r por medio de (14-2), aun cuando no exista allí ningún elemento de corriente sobre el que se pueda ejercer una fuerza. Como con E, puede aquí también adoptarse la interpretación de una simple conveniencia matemática por medio de la cual el cálculo de B viene a ser un enunciado de contingencia que indica cuál sería la fuerza sobre un circuito C si éste se colocara ahí. Por otro lado, puede también considerarse a B, tal como en la sección 3-4, como una entidad física real en sí misma.
Si existe más de un circuito fuente, se puede encontrar B para cada uno de ellos, C¡, por medio de (14-2), y después la suma vectorial de las contribuciones individuales darán la inducción resultante en r.
(14-4)
siendo R = r - r¿ en función del vector de posición r¡ del elemento de corriente /¡dsi del circuito i. Nótese que Ids de C no queda incluido en (14-4), es decir, que no se acepta que un elemento de corriente pueda ejercer alguna fuerza sobre sí mismo.
Aunque (14-3) se expresó en función de la fuerza total sobre todo el circuito C, el integrando se puede interpretar naturalmente como la fuerza r/F sobre el elemento de corriente /ds situado en r:
dF = /¿ZsXB(r)
(14-5)
lista fuerza es perpendicular tanto al elemento dc corriente como a la inducción magnética; es igual a cero cuando estas son paralelas y su magnitud es máxima cuando son perpendiculares, como puede apreciarse en (1-22). Esta propiedad direccional de ¿7F queda ilustrada en la figura 14-1, que corresponde a la definición del producto cruz como en la figura 1-14.
Definición de la inducción magnética
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Similarmente, puede interpretarse el integrando de (14-2) como la contribución ¿ZB(r) a la inducción total, producida por el elemento de corriente l'ds situado en el punto fuente r':
íZB(r) =
Mo /'¿s'XR Mo /'í/s'XR
			 — 	 — —	
477	4 77	2^3
(14-6)
Esta expresión viene a ser otra versión de la ley de Biot-Savart. Las relaciones direccionales dadas por (14-6) se ilustran en la figura 14-2. Puede observarse que r/B es perpendicular al plano formado por ds', y R, tiene su magnitud máxima en el punto de campo situado sobre una línea perpendicular a ds y es igual a cero en un punto de campo localizado directamente adelante o atrás de ds'. Existe una regla de la mano derecha muy conveniente para describir cualitativamente la situación de la figura 14-2: se coloca el pulgar de la mano derecha en la dirección de l'ds y entonces los dedos se doblarán en el sentido general correcto de r/B.
Hasta aquí, todo se ha enunciado en función de corrientes filamentales. Sin embargo, como ya se ha visto, existen muchas situaciones en las que resulta más conveniente expresar las cosas en función de corrientes distribuidas sobre un volumen o una superficie. Es fácil adaptar a esos casos los resultados hasta aquí obtenidos, por medio de la utilización de los equivalentes a lo elementos de corriente como los que se dedujeron en (12-10). Por ejemplo, si las corrientes fuente corresponden a una densidad volumétrica los resultados análogos a (14-2) y (14-6) serán
4tt r2
(14-7)
(14-8)
tomándose la integral sobre todo el volumen, V', que contiene a las corrientes. De manera similar, (14-3) y (14-5) quedan
í/F = JXB</r
(14-9)
(14-10)
siendo F la fuerza total sobre todas las corrientes contenidas en el volumen l\ cuya distribución se encuentra descrita por J(r).
Usando de nuevo ( I 2-10) se obtienen las expresiones coi respondientes para cuando se tiene" corrientes supcií¡cíales
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Inducción magnética
	B(r)= ft, r K'(r')xRrfa, 4% JS' R2
	(14-11)
	dB= —
4tt r2
	(14-12)
	F = J K(r)XB(r)da
	(14-13)
	í/F = KXBí¿7
	(14-14)
Por último, si ocurrieran en forma simultánea todas las posibilidades mencionadas, la B total en un punto dado es la suma de las diversas contribuciones dadas en (14-4), (14-7) y (14-1 Ij, y sería precisamente B resultante la que se utilizaría en (14-3), (14-5), (14-9), (14-19), (14-13) o (14-14), según fuera apropiado.
Para todo esto no se requirió hacer uso alguno de las clasificaciones de corriente que se hicieron en la sección 12-2, siendo una hipótesis básica de este tema que la inducción magnética B es producida por todas las corrientes, sea cual fuere su origen; más adelante será necesario introducir otros tipos de corriente muy diferentes a los que ya se han encontrado hasta aquí.
Como en el caso del campo eléctrico, una ecuación como la (14-2) puede considerarse como una “receta” para el cálculo de B una vez conocida la distribución de corriente; a continuación se consideran algunos ejemplos de tales cálculos directos.