Sistemas de Alto Orden_V4_15jun2020 - Axel

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Sistemas Lineales Invariantes 
en el Tiempo de Alto Orden
Ing. EAHG
Introducción (1/X)
Un Sistema de Alto Orden u Orden Superior un SLIT (Sistema Dinámico Lineal, Invariante en el Tiempo) en donde la derivada de mayor es de orden tres o superior
Considere un SLIT SISO de entrada y salida de orden de la forma
= 
Que de manera normalizada es
= 
Introducción (2/X)
Si , entonces se trata de un SLIT de orden 3 o más, y si por tradición, ,
el modelo normalizado queda como
En donde no puede ser menor de tres.
Es importante destacar que estos sistemas se puede representar en distintas formas:
1 ecuación de orden 
 ecuaciones de orden 1 ( salidas)
Combinaciones de ecuaciones de orden 2 más ecuaciones de orden 1 ( salidas)
Alguna otra combinación (e.g. un sistema de 4º orden como de 1 ec. de orden 3 y una de orden 1)
= 
Ejemplo 1
Ejemplo eléctrico de 3er orden (1/2)
Usando la Ley de voltajes de Kirchoff en la malla :
Usando la Ley de voltajes de Kirchoff en la malla :
Usando la Ley de corrientes de Kirchoff en el nodo :
Usando la Ley de voltajes de Kirchoff en la malla :
Usando la Ley de corrientes de Kirchoff en el nodo :
Así se forma el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejemplo 1
Ejemplo eléctrico de 3er orden (1/2)
Que se transforma en el siguiente conjunto de 
ecuaciones diferenciales:
Entonces…
Por lo tanto…
Ejemplo 2
Sistema de 4º orden mecánico: 2 masas y 2 resortes
DCL de la masa 1
DCL de la masa 2
Esto arroja el siguiente sistema de ecuaciones
(usando Principio de D’Alembert)
Por lo que…
Que incluso se puede representar como…
Polos dominantes (1/14)
Para poder entender la naturaleza de comportamiento de un sistema de alto orden lineal es necesario conocer la naturaleza de sus polos (recordemos que estos brindan tipo de estabilidad, comportamiento y desempeño). Dado que son de alto orden, es a veces complicado saber en particular el tipo de comportamiento con base solo en el número de polos, no solo en las combinaciones del tipo de estos.
Esto es, por ejemplo en un sistema de segundo orden estable, se sabe que hay 4 tipos de comportamiento: sobre amortiguado, críticamente amortiguado, sub amortiguado y oscilatorio; que se presentan dependiendo de la naturaleza de los polos (reales negativos distintos, reales negativos iguales, complejos conjugados con parte real negativa o imaginarios conjugados, respectivamente); podría ser que uno de ellos sea más dominante uno del otro, como sucede en el caso de un motor de corriente directa, en donde el polo mecánico es más dominante que el eléctrico.
Polos dominantes (2/14)
Para un sistema de tercer estable orden la naturaleza de los polos viene dada de la siguiente manera: reales negativos todos distintos, reales negativos dos iguales y uno distinto, reales negativos todos iguales, 1 real negativo y complejos conjugados con parte real negativa, real cero y complejos conjugados con parte real negativa, real negativo e imaginarios conjugados, real cero e imaginarios conjugados. 
Como puede verse, la sola explicitación de los casos de comportamiento de un sistema de tercer orden tiende ya a la complejidad. No se diga si un sistema es de cuarto orden o superior
Polos dominantes (3/14)
Así, para entender de una manera más sencilla los sistemas de alto orden se usa el concepto de polos dominantes, que se enuncia a continuación:
Polos Dominantes: Los polos dominantes de un sistema son aquellos que prevalecen mucho más tiempo que todos los demás. Puede darse el caso de un solo polo. 
Así, los polos dominantes se encuentran ubicados 
MÁS CERCA DEL ORIGEN EN TERMINOS HORIZONTALES
Polos dominantes (4/14)
Ejemplo 1. Suponga un sistema lineal de segundo orden, con polos negativos distintos, uno en -1, que en solitario se estabiliza en 5 seg, (izquierda), y otro en -5, que se estabiliza en 1 seg (derecha).
EL POLO DOMINANTE ES EL POLO UBICADO EN -1
Polos dominantes (5/14)
Si combinamos ambos polos, el comportamiento del polo en -5 se ve opacado por el del polo en -1
Polos dominantes (6/14)
Análisis de comportamiento y reducción de orden
Para analizar el comportamiento y desempeño de un sistema de alto orden por medio de polos dominantes, se debe dividir en polos reales y complejos conjugados, encontrando la dominancia de polos de mayor a menor, poniendo mayor atención a los dominantes, y menor atención a los no dominantes.
Por último, este método permite realizar un proceso de reducción de orden, en el sentido de eliminar los polos que sean menos dominantes y dejar los más dominantes. Es importante comentar que este es un procedimiento que debe realizarse con cuidado, puesto que es riesgoso si no se hace con cuidado. Una regla no escrita dicta que se pueden eliminar polos no dominantes de al menos la décima parte del valor real de los dominantes
Polos dominantes (7/14)
Ejemplo 2: Para un sistema de tercer orden con FT = 1/((s+1)(s^2 + s + -1.25)), con polos {-1,-0.5+i,-0.5-i}, se puede ver que los dominantes son los complejos conjugados, por lo que su comportamiento es más visible
Polos dominantes (8/14)
Ejemplo 3: Para un sistema de tercer orden con FT = 1/((s+0.5)(s^2 +2s + 2)), y con polos -0.5,-1+i,-1-i, se puede ver que el polo dominante es el real negativo, por lo que su comportamiento traslapa el de los complejos conjugados
Polos dominantes (9/14)
Ejemplo 4: Para un sistema de tercer orden con FT = 1/((s+10)(s^2 +2s + 2)), y con polos {-10,-1+i,-1-i}, se puede ver que los dominantes son los complejos conjugados, por lo que su comportamiento es más visible
Polos dominantes (10/14)
Ejemplo 4 (con’t & reducción de orden): Como se observa, si se elimina el polo real negativo, el comportamiento del sistema de segundo orden reducido es muy similar al original de tercer orden, con la diferencia de la magnitud, ya que el valor final al escalón unitario del sistema de segundo orden es 10 veces del de tercer orden
Polos dominantes (11/14)
Ejemplo 4 (con’t & reducción de orden): Así, si se multiplica el sistema de segundo orden por un coeficiente adecuado (0.1), se logra el comportamiento y magnitud del de tercer orden
Polos dominantes (12/14)
Ejemplo 5: Para un sistema de tercer orden con FT = 1/((s+100)(s^2 +2s + 2)), y con polos {-100,-1+i,-1+i}, se puede ver que los dominantes son los complejos conjugados, por lo que su comportamiento es el visible
Polos dominantes (13/14)
Ejemplo 5 (con’t & reducción de orden): Como se observa, si se elimina el polo real negativo, el comportamiento del sistema de segundo orden reducido es prácticamente el del original de tercer orden, con la diferencia de la magnitud, ya que el valor final al escalón unitario del sistema de segundo orden es 100 veces del de tercer orden
Polos dominantes (14/14)
Ejemplo 5 (con’t & reducción de orden): Así, si se multiplica el sistema de segundo orden por un coeficiente adecuado (0.01), se logra el comportamiento y magnitud del de tercer orden