Sistemas No Lineales_V5_24jun2020 - Axel

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Sistemas (Dinámicos) 
No Lineales
Ing. EAHG
“Happy families are all alike; every unhappy family is unhappy in its own way”
Leon Tolstoi
“Linear systems are all alike; every non linear system is non linear in its own way”
Romeo Ortega
Introducción
Dentro del contexto de los sistemas dinámicos, se concibe un Sistema No Lineal como aquel que tiene cuando menos un elemento que tiene un comportamiento no lineal.
La no linealidad se puede definir en forma geométrica (cuando se tiene una línea recta que tiene por lugar geométrico ), o bien en forma algebraica, en donde un operador debe de cumplir con superposición y homogeneidad.
Es importante destacar que por su naturaleza, los sistemas no lineales pueden tener múltiples puntos de equilibrio.
Conjunto de Sistemas Dinámicos
(Lineales y No Lineales)
Conjunto de Sistemas 
Dinámicos Lineales
Introducción
Una pequeña nota sobre linealidad (1/2)
Un operador lineal cumple con
O bien, en forma separada
, que es la propiedad de superposición
, que es la propiedad de homogeniedad
Por lo que estrictamente el operador
Es lineal en el sentido algebraico, ya que 
, por que no se cumple , y
, por que se cumple 
Sin embargo, si a esa expresión se le agrega una ordenada al origen…
Es no lineal en el sentido algebraico, ya que 
, por que no se cumple , ni
, por que no se cumple 
Introducción
Una pequeña nota sobre linealidad (1/2)
Incluso, la expresión 
Es no lineal en el sentido algebraico, ya que 
, o sea , o bien por que no se cumple , ni
, o sea , o bien , que resulta en 
, por que no se cumple 
De manera similar, cualquier otra forma algebraica que no sea (polinomiales de orden dos para arriba, incluso con coeficiente independiente u ordenada al origen, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc.).
Es importante notar que los operadores 
 y 
Son lineales en el sentido del álgebra (lineal), ya que cumplen con 
Que son homogeneidad y superposición de los operadores derivada e integral
Introducción
Así, si un sistema SISO se tiene cuando menos un elemento que cumpla con que su regla de comportamiento, dinámica o descripción matemática sea diferente de
 
Donde es la salida y es la entrada, es un sistema no lineal
Introducción
El Modelado de estos sistemas requiere no solo amplio conocimiento del fenómeno, sino conocimientos por arriba de los básicos para poder discernir entre las distintas opciones de descripciones no lineales para los elementos, por lo que se requieren conocimientos de matemáticas para entender dichos modelos y realizar los análisis y/o simulaciones pertinentes.
ES SUMAMENTE IMPORTANTE COMENTAR QUE EL MODELADO, 
ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE ESTOS SISTEMAS NO ES PARA NADA TRIVIAL, 
y su alcance está fuera de muchos cursos incluso universitarios
Ejemplos
1. Masa – Resorte – Amortiguador No lineal
Se sabe que un sistema de Masa – Resorte – Amortiguador lineal con la fuerza como entrada y la posición como salida de la forma
Tiene como modelo matemático
Considerando fricción y reestructuración lineales
Ejemplos
1. Masa – Resorte – Amortiguador No lineal
Sin embargo, se sabe que tanto la fricción como la reestructuración pueden no ser lineales en virtud de las condiciones físicas de los elementos. 
La fricción, por ejemplo podría ser modelada de manera más formal por medio de una función sigmoidal
La reestructuración podría incluir un término cúbico para modelar más fielmente el fenómeno
Ejemplos
1. Masa – Resorte – Amortiguador No lineal
Fricción lineal
Fricción no lineal sigmoidal
(Tangente inversa)
Fricción no lineal sigmoidal
(Función de saturación
pendiente)
Fricción no lineal sigmoidal
(Función de cuasi saturación
con pendiente)
Reestructuración lineal
Reestructuración 
no lineal cúbica
De esta manera, un modelo matemático no lineal de un 
sistema Masa – Resorte – Amortiguador puede ser
Ejemplos
2. Péndulo simple
DM
Descomposición del peso
Principio de D’Alembert rotacional
=>
Considerando como entrada y salida:
Ejemplos
3. Péndulo doble actuado 
(Brazo robótico de dos grados de libertad)
Considere el sistema mostrado en la figura
Fuente: Modelado y simulación de un robot rígido de dos grados de libertad; Maldonado-Del Toro, Silva-Ortigoza, Ramos-Silvestre, Hernández-Guzmán y J. C. Rivera-Díaz
Por medio del modelado matemático del enfoque de Euler – Lagrange se llega a:
Donde y son las torcas de actuación en los grados de libertad (coyunturas) 1 y 2
Ejemplos
4. Péndulo invertido sobre carro
Considere el sistema mostrado en la figura
Fuente: Método de Euler-Lagrange en el modelado y control de un péndulo invertido sobre un carro; RAMÍREZ-GONZÁLEZ, GARCÍA-MARTÍNEZ, SIORDIA-VÁSQUEZ, GARCIA-RAMOS
Por medio del modelado matemático del enfoque de Euler – Lagrange se llega a:
Ejemplos
5. Oscilador de Van Der Pol
Considere un circuito RLC en serie de la forma:
Con modelo matemático: (E(t) es constante)
Fuente: https://services.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/vander/vand1.html
O bien:
Si se suple el resistor por un semiconductor de resistencia
Con 
Si además , 
el modelo queda como 
Que se conoce como Oscilador de Van der Pol
Ejemplos
6. Ecuación de Difusión de Bass
Lo que resulta en el modelo:
Fuente: https://www.immagic.com/eLibrary/ARCHIVES/GENERAL/WIKIPEDI/W101203B.pdf
Ejemplos
5. Modelo de Presa - Depredador
Ejemplos
8. Infección de virus zombie 
Ejemplos
8. Infección de virus zombie 
Ejemplos
8. Infección de virus zombie 
Análisis y solución
Dado que los sistemas no lineales se modelan por medio de ecuaciones diferenciales no lineales, en general, NO TIENEN SOLUCIÓN MATEMÁTICA EXACTA (ANALÍTICA, CERRADA, EN ECUACIÓN), por lo que NO CUENTAN CON POLOS, CEROS NI FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (ya que no se puede aplicar Transformada de Laplace), por lo tanto todos los conceptos de análisis (por ejemplo de estabilidad, comportamiento y desempeño) y solución de sistemas lineales no pueden usarse más que bajo ciertas condiciones muy específicas. 
Se han desarrollado algunas técnicas que permiten analizar su estabilidad, comportamiento y desempeño:
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Análisis de sistema linealizado en tono a un punto o puntos de equilibrio
Análisis de estabilidad y comportamiento por medio de Simulación
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
El Análisis de estabilidad de Lyapunov (también llamado método directo de Lyapunov) se basa en caracterizar la energía del sistema, de manera que permita saber si puede clasificarse como estrictamente estable, marginalmente estable o inestable, acorde a:
Si la energía libre del sistema decrece, se trata de un sistema estrictamente estable
Si la energía libre del sistema se mantiene, se trata de un sistema marginalmente estable
Si la energía libre del sistema crece, se trata de un sistema inestable
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Como no se puede hablar de crecimiento de energía, Lyapunov plantea como herramienta metodológica la existencia de una función que tenga la esencia de la energía del sistema (sin ser esta necesariamente), la cual hoy día denominamos función de Lyapunov. Si esta función existe, entonces podrían plantearse de distinta manera los preceptos de estabilidad antes enunciados.
Se considera que una función escalar de variable vectorial o campo escalar es candidata a función de Lyapunov si cumple con
Sea ; 
 
La función debe ser semipositiva para todo conjunto del vector 
 *
La derivada temporal de la función debe ser seminegativa para todo 
* ; o bien 
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Así, el criterio de estabilidad de un sistema no lineal plantea:
Si la derivada temporal libre de la función de Lyapunov es negativa estricta, se trata de un sistema estrictamente estable; más aun, si se cumple para todos los valores de , y por ende todos los puntosde equilibrio, se trata de una equilibrio global, pero si solo se cumple para ciertos intervalos / valores, se trata de un equilibrio local
Si la derivada temporal libre de la función de Lyapunov es negativa no estricta, se trata de un sistema marginalmente estable; más aun, si se cumple para todos los valores de , y por ende todos los puntos de equilibrio, se trata de una equilibrio global, pero si solo se cumple para ciertos intervalos / valores, se trata de un equilibrio local
Si la derivada temporal libre de la función de Lyapunov no es negativa (estricta o no estricta), se trata de un sistema inestable
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Ejemplo 1. Masa Resorte Amortiguador (MRA) lineal
Para un MRA lineal, su modelo matemático es 
Y si se comporta en forma libre es
, y/o 
Donde, si y son positivos, se trata de un sistema estrictamente estable.
Una función candidata de Lyapunov (y de hecho la más usada) es
Que cumple con que 
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si se hace , , , (resp. libre)
El modelo se transforma en 
Así, para encontrar la derivada temporal de , se hace
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si
O sea
Por otro lado
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Por lo que
Por lo tanto
Pero se sabe que…
Así…
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Por lo que 
Por lo tanto
Donde se observa que 
POR LO QUE SE CONCLUYE QUE CON BASE EN EL MÉTODO DE LYAPUNOV, EL SISTEMA ES ESTRÍCTAMENTE ESTABLE DE FORMA GLOBAL
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Generalización de función de Lyapunov para un sistema lineal de orden 1
Un SLIT de orden 1 tiene por modelo matemático: 
Y si se comporta en forma libre es
, 
Donde, si y son positivos, se trata de un sistema estrictamente estable.
Una función candidata de Lyapunov (y de hecho la más usada) es
Que cumple con que 
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si se hace , (resp. libre)
El modelo se transforma en 
Así, para encontrar la derivada temporal de , se hace
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si
O sea
Por lo tanto
Pero se sabe que…
Así…
Donde se observa que 
POR LO QUE SE CONCLUYE QUE CON BASE EN EL MÉTODO DE LYAPUNOV, EL SISTEMA ES ESTRÍCTAMENTE ESTABLE DE FORMA GLOBAL
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Incluso, usando la función de Lypapunov
Entonces…
Por lo que 
Así…
Donde se observa que 
POR LO QUE SE CONCLUYE QUE CON BASE EN EL MÉTODO DE LYAPUNOV, EL SISTEMA ES ESTRÍCTAMENTE ESTABLE DE FORMA GLOBAL
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Generalización para un SLIT de orden 2. Un SLIT de orden dos en su forma canónica tiene como modelo matemático
Y si se comporta en forma libre es
, y/o 
Donde, si y son positivos, se trata de un sistema estrictamente estable.
Si se hace , , , (resp. libre)
El modelo se transforma en 
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Por lo que una función candidata de Lyapunov es
Que cumple con que 
Así, para encontrar la derivada temporal de , se hace
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si
O sea
Por otro lado
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Por lo que
Por lo tanto
Pero se sabe que…
Así…
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Por lo que 
Por lo tanto
Donde se observa que 
POR LO QUE SE CONCLUYE QUE CON BASE EN EL MÉTODO DE LYAPUNOV, EL SISTEMA ES ESTRÍCTAMENTE ESTABLE DE FORMA GLOBAL
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Ejemplo 2. Péndulo simple
Un péndulo simple tiene por modelo
Y si se comporta en forma libre es
, y/o 
Donde, si , y son positivos, se trata de un sistema estrictamente estable.
Una función candidata de Lyapunov (y de hecho la más usada) es
Que cumple con que , si 
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si se hace , , , (resp. libre)
El modelo se transforma en 
Así, para encontrar la derivada temporal de , se hace
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Si
O sea
Por otro lado
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Por lo que
Por lo tanto
Pero se sabe que…
Así…
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Entonces
Por lo tanto
Donde se observa que 
POR LO QUE SE CONCLUYE QUE CON BASE EN EL MÉTODO DE LYAPUNOV, EL SISTEMA ES ESTRÍCTAMENTE ESTABLE DE FORMA REGIONAL ()
Análisis y solución
Análisis de estabilidad de Lyapunov (energía del sistema)
Como se pudo notar, no solo el operar una función candidata de Lyapunov que refleje la dinámica “energética del sistema” es complicado; sino el encontrar dicha función es una tarea por demás compleja y para nada trivial…
De hecho, existen programas de posgrado dedicados a encontrar, analizar y explotar dichas funciones para entender la dinámica y su vez hacer control no lineal (en virtud de la forma matemática que tienen) de sistemas lineales y/o lineales.
Análisis y solución
Análisis de sistema linealizado en torno a un punto o puntos de equilibrio
Cuando se conoce el punto o puntos de equilibrio* de un sistema no lineal, es hasta cierto punto factible linealizarlo en torno a dicho(s) punto(s) de operación y analizar su estabilidad, comportamiento y desempeño, siempre entendiendo que se trata de una linealización local, por lo que los resultados son en ese entorno.
No debe olvidarse que los sistemas no lineales pueden tener múltiples puntos de equilibrio, incluso traslapantes unos a otros y su obtención no es para nada simple en ocasiones.
* El o los puntos de equilibrio de un sistema lineal se encuentran haciendo las derivadas y entradas iguales a cero, y despejando la variable o variables del sistema
Análisis y solución
Análisis de sistema linealizado en tono a un punto o puntos de equilibrio
Si un péndulo de la forma
Sistema que tiene polos QUE LO HACEN ESTRICTAMENTE ESTABLE en forma lineal, POR LO QUE SE TRATA DE UN PUNTO DE EQUILIBRIO ESTABLE Y ATRACTOR
La definición de su punto de equilibrio es 
 
Usando Serie (de potencias) de Taylor
Si , alrededor de 
 si 
Por lo tanto, la linealización del 
sistema en torno a 
El cual es estrictamente estable en forma local, en el intervalo 
,
e incluso mayor, debido a su dinámica física 
( ; siempre que la barra sea rígida), 
Que tiene por modelo
Por lo que se puede linealizar en torno a 
LINEALIZACIÓN DE PÉNDULO
Análisis y solución
Análisis de sistema linealizado en tono a un punto o puntos de equilibrio
Sistema que tiene polos QUE LO HACEN INESTABLE en forma lineal, POR LO QUE SE TRATA DE UN PUNTO DE EQUILIBRIO INESTABLE Y REPULSOR
Si , alrededor de 
 si 
Por lo tanto, la linealización del 
sistema en torno a 
Si se linealiza en torno a 
Sistema que tiene polos QUE LO HACEN ESTRICTAMENTE ESTABLE en forma lineal, POR LO QUE SE TRATA DE UN PUNTO DE EQUILIBRIO ESTABLE Y ATRACTOR
Si , alrededor de 
 si 
Por lo tanto, la linealización del 
sistema en torno a es
Si se linealiza en torno a 
Análisis y solución
Análisis de sistema linealizado en tono a un punto o puntos de equilibrio
LINEALIZACIÓN DE MODELO PRESA - DEPREDADOR
El MODELO PRESA – DEPREDADOR es:
Donde son constantes positivas.
El sistema tiene respuesta con base en las condiciones iniciales y , por lo que se trata de un sistema que actúa en forma libre
El mismo se puede representar como
Para encontrar los puntos de equilibrio:
Por lo que 
Y finalmente
Análisis y solución
Análisis de sistema linealizadoen tono a un punto o puntos de equilibrio
LINEALIZACIÓN DE MODELO PRESA - DEPREDADOR
Para linealizar, se usa la serie de Taylor multivariable, en donde…
 
Por lo que la función alrededor de es…
Así, el sistema linealizado alrededor de es
Por lo que
Análisis y solución
Análisis de estabilidad y comportamiento por medio de Simulación
La simulación de un sistema no lineal brinda información relevante acerca de la estabilidad, comportamiento y desempeño del mismo. Si bien es cierto que simular un sistema dinámico requiere conocimientos de programación específicos, el programar sistemas no lineales requiere a su vez de un conocimiento mucho mas especializado; no se diga de la interpretación de los resultados.
Cuando se simula, es tradición encontrar no solo las gráficas y/o tablas de valores (menos utilizadas en el contexto del análisis de sistemas no lineales) respecto del tiempo, sino es muy común usar los diagramas de fase, que son gráficas donde se simula una variable vs otra ( vs ); si no se cuenta con dos variables o más, se usa por lo regular la derivada de la variable vs la variable ( vs ). En términos de estos diagramas, si se trata de una traza convergente, se tiene una trayectoria estrictamente estable; si la traza es cerrada, es marginalmente estable, y si es divergente, es inestable. Si todas las trazas tienen el mismo comportamiento, se puede concluir sobre el sistema, sino solo se puede concluir sobre un punto(s) de equilibrio y las trayectorias correspondientes-
Análisis y solución
Análisis de estabilidad y comportamiento por medio de Simulación
Ejemplo: Péndulo simulado en Matlab
Simulación por medio de bloque embebido
Diagrama de fase de velocidad angular no lineal vs posición angular no lineal
Gráfico de velocidad angular no lineal y lineal 
vs tiempo
Gráfico de posición angular no lineal y lineal vs tiempo
Análisis y solución
Análisis de estabilidad y comportamiento por medio de Simulación
Ejemplo: Presa Depredador simulado en Matlab
10
Simulación por medio de bloques básicos
Diagrama de fase de Depredadores vs Presas
Gráfico de Depredadores vs tiempo
Gráfico de Presas vs tiempo