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Variables de Estado Ing. EAHG Variables de Estado Introducción: Energía Desde el punto de vista de la Física, “energía es la capacidad de producir un cambio en el estado de movimiento de un objeto” Desde el punto de vista sistémico “energía es la capacidad de producir un cambio en el estado de un sistema”, entendiendo el estado como “Estado: configuración valorativa de un sistema” Esto es, el estado de un sistema el conjunto de valores (configuración clave) que tiene el mismo en un momento del tiempo Variables de Estado Introducción: Enfoque energético aplicado a sistemas dinámicos físicos Los Sistemas Dinámicos Físicos (SDF) son sistemas en los que sus variables fundamentales (flujo / esfuerzo) cambian en el tiempo, y están regidos por las leyes de la física. Estos sistemas usan energía para poder modificar el valor de dichas variables, que conforma su estado. Así, el estado de un sistema físico es la energía total del mismo, y existen variables que lo definen de forma unívoca; a esas variables se las variables de estado Hay distintos tipos de energía, pero en general no se le da apellido, aun cuando sabemos que existen 5 tipos de SDF: Mecánicos traslacionales, Mecánicos rotacionales, Eléctricos, Fluidicos y Térmicos; aunque por tradición, se le da el apellido del tipo de sistema que tiene. Variables básicas (Esfuerzo y Flujo) y derivada (Coordenada Generalizada) Con base en la energía de un sistema, y su manejo, existen dos tipos de variables básicas, y una derivada: Esfuerzo (e): Es el almacenamiento de la energía Flujo (f): Es el movimiento de la energía Hay una relación intrínseca entre ellas, que depende del tipo de elemento ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Coordenada generalizada (q): Es la integral del flujo, por lo que define la “posición energética” de un elemento, con base en cuanta energía tiene. La relación matemática entre f y q es: | Tipos de elementos Con base en el tipo de manejo de la energía, hay tres tipos de elementos principales: Activos: Tienen de forma inherente la capacidad de producir un cambio en el valor de las variables del sistema (energía) o bien la puede “producir”. Fuerza y motor son los más comunes. Matemáticamente se representan por esfuerzo o flujo puro, dejando la otra constante. Pasivos: Almacenan (almacenadores) o disipan energía (disipadores). Matemáticamente se representan como una relación direfencial o integral (almacenadores) o algebráica (disipadores). Transformadores: Transforman (mantienen esfuerzo como esfuerzo y flujo como flujo) o giran la energía de un mismo o distinto tipo de sistema. Matemáticamente se representan como un conjunto de ecuaciones algebráicas. Tipos de elementos pasivos Los elementos pasivos se dividen en: Almacenadores, que a su vez pueden ser Inductivos o inerciales, y que almacenan esfuerzo, por lo que se representan mediante Si , o o ; o Capacitivos, y que almacenan flujo, por lo que se representan mediante o o ; o Disipadores, que disipan la energía, y se representan mediante o ; Transformadores Los transformadores se clasifican en Transformadores, que convierten esfuerzo en esfuerzo y flujo en flujo Giradores, que convierten esfuerzo en flujo y flujo en esfuerzo Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de equilibro permiten manifestar el balance energético del sistema, considerando todos los elementos del mismo. Por lo regular se encuentra realizando una ecuación entre elementos activos y pasivos Estado y Variables de estado (v.v.e.) de un SF Estado de un sistema físico: energía total del mismo en un tiempo determinado. Este estado tiene una trayectoria temporal. Aunque se sabe existen distintos tipos de energía (mecánica traslacional, mecánica rotacional, eléctrica, fluídica, térmica, etc.), todas se denominan en forma genérica. Variables de estado: Variables que definen la energía de un SF en cualquier momento del tiempo. Algunos ejemplos son posiciones y velocidades. Resumen de Variables de estado (v.v.e.) de un SF Tipo de sistema Variable de estado de Energía Cinética (relacionada con flujo) Variable de estado de Energía Potencial (relacionada con esfuerzo) Mecánico traslacional Velocidad (); Momentum () Posición (); Fuerza de reestructuración () Mecánico rotacional Velocidad angular (); Momentum angular () Posición angular (); Torca de reestructuración () Eléctrico Corriente (); Flujo de enlace () Carga eléctica (); Voltaje () Fluídicos Flujo (); Momentum fluídico () Volumen (); Presión () Térmicos NA Calor (); Temperatura () Pasos para definir las Variables de estado (v.v.e.) de un SF Los siguientes pasos permiten definir v.v.e. viables para un sistema Determinar el número de v.v.e. que es mismo que el orden del sistema. Si el conjunto de v.v.e. es , donde el orden del sistema es Cada variable de estado está asociada unívocamente a un elemento dinámico o componente del mismo que almacene energía; , donde es un solo elemento almacenador La energía de dicho elemento almacendor debe ser función unívoca de su variable de estado asociada. Si es la energía del elemento , entonces Las v.v.e. deben ser linealmente independientes en el sentido algebráico. Por ejemplo, si y son v.v.e. de un sistema, se debe cumplir que el conjunto debe ser linealmente independiente y de orden/rango 2 Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Este sistema es de orden dos, por lo que tiene dos variables de estado, y Dado que el sistema de es de orden dos, tiene dos elementos que almacenan energía, la masa y el resorte; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos resorte ~ masa ~ 3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento Para el resorte, se podrían usar o , ya que ;; Para la masa, se podrían usar o , ya que ; ; Así, podríamos usar los conjuntos , , o 4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes, ya que y los son en virtud de no existir una constante tal que , ya que en realidad , además de que es linealmente dependiente de , y de , lo que los hace mutuamente independientes. Ejemplos 2. Péndulo Este sistema es de orden dos, por lo que tiene dos variables de estado, y Dado que el sistema de es de orden dos, tiene dos elementos que almacenan energía, la masa y el resorte; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos peso ~ masa ~ 3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento Para el peso, se podrían usar , ya que Para la masa, se podrían usar o , ya que ; ; Así, podríamos usar los conjuntos , 4. Estos conjuntos anteriores son linealmente independientes, ya que y los son en virtud de no existir una constante tal que, ya que en realidad Ejemplos 3. Circuito RLC en serie Este sistema es de orden dos, por lo que tiene dos variables de estado, y Dado que el sistema de es de orden dos, tiene dos elementos que almacenan energía, la masa y el resorte; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos capacitor ~ inductor ~ 3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento Para el capacitor, se podrían usar o , ya que ; ; Para el inductor, se podrían usar o , ya que ; ; Así, podríamos usar los conjuntos , , o 4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes, ya que y los son en virtud de no existir una constante tal que , ya que en realidad , además de que es linealmente dependiente de , y de , lo que los hace mutuamente independientes. + -- + -- + -- Ejemplos 4. Circuito RLC en serie Este sistema es de orden tres, por lo que tiene tres variables de estado, , y Dado que el sistema de es de orden tres, tiene tres elementos que almacenan energía a saber, los capacitoresy el inductor; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de estos: capacitor1~ , inductor~, capacitor1~ 3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento Para el capacitor (), se podrían usar o , ya que ; ; Para el inductor, se podrían usar o , ya que ; ; Así, podríamos usar los conjuntos , , 4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes Ejemplos 5. Dos masas - dos resortes Este sistema es de orden cuarto, por lo que tiene cuatro variables de estado, , , y Dado que el sistema de es de orden 4o, tiene cuatro elementos independientes que almacenan energía, las masas y los resortes externos, hay un 5º vinculante, el resorte central; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos almacenadores antes mencionados resorte1~, resorte2~, masa1~,masa2~ 3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento Para los resortes, se podrían usar o , ya que ; ; Para las masas, se podrían usar o , ya que ; ; Así, podríamos usar los siguientes conjuntos factibles , , 4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes Modelo matemático de un SD en vve Una vez están definidas las vve de un SD se puede encontrar un modelo matemático simplificado que consiste en ecuaciones de orden 1, una por cada variable de estado, para representarse en forma matricial , o cuando menos vectorial. El fundamento matemático de la representación de un sistema dinámico en variables de estado, es encontrar un modelo consistente en ecuaciones de orden 1, en donde cada una de ellas tiene solo una derivada de orden uno, de una y solo una variable de estado, y está en función de las mismas variables de estado y/o de las entradas. Esto permite transformar el modelo de un sistema dinámico de orden 𝒏, presentado ya sea en una ecuación de orden 𝒏, m de orden 𝒏/2 o alguna otra forma, en 𝒏 ecuaciones de orden 1 Ejemplos conceptuales SLIT SISO de orden 1 Un SLIT SISO de orden 1 tiene por modelo normalizado Si Pero del modelo, Por lo que Note que Ejemplos conceptuales SLIT SISO de orden 2 Un SLIT SISO de orden 1 tiene por modelo canónico Si ; , entonces , Pero del modelo, Por lo que Note que Ejemplos conceptuales SLIT SISO de orden 2 Y si , Entonces el modelo Puede representarse en forma matricial como O solo Donde y Note que Ejemplos conceptuales SLIT SISO de orden n Un SLIT SISO de orden n tiene por modelo normalizado Si ; , ,…, , entonces , , ,…, Pero del modelo, Por lo que Ejemplos conceptuales SLIT SISO de orden n Y si , Entonces el modelo anteriormente mostrado puede representarse en forma matricial como O solo Donde y Ejemplos conceptuales SLIT SISO de orden 2 Y si , Entonces el modelo anteriormente mostrado puede representarse en forma matricial como O solo Donde y Ejemplos conceptuales SD No lineal de orden n Un SD No lineal de orden n que tiene por modelo Si se definen las v.v.e , ,…, , o sea, Entonces se debe evaluar la opción de encontrar , , ,…, De manera que vectorialmente, si Entonces se llega… Donde muchas veces Conceptualización del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Un SLIT representado en forma matricial tiene por modelo: Modelo (o ecuación) de estados: Ecuación de salidas: Conceptualización del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Y el detalle matricial es: Modelo (o ecuación) de estados: Donde: Vector de n estados; Vector de n derivadas de estados con respecto al tiempo Vector de m entradas; Matriz de inercias (vinculación estados – derivada de estados) Matriz de vinculación entrada – derivada de estados; Conceptualización del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Y el detalle matricial es: Ecuación de salidas: Donde: Vector de n estados; Vector de p salidas; Vector de m entradas; Matriz de vinculación estado - salida; Matriz de vinculación directa entrada - salida; Modelo matemático de un SDF en vve Una vez se definen las vve de un SDF se puede encontrar un modelo matemático simplificado que consiste en ecuaciones, una por cada variable de estado, para al final, representarse en forma matricial , o cuando menos vectorial. El objetivo de la representación de un sistema dinámico en variables de estado, es descomponer el modelo del sistema dinámico ecuaciones de orden 1, todas ellas en función de las mismas variables de estado o de las entradas. Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Si el conjunto de vve es y la salida () es la , una definición conveniente es : Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es: Así, la derivada de la primera ve es Pero a su vez, se sabe que y que , por lo que se concluye que Por otro lado, la derivada de la segunda ve es A su vez, se sabe que , por lo que , y del modelo matemático del sistema se sabe que Y si además , , entonces sustituyendo y reordenando queda: Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Así, el conjunto de ecuaciones queda como: Para la representación matricial, si y La ecuación de estado queda como La ecuación de salida es , pero como Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son: Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Si el conjunto de vve es y las salidas fueran y (conformando el vector ) es la, una definición conveniente es : Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es: Así, la derivada de la primera ve es Y si por lo que pero entonces pero y despejando - sustituyendo en la expresión anterior Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Por lo que Por otro lado, la derivada de la segunda ve es Se sabe que por lo que Y si , y despejando del modelo original y sustituyendo queda O sea Pero y y sustituyendo se llega a Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Así, el conjunto de ecuaciones queda como: Para la representación matricial, si y La ecuación de estado queda como La ecuación de salida es Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son: Ejemplos 2. Péndulo Si el conjunto de vve es y la salida () es la , una definición conveniente es : Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es: Así, la derivada de la primera ve es Pero a su ves, se sabe que y que , por lo que se concluye que Por otro lado, la derivada de la segunda ve es A su vez, se sabe que , por lo que , y del modelo matemático del sistema se sabe que Y si además , , entonces sustituyendo y reordenando queda: Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Así, el conjunto de ecuaciones queda como: Como se ve, el sistema es no lineal, y no se puede generar un modelo matricial, debido a que la segunda ecuación contiene , lo más que se puede hacer es representarlo de la siguiente manera: Si y Y Que es una función vectorial de variable vectorial Y si además Entonces: Con ecuación de salida Que es una representación común del modelo de un sistema no lineal Ejemplos 1. Masa – Resorte - Amortiguador Si se quisiera encontrar una forma matricial, se tendría que linealizar en un punto de operación y representar considerando ese entorno operativo. Por ejemplo, se sabe que alrededor de , , por lo que la derivada de la segunda vve queda como Por lo que considerando : Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son: Ejemplos 3. Circuito RLC en serie + - + - + - Si el conjunto de vve es y y las salidas fueran y (conformando el vector ) , una definición conveniente es : Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es: Así, la derivada de la primera ve es Pero a su vez, se sabe que y que , por lo que se concluye Por otro lado, la derivada de la segunda ve es A su vez, se sabe que , por lo que , ydel modelo matemático del sistema se sabe que Y si además , , entonces sustituyendo y reordenando queda: Ejemplos 3. Circuito RLC en serie Así, el conjunto de ecuaciones queda como: Para la representación matricial, si y La ecuación de estado queda como La ecuación de salida es , por lo que O bien Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son: Ejemplos 4. Circuito RLC en serie - paralelo Si el conjunto de vve es y y las salidas fueran , y (conformando el vector ) , una definición conveniente es : Considerando el modelo: Por lo que si Ejemplos 4. Circuito RLC en serie - paralelo El modelo queda como: Despejando , y : Ejemplos 4. Circuito RLC en serie - paralelo Y sustituyendo y de la primera y tercera ecuación en la segunda: Al reducir se llega a : Ejemplos 4. Circuito RLC en serie - paralelo Y matricialmente, si y : Finalmente, dado que , se llega a: Ejemplos 5. Dos masas - dos resortes Si el conjunto de vve es y las salidas fueran (conformando el vector ) , una definición conveniente es : Considerando que el modelo es: Por lo que si Y se puede concluir para y que Ejemplos 5. Dos masas - dos resortes El modelo queda como: Por lo que si si y de forma matricial queda: Así Y despejando y : Ejemplos 6. Modelo de Presa - Depredador Hay que notar que se trata de un sistema NO LINEAL de segundo orden expresado en vve, por lo que no es factible encontrar una forma matricial a menos que se linealice alrededor de un punto de operación Ejemplos 6. Modelo de Presa - Depredador Análisis de sistema linealizado en tono a un punto o puntos de equilibrio LINEALIZACIÓN DE MODELO PRESA - DEPREDADOR Para linealizar, se usa la serie de Taylor multivariable, en donde… Por lo que la función alrededor de es… Así, el sistema linealizado alrededor de es Por lo que Ejemplos 7. Infección de virus zombie Hay que notar que se trata de un sistema NO LINEAL de tercer orden expresado en vve, por lo que no es factible encontrar una forma matricial a menos que se linealice alrededor de un punto de operación Definiendo: : Motivación : Acción Motivacional : Trabajo : Coficiente de desmotivación : Coficiente de vinculación motivavión – acción motivacional : Coficiente de deslaborización : Coficiente de vinculación labor – motivación Ejemplos 8. Motivación y trabajo de un empleado basado en su motivación 48 Solución del Modelo matemático en variables de estado de un Sistema Dinámico Introducción. Como pudo ya entreverse, la representación en variables de estado de un sistema dinámico consiste más bien en un acondicionamiento o presentación alternativa del mismo, conveniente cuando se tienen más de una entrada o salida, y se quiere hacer un tipo de control mucho más robusto. De esta forma, al ser solo una adecuación, los preceptos de la solución de sistemas dinámicos siguen prevaleciendo, esto es, puede dar solución exacta a solo a sistemas lineales invariantes en el tiempo por medio de la Transformada de Laplace matricial - vectorial. Para sistemas no lineales, lo más que se puede hacer es encontrar sus puntos de equilibrio por medio de resolver el sistema de ecuaciones haciendo todas las derivadas cero, y por medio del método directo o indirecto de estabilidad de Lyaponov encontrar la naturaleza de estabilidad de cada uno de ellos. Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n A continuación se presenta de forma gráfica la transformación entre espacios Espacio de estados Espacio de salidas Espacio de derivadas de estados Espacio de entradas Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Solución de la ecuación de estado Considerando Modelo (o ecuación) de estados: Donde: Vector de n estados; Vector de n derivadas de estados con respecto al tiempo Vector de m entradas; Matriz de inercias (vinculación estados – derivada de estados) Matriz de vinculación entrada – derivada de estados; Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Si se aplica Trasformada de Laplace matricial Se tiene (por ser lineal, o sea, se aplica superposición y homogeneidad) Así se llega a Donde Variable de transformación de la Transformada de Laplace Vector de transformada de Laplace de los n estados Pasando del lado izquierdo y del lado derecho… Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Factorizando … Despejando … ¡Que es la respuesta total en el dominio de s! Donde Matriz de transición de estados; Y tradicionalmente Por lo que… Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Usando los preceptos de Algebra matricial… Recuerde que O Note que Polinomio característico = Y recordando que las raíces de dicho determinante son los valores propios de A Por lo que los polos del sistema son los valores propios de A Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n O sea… Respuesta libre en el dominio de s Respuesta forzada en el dominio de s En términos gráficos… Espacio de estados en s Espacio de condiciones iniciales Respuesta libre en s Respuesta forzada en s Espacio de entradas en s Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Y si , por lo que O sea Donde Matriz exponencial, que es una matriz de funciones exponenciales Respuesta libre en el tiempo Respuesta forzada en el tiempo Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Por lo que la solución total es Y en forma gráfica… Espacio de estados en t Espacio de condiciones iniciales Respuesta libre en t Respuesta forzada en t Espacio de entradas en s Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n Solución de la ecuación de salida: De esta manera, si , entonces , por lo que O sea Que es la respuesta total de las salidas en el dominio de s Y en el tiempo se tiene… Ejemplo Masa – Resorte - Amortiguador Considere el sistema mostrado, con vve son y (a, ) salida , y en paralelo (b, ), y . Para ambos casos (a y b), una definción de las vve, y de la entrada es: ; El modelo de la ecuación de estados es: Por lo que Para encontrar la solución de se tiene que encontrar Así, Ejemplo Masa – Resorte - Amortiguador Si Que es el polinomio característico de A y del sistema, por lo que los polos y los valores propios de A son iguales Por otro lado… Y si Entonces… Por lo que Ejemplo Masa – Resorte - Amortiguador Si no hay condiciones iniciales, y la entrada es , entonces , por lo que la solución de la ecuación de estados se reduce a Entonces… O sea Por lo que Y Ejemplo Masa – Resorte - Amortiguador Por lo que Y Y finalmente… Si , entonces quiere decir que , o sea, Por otro lado, , entonces Ejemplo Masa – Resorte - Amortiguador Si se considera como conjunto de vve , el modelo es: Si se obtiene el polinomio característico de esta nueva matriz A se tiene: El polinomio característico es el mismo, por lo que los polos y la solución, considerando las mismas salidas (colocando correctamente las matrices C y D) que en el caso anterior Simulación Un sistema en variables de estados se puede simular fácilmente usando las reglas de construcción de los diagramas de bloques, y considerando que cada una de las variables de estado se deriva solo una vez, y su resultado es parte de la construcción de la derivada de las demás variables de estado, incluyendo la misma. Para sistemas lineales, un diagrama genérico se muestra a continuación. Para sistemas no lineales se pueden usar diagramas de bloques y realizar la configuración necesaria, o bien usar algunas otras herramientas y realizar las operaciones adecuadas para simular el modelo. Es importante destacar que para estos es acostumbradousar diagramas de fase para analizar la estabilidad del sistema. Fuente: Ingeniería de Control; Ogata Simulación Ejemplo de un SLIT de orden dos con 1 entrada Se simuló el sistema por medio de bloques y de bloque State Space Las gráficas de la izquierda muestran el resultado. La de arriba del diagrama de bloques, mientras que la de abajo muestra el resultado usando el bloque State Space. Puede verse que el resultado es el mismo. Simulación Ejemplo del sistema Presa Depredador Se simuló el sistema Presa Depredador () en Matlab, considerando las constantes ; y condiciones iniciales Simulación por medio de bloques básicos Diagrama de fase de Depredadores vs Presas Gráfico de Depredadores vs tiempo Gráfico de Presas vs tiempo u M dt dM M T dt dT b a d g + - = + - =
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