Variables de Estado_V5_10jul2020 - Axel

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Variables de Estado
Ing. EAHG
Variables de Estado
Introducción: Energía
Desde el punto de vista de la Física, 
“energía es la capacidad de producir un cambio en el estado de movimiento de un objeto”
Desde el punto de vista sistémico
“energía es la capacidad de producir un cambio en el estado de un sistema”, entendiendo el estado como
 “Estado: configuración valorativa de un sistema”
Esto es, el estado de un sistema el conjunto de valores (configuración clave) que tiene el mismo en un momento del tiempo
Variables de Estado
Introducción: Enfoque energético aplicado a sistemas dinámicos físicos
Los Sistemas Dinámicos Físicos (SDF) son sistemas en los que sus variables fundamentales (flujo / esfuerzo) cambian en el tiempo, y están regidos por las leyes de la física.
Estos sistemas usan energía para poder modificar el valor de dichas variables, que conforma su estado. 
Así, el estado de un sistema físico es la energía total del mismo, y existen variables que lo definen de forma unívoca; a esas variables se las variables de estado
Hay distintos tipos de energía, pero en general no se le da apellido, aun cuando sabemos que existen 5 tipos de SDF: Mecánicos traslacionales, Mecánicos rotacionales, Eléctricos, Fluidicos y Térmicos; aunque por tradición, se le da el apellido del tipo de sistema que tiene.
Variables básicas (Esfuerzo y Flujo) 
y derivada (Coordenada Generalizada)
Con base en la energía de un sistema, y su manejo, existen dos tipos de variables básicas, y una derivada:
Esfuerzo (e): Es el almacenamiento de la energía
Flujo (f): Es el movimiento de la energía
Hay una relación intrínseca entre ellas, que depende del tipo de elemento
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Coordenada generalizada (q): Es la integral del flujo, por lo que define la “posición energética” de un elemento, con base en cuanta energía tiene. La relación matemática entre f y q es:
					|	 
Tipos de elementos
Con base en el tipo de manejo de la energía, hay tres tipos de elementos principales:
Activos: Tienen de forma inherente la capacidad de producir un cambio en el valor de las variables del sistema (energía) o bien la puede “producir”. Fuerza y motor son los más comunes. Matemáticamente se representan por esfuerzo o flujo puro, dejando la otra constante.
Pasivos: Almacenan (almacenadores) o disipan energía (disipadores). Matemáticamente se representan como una relación direfencial o integral (almacenadores) o algebráica (disipadores).
Transformadores: Transforman (mantienen esfuerzo como esfuerzo y flujo como flujo) o giran la energía de un mismo o distinto tipo de sistema. Matemáticamente se representan como un conjunto de ecuaciones algebráicas.
Tipos de elementos pasivos
Los elementos pasivos se dividen en:
Almacenadores, que a su vez pueden ser
Inductivos o inerciales, y que almacenan esfuerzo, por lo que se representan mediante
Si , o o ; o 
Capacitivos, y que almacenan flujo, por lo que se representan mediante
 o o ; o 
Disipadores, que disipan la energía, y se representan mediante
 o ; 	 
Transformadores
Los transformadores se clasifican en
Transformadores, que convierten esfuerzo en esfuerzo y flujo en flujo
 
Giradores, que convierten esfuerzo en flujo y flujo en esfuerzo
 
Ecuaciones de equilibrio
Las ecuaciones de equilibro permiten manifestar el balance energético del sistema, considerando todos los elementos del mismo.
Por lo regular se encuentra realizando una ecuación entre elementos activos y pasivos
Estado y Variables de estado (v.v.e.) de un SF
Estado de un sistema físico: energía total del mismo en un tiempo determinado. Este estado tiene una trayectoria temporal. Aunque se sabe existen distintos tipos de energía (mecánica traslacional, mecánica rotacional, eléctrica, fluídica, térmica, etc.), todas se denominan en forma genérica.
Variables de estado: Variables que definen la energía de un SF en cualquier momento del tiempo. Algunos ejemplos son posiciones y velocidades.
Resumen de Variables de estado (v.v.e.) de un SF
	Tipo de sistema	Variable de estado de Energía Cinética
(relacionada con flujo)	Variable de estado de Energía Potencial (relacionada con esfuerzo)
	Mecánico traslacional	Velocidad (); Momentum ()	Posición (); Fuerza de reestructuración ()
	Mecánico rotacional	Velocidad angular (); Momentum angular ()	Posición angular (); Torca de reestructuración ()
	Eléctrico	Corriente (); Flujo de enlace ()	Carga eléctica (); Voltaje ()
	Fluídicos	Flujo (); Momentum fluídico ()	Volumen (); Presión ()
	Térmicos	NA	Calor (); Temperatura ()
Pasos para definir las Variables de estado (v.v.e.) de un SF
Los siguientes pasos permiten definir v.v.e. viables para un sistema
Determinar el número de v.v.e. que es mismo que el orden del sistema. Si el conjunto de v.v.e. es , donde el orden del sistema es 
Cada variable de estado está asociada unívocamente a un elemento dinámico o componente del mismo que almacene energía; , donde es un solo elemento almacenador
La energía de dicho elemento almacendor debe ser función unívoca de su variable de estado asociada. Si es la energía del elemento , entonces 
Las v.v.e. deben ser linealmente independientes en el sentido algebráico. Por ejemplo, si y son v.v.e. de un sistema, se debe cumplir que el conjunto debe ser linealmente independiente y de orden/rango 2
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Este sistema es de orden dos, por lo que tiene dos variables de estado, y 
Dado que el sistema de es de orden dos, tiene dos elementos que almacenan energía, la masa y el resorte; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos
	resorte ~ 	masa ~ 
3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento
Para el resorte, se podrían usar o , ya que 
;; 
Para la masa, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Así, podríamos usar los conjuntos 
, , o 
4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes, ya que y los son en virtud de no existir una constante tal que , ya que en realidad 
, además de que es linealmente dependiente de , y de , lo que los hace mutuamente independientes.
Ejemplos
2. Péndulo
Este sistema es de orden dos, por lo que tiene dos variables de estado, y 
Dado que el sistema de es de orden dos, tiene dos elementos que almacenan energía, la masa y el resorte; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos
	peso ~ 	masa ~ 
3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento
Para el peso, se podrían usar , ya que 
Para la masa, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Así, podríamos usar los conjuntos 
, 
4. Estos conjuntos anteriores son linealmente independientes, ya que y los son en virtud de no existir una constante tal que, ya que en realidad 
Ejemplos
3. Circuito RLC en serie
Este sistema es de orden dos, por lo que tiene dos variables de estado, y 
Dado que el sistema de es de orden dos, tiene dos elementos que almacenan energía, la masa y el resorte; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos
	capacitor ~ 	inductor ~ 
3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento
Para el capacitor, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Para el inductor, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Así, podríamos usar los conjuntos 
, , o 
4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes, ya que y los son en virtud de no existir una constante tal que , ya que en realidad 
, además de que es linealmente dependiente de , y de , lo que los hace mutuamente independientes.
+
--
+
--
+
--
Ejemplos
4. Circuito RLC en serie
Este sistema es de orden tres, por lo que tiene tres variables de estado, , y 
Dado que el sistema de es de orden tres, tiene tres elementos que almacenan energía a saber, los capacitoresy el inductor; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de estos: 
capacitor1~ , inductor~, capacitor1~ 
3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento
Para el capacitor (), se podrían usar o , ya que 
; ; 
Para el inductor, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Así, podríamos usar los conjuntos 
, , 
4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes
Ejemplos
5. Dos masas - dos resortes
Este sistema es de orden cuarto, por lo que tiene cuatro variables de estado, 
	, , y 
Dado que el sistema de es de orden 4o, tiene cuatro elementos independientes que almacenan energía, las masas y los resortes externos, hay un 5º vinculante, el resorte central; por ende, cada una de las variables está asociada con cada uno de los elementos almacenadores antes mencionados
resorte1~, resorte2~, masa1~,masa2~
3. Las variables a seleccionar deben permitir encontrar la energía de cada elemento
Para los resortes, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Para las masas, se podrían usar o , ya que 
; ; 
Así, podríamos usar los siguientes conjuntos factibles
, , 
4. Todos los conjuntos anteriores son linealmente independientes
Modelo matemático de un SD en vve
Una vez están definidas las vve de un SD se puede encontrar un modelo matemático simplificado que consiste en ecuaciones de orden 1, una por cada variable de estado, para representarse en forma matricial , o cuando menos vectorial.
El fundamento matemático de la representación de un sistema dinámico en variables de estado, es encontrar un modelo consistente en ecuaciones de orden 1, en donde cada una de ellas tiene solo una derivada de orden uno, de una y solo una variable de estado, y está en función de las mismas variables de estado y/o de las entradas. 
Esto permite transformar el modelo de un sistema dinámico de orden 𝒏, presentado ya sea en una ecuación de orden 𝒏, m de orden 𝒏/2 o alguna otra forma, en 𝒏 ecuaciones de orden 1
Ejemplos conceptuales
SLIT SISO de orden 1
Un SLIT SISO de orden 1 tiene por modelo normalizado
Si 
Pero del modelo, 
Por lo que
Note que 
Ejemplos conceptuales
SLIT SISO de orden 2
Un SLIT SISO de orden 1 tiene por modelo canónico
Si ; , entonces , 
Pero del modelo, 
Por lo que
Note que 
Ejemplos conceptuales
SLIT SISO de orden 2
Y si , 
Entonces el modelo 
Puede representarse en forma matricial como
O solo 
Donde y 
Note que 
Ejemplos conceptuales
SLIT SISO de orden n
Un SLIT SISO de orden n tiene por modelo normalizado
Si ; , ,…, , entonces , , ,…, 
Pero del modelo, 
Por lo que
Ejemplos conceptuales
SLIT SISO de orden n
Y si , 
Entonces el modelo anteriormente mostrado puede representarse en forma matricial como
O solo 
Donde y 
Ejemplos conceptuales
SLIT SISO de orden 2
Y si , 
Entonces el modelo anteriormente mostrado puede representarse en forma matricial como
O solo 
Donde y 
Ejemplos conceptuales
SD No lineal de orden n
Un SD No lineal de orden n que tiene por modelo
Si se definen las v.v.e , ,…, , o sea, 
Entonces se debe evaluar la opción de encontrar
, , ,…, 
De manera que vectorialmente, si 
Entonces se llega…
Donde muchas veces 
Conceptualización del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Un SLIT representado en forma matricial tiene por modelo:
Modelo (o ecuación) de estados: 
Ecuación de salidas:
Conceptualización del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Y el detalle matricial es:
Modelo (o ecuación) de estados: 
Donde: 
Vector de n estados; 
Vector de n derivadas de estados con respecto al tiempo
Vector de m entradas;
 Matriz de inercias (vinculación estados – derivada de estados)
 Matriz de vinculación entrada – derivada de estados;
Conceptualización del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Y el detalle matricial es:
Ecuación de salidas:
Donde: 
Vector de n estados; 
Vector de p salidas;
Vector de m entradas;
 Matriz de vinculación estado - salida;
 Matriz de vinculación directa entrada - salida;
Modelo matemático de un SDF en vve
Una vez se definen las vve de un SDF se puede encontrar un modelo matemático simplificado que consiste en ecuaciones, una por cada variable de estado, para al final, representarse en forma matricial , o cuando menos vectorial.
El objetivo de la representación de un sistema dinámico en variables de estado, es descomponer el modelo del sistema dinámico ecuaciones de orden 1, todas ellas en función de las mismas variables de estado o de las entradas.
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Si el conjunto de vve es y la salida () es la , una definición conveniente es :
Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es:
Así, la derivada de la primera ve es 
Pero a su vez, se sabe que y que , por lo que se concluye que 
Por otro lado, la derivada de la segunda ve es
A su vez, se sabe que , por lo que , y del modelo matemático del sistema se sabe que
Y si además , , entonces sustituyendo y reordenando queda:
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Así, el conjunto de ecuaciones queda como:
Para la representación matricial, si 
 y 
La ecuación de estado queda como
La ecuación de salida es , pero como 
Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son:
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Si el conjunto de vve es y las salidas fueran y (conformando el vector ) es la, una definición conveniente es :
Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es:
Así, la derivada de la primera ve es 
Y si 
por lo que 
pero 
entonces
pero 
y despejando - sustituyendo en la expresión anterior
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Por lo que 
Por otro lado, la derivada de la segunda ve es
Se sabe que 
por lo que 
Y si , y despejando del modelo original
y sustituyendo queda
O sea
Pero y y sustituyendo se llega a 
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Así, el conjunto de ecuaciones queda como:
Para la representación matricial, si 
 y 
La ecuación de estado queda como
La ecuación de salida es 
Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son:
Ejemplos
2. Péndulo
Si el conjunto de vve es y la salida () es la , una definición conveniente es :
Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es:
Así, la derivada de la primera ve es 
Pero a su ves, se sabe que y que , por lo que se concluye que 
Por otro lado, la derivada de la segunda ve es
A su vez, se sabe que , por lo que , y del modelo matemático del sistema se sabe que
Y si además , , entonces sustituyendo y reordenando queda:
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Así, el conjunto de ecuaciones queda como:
Como se ve, el sistema es no lineal, y no se puede generar un modelo matricial, debido a que la segunda ecuación contiene , lo más que se puede hacer es representarlo de la siguiente manera:
Si
 y 
Y
Que es una función vectorial de variable vectorial
Y si además 
Entonces:
Con ecuación de salida 
Que es una representación común del modelo de un sistema no lineal
Ejemplos
1. Masa – Resorte - Amortiguador
Si se quisiera encontrar una forma matricial, se tendría que linealizar en un punto de operación y representar considerando ese entorno operativo. 
Por ejemplo, se sabe que alrededor de , , por lo que la derivada de la segunda vve queda como
Por lo que considerando :
Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son:
Ejemplos
3. Circuito RLC en serie
+
-
+
-
+
-
Si el conjunto de vve es y y las salidas fueran y (conformando el vector ) , una definición conveniente es :
Donde se sabe que y que el modelo matemático de entrada y salida es:
Así, la derivada de la primera ve es 
Pero a su vez, se sabe que y que , por lo que se concluye
Por otro lado, la derivada de la segunda ve es
A su vez, se sabe que , por lo que , ydel modelo matemático del sistema se sabe que
Y si además , , entonces sustituyendo y reordenando queda:
Ejemplos
3. Circuito RLC en serie
Así, el conjunto de ecuaciones queda como:
Para la representación matricial, si 
 y 
La ecuación de estado queda como
La ecuación de salida es , por lo que
O bien
Por lo que las matrices del modelo de estado y salida son:
Ejemplos
4. Circuito RLC en serie - paralelo
Si el conjunto de vve es y y las salidas fueran , y (conformando el vector ) , una definición conveniente es :
Considerando el modelo:
Por lo que si
Ejemplos
4. Circuito RLC en serie - paralelo
El modelo queda como:
Despejando , y :
Ejemplos
4. Circuito RLC en serie - paralelo
Y sustituyendo y de la primera 
y tercera ecuación en la segunda:
Al reducir se llega a :
Ejemplos
4. Circuito RLC en serie - paralelo
Y matricialmente, si y :
Finalmente, dado que , se llega a:
Ejemplos
5. Dos masas - dos resortes
Si el conjunto de vve es y las salidas fueran (conformando el vector ) , una definición conveniente es :
Considerando que el modelo es:
Por lo que si
Y se puede concluir para y que 
Ejemplos
5. Dos masas - dos resortes
El modelo queda como:
Por lo que si si y 
de forma matricial queda:
Así
Y despejando y :
Ejemplos
6. Modelo de Presa - Depredador
Hay que notar que se trata de un sistema NO LINEAL de segundo orden expresado en vve, por lo que no es factible encontrar una forma matricial a menos que se linealice alrededor de un punto de operación
Ejemplos
6. Modelo de Presa - Depredador
Análisis de sistema linealizado en tono a un punto o puntos de equilibrio
LINEALIZACIÓN DE MODELO PRESA - DEPREDADOR
Para linealizar, se usa la serie de Taylor multivariable, en donde…
 
Por lo que la función alrededor de es…
Así, el sistema linealizado alrededor de es
Por lo que
Ejemplos
7. Infección de virus zombie 
Hay que notar que se trata de un sistema NO LINEAL de tercer orden expresado en vve, por lo que no es factible encontrar una forma matricial a menos que se linealice alrededor de un punto de operación
Definiendo:
: Motivación
: Acción Motivacional
: Trabajo
: Coficiente de desmotivación
: Coficiente de vinculación motivavión – acción motivacional
: Coficiente de deslaborización
: Coficiente de vinculación labor – motivación
	
	
Ejemplos
8. Motivación y trabajo de un empleado basado en su motivación
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Solución del Modelo matemático en variables de estado de un Sistema Dinámico
Introducción.
Como pudo ya entreverse, la representación en variables de estado de un sistema dinámico consiste más bien en un acondicionamiento o presentación alternativa del mismo, conveniente cuando se tienen más de una entrada o salida, y se quiere hacer un tipo de control mucho más robusto.
De esta forma, al ser solo una adecuación, los preceptos de la solución de sistemas dinámicos siguen prevaleciendo, esto es, puede dar solución exacta a solo a sistemas lineales invariantes en el tiempo por medio de la Transformada de Laplace matricial - vectorial. 
Para sistemas no lineales, lo más que se puede hacer es encontrar sus puntos de equilibrio por medio de resolver el sistema de ecuaciones haciendo todas las derivadas cero, y por medio del método directo o indirecto de estabilidad de Lyaponov encontrar la naturaleza de estabilidad de cada uno de ellos.
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
A continuación se presenta de forma gráfica 
la transformación entre espacios
Espacio de estados
Espacio de salidas
Espacio de
 derivadas 
de estados
Espacio de entradas
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Solución de la ecuación de estado
Considerando
Modelo (o ecuación) de estados: 
Donde: 
Vector de n estados; 
Vector de n derivadas de estados con respecto al tiempo
Vector de m entradas;
 Matriz de inercias (vinculación estados – derivada de estados)
 Matriz de vinculación entrada – derivada de estados;
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Si se aplica Trasformada de Laplace matricial
Se tiene
(por ser lineal, o sea, se aplica superposición y homogeneidad)
Así se llega a 
Donde 
 Variable de transformación de la Transformada de Laplace
Vector de transformada de Laplace de los n estados
Pasando del lado izquierdo y del lado derecho…
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Factorizando …
Despejando …
¡Que es la respuesta total en el dominio de s!
Donde 
 Matriz de transición de estados; 
Y tradicionalmente 
Por lo que…
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Usando los preceptos de Algebra matricial…
Recuerde que 
O
Note que 
Polinomio característico = 
Y recordando que las raíces de dicho determinante son los valores propios de A
Por lo que los polos del sistema son los valores propios de A
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
O sea…
 Respuesta libre en el dominio de s
 Respuesta forzada en el dominio de s
 En términos gráficos…
Espacio de estados en s
Espacio de condiciones iniciales
 
Respuesta 
libre en s
Respuesta 
forzada en s
Espacio de entradas en s
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Y si , por lo que 
O sea
Donde 
 Matriz exponencial, que es una matriz de funciones exponenciales
 Respuesta libre en el tiempo
 Respuesta forzada en el tiempo
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Por lo que la solución total es 
Y en forma gráfica…
Espacio de estados en t
Espacio de condiciones iniciales
Respuesta 
libre en t
Respuesta 
forzada en t
Espacio de entradas en s
Solución del Modelo matemático en forma matricial de un SLIT de orden n
Solución de la ecuación de salida:
De esta manera, si , entonces , por lo que 
O sea 
Que es la respuesta total de las salidas en el dominio de s
Y en el tiempo se tiene…
Ejemplo
Masa – Resorte - Amortiguador
Considere el sistema mostrado, con vve son y (a, ) salida , y en paralelo (b, ), y .
Para ambos casos (a y b), una definción de las vve, y de la entrada es:
; 
El modelo de la ecuación de estados es:
Por lo que 
Para encontrar la solución de se tiene que encontrar
Así, 
Ejemplo
Masa – Resorte - Amortiguador
Si
Que es el polinomio característico de A y del sistema, por lo que los polos y los valores propios de A son iguales
Por otro lado…
Y si
Entonces…
Por lo que 
Ejemplo
Masa – Resorte - Amortiguador
Si no hay condiciones iniciales, y la entrada es , entonces , por lo que la solución de la ecuación de estados se reduce a 
Entonces…
O sea
Por lo que 
Y
Ejemplo
Masa – Resorte - Amortiguador
Por lo que
Y
Y finalmente…
Si , entonces quiere decir que , o sea,
Por otro lado, , entonces 
Ejemplo
Masa – Resorte - Amortiguador
Si se considera como conjunto de vve , el modelo es:
Si se obtiene el polinomio característico de esta nueva matriz A se tiene: 
El polinomio característico es el mismo, por lo que los polos y la solución, considerando las mismas salidas (colocando correctamente las matrices C y D) que en el caso anterior
Simulación
Un sistema en variables de estados se puede simular fácilmente usando las reglas de construcción de los diagramas de bloques, y considerando que cada una de las variables de estado se deriva solo una vez, y su resultado es parte de la construcción de la derivada de las demás variables de estado, incluyendo la misma.
Para sistemas lineales, un diagrama genérico se muestra a continuación.
Para sistemas no lineales se pueden usar diagramas de bloques y realizar la configuración necesaria, o bien usar algunas otras herramientas y realizar las operaciones adecuadas para simular el modelo. Es importante destacar que para estos es acostumbradousar diagramas de fase para analizar la estabilidad del sistema.
Fuente: Ingeniería de Control; Ogata
Simulación
Ejemplo de un SLIT de orden dos con 1 entrada
Se simuló el sistema por medio de bloques y de bloque State Space
Las gráficas de la izquierda muestran el resultado. 
La de arriba del diagrama de bloques, mientras que la de abajo muestra el resultado usando el bloque State Space.
Puede verse que el resultado es el mismo.
Simulación
Ejemplo del sistema Presa Depredador
Se simuló el sistema Presa Depredador () en Matlab, considerando las constantes
; y condiciones iniciales 
Simulación por medio de bloques básicos
Diagrama de fase de Depredadores vs Presas
Gráfico de Depredadores vs tiempo
Gráfico de Presas vs tiempo
u
M
dt
dM
M
T
dt
dT
b
a
d
g
+
-
=
+
-
=