Trig-Recta-Cónicas - M

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE – FACULTAD DE ARQUITECTURA Y U RBANISMO 
CIENCIAS BÁSICAS 
1 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
Se llama Trigonometría a la rama de la matemática que estudia las relaciones 
entre los lados y los ángulos de triángulos, las propiedades y aplicaciones de las 
funciones trigonométricas de ángulos. 
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, 
que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que 
se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. 
En este curso trataremos los contenidos de la trigonometría plana. 
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la 
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era 
determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, 
o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de 
la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las 
ramas de la ingeniería y de la arquitectura, sobre todo en la resolución de 
triángulos rectángulos y oblicuángulos. 
¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para 
cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u 
otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando 
desde un ángulo hacia los otros. 
Para topografiar una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada 
ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de 
latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen 
sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un 
adolescente). Después de medir la base, el topógrafo medirá los ángulos que se 
forman con un punto y usará la trigonometría para calcular las demás distancias. 
Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán 
bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que 
se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. 
Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos 
grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán 
distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los 
planos. 
 
Un Poco De Historia 
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas 
en Egipto y en Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en 
grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica 
no comenzó la trigonometría en las matemáticas. 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla 
trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y 
yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda 
delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de 
radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza 
el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el 
astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema 
numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. 
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de 
cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor 
que 1/3.600 de unidad. 
Al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado 
también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas 
como los griegos. 
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las 
tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En 
las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras 
cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas 
fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. 
Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que 
produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes 
también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. 
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de 
traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el 
siglo XII. 
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático 
escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. 
También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y 
algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos 
esféricos oblicuos. 
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de 
Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los 
fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones 
matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. 
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. 
Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al 
análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las 
matemáticas puras como en las aplicadas. 
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las 
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números 
complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas 
aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las 
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propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la 
aritmética de los números complejos. 
 
Generación de Ángulos 
Los ángulos son generados por una semirrecta móvil al girar alrededor de su 
origen, el que es un punto fijo del plano. 
Sean O (punto fijo) y OX semirrecta móvil, la que al pasar de su posición inicial 
a otra OX’, describe el ángulo XOX’ 
 
 
 X’ X’ 
 
 
 
 
 
 O X O X 
 
 
Signo de los ángulos: Existen 2 sentidos de giro: uno positivo y el otro negativo. 
Es positivo el sentido de giro contrario al movimiento de las agujas del reloj. 
 
 
 X’ 
 O X 
 _ 
 + 
 
 O X X’ 
 
 
 
Medida de los ángulos 
 
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. En 
trigonometría existen tres sistemas de medición: sexagesimal, circular y 
centesimal. 
 
Sistema sexagesimal 
 
Unidad de medida: grado sexagesimal, que es la noventa ava parte del ángulo 
recto. 
Submúltiplos: minuto sexagesimal y segundo sexagesimal. 
90
1R
1 =� 
60
1
1'
� = 
60
1'
'1' = ó 
'60'1' 
60'1º 
901R
=
=
= º 
 
 
1 ángulo llano = 180º 1 ángulo de un giro = 360º 
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Sistema Circular 
Angulo de un radián: es el ángulo central cuyo arco tiene una longitud igual al 
radio de la circunferencia en la que se encuentra. 
 
α = ángulo de un radián ⇔ long. ab = long. radio ob 
 
 
 a 
 
 
 
 α 
 O b 
 
Para un ángulo de un giro completo α = 360º y como la longitud de una 
circunferencia es long. 6,2832r 2C == π radios, ⇒ 360º = 2 π radianes 
 180º = π radianes 
 90º = 
2
π
 
 
Sistema Centesimal 
 
Unidad de medida = grado centesimal = 1G = centésima parte de un ángulo recto 
100
1R
1G = ⇒ 1R = 100 G 
 






=⇒=
=⇒=
c100"c1'
100
c1'
c1"
c100'1
100
1
 c1'
 ossubmúltipl
G
G
 
 
∴ 1 ángulo llano = 200G 
 1 ángulo de un giro = 400G 
Ejemplo α̂= 28G 33 ‘ 29 “ = 28G , 3329 
 
 
 
CAMBIO DE UNIDAD – PASAJE DE UN SISTEMA A OTRO 
 
 
1) Del sistema sexagesimal al circular y viceversa 
a) Del sexagesimal al circular 
360º 2 π radianes 
 αº α r 
 entonces, 
360º
rad 2 . ºr παα = 
 
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b) Del circular al sexagesimal 
 2 π rad 360º 
 α r αº entonces, 
rad 2
360º .r
º
π
αα = 
 
2) Del sistema centesimal al circular y viceversa 
 
a) Del sistema centesimal al circular 
 
400G 2 π rad 
 αG α r entonces, 
G
G
400
rad 2 .r παα = 
 
b) Del sistema circular al centesimal 
 
 2 π rad 400G 
 α r αG entonces, 
rad 2
400 .r GG
π
αα = 
 
3) Del sistema sexagesimal al centesimal y viceversa 
 
a) Del sistema sexagesimal al centesimal 
 
 90º 100G 
 αº α G entonces, 
90º
100 . º GG αα = 
 
b) Del sistema centesimal al sexagesimal 
 
 100G 90º 
 αG αº entonces, 
G
G
100
90º .
º
αα = 
 
 
 
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 
 
Sea el ángulo α, con vértice en O y sobre uno de sus lados (la semirrecta 
OX ) tracemos las perpendiculares b"a" ,b'a' ab, , las que determinan 
triángulos semejantes (por tener dos ángulos iguales: α y el recto); en los 
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triángulos semejantes los lados homólogos son proporcionales y podemos 
entonces escribir las siguientes razones. 
 
 b 
 b” β 
 b’ 
 b 
 
 
 α α 
 o a a’ a” x o a 
 
 
α
α
 a adyacente cat.
 a opuesto cat.
oa"
b"a"
oa'
b'a'
oa
ab
 
 === y 
 
 
hipotenusa
 a opuesto cat.
ob"
b"a"
ob'
b'a'
ob
ab α=== 
 
estas razones son sólo algunas de las que podemos escribir, lo que importa 
destacar es que son números abstractos, independientes de las dimensiones de los 
lados del triángulo, sólo dependen del valor del ángulo α. 
 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS : son los números abstractos que se 
obtienen de las razones que pueden establecerse entre los pares de lados de un 
triángulo. 
Ellas son: 
 
ab
ob
 
 a opuesto cat.
hipotenusa
 cosec ; 
ob
ab
 
hipotenusa
 a opuesto cat.
 sen ====
α
ααα
 
oa
ob
 a adyacente cat. 
hipotenusa
 sec ; 
ob
oa
 
hipotenusa
 a adyacente cat. 
 cos ====
α
ααα
 
ab
oa
 a opuesto cat.
 a adyacente cat.
 cotg ; 
oa
ab
 a adyacente cateto
 a opuesto cateto
 tg ====
α
αα
α
αα 
 
 
Sólo hemos escrito las funciones trigonométricas del ángulo agudo α, también 
pueden escribirse las del ángulo agudo � �o b a β ( ) 
 
Como α + β = 
2
π
 (ángulos complementarios)





⇒
α−
2
π=β
β−
2
π=α
 
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Al escribir las funciones trigonométricas de β̂ , observamos que en ángulos 
complementarios las funciones de uno de ellos, son las cofunciones del otro. 
 
 
 
ob
ab
 sen =α 
ob
oa
 sen =β seno 
 
ob
oa
 cos =α 
ob
ab
 cos =β coseno 
 
oa
ab
 tg =α 
ab
oa
 tg =β tangente 
 
ab
oa
 cotg =α 
oa
ab
 cotg =β cotangente 
 
oa
ob
 sec =α 
ab
ob
 sec =β secante 
ab
ob
 cosec =α 
oa
ob
 cosec =β cosecante 
 
 
Relaciones entre las funciones trigonométricas de un ángulo 
 
 cosec
1
 sen
α
=α 
 cotg
1
 tg
α
α = 
 cos
1
 sec
α
α = 
 
 = 1cos 
secante 
α
α
 
α
α
 tg
1
 cotg = 
α
α
 sen
1
 cosec = 
 
= α
sen α
tg 
cos α
 ^ = α
cos α
cotg 
sen α
 
 
 
FUNCIONES EN EL CIRCULO TRIGONOMETRICO 
 
 
Círculo trigonométrico: es el círculo cuyo radio se considera la unidad, y en el 
cual existe sentido de giro positivo para los ángulos. 
 
 
 y x’ ox’ corta al círculo en M 
 M (x ; y) 
 M N (x ; 0) ON = abscisa = x 
 O (0 , 0) NM = ordenada = y 
 α OM = radio vector = ρ 
 -x o N x con x, y, ρ formamos las 
 siguientes razones en el triángulo ONM
∧
 
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ρ
α y sen = 
ρ
α x cos = 
x
y
 tg =α 
 
y
 cosec
ρα = 
x
 sec
ρα = 
y
x
 cotg =α 
 
El radio vector ρ siempre se toma con signo positivo; de los semiejes 
)( oy ; )( oy ; )( ox ; )(ox −+−+ ya se conocen sus signos. 
 
Valores exactos de las funciones trigonométricas de los ángulos de: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º 
 
Valores para α = 0º 
 
Si α = 0º ⇒ 



==
=
1x
0y
ρ
 ∴ 
 
 0
1
0
 
y
 0º sen ===
ρ
, 1
1
1x
 0º cos === 
ρ
, 0
1
0
x
y
oº tg === ,∞===
0
1
y
x
0º cotg , 1
1
1
x
 0º sec === ρ , ∞===
0
1
y
 0º cosec
ρ
 
 
Valores para α = 90º 
 
Si α = 90º ⇒ 





=
=
=
1ρ
0x
1y
 
1
1
1
ρ
y
90º sen === , 0
1
0
ρ
x
90º cos === , ∞===
0
1
x
y
 90º tg 
 
0
1
0
y
x
 90º cotg === , ∞===
0
1
x
1
90º sec 1
1
1
y
ρ
90º cosec === 
 
Valores para α = 60º 
 c 
 
 0601 =ˆ 
 
 
 
 0603 =ˆ d 
 
 
 0602 =ˆ 
 0304 =ˆ 0305 =ˆ 
 a b 
 En 
Δ
acd tenemos 60º360º21 === ∴ ˆˆˆ 
⇒ 
Δ
acd es equilátero y cdadac == � 
En 
Δ
abd tenemos ∴== ˆˆ 30º54 
Δ
abd es 
isósceles y bdad = � 
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De � y � dbcdac == 
Si hacemos 2cb1ac =⇒= 
Por Pitágoras resulta 22
22
12accbab −=−=⇒ 3ab =⇒ 
Aplicando estos valores en 
Δ
abc : 
 
3
32
3
2
ab
cb
60º cosec ; 
2
3
cb
ab
60º sen ===== 
 
 2
1
2
ac
cb
60º sec ; 
2
1
cb
ac
60º cos ===== 
 
 
3
3
3
1
ab
ac
60º cotg ; 3
1
3
ac
ab
60º tg ====== 
 
Valores para α = 30º 
Usemos el mismo gráfico, y apliquemos los valores de los lados al triángulo 
Δ
abc y 
consideremos el ángulo 30ºb =ˆ 
 
2
1
2
ac
cb
30º cosec ; 
2
1
cb
ac
30º sen ===== 
 
3
32
3
2
ac
cb
30º sec ; 
2
3
cb
ab
30º cos ===== 
 
3
1
3
ac
ab
cotg30º ; 
3
3
3
3
3
1
ab
ac
30º tg ======= 
 
Valores para α = 45º 
 
Construimos un triangulo isósceles 
 Haciendo 1abac == , por Pitágoras es: 
 c 211abaccb
22
=+=+= Luego: 
 
2
2
2
1
cb
ac
45º sen === 
2
2
2
1
cb
ab
45º cos === 
 �45 
 1
1
1
ac
ab
cotg45º ; 1
1
1
ab
ac
45º tg ====== 
 �45 
2
1
2
ac
cb
45º cosec
 ; 2
1
2
ab
cb
45º sec
===
===
 
 a b 
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α 
 
0º 
 
30º 
 
45º 
 
60º 
 
90º 
 
 Sen α 
0 2
1
 
2
2
 2
3 1 
 Cos α 1 
2
3
 
2
2
 2
1
 
0 
 Tg α 0 
3
3
 
1 3 ∞ 
 Cotg α ∞ 3 1 
3
3
 
0 
 Sec α 1 
3
32
 
2 2 ∞ 
 Cosec α ∞ 2 2 
3
32
 
1 
 
Para recordar: 
Sean los enteros 0, 1, 2, 3, 4, la mitad de la raíz cuadrada de cada uno de ellos son los 
valores del sen de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º 
 
2
2
45º sen ,
2
1
30º sen , 
2
0
0º sen === , 
2
4
90º sen , 
2
3
60º sen == 
 
Los valores del coseno se hallan por ángulos complementarios. 
 
 
SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES 
 
 
 
 
 IIc Ic IIc Ic IIc Ic 
 + + - + - + 
 
 
 IIIc IVc IIIc IVc IIIc IVc 
 - + - + + - 
 
seno y coseno y tangente y 
cosecante secante cotangente 
 
Regla de los signos 
 
1) El signo del seno y de la cosecante es el de la ordenada. 
2) El signo del coseno y de la secante es el de la abscisa. 
3) El signo de la tg y de la cotangente es positivo cuando lo son la ordenada y la 
abscisa, o cuando la ordenada y la abscisa son negativas. 
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Representación Geométrica de las Funciones Trigonométricas 
 
En el primer cuadrante: 
 
 y 
 σ’ b c 
 
 t 
 n m 
 ρ 
 
 α 
 o p a 
 x 
 
 
 
 σ 
 
 
 
 
Círculo trigonométrico de centro o y radio ρ ; α̂ ángulo central de arco am ; a es origen 
del arco y m extremo libre. En este círculo podemos marcar los segmentos que 
representan gráficamente a las funciones trigonométricas. 
 
 
pm
pm
om
pm
sen ===
ρ
α (+) (longitud de pm ) 
op
op
om
op
 cos ===
ρ
α (+) 
 
Si trazamos por a la tg a la circunferencia, obtenemos σ llamado el eje de las tangentes. 
El eje de las cotangentes σ’ trazado por b, es el segundo eje tg. 
 
 at 
at
oa
at
op
pm
 tg ====
1
α (+) (longitud del segmento at ) 
bc
bc
ob
bc
on
nm
pm
op
cotg =====
1
α (+) 
ot
ot
oa
ot
op
om
 sec ====
1
α (+) 
oc
oc
ob
oc
on
om
pm
om
 cosec =====
ρ
α (+) 
 
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En el segundo cuadrante: 
 
 
 
 y 
 σ’ c b 
 p σ )( mp sen +=α 
 )(om cos −= α 
 at tg =α (-) 
 α cb cotg =α (-) 
 m o a x ot sec =α (-) 
 oc cosec =α (+) 
 
 
 
 t 
 
 
 
 
 
 
En el tercer cuadrante 
 
 
 y 
 σ’ b c)( mp sen −=α 
 t ( ) - opcos =α 
 α ( )+= at tg α 
 )( bccotg +=α 
 p o a x )( otsec −=α 
 (-) occosec =α 
 
 m 
 σ 
 
 
 
 
 
 
 
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En el cuarto cuadrante: 
 y 
 
 c b σ’ 
 
 
 ( )- mpsen =α 
 σ ( )+= opcos α 
 α ( )- attg =α 
 o p a x ( )- bccotg =α 
 ( )- otsec =α 
 ( )- occosec =α 
 m 
 
 t 
 
 
Relaciones entre las funciones trigonométricas de un ángulo 
 
1
y
.
y
 cosec . sen == ρ
ρ
αα tg
x
y
x
.
yx
:
y
 cos
 sen αρ
ρρρα
α ==== 
 cotg
y
x
y
.
xy
:
x
 sen
 cos αρ
ρρρα
α ==== 1
y
x
 . 
x
y
 cotg . tg ==αα 
 
 y 
Relaciones Pitagóricas 
 m 
1) 
222
omnmon =+ ρ 
 222 yx ρ=+ o α n x 
222
yx





=




+





ρ
ρ
ρρ
 
 
cos 2 α + sen 2 α = 1 ∴ α2α cos1sen −±= αα 2sen-1 cos =∧ 
 
2) x 2 + y 2 = ρ2 
2
x
ρ
2
x
y
2
x
x





=




+




 ∴ α2α2 sectg1 =+ 
 
3) x 2 + y 2 = ρ2 
2
y
2
y
y
2
y
x






=





+




 ρ
 ∴ αα 2cosec12cotg =+ 
 
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14 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo conociendo: 
 
1) conociendo el seno del mismo: 
Dato: α sen , se parte de: sen 2 α + cos 2 α = 1 
 
 2 ⇒ = ± −cos 1 senα α =
± − 2
1
sec 
1 sen
α
α
 
 
 =
± − 2
sen 
tg 
1 sen
αα
α
 
± −=
21 sen 
cotg 
sen 
αα
α
 
 
 y = 1cosec 
sen 
α
α
 
 
2) Conociendo el coseno del ángulo 
 Dato: cos α = 1sec 
cos 
α
α
 
 
 = ± − 2sen 1 cosα α =
± − 2
1
cosec 
1 cos
α
α
 
 
 
± −=
21 cos 
tg 
cos 
αα
α
 =
± − 2
cos 
cotg 
1 cos
αα
α
 
 
3) Conociendo la tg del ángulo 
 
Dato: tg α 
 
⇒ + = ÷2 2 2sen cos 1 por sen α α α 
 
+ = ⇒
2 2
2 2 2
sen cos 1
sen sen sen
α α
α α α
 + = ⇒2 2
1 1
1
tg sen α α
 
+ =
2
2 2
tg 1 1
tg sen 
α
α α
 
= ⇒
+
2
2
2
tg 
sen 
1 tg 
α α
α
 = ⇒
± + 2
tg 
sen 
1 tg
αα
α
 =
± − 2
1
cos 
1 tg 
α
α
 
 tg
1
 cotg
α
α = 
± +
=
21 tg
cosec 
tg 
α
α
α
 = ± + 2sec 1 tg α α 
 
 
 
 
 
 
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15 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
4) Conociendo la cotangente del ángulo 
 
Dato: α cotg 
Como + = = ± +∴2 2 2cotg 1 cosec cosec 1 cotg α α α α 
 cotg1
1
 sen
2α
α
+±
= α=
± + 2
cotg 
cos 
1 cotg 
α
α
 
 
 = 1tg 
cotg 
α
α
 
± +
=
21 cotg
sec 
cotg 
α
α
α
 
 
5) Conociendo la secante del ángulo 
 Dato: α sec 
⇒ = 1cos 
sec 
α
α
 
± −=
2sec 1
sen 
sec 
αα
α
 
 
= ± −2tg sec 1α α =
± −2
1
cotg 
sec 1
α
α
 
 
6) Conociendo la cosecante del ángulo 
 Dato: cosec α 
α
α
 cosec
1
 sen =⇒ 
α
α
α
 cosec
1 cosec
 cos
2 −±= 
 
 
1 cosec
1
 tg
2 −±
=
α
α 1 cosec cotg 2 −±= αα 
 
 
1 cosec
 cosec
 sec
2 −±
=
α
α
α 
 
 
REDUCCIÓN AL 1 ER CUADRANTE 
Hallar el valor del ángulo α si: 
 
 y y y 
 
 β 
 α β β 
 x x α x 
 α 
α = 180º - β 
α es suplemento β = 180º + α β = 360º - α 
 α = β - 180º α = 360º - β 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 
 
Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus elementos (3 lados y 3 
ángulos) conocidos algunos de ellos. 
Según los datos que se conozcan, se pueden presentar cuatro casos: 
 
CASO DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS 
I Los tres lados: a, b, c Los tres ángulos A, B, C 
II Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C Dos lados y un ángulo: b, c, A 
III Dos lados y el ángulo formado: a, b, C Un lado y dos ángulos: c, A, B 
IV 
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de 
ellos: a, b, A 
Un lado y dos ángulos: c, B, C 
 
Podemos resolver problemas de triángulos rectángulos y de triángulos 
oblicuángulos. 
 
Ejemplo: dada la siguiente tabla conteniendo datos del triángulo rectángulo 
ABC, calcular los datos que faltan: 
1) A =45º , B =75º , c =5 2) A =70º , b =4,5 , c =5 3) b =9 , a =7 , A =45º 
4) a =8 , b =4 , A =40º 5) b =6 , a =4 , A =50º 6) a =4 , b =5 , c =7 
 
No siempre tendremos que resolver triángulos rectángulos. Existen otros 
triángulos que no son rectángulos, los que reciben el nombre de oblicuángulos. 
 
Triángulos Oblicuángulos 
Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los 
tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c. 
 
 
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17 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
Para resolver triángulos oblicuángulos es necesario conocer la propiedad de la 
suma de los ángulos de un triánguloy dos importantes teoremas: el teorema del 
seno y el teorema del coseno. 
Suma de los ángulos de un triángulo A + B + C = 180º 
Teorema del seno 
C sen
c
B sen
b
 Asen
a == 
Teorema del coseno 
a2 = b2 + c2 - 2·b·c· cos A 
b2 = a2 + c2 - 2·a·c· cos B 
c2 = a2 + b2 - 2·a·b· cos C 
 
 
Teorema del seno 
 
Los lados de un triángulo son Proporcionales a los senos de los ángulos opuestos 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
 
== 
 
Demostración 
Dada la figura: 
 
 
La altura hc delimita dos triángulos rectángulos AHC y BHC, en los cuales es: 
 






=⇒=
=⇒=
Bsena h
a
h
sen
Asenb h
b
h
Asen
c
c
c
c
 . . B 
 . . 
 
Por lo tanto tenemos la siguiente igualdad:
Bsen
b
Asen
a
 
= 
 
 
Si hiciésemos un cálculo similar con la altura del vértice A resulta: 
 
Como los primeros miembros son 
iguales, es: BsenaAsenb . . = 
1 
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18 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La altura ha delimita dos triángulos rectángulos AMB y AMC, en los cuales es: 
 






=⇒=
=⇒=
Bsenc h
c
h
sen
Csenb h
b
h
Csen
a
a
a
a
 . . B 
 . . 
 
Por lo tanto tenemos la siguiente igualdad:
Bsen
b
Csen
c
 
= 
 
por lo que de 1 y 2 podemos afirmar que: 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
 
== 
 
Teorema del coseno 
 
el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados 
menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo 
comprendido. 
 
a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A) 
b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B) 
c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C) 
 
Demostración 
1. Si el ángulo opuesto es agudo. 
Considérese un triángulo como el siguiente: 
 
Por el Teorema de Pitágoras: 
ah 
A 
B 
C 
M
b 
c 
a 
Como los primeros miembros son 
iguales, es: BsencCsenb . . = 
2 
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19 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
a2 = h2 + (c − m)2 [1] 
b2 = h2 + m2, lo que implica que h2 = b2 − m2 [2] 
Reemplazando [2] en [1]: a2 = b2 − m2 + (c − m)2 
Desarrollando: a2 = b2 − m2 + c2 + m2 − 2cm 
Simplificando: a2 = b2 + c2 − 2cm 
Finalmente, sabiendo que m = b . cos A , se deduce: 
a2 = b2 + c2 − 2bc . cosA 
 
2. Si el ángulo opuesto es obtuso. 
Partiendo de otro punto de vista se resuelve análogamente al caso anterior: 
 
Por el Teorema de Pitágoras: 
a2 = h2 + (c + m)2 
b2 = m2 + h2, por lo que h2 = b2 − m2 
Reemplazando, desarrollando y simplificando: 
a2 = b2 − m2 + (c + m)2 
a2 = b2 − m2 + c2 + m2 + 2cm 
a2 = b2 + c2 + 2cm 
Teniendo en cuenta que: m = b . cos (180 − A), por las identidades 
trigonométricas: m = − b . cos(A), llegamos a la misma conclusión que antes: 
a2 = b2 + c2 − 2bc . cos A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
LA RECTA EN EL PLANO 
 
Si se consideran los puntos 
1 1 1 2 2 2 3 3 3( ; ); ( ; ); ( ; )... ( ; )n n nP x y P x y P x y P x y que 
pertenecen todos a la misma función lineal, 
llamada recta, la que en este caso pasa por el 
origen de coordenadas, podemos hallar la 
ecuación de la misma. En la figura, se puede 
observar que todos esos puntos forman 
triángulos semejantes ya que todos ellos 
tienen un ángulo en común. 
Por la condición de triángulos semejantes, 
se verifican las siguientes proporciones: 
31 2
1 2 3
... n
n
y yy y
m
x x x x
= = = = =
 
Generalizando :
y
P r m
x
∀ ∈ = , si se despeja la variable “y” podemos entonces 
escribir la ecuacióny mx= , denominada ecuación de la recta que pasa por el 
origen y contiene a los puntos 
1 1 1 2 2 2 3 3 3( ; ); ( ; ); ( ; )... ( ; )n n nP x y P x y P x y P x y 
El valor de “m” recibe el nombre de pendiente o coeficiente angular de la 
recta y representa la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el 
semieje positivo de las abscisas. 
y
y tg x
x
= =
 
Si a todas las ordenadas de los puntos les 
sumamos un valor constante “b” llamado 
ordenada al origen o parámetro deposición, 
obtenemos la ecuación explícita de la recta. 
Así lo muestra la figura siguiente cuya 
ecuación es: 
y mx b= + 
Nótese que si b=0, entonces la recta pasa 
por el origen y la ecuación explícita toma la 
forma particular y mx= 
 
 
y
xO
x1 x2 x3
y1
y2
y3
P1
P2
P3
A B C
r
y
xb
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
ECUACION GENERAL 
 
La ecuación de la recta y mx b= + se puede escribir de la forma 0mx y b− + = , 
que a su vez se puede expresar como 0Ax By C+ + = denominada ecuación 
general o implícita de la recta, que es una ecuación de primer grado con dos 
incógnitas. 
Si despejamos la variable “y”: 
A C
y x
B B
= − − la cual se compara con la expresión y mx b= + , de donde: 
A
m
B
= − y Cb
B
= − 
Por ejemplo, para la recta de ecuación 6 2 4 0x y− + = 
6
3
2
A
m m m
B
= − ⇒ = − ⇒ =
−
 
4
2
2
C
b b b
B
= − ⇒ = − ⇒ =
−
, por lo tanto: 
3 2y x= + 
 
En función de los valores que adopten los coeficientes A, B y C tenemos 
posiciones relativas a los ejes: 
1) Si A=0, quedará 
C
y
B
= − , con 0; 0C B≠ ≠ . Gráficamente, es una recta 
paralela al eje de las abscisas (eje x) 
 
2) Si B=0, quedará 
C
y
A
= − , con 0; 0C A≠ ≠ . Gráficamente, es una recta 
paralela al eje de las ordenadas (eje y) 
 
3) Si C=0, quedará 
A
y
B
= − , con 0; 0A B≠ ≠ . Gráficamente, es una recta que 
pasa por el origen de coordenadas. 
x
y
y=k x=h Ax+By=0
A=0 B=0 C=0
Posiciones particulares de la recta respecto de los ejes coordenados.
y y
x x
 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
ECUACION SEGMENTARIA 
Si escribimos la ecuación general podemos escribir de otra manera a la recta 
llamada ecuación segmentaria. 
0Ax By C+ + = 
pasando C al segundo miembro. 
Ax By C+ = − 
dividiendo por –C 
Ax By C
C C C
−+ =
− − − 
reordenando: 
1
x y
C C
A B
+ =− − y si se llama p y q a las fracciones de los denominadores: 
1
x y
p q
+ = que es la denominada ecuación segmentaria de la recta. 
Donde los valores “p” y “q” son los segmentos que forma la recta con los ejes 
coordenados; o, dicho de otra manera, son los puntos donde la recta corta a los 
ejes coordenados ( ;0) (0; )p y q . 
Donde “p” recibe el nombre de abscisa al origen y “q” es de ordenada al 
origen. 
 
ECUACION DEL HAZ DE RECTAS QUE PASAN POR UN PUNTO 
Por un punto pasan infinitas rectas, todas tienen en común el mismo punto, 
pero varían en la inclinación respecto del eje X es decir tienen distintas 
pendientes por ello podemos hacer el siguiente análisis: 
Si partimos de la ecuación explicita y mx b= + como dicha ecuación verifica 
las coordenadas del punto 1 1 1( ; )P x y entonces nos 
queda 1 1y mx b= + si despejamos de esta última 
expresión el valor de la ordenada al origen “b” 
tenemos: 
1 1b y mx= − y reemplazando en la ecuación 
y mx b= + , quedando de la siguiente manera: 
1 1y mx y mx= + − en ella, sacando factor común 
“m” y despejando tenemos la ecuación buscada 
( )1 1y y m x x− = − 
y
x
Q(0;b)
P(a;0)
y
x
y1
x1
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 
Si queremos encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos nos 
basamos en la ecuación de las infinitas rectas que pasan por un punto salvo que 
esta al tener una pendiente definida es única. Si conocemos las coordenadas de 
los puntos 1 1 1 2 2 2( ; ) ( ; )P x y y P x y podemos razonar de la siguiente manera, como la 
pendiente “m” de una recta es la tangente trigonométricadel ángulo que la recta 
forma con el semieje positivo de las x tenemos que: 
2 1
2 1
y y
tg m
x x
α −= =
−
, y reemplazando en la ecuación del haz de rectas que pasan por 
un punto tenemos: 
( )2 11 2 1
2 1
y y
y y x x
x x
−− = −
−
 que es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
 
Utilizando la figura anterior podemos también calcular la distancia que existe 
entre los dos puntos, utilizando el 
teorema de Pitágoras suponiendo que la 
distancia es la hipotenusa nos queda: 
( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2PP PN NP= + 
( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 
( ) ( )2 21 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 
( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + − 
y
x
P2(x2;y2)
P1(x1;y1)
x2-x1
y2-y1
x1 x2
y
x
P2
P1
x1 x2
y2
y1 x2-x1
y2-y1
O
N
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24 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
ANGULO ENTRE DOS RECTAS. 
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. 
Para determinar el ángulo que forman un par de rectas es necesario tener como 
datos las dos rectas dadas en forma explícita ya que vamos a demostrar que la 
forma para calcular dicho ángulo se basa en el uso de sendas pendientes. 
Datos 
1 1 1 1
2 2 2 2
y mx b m tg
y mx b m tg
α
β
= + ⇒ =
 = + ⇒ = 
Si llamamos ω al ángulo que forman las 
rectas vemos según el gráfico que 
ω β α= − y usando las fórmulas de la 
trigonometría vemos que la: 
( ) 1 21 2
1 21 .
tg tg
tg tg
tg tg
α αω α α
α α
−= − =
+ 
Pero como nosotros buscamos el ángulo ω 
aplicamos el arco tangente y nos queda: 
1 2
1 21 .
m m
arctg
m m
ω
 −=  +  
 
CONDICIÓN DE PARALELISMO: 
Si dos rectas son paralelas el ángulo que forman entre ellas es de valor 0 por 
tal motivo la tangente trigonométrica de 0 es igual a 0 donde: 
1 2
1 2
0
1 .
m m
tg
m m
ω
 −= = +  
Para que este cociente sea cero el numerador debe ser cero 2 1 0m m⇒ − = , por tal 
motivo: 2 1m m= 
Conclusión: Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. 
 
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD: 
Si dos rectas son perpendiculares el ángulo que forman entre si es de 90º y la 
tangente trigonométrica de un ángulo recto es infinito, por tal motivo para que un 
cociente sea infinitamente grande el denominador de dicho cociente tiene que ser 
infinitamente pequeño, podemos intuir entonces que en el cociente el 
denominador es igual a cero: 
y
x
O
w
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
1 2
1 21 .
m m
m m
− → ∞
+
 
1 21 . 0m m+ = ∴ 2
1
1
m
m
= − 
Conclusión: Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son 
recíprocas y opuestas. 
 
ECUACION NORMAL DE LA RECTA 
Si conocemos la distancia que la recta tiene respecto del origen de 
coordenadas y el ángulo que dicha distancia forma con el eje “x” podemos 
encontrar otra ecuación de la recta denominada ecuación normal de la recta. 
Si partimos de la ecuación segmentaria de la recta: 
 
1
x y
a b
+ =
 
 
Y trabajamos con los triángulos que se 
ven en la figura ONP y ONQ y 
escribimos a los valores “a” y “b” de la 
ecuación segmentaria en función del 
coseno y seno del ángulo α 
respectivamente de la siguiente manera: 
 
En ONP cos cos
cos
ON d d
a
aOP
α α
α
= ∴ = ⇒ = 
En ONQ 
ON d d
sen sen b
b senOQ
α α
α
= ∴ = ⇒ = 
y
x
Q
P
b
a
N
d
y
x
r1
r2
y
x
r1 r2
90°
Rectas paralelas Rectas perpendiculares
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26 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
Reemplazando los valores de a y b en la ecuación segmentaria nos queda: 
cos
1 1
cos
x y x y sen
d d d d
sen
α α
α α
+ = ⇒ + =
 
cos
1
x y sen
d
α α+ = 
cosx y sen dα α+ = 
cos 0x y sen dα α+ − = 
 
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 
Mediante la ecuación normal de la recta demostrada en el tema anterior podemos 
calcular la distancia que existe entre un punto de coordenadas conocidas y la 
recta cuya ecuación también es conocida. 
Dada la ecuación normal de la recta r y el punto P1: 
1cos 0x y sen dα α+ − = y 1 1 1( ; )P x y 
Para la demostración buscamos una recta r` que pasa por el punto P1 y es 
paralela a la recta dada r y la distancia buscada la vamos a llamar d y está dado 
por el segmento 1Q P d+ = . Por lo tanto la ecuación de la nueva recta paralela a r 
tendrá como ecuación: 
( )1cos 0x y sen d dα α+ − + = 
Como la recta pasa por el punto verifica entonces sus coordenadas y sacando los 
paréntesis y despejando d nos queda: 
1 1 1cosd x y sen dα α= + − 
No siempre se tiene como dato la 
ecuación normal de la recta por lo tanto 
para calcular la distancia entre la recta 
y un punto se utiliza la ecuación 
HESSIANA que no es nada más ni 
nada menos la ecuación normal escrita 
con los coeficientes de la ecuación 
general de la recta lo que hace mucho 
más sencillo el cálculo de la distancia, 
dicha ecuación si bien no la 
demostramos la indicamos acá: 
1 1
2 2
. .A x B y C
d
A B
+ +=
± + 
 
y
x
d1
r
r'
d
P1(x1;y1)
Q
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27 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS 
Para obtener la distancia que existe entre dos rectas paralelas no hay una fórmula 
específica, utilizamos la fórmula que permite calcular la distancia de un punto a 
una recta. 
El procedimiento para calcular la distancia entre las rectas se procede de la 
siguiente manera: se debe tener como dato las ecuaciones de ambas rectas una en 
forma explícita y la otra en forma general, con la ecuación explícita encontramos 
un punto que pertenece a dicha recta y luego calculamos la distancia que existe 
entre ese punto y la otra recta utilizando la fórmula de distancia vista en el tema 
anterior, y el problema está resuelto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
CÓNICAS 
 
Apolonio de Perge fue un geómetra griego del s.III a.C. famoso por su obra 
“Sobre las Secciones Cónicas”. Recopiló su labor en ocho libros y se lo conoce 
como el Gran Geómetra. Fue Apolonio quien le dio nombre a las cónicas tal cual 
las conocemos en la actualidad. Su obra abarca cónicas, curvas planas y la 
cuadratura de sus áreas. 
 
Las secciones cónicas, o cónicas solamente, son curvas que se obtienen como 
la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del 
cono. Las distintas cónicas surgen en función de la inclinación del plano respecto 
del eje del cono. Si el plano es perpendicular al eje produce una circunferencia; 
si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una 
generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la 
curva es una hipérbola. 
La ecuación general de segundo grado en dos variables es: 
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx 
 
En adelante solamente se tratarán cónicas cuyos ejes sean paralelos (o 
coincidentes) a los ejes coordenados, de manera que el término rectangular será 
nulo, por lo que B=0. La ecuación tratada quedará entonces como: 
022 =++++ FEyDxCyAx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Secciones cónicas. 
IMAGEN: http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Parabola.html 
 
CIRCUNFERENCIA ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA 
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29 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
CIRCUNFERENCIA. 
 
Se conoce con el nombre de circunferencia al conjunto de los puntos del 
plano que equidistan de un punto fijo que se encuentra en el mismo plano.El 
punto fijo se conoce con el nombre de centro y la distancia a los puntos se 
conoce con el nombre de radio. 
 
O también: 
Se conoce con el nombre de circunferencia al conjunto de los infinitos puntos 
del plano que equidistan de un punto llamado centro, una distancia llamada 
radio. 
 
La circunferencia cuyo centro es el punto de coordenadas (h, k) y cuyo radio 
es la constante r, tiene por ecuación: 
 
( ) ( ) 222 rkyhx =−+− ecuación canónica o cartesiana de la circunferencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la mencionada ecuación se puede obtener la siguiente expresión para el radio: 
( ) ( )22 kyhxr −+−= 
También se puede establecer que la circunferencia con centro en el origen de 
coordenadas verificará que 00 == xyh , por lo cual su ecuación canónica será: 
222 ryx =+ 
(0;0)
r
P=(x;y)
y
x
C=(h;k)
Figura 2: Elementos de una circunferencia. 
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30 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Nótese que en el caso de que h=0, no habrá desplazamiento en x, por lo que el 
centro se encontrará sobre el eje de las ordenadas, mientras que si k=0, no habrá 
desplazamiento en y, por lo cual el centro se situará sobre el eje de las abscisas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si se resuelven los cuadrados de binomio que aparecen en la ecuación 
canónica de la circunferencia: 
22222 22 rykkyxhhx =−++−+ 
022 22222 =−++−−+ rkhkyhxyx 
 
Figura 3: Distintas posiciones de la circunferencia. a) caso general. b) circunferencia 
centrada en el origen. c) origen sobre el eje de las ordenadas. d) origen sobre el eje 
de las abscisas. 
( )22 2)c x y k r+ − = ( )2 2 2)d x h y r− + =
( ) ( )2 2 2)a x h y k r− + − = 2 2 2)b x y r+ =
C=(0;0)
C=(h;k)
r
P=(x;y) r
P=(x;y)
y
x
y
x
C=(h;0)
r
C=(0;k)
r
k h
y y
xx
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31 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
que se escribe cual: 
 
022 =++++ FEyDxyx ecuación general de la circunferencia. 
 
Para el caso de una circunferencia siempre se tendrá que A=C, constantes que 
pueden o no ser iguales a la unidad. 
 
Además, nótese que: 
2
2
D
hhD
−
=⇒−= 
2
2
E
kkE
−
=⇒−= 
FkhrrkhF −+=⇒−+= 22222 
elementos que serán útiles para llevar la ecuación de una circunferencia desde la 
forma general a la forma canónica. 
 
 
Intersección entre circunferencia y recta: 
Dadas las ecuaciones de una recta y una circunferencia que se encuentran en 
el mismo plano, la situación que se plantea entre ellas podrá ser: 
a) que la recta sea secante a la circunferencia y existan dos puntos de 
intersección. 
b) que la recta sea tangente a la circunferencia y exista un único punto de 
contacto. 
c) que no exista ningún punto común entre ambas. 
 
Para encontrar los puntos de intersección en forma analítica, se deberá trabajar 
con la ecuación general de la circunferencia y con la ecuación explícita de la 
recta: 
 
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = (ecuación de la circunferencia) 
y ax b= + (ecuación explícita de la recta) 
 
Para llevar adelante el cálculo en primer lugar deberá reemplazarse la 
ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia, con lo cual quedará una 
ecuación cuadrática con una sola incógnita: 
 
 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
2 2( ) ( ) 0x ax b Dx E ax b F+ + + + + + = 
2 2 2 2 2 0x a x b abx Dx Eax Eb F+ + + + + + + = 
( ) ( ) ( )2 2 21 2 0x a x ab D Ea b Eb F+ + + + + + + = 
 
en la última se establecen las siguientes igualdades: 
( )21 a M+ = ( )2ab D Ea N+ + = ( )2b Eb F P+ + = 
 
resulta: 2 0Mx Nx P+ + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación cuadrática obtenida y deberá ser resuelta a partir de la fórmula 
conocida, pudiendo hallarse a partir de la misma: 
• 2 raíces reales: en cuyo caso la recta corta a la circunferencia. 
• 1 única raíz real: la recta es tangente a la circunferencia. 
• raíces complejas: la recta y la circunferencia nunca se tocan. 
 
Las raíces serán las abscisas de los puntos buscados, mientras que las 
ordenadas de los mismos se obtendrán a través del reemplazo de los valores 
obtenidos en la ecuación de la recta dato. 
 
Ejemplo 1: Intersección entre recta y circunferencia. 
Dadas las ecuaciones de una circunferencia y una recta, encontrar los puntos de 
intersección que existen, tanto analítica como gráficamente. 
2 2 4 6 3 0
3 0
x y x y
x y
 + + − − =

+ + =
 
En primer término, se procederá al cálculo analítico. 
 
P1
P2
P1
Figura 4: Intersección entre recta y circunferencia. 
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33 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Se pueden ver las ecuaciones de la recta y de la cónica expresadas en su forma 
general, por lo tanto se deberá despeja la variable “y” de la ecuación de la recta, 
es decir se expresa la recta a partir de su ecuación explícita: 
3y x= − − 
la expresión obtenida se reemplazará en la ecuación de la circunferencia: 
( ) ( )22
2 2
2 2
3 4 6 3 3 0
9 6 4 6 18 3 0
2 16 24 0 8 12 0
x x x x
x x x x x
x x x x
+ − − + − − − − =
+ + + + + + − =
+ + = ⇒ + + =
 
 
( )22
1,2 1,2
8 8 4.1.124
2 2 .1
b b a c
x x
a
− ± − −− ± −
= ⇒ = 
2
1,2 1,2
8 4 8 16
2 2
b a c
x x
a
− ± − − ±= ⇒ = 
1,2 1 2
8 4 4 12
2; 6
2 2 2
x x x
− ± − −= ⇒ = = − = = − 
 
Se han obtenido de esta forma las abscisas de sendos puntos; restará encontrar la 
imagen de cada uno de ellos, para lo cual se deberá reemplazar los valores de x 
en la ecuación de la recta: 
1 23 2 3 1; 6 3 3y x y y= − − ⇒ = − = − = − = 
( ) ( )1 22; 1 ; 6;3P P− − − PUNTOS BUSCADOS. 
 
Para hacer la representación gráfica se deberán encontrar los elementos 
necesarios: radio y coordenadas del centro. 
 
La circunferencia tiene una ecuación general de la forma: 
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 
Además se sabe que: 
4 6
2; 3
2 2 2 2
D Eα β− − −= = = − = = = 
2 2r Fα β= + − ( )2 22 3 3 4r r= − + + ⇒ = 
La ecuación canónica circunferencia resulta: ( ) ( )2 2x+2 + y-3 =16 
 
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34 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa finalmente que la gráfica de las ecuaciones coincide con el 
resultado hallado de manera analítica. 
 
 
Intersección entre dos circunferencias: 
 
Dadas las ecuaciones de dos circunferencias, restando miembro a miembro las 
mismas, se obtendrá la ecuación de una recta en su forma general o implícita: 
 
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
0
0
0
x y D x E y F
x y D x E y F
D D x E E y F F
+ + + + =
+ + + + =
− + − + − =
 
 
Si: ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 2; ;D D H E E I F F J− = − = − = 
con lo cual se tiene la ecuación de la recta: 
Hx+Iy+J=0 
con la que se procederá de la misma manera que se vio para intersección entre 
recta y circunferencia. 
 
Puede ocurrir que los coeficientes de los términos cuadráticos sean diferentes 
en las ecuaciones de las circunferencias a tratar, en cuyo caso se deberán 
multiplicar los términos de la ecuación de cada una de las circunferenciaspor el 
término cuadrático de la otra y proceder de idéntica manera. 
En cualquiera de los casos la ecuación lineal resultante es la ecuación de la 
recta que pasa por los puntos de intersección de las dos circunferencias, llamada 
eje radical y es perpendicular a la recta que une los centros. 
 
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
2
4
6
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se puede encontrar de manera gráfica el eje radical de dos circunferencias que 
no tienen contacto entre si, como las circunferencias 1 y 2 del dibujo (figura 5); 
para ello: 
 
1. Se dibuja una 
circunferencia auxiliar secante 
a ambas (circunferencia 3). 
2. Se determina el eje 
radical de (3) con las otras dos 
circunferencias obteniéndose 
un punto en el cual se 
intersectan los dos ejes 
radicales. 
3. Se traza una 
perpendicular al segmento 
C1C2 por el punto común a los 
dos ejes anteriores, resultando 
el eje radical 1-2 que es el 
buscado. 
 
 
Ejemplo 2: Intersección entre circunferencias. 
Sean las ecuaciones correspondientes a dos circunferencias, se solicita hallar, de 
existir, los puntos de intersección entre ambas, tanto de manera analítica como 
gráfica. 
2 2
2 2
2 6 6 0
2 2 2 0
x y x y
x y x y
 + − − − =

+ − − − =
 
 
Tal como se expresó en la teoría, se procederá en primer lugar a restar miembro a 
miembro las dos ecuaciones, lo cual dará como resultado la ecuación de una 
recta: 
C2
C1C3
Eje
Radical
1-2
Eje
Radical
1-3
Eje
Radical
2-3
Figura 6: Eje radical de dos circunferencias 
exteriores. 
P1
P2
C2
C1
Eje
Radical
P1
C2
C1
Eje
Radical
Figura 5: Eje radical de dos circunferencias. 
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2 2
2 2
2 2
2 6 6 0
2 2 2 0
0 0 0 4 4 0
x y x y
x y x y
x y x y
+ − − − =
+ − − − =
+ − − − =
 
 
De la cual se desprende: 1y = − , la cual se deberá reemplazar en la ecuación de 
cualquiera de las dos circunferencias. 
 
( ) ( )22
2
2
1 2 6 1 6 0
1 2 6 6 0
2 1 0
x x
x x
x x
+ − − − − − =
+ − + − =
− + =
 
 
( )22
1,2 1,2
2 2 4.1.14
2 2 .1
b b a c
x x
a
± − −− ± −
= ⇒ = 
1,2 1 2
2 0
1
2 .1
x x x
±= ⇒ ≡ = 
( )1 1; 1P − PUNTO BUSCADO 
En el caso analizado existe solamente un punto de contacto, por lo cual las dos 
circunferencias son tangentes en el mencionado punto. 
 
Considerando la ecuación general de la circunferencia, se hallan los elementos 
necesarios para escribir la forma general de la ecuación de la cónica. 
2 2 2 6 6 0x y x y+ − − − = 
2 6
1; 3
2 2 2 2
D Eα β− −= = = = = = 
2 2r Fα β= + − 2 21 3 6 4r r= + + ⇒ = 
La ecuación canónica de la circunferencia resulta: ( ) ( )2 2x-1 + y-3 =16 
 
2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = 
2 2
1; 1
2 2 2 2
D Eα β− −= = = = = = 
2 2r Fα β= + − 
La ecuación canónica de la circunferencia resulta: ( ) ( )2 2x-1 + y-1 =4 
 
Según lo expresado en la teoría la recta 1y = − representa el eje radical. 
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37 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nuevamente se puede apreciar que la representación gráfica coincide con el 
resultado hallado de manera analítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
y
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
PARÁBOLA. 
 
Se conoce con el nombre de parábola al lugar geométrico de todos los puntos 
del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y una recta fija 
llamada directriz (l). 
El punto F (foco) no se encuentra contenido en la recta l. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aunque los puntos de la parábola pueden localizarse mediante la aplicación 
directa de la definición de parábola, es más fácil obtenerlos a partir de la 
ecuación de la curva. Se puede escribir la ecuación más sencilla de la parábola si 
los ejes coordenados se colocan en una posición especial con respecto a la 
directriz y al foco. El eje x se coloca sobre la recta que pasa por el foco y es 
perpendicular a la directriz, en tanto que el origen se coloca en el vértice. 
 
Las coordenadas del foco se 
representan con F (p/2; 0) y la ecuación 
de la directriz con x = -p/2. 
Por definición: PF QF= , entonces: 
 
 
 
de la que se obtiene: 
 
2 2y px= 
 
que es la ecuación canónica de la 
parábola. 
Figura 7: Elementos de una parábola. 
F (foco)
VO
P(x;y)
e (eje focal)
l (directriz)
d
P
x
p
y
p
x +=+




 −
22
2
2
xFV
P(x;y)
e
l
d
p/ 2
Q
Figura 8: Parábola con el vértice 
en el centro de coordenadas. 
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39 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
El valor “p” se conoce como parámetro y es la distancia que existe entre el 
foco de la parábola y la recta directriz. 
Se puede notar que en la ecuación de la parábola solamente una de las 
variables se encuentra elevada al cuadrado, mientras que la otra aparece en un 
término lineal. 
 
 
Posiciones de la parábola con vértice en el origen: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación: y2 = 2px 
Foco: (p/2; 0) 
directriz: x = -p/2 
Ecuación: y2 = -2px 
Foco: (-p/2; 0) 
directriz: x = p/2 
Ecuación: x2 = 2py 
Foco: (0; p/2) 
directriz: y = -p/2 
Ecuación: x2 = -2py 
Foco: (0; -p/2) 
directriz: y = p/2 
y
l
l
F F
x
y
x
O=V
O=V
l
l
F F
O=V
y y
O=V
x
x
Figura 9: Posiciones de la parábola con vértice en el origen. 
 
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40 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Lado recto de una parábola: 
 
El segmento que, pasando por el foco de 
la parábola de manera perpendicular al 
eje focal, une dos puntos de la cónica (A 
y B) se conoce con el nombre de lado 
recto. 
 
La principal característica del lado recto 
de una parábola es que su longitud es 
igual al valor absoluto de 2p. 
 
2Lr p= 
 
Puede notarse que encontrado el valor del parámetro p, se podrán obtener 
todos los elementos necesarios para el trazado gráfico de la parábola. 
 
Ejemplo 3: Intersección entre recta y parábola. 
Dadas las ecuaciones de parábola y recta respectivamente, analizar la existencia 
de puntos comunes a ambos. Trabajar de manera gráfica y analítica. 
2 4 0
2 0
y x
x y
 − + =

− + + =
 
En primer término se procederá al cálculo analítico. 
2y x= − 
la expresión obtenida se reemplazará en la ecuación de la parábola, por lo que: 
2
2
2
2 4 0
2 0
2 0
x x
x x
x x
− − + =
− + + =
− − =
 
( ) ( )22
1,2 1,2
1 1 4 1 24
2 2 .1
b b a c
x x
a
± − −− ± −
= ⇒ = 
1,2 1 2
1 3 4 2
2; 1
2 2 2
x x x
± −= ⇒ = = = = − 
1 1 2y x= − ⇒ 1 2 2y = − ⇒ 1 0y = 
2 2 2y x= − ⇒ 2 1 2y = − − ⇒ 2 3y = − 
( ) ( )1 22;0 ; 1; 3P P − − 
F (foco)V
l
A
B
Figura 10: Lado recto de la parábola. 
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41 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Gráficamente, se representa cual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nótese que la intersección gráfica, coincide con el resultado analítico del 
planteo. 
 
 
Ecuación de la parábola con vértice no coincidente con el origen: 
 
Sea una parábola que tiene el vértice en el punto V(h;k) no coincidente con el 
origen de coordenadas, se muestran las cuatro posiciones posibles con los 
elementos correspondientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l
F
V(h;k)
y
xO
l
F
V(h;k)
y
x
O
Ecuación: (y-k)2 = 2p(x-h) 
Foco: (h+p/2; k) 
directriz: x = h-p/2 
Ecuación: (y-k)2 = -2p(x-h) 
Foco: (h-p/2; k) 
directriz: x = h+p/2 
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42 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación general de la parábola: 
Teniendo presente la ecuación: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = , se puede decir que 
la misma representa una parábola cuando solamente una de las variables (x o y) 
aparecen elevadas al cuadrado, es decir que A o C debe ser igual a cero. 
Cumplida esa condición y explicitando la variable lineal se llegará a una de las 
dos posibilidades siguientes: 
• Si A=0: 2 0Cy Dx Ey F+ + + = ⇒explicitada, la ecuación se expresa como 
2x = ay + by+ c 
que representa una parábola en la cual el eje focal es paralelo al eje de las 
abscisas (x). 
• Si C=0: 2 0Ax Dx Ey F+ + + = ⇒explicitada, la ecuación se expresa como 
2y = ax + bx+ c 
que representa una parábola en la cual el eje focal es paralelo al eje de las 
ordenadas (y). 
Para cualquiera de los dos casos, cuando el término b, que es la constante que 
acompaña al término lineal, es nulo, el vértice de la parábola se encuentra sobre 
el eje coordenado. Si tanto el término b como el c son nulos, el vértice de la 
parábola se encuentra en el origen de coordenadas. 
 
l
F
V(h;k)
y
xO
F
V(h;k)
y
xO
l
Ecuación: (x-h)2 = -2p(y-k) 
Foco: (h; k-p/2) 
directriz: y = k+p/2 
Ecuación: (x-h)2 = 2p(y-k) 
Foco: (h; k+p/2) 
directriz: y = k-p/2 
Figura 11: Parábola con vértice no coincidente con el origen de coordenadas. 
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43 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Ejemplo 4: Aplicación de parábola. 
Uno de los cables parabólicos de un puente colgante se encuentra suspendido 
entre dos torres que distan entre sí 480m y del cual se ha medido una flecha de 
60m. Determinar la ecuación del cable. 
 
Se disponen convenientemente los ejes coordenados como se muestra en la 
figura, de manera que el origen coincide con el punto más bajo de la parábola. 
Utilizando los datos que brinda el enunciado se puede establecer que el punto 
extremo (derecho) de la parábola tiene coordenadas (240; 60), de manera que se 
podrá hallar el valor del parámetro p. 
 
 
2 2x py= 
2 2240 2 60 240 120p p= ⇒ =
 
2240
480
120
p p= ⇒ = 
2 2.480.x y= 
 
2 960x y= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60
480
(0;0)
(240;60)
x
y
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44 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
ELIPSE. 
 
Se conoce con el nombre de elipse al lugar geométrico de los puntos del plano 
tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos 
denominados focos (F1 y F2) es constante. 
 
1 2PF PF cte+ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El centro de la elipse (punto C) se encuentra sobre el eje focal y es el punto 
medio del segmento 1 2F F . 
En una elipse, el eje que contiene a los focos (F1, F2) se conoce como eje focal 
(para el caso de la figura 11 coincide con el eje x) y el mismo contiene también al 
centro de la elipse. El eje perpendicular al eje focal y que pasa por el centro (C) 
se conoce con el nombre de eje transversal. 
Los puntos V1 y V2 son los vértices de la elipse ubicados sobre el eje focal y el 
segmento entre los dos se conoce como eje mayor de la elipse (su longitud es 
2a), mientras que los puntos B1 y B2 son los vértices de la elipse ubicados sobre 
el eje transversal y el segmento entre los dos se conoce como eje menor de la 
elipse (su longitud es 2b). 
La distancia entre el centro de la elipse y cualquiera de los focos se conoce 
con el nombre de distancia focal y se la nombra como c. 
2 2c a b= − 
 
Elipse con centro en el origen: 
Sea una elipse con centro en el origen, dado que el centro forma parte del eje 
focal, este último será coincidente con alguno de los ejes coordenados. En la 
figura 12 se muestra una elipse con el eje focal sobre el eje de las abscisas, con 
los elementos sobresalientes indicados y las coordenadas de los puntos en el 
cuadro adjunto. En la figura 13 el eje focal se ubica sobre el eje de las ordenadas. 
F1 F2V1 V2
P(x,y) B1
B2
Eje Focal
b
c a
C
x
y
Figura 12: Elipse: elementos. 
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45 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
(Nótese que en todos los casos el eje focal es el más extenso y siempre se lo 
identifica como 2a, de manera que se verificará siempre que a>b) 
 
Eje focal de la elipse en x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de la elipse: 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
 
Eje focal de la elipse en y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de la elipse: 
 
F1 F2V1 V2
a
C
x
y
b
C (0;0)
F1 (-c;0)
F2 (c;0)
V1 (-a;0)
V2 (a;0)
Figura 13: Elipse con centro en el origen. Eje focal en x. 
F1
F2
V1
V2
a
C
x
y
b
C (0;0)
F1 (0;c)
F2 (0;-c)
V1 (0;a)
V2 (0;-a)
Figura 14: Elipse con centro en el origen. 
Eje focal en y. 
2 2
2 2
1
y x
a b
+ =
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Excentricidad y lado recto de una elipse: 
El segmento que pasa por cada uno de los focos de la elipse, perpendicular al 
eje mayor de la misma, uniendo dos puntos que pertenecen a la elipse, se conoce 
con el nombre de lado recto. En la figura 14 se muestra el lado recto que pasa por 
el foco F1, representado por el segmento 1 2M M . Análogamente, un segmento 
igual se considera pasando por el otro foco. El lado recto permite determinar 
cuatro puntos de la elipse, muy útiles para un trazado aproximado de la misma en 
la representación gráfica. 
El mencionado lado recto se calcula en todos los casos como: 
22.b
Lr
a
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La excentricidad, que para el caso de una elipse será siempre inferior a la 
unidad, se define por la expresión: 
 
c
e
a
= , en la que c se sabe, es la distancia desde el centro al foco y a es la 
longitud del semieje mayor de la elipse. 
 
Se puede decir que la excentricidad otorga una idea del alargamiento que tiene 
una elipse. Cuanto más cercano a la unidad sea el valor de la excentricidad, más 
alargada será la misma, en tanto que si la excentricidad se aproxima a cero, la 
elipse se parece más a una circunferencia (cuando e se aproxima más a cero, 
menos excéntrica es la elipse). Para tener una idea práctica de los valores, la 
excentricidad de la órbita que describe la Tierra en su movimiento de traslación 
alrededor del sol es igual a 0,02, es decir que se trata casi de una circunferencia. 
 
 
F1 F2V1 V2C
x
y
M1
M2
Figura 15: Lado recto de una elipse. 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Ejemplo 5: Elementos de una elipse. Gráfica. 
Dada la ecuación de la elipse que se muestra, determinar los elementos de la 
misma y graficarla. 
2 2
1
25 9
x y+ = 
Debido a la forma de la ecuación que se puede observar, la misma se trata de 
una elipse con centro en el origen de coordenadas, de manera que puede 
afirmarse de forma segura: (0;0)C = coordenadas del centro 
2 25 5 2 10a a a= ⇒ = ⇒ = es el eje focal. 
2 9 3 2 6b b b= ⇒ = ⇒ = es el eje transversal. 
c, que es la distancia focal, será: 2 25 3 4c c= − ⇒ = 
2 2.4 2 8c c= ⇒ = es la distancia entre los dos focos. 
El lado recto se calcula como: 
2 22. 2.3
3,6
5
b
Lr Lr Lr
a
= ⇒ = ⇒ = 
Excentricidad: 
4
0,8
5
c
e e
a
= ⇒ = = que es menor a la unidad, tal como lo exige 
una elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 6: Hallar la ecuación de la elipse que tiene una longitud del eje 
mayor de 10 unidades, una longitud del eje menor de 6 unidades y el eje focal el 
eje de las ordenadas. 
2 10 5
2 6 3
a a
b b
= ⇒ =
= ⇒ =
 
 
2 2
1
9 25
x y+ = 
F1 F2V1 V2
5
C
x
y
3
C (0;0)
F1 (-4;0)
F2 (4;0)V1 (-5;0)
V2 (5;0)
B1
B2
B1 (0;3)
B2 (0;-3)
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
Elipse con centro (h;k) no coincidente con el origen: 
El caso más general es de la elipse cuyo centro no se encuentra en el origen de 
coordenadas, en cuyo caso se puede decir que tiene centro C(h,k) y sus ejes son 
paralelos a los ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación general de la elipse: 
En la ecuación de segundo grado en dos variables (x; y) en la que no existe 
término rectangular (B=0 como se estableció al principio): 
2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = 
se deberá cumplir que A≠0; C≠0 y además A y C diferentes entre sí y con el 
mismo signo. Cumplidas esas condiciones la ecuación general puede: 
• representar una elipse de ejes paralelos o coincidentes a los ejes 
coordenados, 
• representar un punto, 
• no representar un lugar geométrico real, 
para ello se deberán cumplir algunas condiciones entre los coeficientes que 
forman parte de la ecuación general. En este curso cuando se cumplan las 
condiciones de A≠0; C≠0 y además A y C diferentes entre sí y con el mismo 
signo se dirá que se trata de una elipse. 
 
 
F1
(h-c;k)
x
C(h;k)
y
F2
(h+c;k)
V2
(h+a;k)
V1
(h-a;k)
x
y
C(h;k)
V2
(h;k-a)
V1
(h;k+a)
F1
(h;k+c)
F2
(h;k-c)
Figura 16: Elipse desplazada. Centro no coincidente con el origen y eje focal 
paralelo a los ejes coordenadas. 
( ) ( )2 2
2 2
1
x h y k
a b
b a
− −
+ = >( ) ( )
2 2
2 2
1
x h y k
a b
a b
− −
+ = >
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
HIPÉRBOLA. 
 
Se conoce con el nombre de hipérbola al lugar geométrico de los puntos del 
plano tales que la diferencia en valor absoluto de las distancias de cada uno de 
ellos a dos puntos fijos denominados focos (F1 y F2) es igual a una constante. 
 
1 2F P PF cte− = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La recta l que contiene a los focos de la hipérbola (F1- F2) se conoce con el 
nombre de eje principal, en tanto que el otro eje (perpendicular al focal) que es 
notado como l’ , que no contiene a los focos, se conoce con el nombre de eje 
normal. 
Una de las principales características de la hipérbola es la existencia del 
rectángulo fundamental, que es el que queda formado en el centro y cuyos lados 
son el segmento de longitud 2a, conocido como eje transverso o eje focal y el 
segmento de longitud 2b, conocido como eje conjugado o eje imaginario. 
El punto C es el centro de la hipérbola y se encuentra sobre el eje focal, siendo 
el punto medio del segmento 1 2F F . Los puntos V1 y V2 son los vértices reales, los 
cuales son los extremos del segmento transverso o eje transverso, en tanto que 
los puntos B1 y B2 son los vértices imaginarios y son los extremos del eje 
conjugado o segmento conjugado. 
La distancia que existe entre el centro de hipérbola y cualquiera de los dos 
focos se conoce con el nombre de distancia focal y se puede calcular como: 
2 2c a b= + 
Figura 17: Hipérbola: elementos. 
F2 F1
B1
a
C
l (eje focal)
l'
b
B2
V2 V1
c
P(x,y)
a2 a1
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
Hipérbola con centro en el origen de coordenadas: 
Son hipérbolas que tienen los focos sobre algunos de los ejes coordenados y el 
centro C coincidente con el origen de coordenadas. En las figuras de abajo se 
tienen dos hipérbolas, una donde los focos están sobre el eje de las abscisas 
(hipérbola horizontal) y la otra donde los focos se encuentran sobre el eje de las 
ordenadas (hipérbola vertical). 
Para el caso de las hipérbolas se nombra siempre con a al semieje real o 
transverso, independientemente de la longitud relativa del mismo. El eje real 
siempre llevará el término positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación canónica de la hipérbola centrada en O y con eje focal x: 
2 2
2 2
1
x y
a b
− = 
 
 
Ecuación canónica de la 
hipérbola centrada en el origen 
de coordenadas (O) y con eje 
focal y: 
2 2
2 2
1
y x
a b
− = 
 
 
 
 
 
 
F2 F1
a
C(0;0)V2 V1 x
y
C (0;0)
F1 (c;0)
F2 (-c;0)
V1 (a;0)
V2 (-a;0)
Figura 18: Hipérbola centrada en el origen con eje focal en x. 
C (0;0)
F1 (0;c)
F2 (0;-c)
V1 (0;a)
V2 (0;-a)
F1
F2
a
C(0;0)
V1
V2
x
y
Figura 19: Hipérbola con centro en el origen 
y eje focal en y. 
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51 
TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
Lado recto y excentricidad de una hipérbola: 
El segmento que pasa por cada uno de los focos de la hipérbola, perpendicular 
al eje real o eje transverso, uniendo dos puntos que pertenecen a la hipérbola, se 
conoce con el nombre de lado recto. En la figura 19 se muestra el lado recto que 
pasa por el foco F1, representado por el segmento 1 2M M . De la misma forma el 
lado recto se puede trazar pasando por el foco F2. El lado recto permite 
determinar puntos de la hipérbola, muy útiles para un trazado aproximado de la 
misma en la representación gráfica. 
El mencionado lado recto se calcula, al igual que en la elipse como: 
22.b
Lr
a
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La excentricidad de la hipérbola se define por la expresión: 
 
c
e
a
= , en la que c se sabe, es la distancia desde el centro al foco y a es la 
longitud del semieje transverso de la hipérbola. Su valor será en cualquier caso 
superior a la unidad. 
 
Asíntotas de una hipérbola: 
Si para una curva existe una recta tal que, al tomar puntos cada vez más 
alejado del origen, la distancia entre el punto considerado y la recta es cada vez 
menor y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva. 
La hipérbola cuenta con dos asíntotas, las cuales tendrán ecuaciones de la 
forma: 
 
Para una hipérbola del tipo: 
F2 F1V2 V1 x
y
C
M1
M2
Figura 20: Lado recto de una hipérbola. 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
2 2
2 2
1
x y
a b
− = las asíntotas serán: .by x
a
= ; .by x
a
= − 
 y para una hipérbola de ecuación: 
2 2
2 2
1
y x
a b
− = las asíntotas serán: .ay x
b
= ; .ay x
b
= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 7: Elementos de una hipérbola. Gráfica. 
Dada la siguiente ecuación, determinar a qué cónica corresponde, cuales son 
los elementos de la misma y graficarla. 
2 2
1
25 9
x y− = 
Debido a la forma de la ecuación canónica se puede asegurar que la misma 
corresponde a una hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas (es 
decir que no se encuentra desplazada). También se puede decir que el eje focal es 
el eje x, ya que al mismo le corresponde el término positivo. 
2 25 5 2 10a a a= ⇒ = ⇒ = es el eje transverso. 
2 9 3 2 6b b b= ⇒ = ⇒ = es el eje conjugado. 
c, que es la distancia focal, será: 2 25 3 5,83c c= + ⇒ = 
2 2.5,83 2 11,66c c= ⇒ = es la distancia entre los focos. 
El lado recto se calcula como: 
2 22. 2.3
3,6
5
b
Lr Lr Lr
a
= ⇒ = ⇒ = 
Excentricidad: 
5,83
1,17
5
c
e e
a
= ⇒ = = que es mayor a la unidad. 
V2 V1 x
y
C
Asíntota Asíntota
Figura 21: Asíntotas de una hipérbola. 
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TRIGONOMETRÍA – RECTA EN EL PLANO - CÓNICAS 
 
 
Las ecuaciones de las asíntotas, para una hipérbola con centro en el origen: 
3
5
b
y y
a
= ⇒ = y : 
3
5
b
y y
a
= − ⇒ = − 
 
Hipérbolas con centro desplazado respecto del origen: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La hipérbola de la figura 21, cuyo centro se encuentra en C (h;k) desplazado 
del origen de coordenadas y el eje focal paralelo al eje de las abscisas, tendrá una 
ecuación canónica del tipo: