Resonancia - arturo lara morales

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Resonancia, factor de calidad y cavidades resonantes
Además de lo ya visto en secciones anteriores, las secciones de línea terminadas en cortocircuito tienen una aplicación muy importante en el diseño y fabricación de filtros, medidores de frecuencia, amplificadores y osciladores. Específicamente, un tramo coaxial cortocircuitado en ambos extremos puede, bajo ciertos parámetros de trabajo, funcionar como una cavidad resonante o resonador de cavidad. A muy altas frecuencias, un resonador toma el lugar de lo que sería el conjunto de inductancias y capacitancias empleadas a frecuencias más bajas en circuitos “resonantes” o “sintonizados”.
Antes de entrar en materia, recuérdese que un circuito resonante en serie o en paralelo (Fig. 2-46) tiene una frecuencia resonante /0 dada por la ecuación siguiente:
2nJZc
(2-109)
Fig. 2-46 Circuitos resonantes, (a) En serie, (b) En paralelo.
192 Teoría de las lineas de dos conductores
Se dice que un circuito es resonante cuando responde o entrega a la salida con amplitud máxima, para una cierta fuerza o señal de entrada aplicada. Esto ocurre a una cierta frecuencia de resonancia, en la que la reactancia inductiva es igual en magnitud a la reactancia capacitiva; es decir:
Ü)L
magnitud de la reactancia
magnitud de la reactancia
inductiva
capacitiva
Sustituyendo co = 2n/', la igualdad anterior se resuelve para encontrar la frecuencia de resonancia dada por la ec. (2-109).
Si ahora se introduce la resistencia R que tiene todo circuito en la realidad, los circuitos en sene y en paralelo adoptan la forma mostrada en la Fig. 2-47.
Fig. 2-47 Circuitos resonantes, (a) En serie, (b) En paralelo.
La magnitud de la impedancia de entrada total del circuito resonante en serie de la Fig. 2-47 (a) es mínima a la frecuencia/^ (ec. 2-109), en la que las componentes reactivas se cancelan. La corriente alcanza su valor máximo bajo esta condición, y se dice que el circuito está en resonancia. A frecuencias un poco arriba y un poco abajo de la frecuencia de resonancia/^, la corriente será menor, obteniéndose así una respuesta similar a la de la Fig. 2-48. Nótese que la caída de voltaje entre las terminales del capacitor con reactancia
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Fig. 2-48 Respuesta de un circuito en serie a diferentes frecuencias. La corriente es máxima a la frecuencia de resonancia.
Xc sería igual a vc - (XL.) (/). Es decir que, aun cuando el voltaje de entrada aplicado al circuito sea bajo, originando cierta corriente i (máxima en resonancia), el voltaje en el capacitor sería muchas veces mayor, por un factor igual a Q. Debido a esta magnificación, este factor Q del circuito también se conoce como “factor de magnificación”, o simplemente se le dice “la 0” del circuito. Para el circuito resonante en serie bajo estudio, esta Q está dada por:
e = ~	(2-no)
Mientras menor sea la resistencia del circuito, la Q será cada vez más grande, a la frecuencia de resonancia. En el caso ideal, si R = 0, la Q tendería a infinito.
Por lo que se refiere al circuito en paralelo de la Fig. 2-47 (b), cuando está en resonancia, presenta una impedancia de entrada muy alta. En este caso, el factor Q está dado por:
R R
AC
y la impedancia de entrada, en función de la frecuencia/ se puede calcular a partir de la expresión siguiente, cuya demostración se omitirá en el texto:
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Fig. 2-49 Impedancia de entrada de un circuito RLC en paralelo. Su magnitud es máxima a la frecuencia de resonancia fQ.
(2-112)
en donde/0 es la frecuencia de resonancia dada por la ec. (2-109). La gráfica de la magnitud de Z. se puede obtener a partir de la ec. (2-112), resultando una curva típica como la mostrada en la Fig. 2-49. En resonancia, su fase vale cero; para otras frecuencias varía entre +90° y -90°, volviéndose más y más inductiva o capacitiva a frecuencias cada vez más lejos de la de resonancia.
El recordatorio que hemos hecho nos permite ahora suponer que en una línea de transmisión de longitud l con muy bajas pérdidas (orí pequeño) pueda obtenerse el fenómeno de resonancia. De hecho, ya se ha visto que la impedancia vista a lo largo de una línea desacoplada se repite cada X/2, y que hay máximos y mínimos alternados cada V4, que son puramente resistivos y que constituyen las transiciones entre las impedancias inductivas y capacitivas, y viceversa. Por ejemplo, una línea cortocircuitada está en resonancia cuando su longitud es igual a un múltiplo impar de X/4, y su modelo equivalente en teoría de circuitos sería precisamente el del circuito RLC en paralelo de la Fig. 2-47 (b). Omitiremos aquí el desarrollo matemático y presentaremos solamente los resultados de esta equivalencia. Si la línea mide X/4 y sus pérdidas son bajas, al igualar las ecuaciones de la
Resonancia, factor de calidad y cavidades resonantes 195
impedancia de entrada de la línea y de su circuito equivalente RLC, resulta que:
L -	2Z“	<	1
«'	P"!>
y de la ec. (2-111), la Q de la línea es:
Q =	■■ =	(2_U4)
XL 2nf0L (a.l)(2nf0)(2Z0) 4al {Z1I4)
De la ec. (2-114), se observa que si al es muy pequeña, la Q de la línea de bajas pérdidas cortocircuitada será muy grande, de varios cientos o miles, según el caso. Es decir, que su impedancia de entrada es muy alta a la frecuencia de resonancia; por lo tanto, las frecuencias bajas pasan libremente, mientras que la frecuencia de resonancia es bloqueada.
En el caso de una línea de 1/4 terminada en circuito abierto, su circuito equivalente sería el circuito RLC en serie de la Fig. 2-47 (a). Ambos (línea y circuito) presentan una impedancia de entrada muy baja, que bloquea a las frecuencias bajas y permite el paso libre de una onda a la frecuencia de resonancia (cuando l = X/4).
Fig. 2-50 Topología de un filtro pasa-banda usando secciones de línea resonantes.
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Las propiedades anteriores de resonancia se aprovechan para fabricar cavidades resonantes. Existen diferentes tipos de cavidades y, como se verá en el capítulo 4, también se utilizan en sistemas de microondas con guías rectangulares y circulares, donde adoptan la forma de “cajas” rectangulares o cilindricas con pequeñas aperturas.
Tal como se expresó al inicio de esta sección, las cavidades resonantes permiten diseñar una gran variedad de elementos necesarios a altas frecuencias, como filtros selectivos y medidores de frecuencia. A manera de ejemplo, en la Fig. 2-50 se muestra la topología de un filtro pasa-banda.
Ejercicio 2-38 Un cable coaxial rígido con aire en su interior presenta una atenuación de 0.0075 dB/m. Calcule el factor Q para un tramo cortocircuitado hecho con ese tipo de cable, que mida A/4, a una frecuencia de 600 MHz.
Solución
a - 0.0075 dB/m - 0-0075 Np/m ~ 0.000864 Np/m
8.68
3xl08
600xl06
Sustituyendo en la ec. (2-114):
4a l	0.000864 x 05