Inducción uniforme - Arturo Lara

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15- Inducción uniforme
Una vez que se ha encontrado B por cualquier otro medio, es casi siempre posible utilizar
Inducción uniforme
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(16-7) junto con (16-17) para obtener A. Como ejemplo de un caso extremo, considérese una inducción uniforme dada por B = Bz, por medio de (1-43), se obtienen tres ecuaciones:
dAy dA*
9y dz	dz 3x	dx dy
(16-28)
que se intentará resolver por inspección. Se pueden satisfacer las primeras dos si se toman Ax y Ay indenpendientes de z, mientras que Az es, cuando mucho, una función de z; sin embargo, si se mantine a (16-17) en mente, quizá resulte más sencillo tomar Az = const. En ese caso la ecuación que resta en (16-28) se satisface si (a) Ax - 0, Ay = Bx, (b) Ax = -By, Ay = 0 ó (c)Ax- 4“ By,Ay= Bx as í su cesivamente. Nótese que (c)no es más que la suma de (a) y (b) dividida entre dos. Se puede observar también que estas tres soluciones satisfacen la condición V • A = 0. Resulta evidente que existen muchas más posibilidades, pero sean éstas suficientes para ilustrar la existencia de mucha arbitrariedad en A. Para recalcar el hecho de que éstas son funciones diferentes y sin embargo dan la misma B, la figura 16-2 muestra las proyecciones de A sobre el plano xy para un origen arbitrario, como las partes (a), (b) y (c) respectivamente; la parte (c) se puede obtener más fácilmente si se observa que zl2 = Ax2 + Ay2 = ~B2(x + y2), que viene a ser la ecuación de una circunferencia.
Desde el punto de vista físico, la ambigüedad de A en este caso reflejada el hecho de que una B uniforme se puede generar en una región dada en una diversidad de maneras. Por ejemplo, podría ser producida en el interior de un solenoide como es el caso en (15-26), o en un lado de un plano infinito de corriente como en (15-21), o en la región entre dos planos de corriente como sucede en el ejercicio 14-9, y así sucesivamente.
De esta manera, las propiedades de simetría de A generalmente reflejan la correspondiente simetría de la distribución fuente, como se podría encontrar por cálculo directo a partir de (16-12), por ejemplo.
Una expresión muy útil y usual para el potencial vectorial que describe una inducción uniforme está basada en (c), pues puede escribirse en forma de vector como
A = ¿BXr (B = const.)	(16-29)
En esta forma, A es independiente de la elección original de la dirección de B.
Figura 16-2 Diferentes potenciales vectoriales que describen la misma inducción uniforme