MTSE_U2_contenido - Gabriel Solis

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Transformaciones y series 
Unidad 2. Transformadas 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
1 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Licenciatura en Matemáticas 
 
 
8° Semestre 
 
 
 
Transformaciones y series 
 
 
 
Unidad 2. Transformadas 
 
 
 
Clave: 
05144844 
 
 
 
 
 
Transformaciones y series 
Unidad 2. Transformadas 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
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Índice 
Contenido 
Unidad 2. Transformadas ................................................................................................ 3 
Introducción ..................................................................................................................... 3 
Competencia específica .................................................................................................. 3 
Transformada de Fourier................................................................................................. 4 
Definición de transformada de Fourier............................................................................ 4 
Transformada de Laplace................................................................................................ 6 
Definición de transformada de Laplace .......................................................................... 6 
Transformada Z ................................................................................................................ 7 
Definición de transformada Z ......................................................................................... 7 
Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 9 
Fuentes de consulta ........................................................................................................ 9 
 
 
 
 
 
Transformaciones y series 
Unidad 2. Transformadas 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
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Unidad 2. Transformadas 
 
 
Introducción 
 
La palabra “transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para 
transformar un tipo determinado de problema en otro. Esta propiedad se refleja 
primordialmente en problemas de ecuación de onda, calor o Laplace que surgen en 
la naturaleza. Sin embargo, también se pueden utilizar las diversas transformadas 
para resolver problemas de transmisión de señales digitales. 
 
Competencia específica 
 
Utiliza las transformadas para analizar el problema de Sturm-Liouville, mediante el 
cálculo de varias variables. 
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Transformada de Fourier 
 
La transformada de Fourier es útil para simplificar el estudio de la solución de cierto 
tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema de la solución de una 
ecuación diferencial en un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La 
transformada de Fourier posee buenas propiedades algebraicas cuando se aplica a 
las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal. 
. 
Definición de transformada de Fourier 
 
Sea 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿2(ℝ) una función dada, definida para todos los valores de 𝑥, es decir 
 
∫ |𝑓(𝑥)|2 
∞
−∞
𝑑𝑥 < ∞ 
 
Si se multiplica 𝑓(𝑥) por 𝑒−𝑖𝜔𝑥 y se integra con respecto a 𝑥 de menos infinito a 
infinito; si la integral resultante existe, será una función de 𝜔, digamos 
 
𝐹(𝜔) = ∫ 𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑓(𝑥) 
∞
−∞
𝑑𝑥. 
 
A la función F(𝜔) se le llama transformada de Fourier de la función 𝑓(𝑥) y se denota 
por ℱ{𝑓}. Por lo tanto 
 
ℱ{𝑓} = ℱ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑓(𝑥) 
∞
−∞
𝑑𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo.- Determine la transformada de Fourier de la función 
𝑓(𝑥) = {
1 si 𝑥 ∈ (−𝑇 2⁄ ,
𝑇
2⁄ )
0 si 𝑥 ∉ (−𝑇 2⁄ ,
𝑇
2⁄ )
 
donde 𝑇 es una constante positiva. 
Solución: 
Aplicando la definición de transformada de Fourier tenemos 
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A la función original 𝑓(𝑥) se llama transformada inversa de Fourier o inversa de F(𝜔) 
y se simboliza por 𝐿−1{𝐹}; es decir 
 
𝑓(𝑡) = ℱ−1{ℱ(𝑓)} = ℱ−1{𝐹(𝜔)} =
1
2𝜋
∫ 𝑒𝑖𝜔𝑥𝐹(𝜔) 
∞
−∞
𝑑𝜔 
 
La Trasformada de Fourier, así como su inversa cumplen con las siguientes 
condiciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ℱ{𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏𝑔(𝑥)} = 𝑎ℱ{𝑓(𝑥)} + 𝑏ℱ{𝑔(𝑥)} 
 ℱ{𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝜔) ⇒ ℱ{𝐹(𝑥)} = 2𝜋𝑓(−𝜔) 
 ℱ{𝑎𝑓(𝑥)} =
1
|𝑎|
𝐹 (
𝜔
𝑎
) 
 ℱ{𝑓(̅𝑥)} = �̅�(−𝜔) 
 ℱ{𝑓(𝑥 − 𝑥0)} = 𝑒
−𝑖𝜔𝑥0𝐹(𝜔) 
 ℱ{𝑒𝑖𝜔0𝑥𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝜔 − 𝜔0) 
 ℱ {
𝜕𝑛𝑓(𝑥)
𝜕𝑥𝑛
} = (𝑖𝜔) 𝑛𝐹(𝜔) 
 ℱ{(−𝑖𝜔) 𝑛𝑓(𝑥)} =
𝜕𝑛𝐹(𝜔)
𝜕𝜔𝑛
 
 
ℱ{𝑓} = ∫ 𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
∞
−∞
= ∫ 𝑒−𝑖𝜔𝑥 𝑑𝑥 
𝑇/2
−𝑇/2
=
1
−𝑖𝜔
𝑒−𝑖𝜔𝑥|
−𝑇/2
𝑇/2
 
=
1
−𝑖𝜔
(𝑒−𝑖𝜔𝑇/2 − 𝑒𝑖𝜔𝑇/2) = 𝑇
sen(𝜔𝑇/2)
𝜔𝑇/2
 
Utilizando la fórmula de Euler 
sen(𝜃) =
𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
 
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Transformada de Laplace 
 
La transformada de Laplace es un método poderoso para resolver las ecuaciones 
diferenciales que se presentan en las matemáticas. La ventaja de resolver una 
ecuación diferencial mediante transformadas de Laplace es que se pueden 
considerar las condiciones iniciales sin necesidad de obtener primero la solución 
general y después, a partir de ésta una solución particular. 
 
 
Definición de transformada de Laplace 
 
Sea 𝑓(𝑡) una función dada, definida para todos los valores positivos 𝑡. Si se 
multiplica 𝑓(𝑡) por 𝑒−𝑠𝑡 y se integra con respecto a 𝑡 de cero a infinito; si la integral 
resultante existe, será una función de 𝑠, digamos 
 
𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) 
∞
0
𝑑𝑡. 
 
A la función 𝐹(𝑠) se le llama transformada de Laplace de la función 𝑓(𝑡) y se denota 
por ℒ{𝑓}. Por lo tanto 
ℒ{𝑓} = ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡) 
∞
0
𝑑𝑡. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A la función original 𝑓(𝑡) se llama transformada inversa de Laplace o inversa de 
𝐹(𝑠) y se simboliza por ℒ−1{𝐹}; es decir 
Ejemplo.- Determine la transformada de Laplace de la función 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡 
cuando 𝑡 > 0, donde 𝑎 es una constante. 
Solución: 
Aplicando la definición de transformada de Laplace tenemos 
ℒ{𝑒𝑎𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑒𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
=
1
𝑎 − 𝑠
𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡|
0
∞
=
1
𝑠 − 𝑎
 
siempre que 𝑠 − 𝑎 > 0. 
 
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𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹} 
La transformada de Laplace posee varias propiedades generales mediantes las 
cuales se pueden obtener las transformadas de muchas funciones de manera muy 
sencilla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada Z 
 
La transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación 
y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la 
transformada Z. El principal motivo para utilizar la transformada Z es que la 
transformada de Fourier no converge para todas las sucesiones; lo que hace 
necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales. 
 
 
Definición de transformada Z 
 
Supongamos que 𝑓(𝑡) es una función continua, sabemos que 
 
𝑓(𝑛𝑡) = 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡𝑛) = 𝑓(𝑡𝑛)𝛿(𝑡 − 𝑡𝑛) 
 
 
 ℒ{𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)} = 𝑎ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝑏ℒ{𝑔(𝑡)} 
 ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ⇒ ℒ{𝑒𝑎𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎) 
 ℒ{𝑡𝑛𝑓(𝑡)} = (−1)𝑛𝐹𝑛(𝑠) 
 ℒ{𝑓(𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛ℒ{𝑓(𝑡)} − ∑ 𝑠𝑛−𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑓(𝑖−1)(0) 
 ℒ {∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0
} = 
1
𝑠
ℒ{𝑓(𝑡)} 
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donde 𝑡𝑛 es el tiempo discreto y 𝛿 es la función delta de Dirac. Si suponemos que 
𝑡𝑛 = 𝑛𝑇 donde 𝑇 es el periodo de medición de la señal, si sumamos sobre todo 𝑛 ∈
ℕ, definimos 
 
𝑓∗(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑛𝑇)
∞
𝑛=0
𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) = 𝑓(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
𝑛=0
. 
 
Tomando la transformada de Laplace tenemos 
 
ℒ{𝑓∗(𝑥)} = ∑ 𝑓(𝑛𝑇)
∞
𝑛=0
ℒ{𝑓(𝑡 − 𝑛𝑇)} = ∑ 𝑓(𝑛𝑇)
∞
𝑛=0
𝑒−𝑠𝑛𝑇 . 
 
Sea 𝑧 = 𝑒𝑠𝑇 ∈ ℂ, se define la transformada 𝑍Z de la función discreta 𝑓(𝑛𝑇) como 
 
𝒵{𝑓(𝑛𝑇)} = 𝐹(𝑧) = ℒ{𝑓∗(𝑥)} = ∑ 𝑓(𝑛𝑇)
∞
𝑛=0
𝑧−𝑛 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo.- Encuentre la transformada 𝑍 de la función 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 para 𝑛 ≥ 0. 
Solución: 
𝒵{𝑎𝑛} = ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=0
𝑧−𝑛 = ∑ (
𝑎
𝑧
)
𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 −
𝑎
𝑧
=
𝑧
𝑧 − 𝑎
 
siempre que |
𝑎
𝑧
| < 1. Por lo tanto 
𝒵{𝑎𝑛} =
𝑧
𝑧 − 𝑎
 siempre que |𝑧| > |𝑎| 
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Cierre de la Unidad 
 
En esta unidad se pretende que obtengas las herramientas adecuadas para resolver los 
problemas de ecuación de onda y calor que se plantearán en la unidad 3. 
 
Fuentes de consulta 
 
[1] Kreyszig, E. Matemáticas avanzadas para la ingeniería Vol. II, Mexico, 1967. 
[2] Piskunov, N. Calculo integral e diferencial Vol. II, Mexico, 1970.