Números Complexos: Representação e Operações

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Programa Desarrollado 
Unidad 1. Números complejos 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 1 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Licenciatura en matemáticas 
 
 
5° Semestre 
 
 
Variable compleja I 
 
 
Unidad 1. Números complejos 
 
 
Clave: 
060920517/ 050920517 
 
 
 
 
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INDICE 
 
Contenido 
Unidad 1. Números complejos ............................................................................................................. 3 
Presentación de la unidad .................................................................................................................... 3 
Propósitos de la unidad ........................................................................................................................ 3 
Competencia específica ....................................................................................................................... 3 
1.1. Representación de los números complejos ........................................................................... 3 
1.1.1. Forma rectangular .................................................................................................................. 3 
Actividad 1. Comparación de números complejos ............................................................................ 8 
Actividad 2. Representaciones de los números complejos ............................................................. 9 
1.2. Operaciones con números complejos ......................................................................................... 9 
1.2.1. Suma, resta, multiplicación y división de números complejos ........................................ 10 
1.2.2. Potencias y raíces de números complejos ........................................................................ 17 
Actividad 3. Operaciones con números complejos ......................................................................... 23 
1.3. Geometría en el plano complejo ................................................................................................ 23 
1.3.1. Proyección estereográfica ................................................................................................... 25 
1.3.2. Rectas y círculos en el plano complejo ............................................................................. 25 
Actividad 4. Geometría de números complejos ............................................................................... 29 
Evidencia de aprendizaje. Números complejos .............................................................................. 30 
Autorreflexiones ................................................................................................................................... 31 
Cierre de la unidad .............................................................................................................................. 31 
Para saber más.................................................................................................................................... 32 
Referencias bibliográficas .................................................................................................................. 32 
 
 
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Unidad 1. Números complejos 
 
 
Presentación de la unidad 
 
En se puede realizar las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división, 
además tiene una representación gráfica como una línea recta, pero a pesar de todo lo 
anterior, este conjunto tiene un defecto, no se pueden extraer raíces cuadradas de números 
negativos y en general ninguna raíz de potencia par de un número negativo. Esta es la 
motivación para el estudio del conjunto de los números complejos , esta estructura permite 
realizar las operaciones elementales de la aritmética y además obtener raíces de números 
negativos. 
 
 
Propósitos de la unidad 
 
 Identificaras el concepto de número complejo y sus distintas representaciones 
 Realizaras operaciones algebraicas para interpretar geométricamente las propiedades 
de los números complejos 
 
 
Competencia específica 
 
Utilizar los conceptos básicos sobre números complejos, mediante representaciones 
algebraicas y geométricas para determinar funciones complejas. 
 
 
1.1. Representación de los números complejos 
 
Como se mencionó anteriormente, el conjunto de los números complejos nace del estudio 
de las raíces de números negativos, como no existe número real cuyo cuadrado es igual a un 
número negativo, se comienza con la definición de la unidad imaginaria, cuidando que este 
nuevo objeto interactúe adecuadamente con los números reales. 
 
 
1.1.1. Forma rectangular 
 
Este estudio comienza con definición de la unidad imaginaria. 
Definición: Existe un objeto i que satisface 
2 1i   . 
Claramente se tiene que i , en consecuencia el conjunto de los Números Complejos se 
define por: 
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 | ,{ }a ib a b   
Es común utilizar la letra z para referirse a un número complejo, de aquí se desprenden los 
siguientes nombres: La parte real de z es Re( )z a y la parte imaginaria de z es Im( )z b . 
Hay que observar que Re( ),Im( )z z  . 
 
Cuando se presenta un número complejo en la forma z a ib  , se dice que z está en la 
forma cartesiana o rectangular. Además, dos números complejos 1z y 2z son iguales, en 
símbolos 1 2z z , si y solo si 1 2Re( ) Re( )z z y 1 2Im( ) Im( )z z . Considerando al número 
complejo z a ib  , cuando 0a  se escribe z ib y se dice que z es imaginario puro, 
análogamente cuando 0b  , se escribe z a y se dice que z es real. 
 
De manera natural un número complejo a ib se le asocia el par ordenado ( , )a b , hay que 
notar que esta asignación es biyectiva, lo que permite dar una visión gráfica del conjunto de 
los números complejos como flechas en el plano cuyos puntos iniciales están en el origen y 
sus puntos finales en las coordenadas ( , )a b . Gráficamente se tiene: 
 
El eje horizontal toma el nombre de eje real y el eje vertical es el eje imaginario. 
 
Ejemplo: Dada la siguiente relación: 
(3 2 ) (4 6 ) 8 2x y i x y i     
Calcular el valor de x e y , suponiendo que ,x y . 
 
Solución: Dado que ,x y se tiene que 3 2 , 4 6x y x y   , en consecuencia 
(3 2 ) (4 6 )x y i x y    . Por la igualdad de los números complejos, las expresiones 
(3 2 ) (4 6 )x y i x y   y 8 2i son iguales componente a componente, es decir, 
3 2 8 4 6 2yx y x y    
Resolviendo el sistema anterior se tiene que 2x  y 1y  . 
 
 
 
 
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1.1.2. Forma polar y exponencial 
 
Dado que los números complejos se representan como puntos en el plano, también podemos 
representar un número complejo en términos de sus coordenadas polares. Para localizar 
coordenadas polares, se necesita un vértice y una semirrecta. Por convenio, el vértice se 
ubica en el origen de coordenadas y la semirrecta es la parte positiva del eje real, así a un 
número complejo se le asigna una representación que depende del ángulo y la longitud que 
forme. 
 
Considerando el siguiente triángulo que se forma con los elementos mostrados en la figura 
anterior 
 
Por trigonometría elemental se tienen las siguientes relaciones: 
cosa r  y senb r  
Además también se cumple lo siguiente: 
2 2r a b  y 1tan
b
a
 
 
  
 
 
En consecuencia se obtiene: 
cosse [se o ]n n c sir r iza ib r        
La anterior representación se conoce como la forma polar de z . De esta representación se 
desprenden las siguientes definiciones: el módulo de z es | |z r y el argumento de z es 
arg( )z  . Hay que observar que | 0|z  , | Re( ) || |z z y | Im( ) || |z z ya que | cos 1|  . 
Es importante observar que el origen de coordenadas no tiene representación polar ya que no 
existe ángulo que calcular, sin embargo | | 0z  sí y solo si 0z  , además hay que enfatizar 
que a diferencia de la forma cartesiana, en la forma polar el módulo de un número complejo 
es único pero el argumento no, es más, por cada número complejo existe una infinidad de 
argumentos, la relación que existen entre todo estos valores es la siguiente: si 1 y 2 son 
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dos argumentos de un número complejo entonces su diferencia es un número exacto de 
vueltas completas, en símbolos 1 2 2 k    , con k . De todos los valores que puede 
tomar el argumento de un número complejo, el argumento principal de z es aquel que 
satisface arg( )z   , cabe mencionar que el argumento principal de un número complejo 
es único. 
 
En resumen, dados 1 1 1 1[cos sen ]z r i   y 2 2 2 2[cos sen ]z r i   entonces 1 2z z si y solo si 
1 2r r y 1 2 2 k    para algún k . 
Ahora se define la fórmula de Euler del siguiente modo: 
 
Definición: Para   , se tiene que cos seni ie     . 
 
Por la fórmula de Euler todo número complejo z distinto de cero tiene una representación de 
la forma 
iz re  , donde r y  son el módulo y el argumento de z respectivamente. Cuando 
un número complejo se expresa en la forma anterior se dice que z está en su forma 
exponencial. 
Ahora se presenta ejemplo de cómo pasar de una representación a otra: Hay que considerar 
que  cos senz a iib r     . 
 De rectangular a polar: Para esta conversión basta utilizar las siguientes relaciones: 
2 2r a b  y 1tan
b
a
 
 
  
 
 . 
Ejemplo: Convertir el número complejo 2 3i a su forma polar. 
Solución: En este caso 2a  y 3b  , para el cálculo del módulo r se tiene: 
2 2 2 2(2) (3) 4 9 13r a b      . 
Para el argumento  , se tiene: 
 1 1 1
3
2
tan tan tan 1.5 0.9827
b
a
   
   
      
   
. 
Por lo tanto  13 cos(0.9827) sen(02 3 .9827)ii   . Gráficamente se tiene lo siguiente: 
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Ejemplo: Convertir el número complejo 3 4i  a su forma polar. 
 
Solución: Gráficamente el número complejo 3 4i  se representa en la siguiente 
figura: 
 
En este caso 3a   y 4b  , por consiguiente: 
2 2 2 2( 3) (4) 9 16 525r a b       . 
 
Para el argumento  , se tiene: 
1 1 1tan tan t
4 4
3 3
an 3.1416 0.9273 2.2143
b
a
   
     
           
     
. 
 
Por lo tanto  cos(2.2143) sen3 4 (2.21435 )i i   . 
 
 De polar a rectangular: Aquí hay que utilizar las siguientes relaciones: 
cosa r  y senb r  
 
Ejemplo: Convertir el número complejo 3[cos(2.5) sen(2.5)]i a su forma rectangular. 
 
Solución: Se tiene que 3r  y 2.5  . Utilizando las relaciones anteriores se tiene 
que la parte real es: 
cos 3cos(2.5) 3 ( 0.8011) 2.4033a r       
 
 
La parte imaginaria es: 
sen 3sen(2.5) 3 (0.5985) 1.7955b r      
Por lo tanto 3[cos(2.5) sen(2.5)] 2.4033 1.7955i i    . Gráficamente se tiene: 
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Ejemplo: Convertir el número complejo 5[cos(3.8) sen(3.8)]i a su forma rectangular. 
Solución: Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
Luego, 5r  y 3.8  . Utilizando las relaciones anteriores se tiene que la parte real 
es: 
cos 5cos(3.8) 5 ( 0.7909) 3.9545a r       
 
 
La parte imaginaria es: 
sen 5sen(3.8) 5 ( 0.6119) 3.0595b r        
 
Por lo tanto 5[cos(3.8) sen(3.8)] 3.9545 3.0595i i    . 
 
 
Actividad 1. Comparación de números complejos 
 
En esta actividad, podrás analizar los números reales y complejos e identificaras sus 
diferencias. 
 
Instrucciones 
 
1. A través de lo visto hasta ahora, relaciona el uso de los números reales y los 
números complejos y contesta la siguiente pregunta. 
 
¿Cuál son las diferencias entre los números reales y complejos? 
 
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1.2. Operaciones con números complejos 
 
En el tema anterior se observó como todo número entero se identifica con un número 
complejo cuya parte imaginaria es cero, además se definió el conjunto de los números 
complejos se define como pareja de los números reales. Las operaciones con números 
complejos se definirán en términos de sus componentes, por consiguiente muchas de las 
propiedades que se tiene el conjunto de los números reales se van a heredar al conjunto de 
los números complejos. 
 
Como se presentó en la sección anterior 1 2z z , si y solo si 1 2Re( ) Re( )z z y 1 2Im( ) Im( )z z 
está definición presenta una manera mostrar la validez de las propiedades que se tiene las 
operaciones de números complejos. 
 
2. Realiza una comparación, ingresa al foro y comenta tus respuestas 
 
3. Revisa las aportaciones de tres de tus compañeros como máximo, aceptando o 
rechazando su respuesta. 
 
4. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la 
sección Material de apoyo. 
 
Actividad 2. Representaciones de los números complejos 
 
A través de esta actividad convertirás números complejos a polares y determinarás el 
conjunto de los números complejos. 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 2. Representaciones de los números complejos”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
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1.2.1. Suma, resta, multiplicación y división de números complejos 
 
Suma y resta de números complejos 
 
Dados 1 2,z z  , con 1 1 1a bz i  y 2 2 2a bz i  . La suma de 1z y 2z se define por la siguiente 
relación: 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ibz z a ib a biaa b      
 
Como consecuencia de esta definición se tiene que: 
 1 2 1 2 1 2Re( ) Re( ) Re( )z z a a z z     . 
 1 2 1 2 1 2Im( ) Im( ) Im( )z z bb z z    . 
 
De la definición anterior se obtienen las siguientes propiedades: 
(i). 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     , para todo 1 2 3, ,z z z  . 
(ii). 1 2 12z zz z   , para todo 1 2,z z  . 
(iii). Existe 0 tal que 0 0z z z    para todo z . 
(iv). Dado z existe z  tal que ( ) ( ) 0z z z z      . 
 
Para comprobar la validez de las propiedades anteriores, hay que observar que se tienen 
igualdades entre números complejos, lo que implica utilizar la definición de igualdad. Por lo 
tanto hay que comparar las componentes de los números complejos que entran en la relación. 
Por ejemplo, para verificar que 1 2 12z zz z   , basta observar que 
1 2 1 2 2 2 11Re( ) Re( ) Re( ) Re( ) Re( ) Re( )z z z z z z z z       . 
 
De forma análoga 
1 2 1 2 2 2 11Im( ) Im( ) Im( ) Im( )Im( ) Im( )z z z z z z z z       . 
 
La existencia del elemento 0 que satisface 0 0z z z    , se obtiene de observar que las 
componentes de 0 no deben de alterar a las componentes de z cuando se suman, en 
consecuencia las componentes de 0 son nulas, por lo tanto 0 0 0i  . Similarmente para la 
existencia del elemento z basta observar que las componentes de z y z tienen que 
anularse cuando se suman, por consiguiente difieren de signo, por lo tanto Re( ) Re( )z z   y 
Im( ) Im( )z z   . 
 
Finalmente 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     se obtiene de observar lo siguiente: 
1 2 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2
2
3
3
1
3
1
Re([ ] ) Re( ) Re( ) [Re( ) Re( )] Re( )
Re( ) [Re( ) Re( )] Re( ) [Re( )]
Re( [ ])
z z z z z z z z z
z z z z z z
z z z
        
     
  
. 
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Análogamente se tiene que 1 2 3 1 2 3Im([ ] ) Im( [ ])z z z z z z     . 
 
La operación de resta se obtiene por la propiedad (iv) y se define del siguiente modo: Dados 
1 2,z z  , la resta es 1 2 1 2( )z zz z    . Cuando 1 1 1a bz i  y 2 2 2a bz i  , la resta se realiza 
del siguiente modo: 
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z a ib a ib a a i b bz              . 
 
La representación gráfica de la suma es la siguiente: 
 
Por consiguiente, gráficamente la suma de dos números complejos es la diagonal 
principal del paralelogramo que forman dicho números. El caso de la resta, gráficamente 
se representa del siguiente modo: 
 
Por lo tanto, gráficamente la resta de dos números complejos es la diagonal secundaria 
que se forma iniciando del minuendo y finaliza en el sustraendo. 
 
Ejemplo: Dados 1 3 5z i  y 2 8 7z i   calcular 1 2z z y 1 2z z . 
 
Solución: Siguiendo la definición de suma se tiene: 
1 2 (3 5 ) ( 8 7 ) (3 8) ( 5 7) 5 2z i i i iz              . 
 
Utilizando la definición de resta se obtiene: 
1 2 (3 5 ) ( 8 7 ) (3 8) ( 5 7) 11 2z i i i iz             . 
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Ejemplo: Dados 1 6 7z i   y 2 1 3z i   calcular 1 2z z y 1 2z z . 
 
Solución: Siguiendo la definición de suma se tiene: 
1 2 ( 6 7 ) ( 1 3 ) ( 6 1) (7 3) 7 10z i i i iz               
 
Utilizando la definición de resta se obtiene: 
1 2 ( 6 7 ) ( 1 3 ) ( 6 1) (7 3) 5 4zz i i i i               . 
 
 
Multiplicación y división de números complejos 
 
Dados 1 2,z z  , con 1 1 1a bz i  y 2 2 2a bz i  . La multiplicación o producto de 1z y 2z se 
define por la siguiente relación: 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )ib a b az z a ib a a b i a b b      
En ocasiones el producto también se denota por 1 2·z z ó 1 2z z . Cabe mencionar que la 
definición anterior utiliza la relación 
2 1i   . 
 
Las propiedades que tiene el producto de números complejos son las siguientes: 
(i). 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     , para todo 1 2 3, ,z z z  . 
(ii). 1 2 12z zz z   , para todo 1 2,z z  . 
(iii). Existe 1 \{0} tal que 11z z z    para todo z . 
(iv). Dado \{0}z existe 1z  tal que 1 1 1z z zz    . 
 
Las propiedades anteriores se demuestran de la manera similar como al caso de la suma, 
sean 1 2 3,, zz z  , con 1 1 1a bz i  , 2 2 2a bz i  y 3 3 3a bz i  . La propiedad (ii) se obtiene de 
observar que 
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z z a b i a bb ba a    
Además 
2 1 2 1 2 1 1 12 2( ) ( )z z a b i a bb ba a    
 
Para (iii) supóngase que 1 u iv  , entonces la relación 1 11z z  implica que 
1 1 1 1 1 1 1 1( )( ) ( ) ( )a ib u iv a v i a a ibu b v ub     . 
 
Por la igualdad de números complejos se tiene las siguientes relaciones: 
1 1 1
1 1 1
u b v a
b u v b
a
a
 
 
 
De los que se obtiene que 1u  y 0v  , por lo tanto 1 1 0i  . 
 
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De manera similar al caso anterior, para (iv) hay que suponer que 1
1z u iv
   , la relación 
1
1 1 1zz
  implica que 1 1 1 1 1 1( )( ) ( ) ( ) 1 0u b va ib u iv a v i a iub       . Por la igualdad de 
números complejos se tiene las siguientes relaciones: 
1 1
1 1
1
0
u b v
b
a
u va
 
 
 
 
Cuando 1 0z  se tiene que 1 0a  ó 1 0b  lo que implica que el sistema anterior tiene 
solución única que es 1
2 2
1 1a
u
a
b
 y 1
2 2
1 1
b
a
v
b


 . Por lo tanto 1 1 11 2 2 2 2
1 1 1 1
b
z
b
i
a
a b a
 



 . 
 
Para la propiedad (i), dados 1 2 3, ,z z z  con 1 1 1a bz i  , 2 2 2a bz i  y 3 3 3a bz i  , entonces 
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z a b iz b a aba b    , por consiguiente 
   1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 1( ( ) ( ) ( ) ( ))z a b a a b b b i a b bz z a b a aa a bb ba         
 
Por otro lado, tomando 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2( ) ( )z a b iz b a aba b    , luego se tiene que 
   2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 21 1 1 1 3 3 2 2 3 2 3 1) ( ) ( ) ( ) (( )z a b az z a a b b a b b i a a b ba a ba b b      
 
Por lo tanto 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     . 
 
Para interpretar la multiplicación de manera gráfica, pero hay que estudiar la multiplicación 
desde la forma polar. Para  1 1 1 1 1 1cos senz r ia ib    y  2 2 2 22 2 cos senz r ia ib    , se 
tiene que 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z a b iz b a aba b    , sustituyendo 1 1 1cosra  , 1 1 1senrb  , 2 2 2cosra  
y 2 2 2cosrb  , se obtiene lo siguiente: 
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2
2 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
( cos sen ) ( sen )
cos sen ) ( se
cos sen cos sen cos
(cos sen cos se n )
cos( ) sen )
os
(
n
.
c
z a b i a b b
r r i
r
z a b a
r r r r r r r
i
r
r
       
       
   
  
   
 
 
   
 
 
 
De lo anterior se tiene que 1 2 1 2| | | | | |z z z z  y 1 2 1 2arg( ) arg( ) arg( )z z zz   . Escribiendo las 
relaciones anteriores en la forma exponencial se tiene lo siguiente: 
1 2 1 2( )
1 2 1 2( )( )
i i i
e e rr r r e
   
 . 
 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
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 14 
 
En palabras, la multiplicación de dos números complejos se interpreta como una 
rotación en el plano cartesiano, es decir, 1z se rota un ángulo igual a 2arg( )z o 
equivalentemente, 2z se rota un ángulo igual a 1arg( )z . 
 
La operación de división, se define de manera análoga a la resta, por medio de la propiedad 
(iv) del siguiente modo: Dados 1 2,z z  , con 2 0z  , la división de 
1
1 2 1 2z zz z
  . Cuando 
1 1 1a bz i  y 2 2 2a bz i  , la división se realiza del siguiente modo: 
1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( )
a b a a b b a b a b
z z z a ib i i
a b a b a b a b
z 
    
         
    
. 
 
La definición anterior es tediosa, para presentar esta operación de manera más cómoda se 
presenta la siguiente definición: Dado z , con z a ib  , el conjugado de z es el número 
complejo z a ib  . Gráficamente el conjugado se representa del siguiente modo: 
 
 
En palabras, conjugar un número complejo es reflejarlo con respecto al eje real. De la 
figura anterior se tiene que | | | |z z y ) arg( )arg(z z  . Por lo tanto, si [co s ]es nz r i  
entonces [cos sen ] iz r i re      . 
El conjugado de un número complejo tiene las siguientes propiedades: 
(i). z z , para cualquier z . 
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 15 
(ii). 1 2 1 2z z z z   , para cualesquiera 1 2,z z  . 
(iii). 1 2 1 2z z z z   , para cualesquiera 1 2,z z  . 
(iv). 2| |z z z , para cualquier z . 
(v). 2Re( )z zz  y 2 Im( )z iz z , para cualquier z . 
(vi). 1 2 1 2| || || |z zz z   para cualesquiera 1 2,z z  . 
 
Para ver la validez de (i) basta observar que sí z a ib  , entonces z a ib a ib z     . Para 
(ii) sean 11 1a bz i  y 2 2 2a bz i  , entonces 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z a a i b b a a i b b a ib a ib z z               
 
Para (iii) dados 2
1 1
i
rz e

 y 22 2
i
rz e

 , en consecuencia 
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( )
i i i i i iz z re r e r r e r re r e z zr e                 , 
 
Para (iv) si 
iz re  entonces iz re  , por lo tanto 
2 0 2 2( )( ) | |i iz e er r e r zz r      . 
 
La propiedad (v) es trivial. La propiedad (vi) no es propia del conjugado pero se obtiene a 
partir de las propiedades del mismo. Sean 1 2,z z  , entonces 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
( ) ( )( )
| | |
(
.
)
|
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z
z z z z     
   
  
 
A demás se tiene que: 
1 2 2 1 1 2 1 2 1 22Re( )z z z z z z z z zz    
 
Por consiguiente: 
 
 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
22
1 1 2 2
2
1 2
( ) | | 2Re | |
| | 2 | | | |
| | 2 | | | |
| | | |
z z z z z z z
z z z z
z z
z
z
z z
z z
z
    
 
  
 


 
Por lo tanto 1 2 1 2zz z z  . 
 
Aplicando el conjugado a la operación de división, ésta se reescribe de la siguiente forma: 
1 1 2 1 2 1 2
2
2 2 22 2 2
| |
z z z z z z z
z z zz z z
 
   

 . 
 
Denotando por 1 1 1 1[co ns se ]z r i  y 2 2 2 2[co ns se ]z r i  se tiene que: 
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  
 
2 2 21 1 11 1 2
2 2
2 2 2
1
1 2 1 2
2
[cos ] [cos( )sen sen( )]
cos( )
| |
se )n( .
i iz z z
z z
r
i
r
r r
r
   
   
 
 

 
 
 
 
Ejemplo: Calcular (3 4 )( 2 5 )i i   . 
 
Solución: Aplicando la definición de multiplicación se tiene: 
(3 4 )( 2 5 ) [(3)( 2) (4)(5)] [(3)(5) ( 2)(4)] [ 6 20] [15 8] 26 7i i i i i                 
Por lo tanto (3 4 )( 2 5 ) 26 7i i i      . 
Ejemplo: Calcular 
2
3 4
i
i


. 
Solución: Se tiene lo siguiente: 
2 2
2 2 3 4 (2 )(3 4 )
3 4 3 4 3 4 3 4
i i i i i
i i i
    
  
    
 
Pero (2 )(3 4 ) (6 4) (8 3) 2 11i i i i        . En consecuencia 
2 2
(2 )(3 4 ) (2 )(3 4 ) 2 11 2 11
3 4 225 52 255
i i i i i
i
    
   

. 
Por lo tanto 
2 2 11
3 4 25 25
i
i
i

 

. 
 
Ejemplo: Calcular 
2 4 1 3
2 5 2
i i
i i
 

  
. 
 
Solución: Primero se realiza la suma: 
(2 4 )(2 ) (1 3 )( 2 52 4 1 3
2 5
)
( 2 5 )(22 )
i ii i i i
i ii i
 
 
 
     
  
 
 
Después se realizan los productos, lo que da como resultado: 
(2 4 )(2 ) (4 4) ( 2 8) 10
(1 3 )( 2 5 ) ( 2 15) (5 6) 17
( 2 5 )(2 ) ( 4 5) (2 10) 1 12
i i i i
i i i i
i i i i
        
          
         
 
Por consiguiente: 
(2 4 )(2 ) (1 3 )( 2 5 ) ( 10 ) ( 17 ) 17 11
( 2 5 )(2 ) (1 12 ) 1 12
i i i i i i i
i i i i
           
    
 
 
 
Realizando la división se tiene lo siguiente: 
2 2
17 11 17 11 1 12 ( 17 132) (204 11) 149 193
1 12 1 12 1 12 1 1
149 193
142 5 54 41 15
i i i i i
i
i
i i
          
   

 
  

 
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 17 
 
Por lo tanto 
2 4 1 3 149 193
2 5 2 145 145
i i
i
i i
 
   
  
. 
 
Ejemplo: Dados 1 [cos(3.5) sen(3 5 ]3 . )z i y 2 2[cos(2.6) sen(2.6)]z i  , calcular 1 2z z y 1 2z z . 
Solución: Se tiene que 1 3r  , 2 2r  , 1 3.5  y 2 2.6  , en consecuencia 
  1 2 [cos(3.5) sen(3.5)] 2[cos(2.6) sen(2.6)]
(3)(2)[cos(3.5 2.6) sen(3.5 2.6)]
6[cos(6.1) sen(6.1) .
3
]
z i i
i
z
i
  
 


 

 
 A demás 
1
2
[cos(3.5) sen(3.5)]
2[cos(2.6) sen(2.6)]
[cos(3.5 2.6) sen(3.5 2.6)]
1.5[cos(0.9) sen(0.9)].
3
3
2
z i
i
i
i
z



   
 
 
Por lo tanto 1 2 6[cos(6.1) sen(6.1)]zz i  y 
1
2
1.5[cos(0.9) sen(0.9)]
z
i
z
  . 
 
 
1.2.2. Potencias y raíces de números complejos 
 
Fórmula de De Moivre 
 
La fórmula de De Moivre se utiliza para calcular las potencias enteras positivas de un número 
complejo. Dados \{0}z y n , la potencia n de z se define por: 
1
1,
0
0;
,
si 
si 
n
nz
n
z
z n

 

 

 
En consecuencia 0 1z  , para 1 0 1z z zz z    , luego 2 1zz zz z   , después 
3 2 zz z zz z    , en general 
veces
n
n
z z z

   . El número natural n toma el nombre de 
exponente y el número complejo z se llama base. Cabe mencionar que el caso 0 0n  , para 
1n  y el caso 
00 no está definido. 
 
Dado que las operaciones de los números complejos satisfacen las mismas propiedades que 
las operaciones de los números complejos, para calcular una potencia de un número 
complejo se puede ocupar la fórmula del binomio de Newton que es la siguiente: 
 0
!
( ) ,
! !
 donde 
n
n k n k
k
n n n
a b a b
k k k n k


   
     
   
 
 
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 18 
La anterior fórmula es útil solo para valores de n pequeños ya que para valores muy grandes 
el cálculo se vuelve tedioso, para valores mayores se utiliza lo siguiente: 
Teorema (De Moivre): Sean \{0}z y n , con [co s ]es nz r i  entonces 
[cos( ) sen( )]n nz r n i n   . 
 
Demostración: Se procede por inducción matemática. Para 0n  es trivial ya que 
0 01 · )[cos(0 ]sen(0· )z r i    . 
 
Supóngase que para n k se cumple que 
[cos( ) sen( )]k kz r k i k   . 
 
Tomando 1n k  se obtiene que 
  
 
   1
1 [cos ] [cos ]
[cos ] [cos( ) sen(
s
)]
cos
en sen
sen
sen ( 1( 1) )
k
k
kk
k
z z r r
r r k i k
z i i
i
ir kk
   
   
 
  
   

 

   
 
Por lo tanto [cos( ) sen( )]n nz r n i n   , para toda n . 
 
 
Ejemplo: Utilizando el binomio de Newton calcular 5(3 3 )i . 
Solución: El binomio de Newton para 5n  es la siguiente: 
5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b       
 
Tomando 3a  y 3b i  se tiene lo siguiente: 
5 5 4 3 2 2 3 4 5(3 3 ) (3) 5(3) 10(3) 10(3) 5(3)( 3 ) ( 3 )
1215 2430 2430 1
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
(243) 5(81)( 3 ) 10(27)( 9) 10(9)(27 ) 5(3)(81) ( 243 )
24 215 243
972 97
3
2 .
i i i
i i
i i i
i i
i
i
i
          
        
 

   
 
 
Por lo tanto 5 972 972(3 3 )i i   . 
 
Ejemplo: Calcular 5(3 3 )i . 
Solución: Para aplicar la fórmula de De Moivre hay que convertir el número complejo 3 3i a 
su forma polar: 
 
2 2( 3) 3 2
3 7
tan 2 tan 1 2
3 4
3
4
9 9r
 
  
   
 
      
 
 
 
Por consiguiente 
7 7
2 cos sen
4 4
3 3 3 ii
     
    
   


 , entonces 
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 19 
5
5
5
5 2
7 7 7 7
2 cos sen 2 cos 5 sen 5
4 4 4 4
35 35 3 3
3 2 cos sen 972 2 cos 8 sen 8
4 4 4 4
3 3
972 2 cos sen
4
(3 3 ) 3 3
2
i i i
i i
i
   
   
 
 
                                      
          
               
         
 
  
 



1 1
972 2
4 2 2
972 972 .
i
i
    
      
    
  
 
Por lo tanto 5 972 97(3 ) 23i i   . 
 
Ejemplo: Utilizando la fórmula de De Moivre y la forma polar de un número complejo 
demostrar que 
2 2sen sen(2 ) 2secos(2 ) n cos sco y        
 
Solución: Sea  co sensz r i  , hay que observar que la fórmula de Moivre relaciona 
cos(2 ) y sen(2 ) con 2z . Entonces, 
2 2[cos(2 ) sen(2 )]z r i   . 
 
Por otro lado aplicando el cuadrado de un binomio se tiene: 
 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
cos ( cos ) 2( cos )( sen ) ( sen )
cos cos sen
sen
2 sen
(cos ) 2sen o .sec s n
iz r r r ir
ir r
r i
r
r i
     
   
   
   





  
 
Igualando las expresiones obtenidas anteriormente se obtiene: 
2 2 2 2
2 2
[cos(2 ) sen(2 )] (cos ) 2 cos
cos(2 ) sen(2 ) (cos ) 2 cos
sen sen
sen sen
r i i
i
r
i
     
     
    



 
Por la igualad de números complejos se tiene que 
2 2sen sen(2 ) 2secos(2 ) n cos sco y        . 
 
Raíces de números complejos 
 
Las raíces de números complejos se definen en términos las potencias del siguiente modo: 
Dados ,z w y n , se dice que w es raíz n  ésima de z si y sólo si w es la potencia n 
de z , en símbolos se tiene: 
 si y solo si n nz w w z  . 
Sean  1 1 1scos enz ir   y  2 2 2scos enw ir   . Por la fórmula de De Moivre se tiene que 
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 20 
    
   
2 2 2 1 1 1
2 2 2 1 1 1
cos cos
cos(
sen sen
sen() s sen) co
n
n
n
w z
i i
i n
r r
r n r i
   
   
 
 



 
 
Por la igualdad de números complejos en la forma polar se tiene lo siguiente: 
2 1 2 1 2 donde y 
nr r n a a      
Es decir, 2 1
nr r y 12
2 a
n
 


 . 
Hay que observar que para a y n existen ,q k tales que 
0 con q k k na n    
 
Por consiguiente: 
1 1 1
2
2 2 [ ] 2
2
a nq k
n n
k
q
n
     
 
   
  
 
 
Por la periodicidad de las funciones seno y coseno se tiene 
1 1 1
2
1 1 1
2
2 2 2
cos 2
2 2 2
s
cos cos cos
sen sen see 2 nn
n n
a k k
q
k
n
a k
q
n
n n
     
 
     
 
     
       
     
     
  
  

  
     
     

 
Por lo tanto la fórmula 
1 1
1 cos s n
2
0 .e
2
 donde n
k k
i k nw r
n n
    

    
     
  



 
 
Se utiliza para calcular las raíces n  ésimas de un número complejo. Hay que observar que 
la fórmula anterior presenta n distintos valores para n z . Gráficamente, calcular las n raíces 
n  ésimas es dividir un circulo en n partes. 
 
Ejemplo: Calcular 3 1 i . 
 
Solución: Primero hay que llevar el número complejo 1 i a su forma polar: 
2 2 12 t
1
1 1
1 4
an y r

  
 
   
 
 
Es decir 1 c2 en
4
os s
4
ii
 
  

 
 
 . Dado que 3n  , se tiene que 0,1,2k  . 
Para 0k  se tiene 
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 21 
3
1
6
2 (0) 2 (
4 4cos sen
3 3
2 cos sen
12 12
0)
2 
=
w i
i
 
 
 
    
    
     
    
  

  
    
    
   




 
Para 1k  se tiene 
3
2
6 6
4 4cos sen
3 3
2 cos
2 (1) 2 (1)
2
9 9
sen 2 cos se
3
n
12 1
3
2 4 4
 
= = 
iw
i i
 
 
   
    
    
     
    
     
          
          
         

 



 
 
Para 2k  se tiene 
3
3
6
2 (2) 2 (2)
2
17 17
4 4cos sen
3 3
2 cos sen
12 12
 
= 
iw
i
 
 
 
    
  


   
     
    
     
    
    
     
 
Por lo tanto 3 1 i es el conjunto: 
6 6 62 cos sen , 2 cos sen , 2 cos sen
12 12 4 4 1
3 3 17 1
2 12
7
 i i i
                      
                 
           
  
     
 
Gráficamente se tiene el siguiente diagrama: 
 
 
Ejemplo: Calcular 4 3 . 
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 22 
Solución: Se tiene que  3 3 c s nos ei   , es decir, 3r  ,   , 4n  y 0,1,2,3k  . Hay 
que observar que 4 4 3r  , por consiguiente 
Para 0k  se tiene que: 
4
1
4
cos sen
4 4
cos sen
4
2 (0) 2 (0)
3
3
4
 
=
w i
i
   
 
    
     
    
    
   
 

 
    

 
 
Para 1k  se tiene que: 
4
1
4
2 (1) 2 (1
cos sen
4 4
cos sen
4 4
)
3
3 3
3
 
=
iw
i
   
 
    
     
    
    
    
   






 
 
Para 2k  se tiene que: 
4
1
4
2 (2) 2 (2
cos sen
4 4
cos sen
4 4
)
3
5 5
3
 
=
iw
i
   
 
    
     
    
    
    
   






 
 
Para 3k  se tiene que: 
4
1
4
2 (3) 2 (3
cos sen
4 4
cos sen
4 4
)
3
7 7
3
 
=
iw
i
   
 
    
     
    
    
    
   






 
 
Por lo tanto 1 2 3 4, , ,ww w w son las raíces cuartas de 3 . Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
 
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 23 
 
 
1.3. Geometría en el plano complejo 
 
La propiedad 2| |z z z es una de las más importantes en el conjunto de los números 
complejos ya que permite interpretar de manera algebraica la distancia entre dos puntos del 
plano, de manera equivalente | |z z z . Dado dos números complejos 1z y 2z , la distancia 
de 1z a 2z es 1 2 1 2( ) |, |zd z z z  . Cuando 1 1 1x yz i  y 2 2 2x yz i  se tiene que: 
1 2 1
2 2
2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) | | | ( ) ( ) |
| ( ) ( ) |
( ) ( )
,d z z x x iz z iy y
x i y
x yy
y
x
x
   

 
 
 

 
 
 
Como consecuencia de lo anterior se tiene que 
(i). 1 2( , 0)zd z  para cualesquiera 1 2,z z  , ya que 0,| | zz    . 
(ii). 1 2( , ) 0d z z  si y solo si 1 2z z , ya que | | 0z  si y solo si 0z  . 
(iii). 1 2 2 1( , ) ( , )d z z d z z para cualesquiera 1 2,z z  , ya que 1 2 2 1| | | |z zz z  . 
(iv). 1 2 1 2 2 3, ( , )( ,) ( )z d z dd zz z z  para cualesquiera 1 2 3,, zz z  . Esto se sigue del hecho 
siguiente: 
1 2 1 3 3 2 1 3 3 2( ) ( )z z z zz zz z zz      . 
 
Ejemplo: Dado 1 3 4z i   y 2 7 4z i  calcular 1 2( ),d z z . 
Solución: Gráficamente se tiene lo siguiente: 
Actividad 3. Operaciones con números complejos 
 
Mediante esta actividad resolverás operaciones con números complejos, utilizando la suma, 
resta, multiplicación y división o en su caso la radicación o potenciación. 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 3.Operaciones con números complejos”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U1_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
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 24 
 
Tomando 
2 2
1 2 1 2( , ) ( 3 4 ) (7 ( 11)4 8) 11 58 18d z z z z i i i            . 
 
Ejemplo: Determinar el valor de k tal que ladistancia de 6 2i a 3 ki es 5 . 
 
Solución: Se tiene que 
2 2(6 2 ,3 ) (6 2 ) (3 ) 3 ( 3) (2 2 )d i ki i ki i k k          
 
Por consiguiente 
2 23 (2 ) 5k   , así 2 5(2 29 )k   . Desarrollando las operaciones 
anteriores se llega a: 
 2
2
9 4 4 25
4 12 0
k k
k k
   
  
 
 
Resolviendo con respecto a k se tiene que 1 2k   y 2 6k  . Por lo tanto, los números 
buscados son 1 3 2z i  y 2 3 6z i  . Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
 
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 25 
1.3.1. Proyección estereográfica 
 
El objetivo de la proyección estereográfica es identificar una esfera perforada con un plano. 
Esta identificación se realiza del siguiente modo: Hay que considerar el plano  con 0z  y 
la esfera de radio 1 con centro en (0,0,0) , dicha esfera tiene ecuación 2 2 2 1yx z   . A 
partir del punto (0,0,1) se traza un segmento de recta, esta recta intersecta a la esfera en 
el punto P y al plano  en 'P . Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
Esto hace que cada punto de {(0,\ 0,1)} se corresponde con un punto del plano  . La 
importancia de la esta proyección es que permite justificar el concepto de infinito en al 
observar que cuando el punto 'P se aleja del origen, el punto P se va acercando al punto 
(0,0,1) , por consiguiente el infinito  se corresponde con el punto (0,0,1) , por consiguiente 
existe una correspondencia biyectiva entre la esfera con el conjunto de los números 
complejos extendidos { }  . 
 
 
1.3.2. Rectas y círculos en el plano complejo 
 
En un curso elemental de geometría analítica se estudia que una ecuación de la forma 
0ax by c   , con 
2 2 0a b  es representada en el plano cartesiano como una línea recta, e 
inversamente una línea recta es representada por una ecuación de la forma anterior. 
Considerando la ecuación 0ax by c   y el número complejo z x iy  , entonces 
   
1 1
2 2
 y z z yx z z
i
  
 
 
Tomando las relaciones anteriores y sustituyéndolas en 0ax by c   se tiene: 
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   
   
1 1
0
2 2
1 1
0
2 2
2 0
2Re( ) 2 0
)
0
Re( 0
 z z b z z c
i
a ib z a ib z c
Az Az
ax by c
a
c
Az c
Az c
   
       
   
    
  

 

 

 
 
Donde A a ib  y c . Hay que observar que si 0c  entonces Re( ) 0Az  , es decir z A . 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
Ejemplo: Convertir en términos de números complejos la recta cuya ecuación es 2 3x y  . 
 
Solución: Utilizando la notación anterior se tiene que 3a  , 1b   y 3c   . En consecuencia 
3A i  y 3c   . Por lo tanto la ecuación buscada es Re((3 ) ) 3 0i z   . 
 
 
Ejemplo: Graficar la recta representada por la ecuación Re((2 4 ) ) 2 0i z   . 
Solución: Sea z x iy  , entonces 
(2 4 )( ) (2 4 ) ( 4 2 )i x iy x y i x y      
 
 
Así  Re (2 4 )( ) 2 4i x iy x y    , Por lo tanto la ecuación buscada es 2 4 2 0x y   , es decir
2 1 0x y   . Gráficamente se tiene lo siguiente: 
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 27 
 
Un círculo se define como el conjunto de puntos en el plano que están a una misma distancia 
de un punto fijo llamado centro. Sea 0 0 0z x iy  el centro del círculo, r la distancia fija y 
z x iy  un elemento del círculo, entonces por la definición de círculo se tiene que 
0( , )d z z r , por consiguiente, la ecuación de un círculo con centro en 0z y radio r está dada 
por la relación 0z z r  . Además, tomando 
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
0 0
( )( ) ( )( )
2Re(
( )
) .
z z z z z z z z z z z
z
z z z z z z
z z
z
z
        
 


 
 
Equivalentemente la ecuación 0z z r  se escribe como 
2 2 2
0 02Re( )z z z z r   . 
Finalmente, sustituyendo 0 0 0z x iy  y z x iy  en la relación anterior se tiene que 
2 2 2
0 0( ) ( )x x y y r   . 
 
Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 5 y el centro está en 3 4i . 
Solución: Utilizando la notación anterior se tiene que 5r  y 0 3 4z i  . Entonces 
2 2 2
2
2
2Re((3 4 ) ) 3 4 (5)
2Re((3 4 ) ) (9 16) 25
2Re((3 4 ) ) 0
z z
z z
z z
i i
i
i
    
    
  
 
 
Por lo tanto la ecuación buscada es 
2
2Re((3 4 ) ) 0z i z   . Gráficamente se tiene lo 
siguiente: 
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 28 
 
 
Ejemplo: Graficar la ecuación 
2
(12Re( ) 4 02 )z i z   . 
Solución: Observando las siguientes expresiones 
2 2 2
0 0
2
2Re( )
2Re( )(1 02 ) 4
z z z
z i z
z r

  
  
 
Se tiene que 0 1 2z i  , entonces 0 1 2z i  . Luego 
2 2 2
0 1 2 1 ( 2) 5z i      , entonces 
2
2
2
(1 2 )
(1 2 )
(1 2
2Re( ) 4 0
2Re( ) 4 1 0 1
2Re( ) 5 1)
z i z
z i z
z i z
  
    
 

 
 
Por lo tanto la circunferencia tiene su centro en 0 1 2z i  y su radio es 1r  . Gráficamente 
se tiene que: 
 
 
 
 
 
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 29 
 
 
Actividad 4. Geometría de números complejos 
 
En esta actividad podrás determinar la ecuación de números complejos dentro del plano 
cartesiano, ya sea determinando un número, una ecuación, o demostración. 
 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 4. Geometría de números complejos”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U1_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
Autoevaluación 
 
Es momento de realizar la autoevaluación, donde podrás medir el grado de conocimiento 
obtenido en la unidad. 
 
Instrucciones: Selecciona la opción correcta que corresponda a la pregunta planteada. 
 
1. Es la deducción de la siguiente relación Dado el número complejo sos enc i  y la 
fórmula de De Moivre 
 
a) 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛2 𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝜃(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛2 𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 
c) 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛2 𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 
d) 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛2 𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 
2. Es el resultado de  
4
3 i 
a) -8 
b) -7 
c) -6 
d) -5 
3. Es el resultado de la siguiente operación
2
3
(2 2 ) 2 3
5 4 (1 )
i i
i i
  

 
. 
a) = −
333
164
+
201
164
 
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 30 
 
 
b) = −
333
165
+
201
164
 
c) = −
333
164
+
211
164
 
d) = −
333
154
+
201
154
 
4. Es el resultado de la ecuación 4 3z i  , para k=2 
a) 42
25 25
2 sen
24 2
c
4
osw i
     
     
    
 
b) 41 cos2 sen
24 24
w i
     
     
    
 
c) 42
25 25
2 sen
24 2
c
4
osw i
     
     
    
 
d) 42
37 37
2 sen
24 2
c
4
osw i
     
     
    
 
5. Dado (1 2 ) (3 5 ) 1 3i x i y i     . Hallar los valores de x y y suponiendo que ambos 
son reales. 
a) 
4
11
x   y 
5
11
y  . 
b) 
4
10
x   y 
5
10
y  . 
c) 
5
11
x   y 
5
11
y  . 
d) 
4
11
x   y 
11
4
y  . 
 
 
RETROALIMENTACION1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente 
el contenido de la unidad. 
4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue 
adelante. 
 
Evidencia de aprendizaje. Números complejos 
 
En esta actividad podrás utilizar todas las herramientas de números complejos que revisaste 
en la unidad. 
 
Instrucciones: 
 
 
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 31 
 
 
Autorreflexiones 
 
Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio 
correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también 
se toman en cuenta para la calificación final. 
 
 
Cierre de la unidad 
 
A lo largo de esta unidad analizaste el concepto de número complejo y cuáles son sus 
distintas representaciones. También aprendiste a realizar las distintas operaciones 
algebraicas y finalmente se interpretaste geométricamente las propiedades de los números 
complejos. 
 
 
1. Resuelve los siguientes problemas de números complejos. 
 
a) Dados los números complejos 1 1 2z i   , 2 5 2z i   y 3 6 3z i   . Hallar un 
número complejo z x iy  de tal manera que este a la misma distancia de los puntos 
b) Calcular 
 
10
12
3
(1 )
i
i


. 
c) Dados 1 4 2z i   y 2 10z x i  , hallar el valor de x tal manera que se cumple la 
relación 1 2 1 2zzz z  . 
d) Sean 1 2 3 4, , ,ww w w las raíces cuartas de 1 , calcular 1 2 3 4w ww w   . 
e) Utilizando las propiedades de las operaciones de números complejos, resolver la 
ecuación 
(1 2 ) 1
1
3 2
i z
i
z i
 
 

. 
2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U1_EA_XXYZ. 
 
3. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu 
apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 
 
4. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu 
Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 
 
5. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu 
trabajo. 
 
 
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 32 
Para saber más 
 
Para una breve presentación del desarrollo histórico de los números complejos se puede 
consultar las siguientes páginas web: 
http://rotrujil.webs.ull.es/WebAMVI/HISTORIA.pdf 
http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf 
 
 
Referencias bibliográficas 
 
Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag. 
Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill. 
Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag. 
Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas. 
McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill. 
Needham, T. (1999). Visual complex analysis. USA: Oxford University Press. 
Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill. 
Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones 
& Bartlett Publishers. 
http://rotrujil.webs.ull.es/WebAMVI/HISTORIA.pdf
http://rotrujil.webs.ull.es/WebAMVI/HISTORIA.pdf
http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf
http://www.amazon.com/Joseph-Bak/e/B001KDEJZ8/ref=ntt_athr_dp_pel_1
http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_2?_encoding=UTF8&field-author=Donald%20J.%20Newman&ie=UTF8&search-alias=books&sort=relevancerank
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