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Transformaciones y series 
Unidad 1. Series de Fourier 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
1 
 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Licenciatura en Matemáticas 
 
 
8° Semestre 
 
 
 
Transformaciones y series 
 
 
 
Unidad 1. Series de Fourier 
 
 
 
Clave: 
05144844 
 
 
 
 
Transformaciones y series 
Unidad 1. Series de Fourier 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
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Índice 
 
Unidad 1. Series de Fourier ............................................................................................. 3 
Introducción ..................................................................................................................... 3 
Competencia específica .................................................................................................. 3 
Espacios vectoriales ....................................................................................................... 4 
Propiedades del producto interno ................................................................................... 4 
Definición de la norma o longitud de un vector ............................................................... 4 
Funciones ortogonales ................................................................................................... 5 
Definición del producto interno de dos funciones ........................................................... 5 
Definición de funciones ortogonales ............................................................................... 6 
Funciones ortonormales ................................................................................................. 7 
Definición funciones ortonormales .................................................................................. 7 
Series de Fourier ............................................................................................................. 8 
Definición de serie de Fourier ......................................................................................... 9 
Cierre de la Unidad ........................................................................................................ 11 
Fuentes de consulta ...................................................................................................... 11 
 
 
 
 
Transformaciones y series 
Unidad 1. Series de Fourier 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
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Unidad 1. Series de Fourier 
 
 
Introducción 
 
Dentro del área de las matemáticas se utiliza el concepto de vector como un conjunto 
ordenado de 𝑛 cantidades por ejemplo [𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛] 
𝑇 donde cada componente 𝑥1 se toma 
del conjunto de los números reales ℝ o de los números complejos ℂ. En los casos 
particulares de vectores bidimensionales (𝑛 = 2) y tridimensionales (𝑛 = 3), se utilizan en 
la práctica representaciones alternativas que comprenden magnitudes y ángulos. 
 
Durante esta unidad revisarás, los espacios vectoriales además de las funciones 
ortogonales dentro de un plano tridimensional. 
 
Dentro de esta misma unidad revisarás las funciones ortogonales que se considera como 
una generalización de un vector, además de sus dos conceptos vectoriales (Producto 
interno y ortogonalidad que abarcan las funciones. 
 
Finalmente concluirás con el concepto se serie de Fourier para funciones de periodo 2𝜋. 
 
Competencia específica 
 
Utiliza los métodos de solución de las series de Fourier para la solución de 
problemas y ejercicios, mediante el uso de herramientas de análisis vectorial y 
fundamentos de cálculo de varias variables. 
Transformaciones y series 
Unidad 1. Series de Fourier 
Ciencias Exactas, ingenierías y tecnologías Licenciatura en Matemáticas 
 
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Espacios vectoriales 
 
Propiedades del producto interno 
 
Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial complejo 𝐻 junto con una función 
que asocia a cada par ordenado de vectores 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐻 un número complejo 〈𝑥, 𝑦〉. El 
número 〈𝑥, 𝑦〉 es llamado producto interno de 𝑥 e 𝑦 sí cumple con las siguientes 
condiciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acuerdo a la cuarta propiedad, es posible definir la norma de un vector en un 
espacio pre-hilbertiano. 
 
Definición de la norma o longitud de un vector 
 
Si 𝜑 ∈ 𝐻, con 𝐻 un espacio vectorial, y 𝜑1, 𝜑2, … , 𝜑𝑛 una base de 𝜑. Entonces se 
dice que la longitud o norma del vector 𝜑 está definida por: 
 
‖𝜑‖ = √〈𝜑, 𝜑〉 
 = √〈𝜑1, 𝜑2, … , 𝜑𝑛〉〈𝜑1, 𝜑2, … , 𝜑𝑛〉 
 = √𝜑1
2 + 𝜑2
2 + ⋯ + 𝜑𝑛
2 
 
La norma de un vector posee las siguientes propiedades: 
 
 
 
 
 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑦, 𝑥〉̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 〈𝑥 + 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥, 𝑧〉 + 〈𝑥, 𝑦〉 
 〈𝜆𝑥, 𝑦〉 = 𝜆〈𝑥, 𝑦〉, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻; con 𝜆 un escalar 
 〈𝑥, 𝑥〉 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝐻 
 〈𝑥, 𝑥〉 = 0 sí y solo sí 𝑥 = 0 
 
 ‖𝜆𝜑‖ = |𝜆|‖𝜑‖; con 𝜆 n escalar 
 〈𝛼, 𝛽〉 = ‖𝛼‖‖𝛽‖ cos 𝜃; donde 𝜃 es el ángulo entre 𝛼 y 𝛽 
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Unidad 1. Series de Fourier 
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Si definimos la distancia entre 𝜑1 y 𝜑2 como 𝑑(𝜑1, 𝜑2) = ‖𝜑1 − 𝜑2‖, se dice que 𝐻 
es un espacio métrico. 
 
Un espacio pre-hilbertiano 𝐻 recibe el nombre de espacio de Hilbert si toda sucesión 
de Cauchy converge en 𝐻, es decir, si 𝐻 es completo con la métrica inducida por el 
producto interno. 
 
 
Funciones ortogonales 
 
En relación con geometría, se dice que dos líneas son ortogonales si el ángulo 
formado entre ambas es de 90°. Este resultado se puede extender a los vectores y 
más aún al de funciones a través del estudio del producto interno. 
 
Definición del producto interno de dos funciones 
 
Sea 𝑓1 y 𝑓2 dos funciones continuas definidas en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. Entonces 
se define el producto interno entre 𝑓1 y 𝑓2 como: 
 
〈𝑓1 , 𝑓2〉 = ∫ 𝑓1(t) 𝑓(𝑡)2
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 con 𝑡 un parámetro 
 
Dado que 𝑓1 y 𝑓2 son continuas inducen un producto interno, es decir, cumplen con 
las propiedades planteadas al principio de éste capítulo. Este producto interno entre 
funciones induce la norma 
 
 ‖𝜑‖2 = 〈𝜑, 𝜑〉 
 |〈𝜑1, 𝜑2〉| ≤ ‖𝜑1‖‖𝜑2‖ ∀ 𝜑1, 𝜑2 ∈ 𝐻. 
(Desigualdad de Schwartz) 
 ‖𝜑1 + 𝜑2‖ ≤ ‖𝜑1‖ + ‖𝜑2‖ ∀ 𝜑1, 𝜑2 ∈ 𝐻. 
(Desigualdad del triángulo) 
 
 
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Unidad 1. Series de Fourier 
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‖𝑓‖ = (∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 
𝑏
𝑎
)
1
2
, 
 
resulta fácil verificar las propiedades de la norma anteriormente dadas. 
Definición de funciones ortogonales 
 
Se dice que dos funciones 𝑓1 y 𝑓2 son ortogonales en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si 
 
〈𝑓1 , 𝑓2〉 = 0 
 
Al generalizar esta definición a un conjunto de funciones distintas de cero {𝜙𝑖} con 
𝑖 = 1, … , 𝑛 . Se dice que el conjunto de funciones {𝜙𝑖} son ortogonales en [𝑎, 𝑏] si: 
 
〈𝜙𝑛, 𝜙𝑚〉 = ∫ 𝜙𝑛(𝑡)𝜙𝑚(𝑡)
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 = 0 si 𝑛 ≠ 𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo.- Considere el espacio generado por los polinomios {2𝑡2 − 1, 2𝑡}. 
Muestre que los elementos de la base son ortogonales en el intervalo de [0,1]. 
Solución. 
Sea 𝑃1 = 2𝑡 y 𝑃2 = 2𝑡
2 − 1, entonces por definición de producto interno se 
puede escribir 
〈𝑃1, 𝑃2〉 = ∫(2𝑡)(2𝑡
2 − 1)𝑑𝑡
1
0
= ∫(4𝑡3 − 2𝑡)𝑑𝑡 = 4
𝑡4
4
− 2
𝑡2
2
]
0
1
= 0
1
0
. 
 
 
Ejemplo.- Considere el espacio generado por el conjunto de las funciones 
{𝜑𝑛 = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)} con 𝑛 = 0,1,2, … . Muestre que el conjunto de elementos de la 
base son ortogonales en el intervalo cerrado [– 𝜋, 𝜋]. 
Solución. 
Por definición de producto interno se tiene 
〈𝜑𝑛, 𝜑𝑚〉 = ∫ cos(𝑛𝑡) cos(𝑚𝑡)
𝜋
–𝜋
𝑑𝑡 =
1
2
∫(cos[(𝑛 + 𝑚)𝑡] + cos[(𝑛 − 𝑚)𝑡])
𝜋
–𝜋
 
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Funciones ortonormales 
 
El punto de partida para el estudio de las funciones ortonormales, comienza a partir 
del estudio de las funciones ortogonales. La idea intuitiva es que si se tiene una 
base linealmente independiente que genera a todo el espacio vectorial. Entonces 
los componentes de esta base se ortogonalizan y es posible obtener una base 
ortogonal que también que también genera al espacio. Entonces al obtener la norma 
de cada uno de los vectores de la base, se obtiene una base ortonormal que también 
genera al espacio vectorial. 
 
Definición funciones ortonormales 
 
Se dice que el conjunto de funciones {𝜙𝑖} son ortonormales en [𝑎, 𝑏] si: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general para cualesquiera dos funciones 𝜙𝑛, 𝜙𝑚 ortogonales, el producto interno 
entre ellas es cero si 𝑚 ≠ 𝑛 y uno cuando 𝑚 = 𝑛. A esta propiedad se le conoce 
como delta de Kronecker 
=
1
2
(
𝑠𝑒𝑛[(𝑛 + 𝑚)𝑡]
𝑛 + 𝑚
+
𝑠𝑒𝑛[(𝑛 − 𝑚)𝑡]
𝑛 − 𝑚
)
–𝜋
𝜋
= 0 𝑠𝑖 𝑛 ≠ 𝑚 
Por lo tanto el conjunto {𝜑𝑛 = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)} = {1, 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑐𝑜𝑠(2𝑡), … } es una base 
ortogonal en el intervalo [– 𝜋, 𝜋]. 
 〈𝜙𝑛, 𝜙𝑚〉 = ∫ 𝜙𝑛(𝑡)𝜙𝑚(𝑡)
𝑏
𝑎
= 0 𝑠𝑖 𝑛 ≠ 𝑚 
 〈𝜙𝑛, 𝜙𝑛〉 = ∫ 𝜙𝑛(𝑡)𝜙𝑛(𝑡)
𝑏
𝑎
= 1 
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𝛿𝑚𝑛 = {
1 si 𝑚 ≠ 𝑛 
0 si 𝑚 = 𝑛 
. 
Para construir una conjunto ortonormal a partir de un conjunto ortogonal 
{𝜙𝑗} .simplemente se considera el conjunto ortonormal como {
𝜙𝑗
‖𝜙𝑗‖
} donde ‖𝜙𝑗‖ es 
la norma de 𝜙𝑗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Series de Fourier 
 
Con el fin de estudiar ciertos fenómenos periódicos en la Física y en la Ingeniería 
como pueden ser: el estudio de una onda de sonido, una señal eléctrica de algún 
tipo, o el movimiento de un sistema mecánico que vibra. El estudio de estos 
fenómenos se basa en la idea de aproximar la función mediante funciones 
periódicas seno y coseno. 
 
Se dice que una función 𝑓(𝑥) es periódica si está definida para toda 𝑥 ∈ ℝ y si existe 
algún número positivo 𝑇 (el cual es llamado periodo) de manera que para toda 𝑥 ∈
ℝ 
Ejemplo.- Construya un base ortonormal del espacio generado por el conjunto 
de las funciones {𝜑𝑛 = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)} con 𝑛 = 0,1,2, … en el intervalo cerrado [– 𝜋, 𝜋]. 
Solución: 
En un ejemplo anterior se mostró que el conjunto {𝜑𝑛 = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)} es una base 
ortogonal en el intervalo [– 𝜋, 𝜋]. Así que ahora calculamos la norma de 𝜑𝑛, 
para cualquier 𝑛 se tiene que la norma es 
‖𝜑𝑛‖ = ( ∫ 𝑐𝑜𝑠
2(𝑛𝑡)𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
)
1
2
= (
1
2
∫[1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑛𝑡)]𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
)
1
2
= √𝜋. 
Finalmente tenemos que el conjunto 
{
1
√𝜋
,
𝑐𝑜𝑠(𝑡)
√𝜋
,
𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
√𝜋
, … , }, 
es una base ortonormal. 
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Unidad 1. Series de Fourier 
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𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥). 
 
 Definición de serie de Fourier 
 
Supongamos que 𝑓(𝑥) es una función periódica con periodo 2𝜋 que puede 
representarse por medio de una serie trigonométrica de la forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sen 𝑛𝑥).
∞
𝑛=1
 
Los coeficientes de esta serie se obtienen por medio de las fórmulas de Euler 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
para toda 𝑛 = 1,2, … . De este modo se tiene que 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 cos 𝑥 + 𝑏1 sen 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sen 𝑛𝑥 + ⋯ . 
 
Esta serie recibe el nombre de serie de Fourier correspondiente a 𝑓(𝑥) y sus 
coeficientes se llaman coeficientes de Fourier. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo.- Encuentre la serie de Fourier de la función periódica 
𝑓(𝑥) = {
−𝑘 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 −𝜋 < 𝑥 < 0
𝑘 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 0 < 𝑥 < 𝜋
 
Solución: 
Esta es una función de periodo 2𝜋, es decir, 𝑓(𝑥 + 2𝜋) = 𝑓(𝑥). Notemos que 
el coeficiente 𝑎0 representa el área bajo la función 𝑓(𝑥) en el intervalo (−𝜋, 𝜋) 
pero por la definición de 𝑓(𝑥) este es cero. Tenemos para toda 𝑛 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
∫ −𝑘 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
0
−𝜋
+
1
𝜋
∫ 𝑘 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
 =
1
𝜋
[−𝑘
sen 𝑛𝑥 
𝑛
|
−𝜋
0
+ 𝑘
sen 𝑛𝑥 
𝑛
|
0
𝜋
] = 0
 
 
𝑎0 =
1
2𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 
 
 
Transformaciones y series 
Unidad 1. Series de Fourier 
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Puesto que cos(−𝛼) = cos 𝛼 calculamos 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
∫ −𝑘 sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥
0
−𝜋
+
1
𝜋
∫ 𝑘 sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
 =
1
𝜋
[−𝑘
cos 𝑛𝑥 
𝑛
|
−𝜋
0
+ 𝑘
cos 𝑛𝑥 
𝑛
|
0
𝜋
] =
2𝑘
𝑛𝜋
(1 − cos 𝑛𝜋)
 
Finalmente tenemos que (1 − cos 𝑛𝜋) = 2 para 𝑛 impar y (1 − cos 𝑛𝜋) = 0 
para 𝑛 par. Por lo tanto 
𝑓(𝑥) =
4𝑘
𝜋
(sen 𝑥 +
1
3
sin 3𝑥 +
1
5
sen 5𝑥 + ⋯). 
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Cierre de la Unidad 
 
En esta unidad se pretende que tengas en cuenta los espacios vectoriales para poder 
resolver ejercicios sobre series de Fourier, así mismo, estás te ayudarán en la unidad 2 a 
resolver problemas de diversas series que se verán, así como diversas transformadas. 
 
 
Fuentes de consulta 
 
Castellet, M y Llerena, I. Álgebra Lineal y Geometría, Reverté, Barcelona, 2000. 
Merino, L. y Santos, E. Álgebra Lineal con Métodos Elementales, Thomson, 1999. 
Romero, A. Álgebra Lineal y Geometría, La Madraza, Granada, 1986.