Densidades de corriente de magnetización - Arturo Lara (1)

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20- Densidades de corriente de magnetización
Supóngase que se tiene un objeto magnetizado y se desea encontrar el potencial vectorial producido por él en un punto de campo r situado en el exterior del cuerpo, como se ilustra en la figura 20-1. El momento dipolar del volumen dr dado por (20-1) esdm' = M(r')<ÍT y su contribución al potencial vectorial en r se obtiene de (19-21) como
dA =	= * M(f)XRdr'
4t7	2	4t7	2	v 7
donde, como siempre, R - r - r' y corresponde a la r de (19-21) dado que allí m se tomó en el origen. El potencial total se obtiene al integrar (20-3) sobre el volumen 7* del material, resultando
con la ayuda de (1-143). Se puede ahora utilizar (1-120) para expresar el integrando como mxV'(1) = 2^m_Wx(M)	(20-5)
Figura 20-1. Cálculo del potencial vectorial en un punto de campo en el exterior de un objeto magnetizado.
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Al sustituir esto en (20-4) y utilizar (1-25) y (1-52) se obtiene
A(r)=jW (V-XM)rfr-+jW
v 7	477 J j/- R	477 Jy
Mo f (V'XM)í/r' Mo MXñ'da'
4? Jy, R + 4tt % R
(20-6)
(20-7)
(20-8)
(20-9)
donde S' es la superficie limitante del volumen V1 del material, y n es la normal exterior
que se muestra en la figura 20-1. Al comparar esto con (16-12) y (16-13) se puede obser-
var que viene a ser exactamente el potencial vectorial que sería producido por una densidad
volumétrica de corriente Sm distribuida en todo el volumen y una densidad superficial de
corriente Km sobre la superficie limitante, siendo
= V'XM
Km = M X íi
pues así se tendría
A(r)=^f
v 7	477 Jy' R 477 JS' R
como era de esperarse.
Por lo tanto, lo que se ha obtenido es que, en lo que respecta a los efectos en su ex-
terior, el material puede ser remplazado por una distribución de densidades volumétricas
y superficiales de corriente que están relacionadas con la magnetización M por medio de
(20-7) y (20-8). Los diversos pasos que condujeron al presente esquema conceptual que-
dan resumidos en la figura 20-2. (Compáresela con la figura 10-2.) El potencial vectorial
total en el punto de campo estará entonces dado por (20-6) más el producido por cuales-
quiera otras corrientes que pudieran estar presentes.
Es práctica común omitir las primas en (20-7) y (20-8) y simplemente escribir
Jm = VxM Y Kw = MXñ	(20-10)
considerando que la diferenciación es con respecto a las coordenadas del punto fuente y que n es la normal exterior. Nótese que M X n es tangente a la superficie, pues es perpendicular a ñ, como debe ser para poder representar una corriente superficial; esto también demuestra que la componente tangencial de M es la que determina la corriente superficial. (Es esencial no olvidar que Km queda determinada por el valor de M X ñ en la superficie.) El índice m de estas cantidades refleja el hecho de que comúnmente se les llama densidades de corriente de magnetización. También se les suele llamar densidades de corrientes
Figu ra 20-2 Esquema conceptual para remplazar la materia por densidades de corrientes equivalentes.
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Figura 20-3 Origen de las corrientes superficiales de magnetización para el caso de una magnetización uniforme.
amperianas o densidades de comente confinada; sin embargo, la última forma no se usará aquí porque ya se le asoció en (12-18) con el desplazamiento de cargas ligadas según se refleja en la densidad de corriente de polarización.
Estos resultados se han obtenido haciendo una comparación formal de la expresión (20-6) con su forma general (20-9). Es también posible calcular y entender estas corrientes de una manera “física” directa, sin embargo, esto se hará solamente en forma cualitativa. Como un ejemplo extremo, considérese un trozo de material con una magnetización uniforme producida por dipolos de la misma magnitud que se encuentran alineados, es decir, circulando en el mismo sentido, como se ilustra en una vista de frente en la figura 20-3. Si se considera la vecindad inmediata de un punto interior, como se indica por la línea punteada, se puede observar que la corriente de una de las espiras en una dirección dada se cancela por la corriente en sentido opuesto de las espiras adyacentes. Así, en el interior de un material uniformemente magnetizado la corriente de magnetización es cero, en concordancia con (20-7). Sin embargo, en la superficie no existen corrientes adyacentes que provoquen una cancelación, por lo que, dado que todas Es corrientes circulan en la misma dirección, el resultado es una corriente que circula sobre la superficie exterior como se indica con la flecha. Dado que M apunta hacia afuera de la página en este caso, la dirección de dada por (20-8) viene a ser exactamente la misma que se dedujo al considerar las espiras de corriente.
Supóngase ahora que M no es uniforme en todo el material; por ejemplo, la corriente de cada una de las espiras podría ser diferente. En este caso, al considerar la región encerrada por la línea punteada se puede observar que en general no ocurría una cancelación completa debida a las corrientes adyacentes dirigidas en sentido contrario, por lo que existirá una corriente resultante en el interior. Este efecto es exactamente el descrito en (20-7) y, de hecho, esta imagen puede utilizarse como una manera alternativa para derivar cuantitativamente = v' X M. En este caso sigue habiendo una corriente superficial , desde luego.
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Figura 20-4 Frontera entre dos materiales magnetizados.
Supóngase que se tienen dos materiales magnetizados que se juntan en una frontera común como se muestra en la figura 20-4. Dado que cada uno de ellos poseen una componente tangencial en la superficie, la corriente superficial que se producirá en cada uno de ellos está dada por (20-8). La densidad superficial de corriente neta será la suma de estos dos términos, de manera que
KmnM = K„, + Km2 = M,Xñ1' + M2Xñ2'	(20-11)
donde ñj' y ñ2 son las normales exteriores de los medios respectivos. Si se introduce ahora la normal ñ dibujada de 1 a 2 por la convención usual, se puede observar en la figura que ñi' = n y que íi2' — - ñ, de modo que (20-11) queda
Kmnet = (M, - M2) X ñ = ñ X (M2 - M,)	(20-12)
Como una ilustración de la consistencia interna de estos resultados, considérese un trozo de material magnetizado de volumen finito, y encuéntrese la rapidez total a la que se transfiere carga ligada a través de un plano que pasa por el material como se indica en la figura 20-5¿z. Sea 5 la superficie del plano interceptada por el material, ñ la normal a ella
Figura 20-5 Cálculo de la corriente confinada total que pasa a través de un plano.
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y C su curva limitante, como se muestra en la figura 20-5Z?. La rapidez total a la que se transfiere carga a través del plano, es decir, desde la región sombreada de la derecha a la región no sombreada de la izquierda, está dada por (12-6), (12-8) y la figura 12-5 como
% =f}m-da + ^)K.m-tds	(20-13)
donde t se dibuja perpendicularmente a ds, como se requiere. Al sustituir (20-10) en este resultado y utilizar (1-67) y (1-29) se encuentra que
=^M-¿/s + ^(MXñ>t¿¿s = ^M-¿/s + (^M-(ñ'Xf)¿5	(20-14)
donde ñ' es la normal a la superficie del material en el punto en el que se desea evaluar Km. A partir de la figura se puede observar que (ñ' X i)ds = -'ds, de manera que las dos integrales de (20-14) se cancelan y dq¡dt = 0. Así, las corrientes de magnetización no transfieren carga neta. Pero esto no es sino lo esperado, ya que de otra manera un trozo cualquiera de material magnetizado separaría sus cargas “espontáneamente”, lo cual no es compatible con la imagen conceptual discutida de la magnetización según la cual ésta se debe a una reorientación de las espiras de corriente ya existentes.
La inducción producida en el exterior del material puede calcularse a partir de (20-6) por medio de B = V X A. De manera alternativa, es posible utilizar las densidades de corriente concentradas en (20-7) y (20-8) junto con (14-7) y (14-11) para obtener
x Mo f Jm(r')XRdr'
S(r>=4^Jy.		
Mo X Rm(r')XRda'
477^R2
(20-15)
Hasta ahora todos los resultados se han obtenido considerando el potencial vectorial y su correspondiente inducción en un punto de campo situado en la región al vacío exterior al cuerpo material. No existe dificultad alguna para encontrar el valor de B, y es posible imaginar una medición de él midiendo la fuerza sobre una carga puntual en movimiento o el momento de torsión sobre una pequeña espira de corriente. Pero, ¿cuál es la situación en el interior del material? No sería fácil medir el momento de torsión sobre una espira de corriente sin antes taladrar un agujero en el material para insertar la espira, y es posible anticipar que ello podría afectar la situación, ya que en el proceso se habrán eliminado algunas corrientes volumétricas y se habrán introducido nuevas corrientes superficiales. Ya se tuvo una situación similar en el caso eléctrico y se estudió la solución en detalle en la sección 10-3. Se podrían utilizar los mismos argumentos aquí, con los cambios apropiados de términos y símbolos, para llegar exactamente a la misma conclusión: la única cosa práctica y razonable que queda por hacer es mantener la consistencia del remplazo conceptual de la materia por el conjunto de densidades de corriente de magnetización y suponer, por definición, que (20-9) y (20-15) pueden ser utilizadas en el cálculo de A y B en cualquier lugar.
Sin embargo, resta todavía preguntar si es posible obtener una definición de cavidad de B en el mismo sentido que se hizo con E en (10-26) y con D después de (10-45). En otras palabras, se desea poder recortar una cavidad de forma apropiada en el material, de manera que se pueda insertar, por ejemplo, una pequeña espira de corriente para encontrar el valor de B en el material a partir de la medición del momento de torsión producido sobre la espira en el vacío dentro de la cavidad. Como en la ocasión anterior, se puede utilizar lo que ya se conoce acerca de las condiciones de frontera que debe satisfacer B; la
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B
Figura 20-6 Cavidad utilizada para medir B en el interior del material.
más relevante es que las componentes normales de B son continuas, según (16-4). Y esta es precisamente la misma condición de frontera que se utilizó para obtener la definición de cavidad de D, de modo que es fácil ver lo que se debe hacer. Así, la cavidad apropiada es aquélla con la forma de un cilindro recto muy corto recortado en el material con su base perpendicular a la dirección de B en ese lugar, como se muestra en la figura 20-6. Por construcción se observa que únicamente se incluyen las componentes normales, por lo que el valor de B en la cavidad debe ser igual al que existe dentro del material, es decir, BC = B.
Por último, considérese un ejemplo simple que ilustra los resultados obtenidos hasta aquí. En la siguiente sección se verá un ejemplo más complicado.
Ejemplo
Cilindro infinitamente largo y uniformemente magnetizado. Supóngase que se cuenta con un cilindro infinitamente largo de sección circular que posee una magnetización uniforme, M, paralela al eje del cilindro, tal como se ilustra en la figura 20-7u. Se pueden encontrar las corrientes de magnetización a partir de (20-10). Dado que M = const , se encuentra que im = V X M — 0 y que no existen corrientes volumétricas. La figura 20-7 muestra una normal exterior, ñ, perpendicular a M, y puede observarse que la corriente superficial posee una magnitud constante Km =My que circula alrededor del cilindro en la dirección indicada en la parte 6) de la figura. Pero resulta que una corriente de este tipo no es sino el equivalente exacto de un solenoide ideal infinitamente largo, como el que se ilustró en la figura 15-11, y para el cual ya se ha calculado la inducción. La magnitud de B en el interior está dada por (15-24), por lo que en este caso se tiene que B¡ = liQKm =	=
const., mientras que Bo - 0 en el interior. Dado que la dirección de Bz es axial, como la de M, se puede escribir
=	(20-16)
Figura 20-7 Cilindro uniformemente magnetizado, a) Vista de perfil, b) vista de frente.
Esfera uniformemente magnetizada
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Figura 20-8 Esfera uniformemente magnetizada.
como la solución completa del problema