16 Coordenadas cilindricas - Arturo Lara (1)

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1- 16 Coordenadas cilindricas
Hasta ahora solamente se han utilizado coordenadas rectangulares con sus vectores unitarios constantes. Sin embargo, hay muchos problemas que se pueden enunciar y resolver mejor por medio de otros sistemas coordenados. Al utilizar éstos, hay que ver qué sucede a los resultados hasta aquí obtenidos. Sólo se verán dos de los sistemas de mayor importancia.
El primero de ellos es el de las coordenadas cilindricas, en las cuales la localización de un punto, P, se especifica por medio de tres cantidades, p, <p, z, cuyas definiciones se ilustran en la figura 1-37; esta figura también muestra el vector de posición, r, del punto, así como tres nuevos vectores unitarios que se definirán en breve. Se puede observar que cuando r se proyecta sobre el plano xy, p es la longitud de esta proyección, mientras que es el ángulo que dicha proyección forma con el eje x positivo; z es la misma que su correspondiente coordenada en el sistema rectangular. La relación entre las coordenadas cilindricas y las rectangulares para un punto P son, de acuerdo con la figura,
x = pcoscp y=psenq) z = z	(1‘74)
de manera que
p = (x2+^)'/2 tan<p=^	(1-75)
Ahora se puede definir un conjunto de tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, como sigue: primero, z es el mismo que el z rectangular; segundo p, se escoge de manera tal que esté en la dirección en que p aumenta y sea perpendicular a z, de modo que p es paralelo al plano xy. Por último, ¡p se define como perpendicular a los dos anteriores y en la dirección indicada. Se puede ver que (p es perpendicular al plano seminfinito
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Vectores
Figura 1-37. Definición de las coordenadas cilindricas.
& ~ const., y su dirección es, por tanto, la, misma en que ip crece. Los tres vectores unitarios se muestran en el punto P para enfatizar el hecho de que son función de P\es decir, si P se desplaza, tanto p como (p cambian sus direcciones; aunque z no cambia. Así, se observa que estos tres vectores unitarios no son constantes, en contraste con los de las coordenadas rectangulares x, y, y z.
Dado que p , (p y t son vectores unitarios mutuamente perpendiculares, deben satisfacer relaciones análogas a las (1-18), (1-19) y (1-25):
pp = <p<p = zz = 1
p(p = <pz = zp = 0	(1-76)
pX<p = z <pXz = p zXp = <p
Las componentes rectangulares de p y y se pueden encontrar inspeccionando la figura 1-37; resulta de gran utilidad imaginarlas como proyectándose en el plano xy, y así se obtienen los resultados.
p = cos<px + sen<py <p= — senqpx + costpy	(1-77)
Se pueden despejar x y y de estas ecuaciones para obtener sus componentes en coordenadas cilindricas:
x = cos(pp — sengxp	y = sen<pp +eos qxp	(1-78)
Al derivar (1-77), se encuentra una expresión explícita de la forma en que p y p varían a medida que P se desplaza:
Coordenadas cilindricas
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dp .
y
drp _ _ .
drp &
Dado que p yípyi son mutuamente perpendiculares, se puede expresar cualquier vector A en función de sus componentes a lo largo de estas direcciones; por analogía con (1-5), se puede escribir A en la forma
A = Jpp + Jv<p + 4¿
(1-80)
Para el caso particular del vector de posición r, se puede ver que, de acuerdo con la figura 1-37,
r = pp + zz
(1-81)
que puede obtenerse también a partir de (1-11) después de sustituir (1-74) y usar (1-77). También se puede obtener la diferencial dr a partir de (1-81) y (1-79):
dr = dpp + pdp + dzz = dpp 4- p dtpq + dzz
de manera que sus componentes en las direcciones positivas de p, <p y z son dp, pdy y dz, respectivamente. Estos desplazamientos componentes se muestran en la figura 1-38, y se puede observar que corresponden a la distancia recorrida por P al cambiar cualquiera de sus coordenadas, mientras las otras dos permanecen constantes. El elemento de volumen
Figura 1-38. Elemento de volumen en función de las coordenadas cilindricas.
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Vectores
sombreado tiene como lados a las componentes de dx dadas en (1-82). Por lo tanto, el elemento de volumen en coordenadas cilindricas está dado por
dr = pdpdydz	(1-83)
También puede observarse en esta figura que las superficies perpendiculares a los vectores unitarios son pdpdz, dpdz, y pdpd^p, de manera que las componentes de un elemento de superficie da son
dap=±pdxpdz da^=±dpdz daz=±pdpdxp	(1-84)
donde el signo correcto debe elegirse con el mismo criterio que para (1-55).
Ahora se verá cómo se expresan los operadores diferenciales en este sistema. Si u - u(p, ip, z), entonces
, du , , du , du ,
du = dp + dxp + -7z~dz
dp drp dz
al comparar este resultado con (1-82) y con la definición general del gradiente dada en
(1-38), y notando que en este caso ds = dx, se obtiene que la expresión en coordenadas cilindricas para el gradiente es
_	. du	- 1 du	du
Vu = p-^— + <p— -7;—I-z-t-
dp p d<p	dz
(1-85)
de manera que el operador del queda
„ . 9	1 9	9
dp	p dxp	dz
(1-86)
Al aplicar (1-86) a (1-80), se obtienen las expresiones correspondientes para la divergencia y el rotacional. Sin embargo, al hacer esto debe recordarse que los vectores unitarios no son constantes, y que se debe tomar en cuenta (1-79); además, debe usarse también (1-76). A continuación se muestra este procedimiento para V-A:
va í" d , ~ 1 9	.3
V • A = I p-¿—Fcd—»—l-z^-
\ dp p d(p dz
'(App + Atp<p + Azz)
. i dAp .	dAz /
=pWp+^r<í>+^z
i . 1/dAp dp 0^<p	. 9<P , dAz
+ 'f -p ( “9^p + ^ 9Í + ~fyV’+A*fy + "9?
+ z-
M dA; :
-áTp+-gT,í’+
dp p p 0<p dz
Coordenadas esféricas
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que se suele escribir como
VA 1 3 í A Au. 1 H _u dA-’
(1-87)
De la misma manera, la expresión para el rotacional se convierte en
V X A = p|
1 dA,
P
3z
dz
a/L\ r i ó
"ap)+z[p ~ñ(pAP
1 dAp
P 9<P
(1-88)
mientras que V* Vz/ queda como
1 3 / 3u \ , 1 3 2u , 3 2w
—Pv 3	7 ~—7 3" T-7
P dp \ dp / p2 0<p2	3z2
(1-89)
siendo u una función escalar de la posición.
Es muy importante recordar que (1-86), (1-87), (1-88) y (1-89) no se pueden obtener de sus correspondientes expresiones en coordenadas rectangulares, o sea, (1-41), (1-42), (1-43) y (1-46), por simple remplazamiento de x, y y z por p, y z. De manera similar, (1-44) y (1-47) sólo pueden usarse para coordenadas rectangulares; véase (1-22) para la definición de V~A en otros sistemas coordenados. Es sorprendente observar la frecuencia con que se cometen estos errores.