3 Cálculo directo deV x B - Arturo Lara (1)

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14- 3 Cálculo directo deV x B
Aunque en (15-12) ya se encontró el rotacional de B, se le obtuvo de una manera muy directa. Es interesante ver que este mismo resultado puede lograrse al operar directamente sobre la ecuación básica de la definición de B. Para ello es conveniente utilizar la expresión (14-7) en función de una distribución continua de corriente. Al obtener el rotacional de esta expresión se tiene
V X B(r) = V X
Mo f J'(r')XR¿/r = Mo f v x í Jz(r')XR
R2 4*77 J y	R2
(15-30)
donde fue posible pasar del segundo al tercer término debido a que los límites de la integración dependen de las coordenadas de puntos fuente (x , y , z ), mientras que V involucra derivadas con respecto a las coordenadas de puntos de campo {x,y,z). Si ahora se utiliza (1-121), se encuentra que la cantidad dentro de la integral es
=J'(r')[v (-S-)
\ R21
(
6 \
£)
(15-31)
en la que el segundo y tercer términos son iguales a cero porque cualquier componente de V que opera sobre Jz dará cero, ya que J ' depende exclusivamente de las componentes de r'. Una vez obtenida (15-31), se puede utilizar (1-134) para pasar de V a V en el segundo término del miembro derecho, a fin de obtener un integrando que únicamente sea función de las coordenadas primas y se puede así efectuar la integración; el primer término no se altera. Procediendo así y sustituyendo el resultado en (15-3) se encuentra que
VXB =
(15-32)
Se puede demostrar que la segunda integral es igual a cero si se le escribe de nuevo por medio de (1-131).
(i5-33)
Dado que únicamente se están tomando en cuenta corrientes constantes, V '' i' — 0 debido a (12-15), con lo que la integral de volumen se anula. Ahora la distribución de corrientes fuente ocupa un volumen finito; en consecuencia, la superficie limitante S ' puede siempre elegirse lo suficientemente grande para que Jz (rz) = 0 en todos los puntos de S', por lo que la integral de superficie también se anula. Por lo tanto, como ya se había dicho, la integral en (15-33) es cero, con lo que (15-32) se reduce a
VXB =
drf
(15-34)
306
Forma integral de la ley de Ampere
La componente x de esta ecuación tiene exactamente la misma forma de (4-23), con Ato Jz x en lugar de p/e0, el resultado de la integración de (4-23) fue (4-26), de manera que se tiene
(15-35)
y expresiones similares para las componentes y y z de (15-34). Sumando estos resultados y después quitando la prima de J ' para estar de acuerdo con la notación estándar convenida, se tiene que es exactamente lo mismo que se encontró antes en (15-12).
V X B = iíq[ Jx(r)x + Jy(r)y + Jz(r)z ] = y(r) « (V X B) at r