2 E perpendicular al plano de incidencia - Arturo Lara

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24- 2 E perpendicular al plano de incidencia
Puesto que no se cuenta con conocimientos a priori acerca de las relaciones existentes entre los diversos campos eléctricos, supóngase que todos ellos se dirigen hacia afuera de la página en cierto instante y en cierta localización particulares sobre la superficie de frontera; si esta suposición acerca de las direcciones relativas fuera incorrecta, el resultado final lo indicaría por medio de su signo. Las direcciones que corresponden a H pueden encontrarse a partir de la condición en que E X H se encuentra en la dirección de propagación k. Así se obtiene la situación que se muestra en la figura 25-9; por claridad, se han dibujado las E y H a cierta distancia de la superficie de separación entre los dos medios, pero debe recordarse que en realidad se desea que representen la situación en la superficie en la que se aplican las condiciones de frontera.
Puesto que los campos eléctricos son todos ellos paralelos entre sí y a la superficie, son componentes tangenciales, de modo que Eltang = E2tang se vuelve simplemente
(25-24)
Todos los campos magnéticos están sobre el plano de incidencia, para el quer es el vector unitario tangencial, y así la otra condición de frontera tang = H2 tang se vuelve
(H;. + Hr)’f=Hz-f	(25-25)
Este último resultado puede expresarse en función de los campos eléctricos por medio de
Figura 25-9 E¿ es perpendicular al plano de incidencia.
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Reflexión y refracción de ondas planas
H =
kXE
Z
y
E,Xñ
~~e~
(25-26)
según (24-94) y una inspección de la figura 25-9, si se recuerda que Ez está dirigido hacia afuera de la página. Por lo tanto, la componente tangencial de cualquiera de los campos magnéticos tiene la forma
H • í = -¿r (k X E)- (E, X ñ) = -	(k • ñ)	(25-27)
según (1-109), fc-E¿ = 0 (son perpendiculares) y E-E¿ = EE¡ (son paralelos). El valor apropiado para la impedancia es Zx = (pq/cj)1/2 Para las ondas incidente y reflejada en el medio 1, mientras que esZ2 = (^2/^2)^ Para Hf. Tomando todo esto en consideración y sustituyendo (25-27) en (25-25) se obtienen
2- [ £’(k,- ñ) + E,(k/ ñ) ] =	(k,- ñ)
(25-28)
Puesto que E¡ es arbitrario, las cantidades significativas son las relacionadas Er/E¡ y Et¡E¡, pudiéndose ya calcular a partir de las dos ecuaciones (25-24) y (25-28). Los resultados son
M z2(k,.-ft)-z,(k»
£.7_l	Z2(k,-ñ) +Z^k/ñ)
E,\ _	2Z2(k,.- ñ)
Z2(í,-ñ) + z'(k,-A)
(25-29)
(25-30)
habiéndose hecho uso de kr - ñ = - kz -ñ según se encontró en (25-4), y de la ley de la reflexión dada en (25-11). Estas relaciones son la solución general para este caso y son válidas para cualesquiera valores de n1jn2 y Oí. Para dejar esto bien claro, se les puede expresar completamente en función de por medio de kz -h = k^ky - eos fy, según (25-12), y de kz • ñ = km¡k2 como se vio en (25-16), con lo que
Er \	Z2 eos Qi - Zx [ 1 - (rtj/zi^sen2#.]1/2
/ x	Z2 eos 0, + Z, [ 1 - ( n, / n2)2 sen2#. ]1 /2
Et \ _	2Z2cos#;
Z2cos#í + Z1[l-(n1//22)2sen2#í.]1/2
(25-31)
(25-32)
En el caso especial de una incidencia normal (0¿ = 0), se reducen a
TU Z2-Z,
E¡ / I Z2+ Zj
2Z2
Z2+ Z]
(25-33)
E perpendicular al plano de incidencia
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Resulta muy común también encontrar estos resultados expresados en función tanto del ángulo de incidencia 0,- como del ángulo de refracción 0t. Puesto que es real únicamente para «i < n2 o para nx > n2 y Oí ^6c, las expresiones que siguen se restringen a esos casos. Así, (25-29) y (25-30) se vuelven
Er\ _ Z2 cos — Zx cos 0t E¡ / ± Z2 cos + Z, cos 0t
Et\ _ 2Z2cos#,
E¿ ) ±	Z2 cos 0l + Z j cos 0t
(25-34)
A menudo se suelen expresar en otras formas por medio de
Zj / Mi€2 V/2_ Min2 p-iSQnOj
Z2 \ ^2^1 ' PoPi
(25-35)
que se desprende de (24-95), (24-12), (24-13) y (25-18). Al dividir numerador y denominador de cada una de las expresiones (25-34) entre z2 y después usar (25-35), se encuentra que las relaciones pueden también expresarse como
\ _ M2tan^ — Mitán#, / Et\ _ 2M2tan#, £, / M2tan#, + Mi tan#, y E¡ / M2tan#z + Mi tan#,
(25-36)
De (25-33) se obtienen los resultados para incidencia normal:
= ^2nl-^n2
E¡ / ± M2W1 + M1W2
2/a2/?]
(25-37)
Se puede observar que estos resultados son compatibles con (25-36) pues, a medida que 6¡ y 0t se aproximan a cero, la ley de Snell (25-18) se vuelven aproximadamente
n j sen1#, 0t tan#, n2 sen#. ~ #. ~ tan#,
(25-38)
En el caso muy importante en que Mi = M2, Que incluye los medios no magnéticos, las relaciones se pueden también escribir en general como
E¡ / j_ + M1W2
/£,]	sen (9,-9,)
\ Ei	sen(#, + #,)
í Et\ (w1/n2)sen2#, \ EJ± sen(#. + #í)
(25-39)
mientras que, para incidencia normal se reducen a
n2 — nl
n2 + nx
2nx
»2 + «i
(25-40)
A las ecuaciones en (25-39) se les suele llamar ecuaciones de Fresneir, él las desarrolló a partir de una teoría elástica de la luz mucho antes del desarrollo de la ecuaciones de Maxwell y de la teoría electromagnética de la luz. (Quizá no resulte tan sorprendente que lo haya podido hacer, puesto que si una onda elástica en un medio incide sobre otro
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Reflexión y refracción de ondas planas
Figura 25-10 Relación de los campos eléctricos reflejado e incidente según las ecuaciones de Fresnel para <n2.
medio de propiedades diferentes, también habrá que satisfacer algunas condiciones de frontera. Por ejemplo, si una onda viajara en una cuerda estirada, sería necesario que el desplazamiento fuera continuo en la unión, pues de otra manera la cuerda se soltaría.)
La forma general de los resultados obtenidos a partir de la ecuaciones de Fresnel, en función de se ilustra en las figuras 25-10 y 25-11 para el caso nx <n2. Nótese que la relación (Er/E¡)L es negativa para todos los valores de 0Z-; esto puede también observarse en (25-39) ya que cuandonv <n2, entonces6¡	de modo que sen(0f —0f)>O. Esto significa
que Ep es en realidad opuesto a la dirección que se había supuesto; en otras palabras, la onda reflejada ha cambiado su fase en 180°durante la reflexión en un medio de índice de refracción mayor. Por otro lado, (Et/E¡)\_ es siempre positiva, de manera que la onda transmitida no sufre cambio de fase (así, para representar la situación real, la dirección de Hr debe invertirse en la figura 25-9, mientras que Er se dirige hacia adentro de la página; el resto de la figura no se altera).
Figura 25-11 Relación de los campos eléctricos transmitido e incidente según las ecuaciones de Fresnel para <n2.
E paralelo al plano de incidencia
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Si «i > n2 pero < 6C, entonces 0 61, como se muestra en la figura 25-6; por tanto, sen - 0t) será negativo, por lo que (Er/E¡)y en (25-39) será siempre positiva, lo mismo que (EtIE¡)\_, como antes. Esto quiere decir que no existe cambio de fase por reflexión en un medio de índice menor siempre que el ángulo de incidencia sea menor que el ángulo crítico.
Se desprende de (25-29), como se muestra en la figura 25-11, que la onda transmitida es siempre igual a cero para una incidencia rasante (0;.= 90°).