2 La divergencia y las componentes normales - Arturo Lara (1)

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8- 2 La divergencia y las componentes normales
El teorema de la divergencia (1-59) combinado con (9-1) conduce a
f)F-¿Za= f V-F¿t= f ó(r)¿Zr
s	J y	Jy
(9-3)
Se aplica esto a un pequeño cilindro recto de altura h y sección A a, construido en la capa de transición como se muestra en la vista de perfil de la figura 94. Esto se hace para poder obtener contribuciones de las dos regiones 1 y 2. Las normales exteriores de las caras son ft2 y ñj, mientras que ñw es una de las normales exteriores de la pared curva. El área A a debe ser lo suficientemente pequeña para que pueda hacerse la aproximación de que F es constante en estas caras. (Se contempla la posibilidad de que A a -+ 0 en un momento dado, con lo que se obtendrían relaciones válidas para un punto; en tal caso las correcciones de orden superior que resulten, por ejemplo, al desarrollar F en una serie, desaparecerán al ser multiplicadas por A a en el resultado final, como ya se verá más adelante). La integral de superficie en (9-3) puede expresarse como
[)F-¿Za =
F2- Aa2 + F1-Aa] + W
(9-4)
donde F2 y Fj son los valores sobre las caras en las respectivas regiones y If' es la contribución de la pared curva. W tendrá algún valor finito y se puede escribir que W ~ h por el teorema del valor medio. En la figura se puede observar que ñ2 = ft y ftj = —ft, de manera que cuando se utiliza (1-52) se pueden expresar (9-4) y (9-3) como
ñ-(F2 — Fj)Aa+ W— í bdr = (hb)ka
Jy
(9-5)
donde b debería realmente escribirse como su valor promedio en el volumen h A a\ sin embargo, se puede tomar a b como aproximadamente constante en todo este volumen pequeño que después se hará tender a cero.
Se puede ahora iniciar el proceso de límite haciendo que la anchura de la capa de transición se reduzca a cero, haciendo que h~>0 mientras que A a se mantiene constante. Dado que W es proporcional a h, a medida que No hay seguridad acerca de cómo se comportará el producto hb, ya que bien podría pasar que b aumentara de manera
Figura 9-4 Volumen usado para encontrar la condicon de frontera a partir del teorema de la divergencia.
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Condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad
tal en este proceso que 1 im /7 ) (hb) siguiese siendo finito. Al realizar esto con (9-5), se observa que es posible cancelar A¿z de ambos miembros del resultado, obteniendo asila siguiente expresión aplicable a la situación en la superficie de discontinuidad:
n-(F2-F()= lim (hb) = lim(AV-F)	(9-6)
h—-0	h-^Q
Dado que A • F - Fz; es la componente normal de F, es decir, la que se encuentra en la misma dirección que la normal, de acuerdo con (1 -21) se puede escribir también (9-6) como
F2n — FVn = lim (hb) — lim (/zV • F)	(9-7)
h >0	h>0
Puesto que esta diferencia pudiera no ser igual a cero, se tiene la posibilidad de una discontinuidad en las componentes normales del vector F.