Analisis de sistemas de potencia Resumen 136 - ArturoSelect

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13.7 DEMANDA DE UNA UNIDAD 541
FIGURA 13.12
Ilustración del procedimiento de búsqueda de
costo mínimo asociado con la ecuación (13.75)
para: a)x^(k) igual ax2; b)x^(k- 1) igual a*!
y después a x2.
onde Fj*(N - 1) es el costo acumulativo mínimo de las dos etapas finales que empiezan con la combinación xf*(N - 1) y terminan con la combinación xy(TV); el costo acumulativo Fj(N) de la etapa N es igual al costo de producción Pj(N) porque no hay otro costo de transición	*
involucrado. La notación de la ecuación (13.73) significa que la búsqueda d? la decisión del	I
mínimo costo se hace sobre todas las combinaciones posibles Xj en la etapa TV. Todavía no se sabe, por supuesto, qué combinación es x,»( N - 1), pero para cada combinación inicial posible x¡(N - 1) se tiene una solución directa para la decisión de la mejor etapa N y se pueden almacenar los resultados del costo mínimo correspondiente en una tabla para un análisis posterior en donde se ha identificado la mejor combinación x¿*( TV- 1).
De manera similar, al empezar con la combinación xz»( TV - 2) en el intervalo (TV - 2), el costo acumulativo mínimo de las últimas tres etapas del periodo de estudio está dado por
542 CAPÍTULO 13 OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
F¡.(N — 2) = mín {P,.(N - 2) + T^N - 2) + F¡(N - 1)}	(13.74)
{Xy(N-l)}
donde ahora se hace la búsqueda entre las combinaciones factibles Xj de la etapa (N - 1). Continuando con la lógica anterior, se encuentra la siguiente fórmula recursiva
F^k) = mín {P,.(¿) + T^k) + F¿k + 1)}	(13.75)
{Xj(k + 1))
para el costo mínimo acumulativo en la etapa k, donde k varía desde 1 hasta N. Por las razones anteriormente expuestas (el estado es el mismo al principio y al final del día cuando ¿es igual a TV), en la ecuación (13.75),	FfN + 1) son cero. Cuando ¿es igual a 1, la
combinación xz*(l) es la condición inicial de entrada conocida para el problema de demanda de unidad. Las combinaciones correspondientes a los subíndices i y j de la ecuación (13.75) cambian los papeles de una etapa a la siguiente; la combinación xz*(¿) [que inicia la búsqueda entre las combinaciones posibles xfk + 1)] se convierte en una de las combinaciones factibles x7(¿) que se haalla dentro de las buscadas en la etapa (¿ - 1). Esto se ilustra gráficamente en la figura 13.12, que muestra una malla construida para tres etapas típicas consecutivas (¿- 1), ¿y (¿ + 1). Supóngase que cada etapa está asociada con el nivel de carga que se muestra y que tiene que seleccionar una de las combinaciones xb x2, x3 y x9, que se han enlistado previamente. Entonces, cada nodo de la malla representa una de las combinaciones y el nivel del sistema de carga al que sus unidades están operando. Cualquier nodo señalado con una X no es factible porque su combinación no puede suministrar el nivel correspondiente de carga o bien, es inadmisible. Al seleccionar x,*(¿) = x2 en la ecuación (13.75), se inicia la búsqueda entre el conjunto de posibilidades {xb x2, x3 y x9} para el costo acumulativo mínimo F^(k\ como se muestra en la figura 13.12¿z); una figura similar se tiene cuando cada una de las otras dos combinaciones factibles x} y x3 de la etapa ¿, se toma como x,*(¿). Reemplazar ¿ por (¿ - 1) en la ecuación (13.75) conduce a la figura 13.126), que muestra que la combinación previa para el inicio de la búsqueda se sustituye ahora por x7(¿) y entra en cada búsqueda de F,fk- 1).
13.8
RESOLVIENDO EL PROBLEMA DE DEMANDA DE UNIDAD
La ecuación (13.75) es una relación iterativa que contiene el principio de que, al iniciar con una combinación xz* dada en la etapa ¿, el costo mínimo de la demanda de unidad se encuentra minimizando la suma del costo de la presente etapa /,7(¿) más el costo acumulativo mínimo Ffk +1) sobre las últimas etapas del estudio. Éste es un ejemplo del principio de optimización que establece que: Si la mejor trayectoria posible de A a C pasa a través de un punto intermedio B, entonces, la mejor trayectoria posible de B a C debe ser la parte correspondiente de la mejor trayectoria de A a C. Computacionalmente, se evalúa una decisión a la vez, comenzando con la etapa final N y llevando la función de costo acumulativa mínima hacia atrás en el tiempo hasta la etapa ¿, para encontrar el costo acumulativo mínimo F^k) para la combinación factible x^ de la etapa /, como se muestra en la figura 13.13. En cada etapa se construye una tabla de resultados hasta que se llega a la etapa 1, donde la combina
13.8 RESOLVIENDO EL PROBLEMA DE DEMANDA DE UNIDAD 543
ción de entrada x,. es definitivamente conocida a partir de las condiciones iniciales. Las decisiones sobre el costo acumulativo mínimo se van recuperando conforme se revisa de la etapa 1 a la N buscando a través de las tablas que ya se calcularon en cada etapa. El procedimiento computacional, conocido como programación dinámica,5 involucra dos revisiones a través de cada etapa k, de la manera que se ilustra en la figura 13.13. En la primera revisión (que es muy intensiva, computacionalmente hablando), se trabaja calculando hacia atrás y registrando, para cada combinación x, de la etapa k, el mínimo F¡(k) y su Xj(k + 1) asociada. La segunda revisión, que se hace hacia adelante, no involucra ningún procesamiento, ya que con x,.(,t) identificada, simplemente se maneja la tabla de resultados para obtener el valor F,»(£) y su combinación asociada x/Jc + 1), que se convierte en x,.(k + 1) cuarH" : continúa con la siguiente etapa hacia adelante.
Para la solución de la programación dinámica de cada etapa del problema de la demanda de unidad, se deben calcular las salidas de los despachos económicos de las unidades generadoras disponibles, antes de que se evalúen los costos de producción P^(k) (véase figura 13.13). Para un sistema con cuatro generadores, esto significa que se deben establecer tablas de despacho económico, similares a la tabla 13.1, para cada combinación factible de unidades a cada nivel de carga del ciclo diario. Si no hay restricciones, se deben de considerar 15 combinaciones en cada etapa, de la manera que se ha visto. Sin embargo, en la práctica, siempre se aplican restricciones. Supóngase que las cuatro unidades tienen límites de cargabilidad máximo y mínimo y características de costo de combustible como las de la ecuación (13.1) con los coeficientes a„ h, y c, dados en la tabla 13.5. Entonces, para alimentar la carga de la figura 13.11, por lo menos dos de los cuatro generadores deben estar conectados durante todo el tiempo en el día. Especificando que las unidades 1 y 2 están siempre operando (por lo que se les llama unidades siempre operando), el número de combinaciones posibles en cada etapa se reduce de las 15 enlistadas anteriormente a las cuatro combinaciones x¡, x2, x3 y x9. En concordancia, en el ejemplo 13.8 se obtienen resultados típicos de un despacho económico para cada una de las cuatro combinaciones en uno de los niveles de carga de la figura 13.11. Entonces, se usan los resultados más completos de la tabla 13.6 en el ejemplo 13.9, para resolver el problema de la demanda de unidad para el mismo sistema de cuatro unidades y el mismo ciclo de carga. Se desprecian las pérdidas por trasmisión en los siguientes ejemplos con el fin de simplificar los cálculos.
5 Véase, por ejemplo, R. Bellman, Dynamic Programming (Programación dinámica), Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
TABLA 13.5
Límites de cargabilidad y coeficientes de la ecuación (13.1) para las unidades generadoras de los ejemplos 13.8 y 13.9
	
	Límites de cargabilidad
	Parámetros de costo de combustible
	
	Número
	
	
	
	
	de unidad
	
	
	
	
	generadora
	Mínimo
	Máximo
	
	Ch
	
	(MW)
	(MW)
	($/MWh)
	(S/ti)
	1
	100
	625
	0.0080
	8.0
	500
	2
	100
	625
	0.0096
	6.4 o
	400
	3
	75
	600
	0.0100
	7.9
	600
	4
	75
	500
	0.0110
	7.5
	400
544 CAPÍTULO 13 OPERACIÓN ECONÓMICA DE SISTEMAS DE POTENCIA
Secuencia hacia atrás
Etapa
1
· Calcular el costo de transición T-tk)
· Recuperar Fj(k + 1)
· Evaluar F¿(k) = P^k + 1) + T^k) + F^k + 1)
· Registrar FjW) y su asociada Xj(k + 1)
Retener el mínimoF¡(k) y su asociada
combinación xÁk + 1) si hay
C? ^acer un	tcon^m'co :^eteim'ne
Para la entrada recibido de la etapa (k — 1),recuperar y reportar F¿*(k) y su asociada Xj*(k + 1)
x¿*(k)
x¡*(k + 1)
F¿*(k)
Secuencia hacia adelante
FIGURA 13.13
Resumen de los cálculos de la etapa k en la solución de programación dinámica del problema de demanda de unidad de la ecuación (13.75).